含参不等式专题(淮阳中学)
编写：孙宜俊当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型 (即是那一种不等式) 的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。
解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：
(1)二次项的系数；(2)判别式；(3)不等号方向( 4)根的大小。
一、含参数的一元二次不等式的解法：
1．二次项系数为常数(能分解因式先分解
因式，不能得先考虑0 )
例1、解关于X的不等式X2 (a 1)x a 0。
解：(x2a)( x 1) 0
令(x a)(x 1) 0 x a, x 1为方程的两个根
(因为a与1的大小关系不知，所以要分类讨论)
(1)当a 1 时，不等式的解集为{x| x 1 或x a}
( 2 )当a 1 时，不等式的解集为{x|x a或x1}
( 3 )
当a 1 时，不等式的解集为{x|x1}
综上所
述：
(1)当a 1 时，不等式的解集为{x| x1或X a} ( 2 )
当a 1 时，不等式的解集为{x|x a或x1} ( 3 )
当a 1 时，不等式的解集为{x|x1}
变题1 、
解不等式x2(a 1)x a 0 ；2
、
解不等式x2 (a2 a)x a3 0。
小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨论。
例2、解关于x的不等式2x2 kx k 0
分析此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.
解k2 8k k(k 8)
(1) 当0,既k 8或k 0时，方程2x2 kx k 0有两个不相等的实根。
所以不等式2x2 kx k 0的解集是：
k Jk(k 8) k Jk(k 8)
x-------- - ---------- x ------------- ---------
4 4
(2) 当0即k 8或k 0时,方程2x2 kx k 0有两个相等的实根，
所以不等式2x2 kx k 0的解集是 -，即2 ,{0}；
4
⑶当0,即8 k 0时,方程2x2 kx k 0无实根
所以不等式2x2 kx k 0的解集为。
说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。
小结：讨论，即讨论方程根的情况。
2.二次项系数含参数(先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0,然后能
分解因式先分解因式，不能得先考虑0)
例3、解关于x的不等
式：
2 ax(a1)x 1 0.
解：若a0，原不等式x 1 0x 1.
若a0，原不等式(x 1
-)(x1) 0 x丄或x 1 a a
若a0，原不等式(x$(x1) 0.()
a
其解的情况应由1与1的大小关系决定，故
a
（1） 当a 1时，式（）的解集为; （2） 当 a 1 时，式（）-x 1 ；
a
（3） 当0 a 1时，式（）1 x 丄.
a 综上所述，当a 0时，解集为｛xx 丄或x 1｝； a
当a 0时，解集为｛ xx 1｝； 当0 a 1时，解集为｛ x1 x - ｝； a
1 当a 1时，解集为；当a 1时，解集为｛x - x 1｝.
a
例4、解关于x 的不等式： 2
ax ax 1
0-
解：ax 2 ax 1
0-
()
（1）a 0 时，（） 1 0
x R.
（2）a 0 时，贝U
a 2 4a 0 a 0 或 a
4， 此时两根为X 1
a
a 2
4a
a ，x 2
■■■. a 2 4a 2a
2a
当4 a 0时，解集为R ；
①当a 0时， 0，（） a 2 2a
4a x
a a 2 4a
2a ；
③当a
4时，
0，
()
④当
a 4时， 0，
()
.a 2 2a a ,a 2 4a 2a
综上，可知当a 0时，解集为（
a
a 2 4a 2a
\ a 2 4a 2a
②当 4 a 0时, x R 且x
x 1
当a 4时，解集为(，丄)(丄，)；
2 2
当a 4时，解集为(，工?匚上)(工?匚上，).
2a2a 例5、解关于的x不等式(m 1)x2 4x 1 0(m R)
分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+1 1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：
⑴当m< —1时，/ =4 (3-m) >0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当一1
⑷当m>3时，/ =4 (3—m) <0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。
解：当m 1时，原不等式的解集为x | x —
4 当m1时,(m 1)x24x 1 0的判别式= (3— m);
则当m1时，原不等式的解集为x| x 2 3 m十
或x
2 、
3 m
m 1m 1
当1
2
m 3时，原不等式的解集为x|2
3 m 2
x
■. 3 m
m 1 m 1
当m=3时，原不等式的解集为x|x J ；
当m>3时，原不等式的解集为
小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解,
也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值(如取0、取正值、取负值) 对不等式实际解的影响。
牛刀小试：解关于x的不等式ax22(a 1)x 4 0, (a 0)
思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集具体解答请同学们自己完成。
二、含参数的分式不等式的解法：
例1：解关于x的不等式a 1
0 x2 x 2
分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax-1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。
解：原不等式等价于(ax 1)(x 2)(x 1) 0
当a=0时，原不等式等价于(x 2)(x 1) 0
解得1 x 2，此时原不等式得解集为{x| 1 x 2};
1
当a>0时，原不等式等价于(x -)(x 2)(x 1) 0,
a
贝当a 1时,原不等式的解集为x |x 1且x 2 ;
2