二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题

湖北省荆州中学 鄢先进

二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。

类型一 定轴定区间

例1．已知函数2

()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =-

变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。 分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数，

min ()(2)0f x f ∴==

变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值.

分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。

max ()(3)3f x f ∴==

例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[]

-41，上的最大值为5，求实数a 的值。

|

解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间

[]-41，内。

x

①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去

图1 图2

②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5

：

即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去

综上可知：函数f x ()在区间[]

-41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a 变化的，要注意讨论。 小结：二次函数2()()f x a x k h =-+(0)a >在区间[,]m n 最值问题。 ①若[,]k m n ∈，则min ()()f x f k h ==，max ()max{()()}f x f m f n =? ②若[,]k m n ?，当k m <时，min ()()f x f m =，max ()()f x f n =

当k n >时，min ()()f x f n =，max ()()f x f m =

当0a <时，仿此讨论 类型二 定轴动区间

例3．已知函数22,[2,]y x x x a =-∈-，求函数的最小值().g a

分析：由于函数图像的对称轴为1x =，区间左端点固定，区间右端点的位置不能确定，所以需分两类进行讨论，即①对称轴在区间[2,]a -内，②对称轴在区间[2,]a -右侧。

、

解：函数222(1)1y x x x =-=--

①当21a -<<时，函数在[2,]a -上单调递减，则当x a =时，2min 2y a a =- ②当1a ≥时，函数在[2,1]-上单调递减，在[1,]a 上单调递增，则当1x =时，

min 1y =-。

综上可知：22()1

a a g a ?-=?-? 21

1a a -<<≥

例4．已知函数2

()62

x f x x =-++在区间[,]m n 上的值域是[22,22]m n --，求,m n 的

值.

分析：由于函数图像的对称轴为1x =，而区间左右端点值均含有参数，所以要分三类进行讨论，即①对称轴在区间右侧②对称轴在区间内③对称轴在区间左侧

解：22113

()6(1)222

x f x x x =-++=--+

①若1m n <≤，则max ()()2 2.f x f n n ==- min ()()2 2.f x f m m ==-经验证无解。 ②若1.m n <<则()f x 在区间[,1]m 单调递增，在[1,]n 上单调递减，因此

max ()(1)2 2.f x f n ==-()f x 在x m =或x n =处取最小值22m -。

故13222n -=

得17.4

n = 由于21171339

220.().(1)024232

m f n -<=--+=

>故()f x 在x m =处取最小值2 2.m - \

即2113

(1)2222

m m --+=-解得1m =-

③若1.m n ≤<则max ()()2 2.f x f m n ==-min ()()2 2.f x f n m ==-

解得2, 4.m n ==

综上可知1174

m n ?=-?

?=

??或24m n =??=?.

点拨：当二次函数解析式确定，但自变量取值区间变化时，需根据对称轴和区间的位置关系，对区间参数进行讨论。

类型三 动轴定区间

例5．求2()21f x x ax =--在区间[0,2]上的最大值和最小值。

分析：因为有自变量有限制条件，要求函数最值，最好是先作出函数图像，作二次函数图像时先看开口方向，再看对称轴的位置，因为此函数图像对称轴.x a =位置不定，并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要以对称轴的位置进行分类讨论。。

解：22()()1f x x a a =---，对称轴为.x a =

①当0a <时，由图①可知，min ()(0)1f x f ==-，max ()(2)34.f

x f a ==- ②当01a ≤<时，由图②可知，2min ()()1,f

x f a a ==--max ()(2)34.f

x f a ==- ③当12a ≤≤时，由图③可知，2min ()()1,f x f a a ==--max ()(0) 1.f x f ==- ④当2a >时，由图④可知，min ()(2)34,f x f a ==-max ()(0) 1.f x f ==-

