二次根式知识点总结及常见题型
一、二次根式的定义形如（≥0）的式子叫做二次根式、其中“”叫做二次根号,叫做被开方数、（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数、据此可以确定字母的取值范围;（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数、若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式、（3）形如（≥0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系数,它表示的是: （≥0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有、
二、二次根式的性质二次根式具有以下性质:（1）双重非负性:≥0,≥0;（主要用于字母的求值）（2）回归性:（≥0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:、（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0、若,则、应用与书写规范:∵,≥0,≥0,≥0 ∴、该性质常与配方法结合求字母的值、（2）;主要用于二次根式的化简、（3）,其中≥0;该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的、（4）,其中≥0、该结论主要用于二次根式的计算、例
1、式子在实数范围内有意义,则的取值范围是_________、分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0、解:由二次根式有意义的条件可知:,∴、例
2、若为实数,且,化简:、分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式与都有意义,则有、
解:∵≥0,≥0∴≥1,≤1∴∴∴、习题
1、如果有意义,则实数的取值范围是__________、习题
2、若,则_________、习题
3、要使代数式有意义,则的最大值是_________、习题
4、若函数,则自变量的取值范围是__________、习题
5、已知,则_________、例
3、若,则的值等于
【】
（A）（B）0 （C）1 （D）2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0、解:∵∴∵≥0,≥0∴∴∴、选择
【 D 】
、例
4、无论取任何实数,代数式都有意义,则的取值范围是
__________、分析:无论取任何实数,代数式都有意义,即被开方数≥0恒成立,所以有如下两种解法:解法一:由题意可知:≥0∵≥0∴≥∵≥0∴≤0,∴≥
9、解法二:设∵无论取任何实数,代数式都有意义∴≥0恒成立即抛物线与轴最多有一个交点∴≤0解之得:≥
9、例
5、已知是△ABC的三边长,并且满足,试判断△ABC的形状、分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值、
解:∵∴∴∵≥0,≥0,≥0∴∴∵∴∴△ABC为直角三角形、习题
6、已知实数满足,则以的值为两边长的等腰三角形的周长为
【】
（A）20或16 （B）20（C）16 （D）以上答案均不对习题
7、当_________时,取得最小值,这个最小值为_________、习题
8、已知,则的值为_________、习题
9、已知非零实数满足,求的值、提示:由≥0,且可
得:≥0,∴≥
5、例
6、计算:（1）; （2）; （3）、分析:本题考查二次根式的性质: （≥0）、该性质主要用于二次根式的计算、解:（1）;（2）;（3）、注意:,其中≥0、该结论主要用于二次根式的计算、例
7、化简:（1）; （2）; （3）、分析:本题考查二次根式的性质:、该性质主要用于二次根式的化简、解:（1）;（2）;（3）
∵∴原式、注意: 结论:、该结论主要用于二次根式和绝对值的化简、例
8、当有意义时,化简:、解:∵二次根式有意义∴≥0∴≥3∴例
9、化简:、分析:,继续化简需要的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:的被开方数为非负数、解:由二次根式有意义的条件可知:≥0∴≥3∴例
10、已知,化简__________、解:∵∴∴例1
1、已知直线（是常数）, 如图（1）,化简、解:由函数的图象可知:∴∴例
12、已知在数轴上的位置如图（2）所示,化简:、解:由数轴可知:∴∴习题
10、要使,的取值范围是__________、习题1
1、若,则的取值范围是__________、习题
12、计算:_________、习题
13、计算:_________、习题
14、若成立,则的取值范围是__________、习题
15、下列等式正确的是
【】
（A）（B）（C）（D）习题
16、下列各式成立的是
【】
（A）（B）（C）（D）习题
17、计算:_________、习题
18、化简:_________、习题
19、若________、习题
20、已知,化简得__________、习题2
1、实数在数轴上对应的点如图（3）所示,化简代数式:的结果为
【】
（A）（B）（C）（D）习题
22、化简:、例
13、把中根号外的因式移到根号内,结果是
【】
（A）（B）（C）（D）分析:本题实为二次根式的化简:某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内,可以达到化简的目的,但要注意根号外面系数的符号、有如下的结论:,其中
≥0、解:由二次根式有意义的条件可知:∴∴、选择
【 D 】
、习题
23、化简得__________、
三、二次根式的乘法一般地,有:（≥0,≥0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件:≥0,≥0、即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2）二次根式的乘
法公式用于二次根式的计算;（3）两个带系数的二次根式的乘法为:（≥0,≥0）;（4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:
（≥0,≥0）公式的逆用主要用于二次根式的化简、注意公式逆用的条件不变、例
14、若成立,则
【】
（A）≥6 （B）0≤≤6（C）≥0 （D）为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:（≥0,≥0）解:由题意可得:解之得:≥
6、选择
【 A 】
、例
15、若成立,则的取值范围是__________、分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:（≥0,≥0）解:由题意可得:解之得:≥
1、例
16、计算:（≥0）、解:（≥0）、习题
24、计算:_________、习题
25、已知,则有
【】
（A）（B）（C）（D）习题
26、化简的结果是_________、
四、二次根式的除法一般地,有:（≥0,）（1）以上便是二
次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件;（2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算;（3）二次根式的除法公式可写为: （≥0,）;（4）二次根式的除法公式可逆用,即有:（≥0,）公式
的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变、
五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式:（1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式;（2）被开方数中不含有分母或小数、注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式、六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有
理化、如对进行分母有理化,过程为:;对进行分母有理化,过程为:、由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的、例
17、计算:（1）; （2）; （3）、解:（1）;（2）;（3）、例
18、化简:（1）; （2）; （3）（）、解:（1）;（2）;（3）∵∴注意:随着学习的深入,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略,以简化计算、例
19、式子成立的条件是__________、分析:本题求解的是的
取值范围,考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:（≥0,）、解:由题意可得:解之得:、例
20、计算:（1）; （2）; （3）、解:（1）;（2）;（3）解法1:、解法2:、二次根式的乘除混合运算例2
1、计算:（1）; （2）、解:（1）原式（2）原式、习题
27、下列计算正确的是
【】
（A）（B）（C）（D）习题
28、计算:_________、习题
29、计算:_________、习题
30、直线与轴的交点坐标是_________、习题3
1、如果,那么下面各式:①; ②; ③、其中正确的是
_________（填序号）、习题
32、若,则化简的结果是_________、习题
33、计算:（1）; （2）、例
22、先化简,再求值:,其中、解:当时原式、习题
34、先化简,再求值:,其中、习题
35、先化简,再求值:,其中、习题
36、下列根式中是最简二次根式的是
【】
（A）（B）（C）（D）例
23、观察下列各式:（1）请利用上面的规律直接写出的结果;（2）请用含（为正整数）的代数式表示上述规律,并证明;（3）
计算:、分析:本题考查分母有理化、解:（1）;（2）;（3）原式
习题
37、化简:、七、同类二次根式如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式、同类二次根式的判断方法:（1）先化简二次根式;（2）看被开方数是否相同;（3）定结果:
若相同,则它们是同类二次根式;若不相同,则不是、同类二次根式的合并方法: 几个同类二次根式相加减,将它们的系数相加减,二
次根式保持不变、八、二次根式的加减二次根式相加减,先把各
个二次根式化简,再合并同类二次根式、二次根式加减运算的步骤:（1）化简参与运算的二次根式;（2）合并同类二次根式;（3）检查结果、例
24、计算:（1）; （2）、解:（1）原式;（2）原式、注意:不是同类二次根式不能合并、例
25、计算:、解:原式例
26、计算:（1）; （2）、解:（1）原式（2）原式、