点拨：当二次函数开口方向和给定区间固定，对称轴位置不确定时，只要讨论对称轴和给定区间的位置关系即可，结合图像需分两种或三种情况讨论。 ￥

例6．已知二次函数2()21f x x ax a =-++-在[01]，

上有最大值2，求a 的值． 解：22()()1f x x a a a =--+-+．

①当0a <时，max ()(0)2f x f ==，得1a =-．

①

&

③

④

②当01a ≤≤时，max ()()2f x f a ==，解得1[01]2

a ±=

?，，故该方程在[01]，上无解．

③当1a >时，max ()(1)2f x f ==，得2a =． 综上可知：1a =-或2a =．

点拨：求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”，“三点”即区间端点与区间中点，“一轴”即二次函数的对称轴，合理进行讨论。

类型四 动轴动区间

例7．设a 是正实数，2ax y +=(0,0).x y ≥≥若21

32y x x +-的最大值是().M a 求()

M a 的表达式.

分析：该题是二元函数求最大值，应先由2ax y +=解出y 代入，消元，转化为关于x 的二次函数，再求最大值。

解：设21

()32

f x y x x =+-

<

由2ax y +=得2y ax =-

222111

()(2)3[(3)](3) 2.222

f x ax x x x a a ∴=-+-=---+-+

0y ≥ 20ax ∴-≥.又0,0a x >≥，2

[0,].x a

∴∈

①当2

03(0)a a a

<-<>即01a <<或23a <<时

21

()(3)(3) 2.2

M a f a a ∴=-=-+

②当2

3(0)a a a -≥>即12a ≤≤时

∴2226

()()M a f a a a ==-+

③当30a -≤即3a ≥时

∴()(0)2M a f ==

综上可知：221(3)22

26

()2a M a a

a ?-+???=-+???

??

(0123)(12)(3)a a a a <<<<≤≤≥或

点拨：当二次函数对称轴和区间都不固定时，还是应先配方，理清函数对称轴和区间的位置关系，然后对参数进行讨论。

(

通过前面二次函数在闭区间上的最值问题的四类题型，我们可以发现二次函数的最值总是在对称轴或区间端点处取得，要是同学们理解了这一点，解决问题还会有意想不到的效果。

例8 ．已知函数2()(21)3f x ax a x =+--(0)a ≠在区间3

[,2]2

-上最大值为1，求实数

a 的值.

分析：若按常规方法从求函数最大值直接入手，则需作如下分类讨论：

①当a <0时，分三种情况讨论最大值， ②当a >0时，分两种情况讨论最大值。

一共有五种情形，过程繁琐。若从整体角度分析，注意到函数()f x 的最大值只可能产生在二次函数的顶点或端点处，这样可以先求函数()f x 在顶点和端点的函数值，再逐一验证参数的正确性即可。

解：函数()f x 的最大值只能在132x =-，或22x =，或3122a

x a

-=处取得．

①令3()12f -=，解得10

3

a =-，此时01223322202a x a -??==-∈-????，．故()f x 的最大值不可能在1x 处取得．（10

3

a =-

，抛物线开口向下） ②令(2)1f =，解得34a =，此时032

121

2

232a x a -+-==-<．故max ()(2)f x f =，得3

4

a =

，符合题意．

③令1212a f a -??

= ???，解得32a -±=．要使()f x 在0

122a x a -=处取得最大值，必

须且只须0a <且03

[,2]2

x ∈-，经检验，只有32a +=-合题意．

综上可知：3

4

a =

或32a +=-

@

点拨：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函

数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。

其实二次函数在闭区间上最值问题的本质就是讨论函数在区间内的单调性，在解决有关二次函数的最值问题时，我们要充分利用二次函数图像来分析问题，结合开口方向，对称轴和所给区间的位置关系，合理的进行分类讨论，有时采用逆向思维，还会有事半功倍的效果。 巩固训练

1．已知函数223,[0,]y x x x m =-+∈上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）

.[1,)

.[0,2]

.[1,2]

.(,2]A B C D +∞-∞

2．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝________.

3．已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值范围为________． 4．若函数2113

()2

2

f x x =-+

在区间[,]a b 上的最大值为2b ，最小值为2a ，求区间[,]a b 。 5．已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。

6．已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值

7. 已知2()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最小值与最大值

)

8．已知y a x a a 240=->()()，且当x a ≥时，S x y =-+()322的最小值为4，求参数a 的值。

参考答案

1. C

2. 2

3. {1，－3}

4．分析对称轴：（1）()201,3()2f a b b a a b f b a =?>≥??==?

=?， （2）()20()2f a a

a b f b b =?<≤???=?

无解（3）13202

()2b a b f a a

?

=

?<

?13213224()2b a b f b a

?

=

??=-=?

?=? 5．函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 3219

4

?? ???=

6．函数f x ()的最小值是f a ()-=-14，最大值是f a ()14=+。

7．f x t t t t t ()(),,min

=-+>≤≤+

?1111011022 8．a 的取值为a =1，或a =

1

2

，或a =5

二次函数在闭区间上的最值(可用)

二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ?? ?b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ，()的最大值是 f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-< b a m 2，由f x ()在[] m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[] m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数y x x x =-+-=--+2 2 4222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。 图1

高中数学-二次函数定区间上最值问题

高中数学-二次函数定区间上最值问题 一、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． （二）二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． （三）二次函数基本形式： 1、2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设： f x a x b xc a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 方法思路分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f x ()的最值：

中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定

中考数学 二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x a x b xc a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若-

二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的X ,只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点?因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我 们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点&例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： CaSe l、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数 图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内 (i) 当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；(ii )当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数y = χ2-2χ+3在闭区间［-1,2】上的最大值是_________ . 例2、函数f(X)= -X2 +4x-2在区间【0,3】上的最大值是_________ 最小值是

例3、已知2χ2≤3x，则函数f(χ)=χ2+χ+1的最大值是 ____________ ,最小值是 CaSe n、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求 二次函数y=aχ2?bx ?c ( a =O)在给定区间［p,q 1上的最值，需对其对称轴与 给定区间的位置关系进行分类讨论.这里我们以a 0的情形进行分析： (i)若一A P ,即对称轴在给定区间∣p,q 1的左侧，贝U函数f(χ)在给定区间 2a l-P,q ］上单调递增，此时［f (X)］max = f(q)，［f (X)］min = f ( P)； (ii) 若^-―

二次函数在闭区间上的最值(详解)

二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设fx a x b xc a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2 442，、对称轴为x b a =-2 当a >0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若-

(整理)二次函数在各种区间上的最值.

二次函数在各区间上的最值 一、知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值： （1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。 （2）当时 若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是 若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。函数的最大值为，最小值为。 图1 练习. 已知，求函数的最值。 解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。

图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。 图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。 图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值 综上讨论，?? ? ??<+≤≤>+-=0110,11 ,1)1()(22min t t t t t x f 图8 例3. 已知 2 ()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 解：由已知可求对称轴为1x =．

中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变

中考数学 求二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x a x b xc a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]- ?b a m n 2，时 若-

二次函数在闭区间上的最值例题

二次函数在闭区间上的最值问题的解法 一、知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x a x b xc a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-24 42 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-

二次函数的区间最值问题知识讲解

二次函数最值问题 二次函数y =ax 2 bx C a = 0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础?在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况（当a ■0时, 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时，函数的最值问 题?在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的 x 的取值范 围区间的两个端点， 二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴， 注意结合图像学会用数形结 合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面： 1.定轴定区间。2.动轴定区 间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。 【例1】当-2空x 空2时，求函数y =x 2 -2x-3的最大值和最小值. 分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目， 只需要画出函数图像即可以解 决。 1 5 【例2】当t 兰x 兰t +1时，求函数y = -x 2 -X -一的最小值（其中t 为常数）? 2 2 函数在x 二 b 2a 处取得最小值 4ac -b 2 4a 无最大值；当时 a . 0，函数在x —处取得 2a 最大值 4ac -b 2 4a 无最小值.

分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于 X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以 需要比较对称轴与其范围的相对位置. 1 5 解：函数y =-x2—x _-的对称轴是x=1。画出其草图。 2 2 (1) 灯=}12 j_| = —3 ； 1 i 5 1 i A min =尹+1) -(t +1)石=|t -3. 1 2 -t 2 -3,t<0 2 综上所述：y min = -3,0_t_1 】t 2 —t —5,t A 1 I 2 2 【例3】设二次函数f x =-x 2 ? 2ax ? 1-a 在区间0,1 ］上的最大值为2，求实数a 的 值。分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随 a 的变化而变化，所 ⑵当对称轴在所给范围左侧.即 1 2 5 t 1时当X"时，畑； (4)当对称轴在所给范围之间?即 t _1 _t 1= 0_t _1 时；当 x = 1 时, ⑹当对称轴在所给范围右侧?即 t 1 ：：：1= t :: 0时，当 x =t ? 1 时,

二次函数在闭区间上的值域问题

二次函数在闭区间上的值域问题 题型一【定函数定区间】 例1．函数f (x )＝2x 2－6x ＋3在区间[－1，1]上的最小值是－1，最大值是11． f (x )＝2x 2－6x ＋3＝2(x －32)2－32 ，x ∈[－1，1]. 练习：若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254 ，－4]，则m 的取值范围是 [32，3]_________ ． 题型二【动函数定区间】 例2．求函数y ＝x 2＋tx ＋1在区间[－1，1]上的最值； 【分类讨论】 解：（1）函数y ＝x 2＋tx ＋1的对称轴为直线x ＝－t 2 ． 1°若－t 2 ≤－1，即t ≥2时，函数在[－1，1]上单调增， 当x ＝－1时，y min ＝2－t ，当x ＝1时，y max ＝2＋t ； 2°当－1＜－t 2 ＜0，即0＜t ＜2时， 当x ＝－t 2时，y min ＝1－t 24 ，当x ＝1时，y max ＝2＋t ； 3°当0≤－t 2 ＜1，即－2＜t ≤0时， 当x ＝－t 2时，y min ＝1－t 24 ，当x ＝－1时，y max ＝2－t ； 4°当－t 2 ≥1，即t ≤－2时，函数在[－1，1]上单调减， 当x ＝1时，y min ＝2＋t ，当x ＝－1时，y max ＝2－t ． 例3．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0，2]上有最小值3，求a 的值． 解：f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2＝4(x －a 2 )2－2a ＋2，x ∈[0，2]． （1）当a 2 ＜0，即a ＜0时，f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2＝3，解得a ＝1－2或a ＝1＋2（舍）； （2）当0≤a 2≤2，即0≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a 2)＝－2a ＋2＝3，解得a ＝－12 （舍）； （3）当a 2 ＞2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18＝3，解得a ＝5＋10或a ＝5－10（舍）． 综上，a ＝1－2或a ＝5＋10． 题型三【定函数动区间】 例4．函数f (x )＝x 2－4x －4在区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．试写出g (t )的表达式，作出g (t )的图象，并求g (t )的最小值． 【分类讨论】 函数f (x )＝(x －2)2－8．

(整理)二次函数闭区间最值.

二次函数闭区间最值 要点一：含字母讨论型 1、已知函数f(x)=-x 2+2ax(x ∈[-1,3]),求f(x)的最大值 与最小值。 2、已知f (x )=-4x 2+4ax -4a -a 2在区间［0，1］内有最大 值-5，求a 的值。 3、函数f(x)=x 2-2x(x ∈[a,a+1]) 求f(x)的最大值与最 小值。 4、设函数12)(2 ++=ax ax x f 在[]2,3-上有最大值4，求实数a 的值。 要点二：转化二次函数的最值 5、已知x y x 22322=+，求22y x u +=的取值范围. 要点三：恒成立问题 6、已知f （x ）=x 2 +ax +3-a ，若x ∈［-2，2］时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围.

7、不等式022224≥--++a a x x 恒成立，求实数a 的取值 范围。 练习： 1、已知二次函数 2()(1)()f x ax b x a b =+-≠、是常数，且a 0满足条件：(2)0,f =且方程()f x x =有两个相等的实数根。 （1）求()f x 的解析式； （2）是否存在实数()m n m n <、，使()f x 的定义域和值域分别是[,][2,2]m n m n 和，如存在，求m n 、的值，如不存在，说明理由。 2、设函数2 1()4f x x x =+-，若定义域为[,1]a a +，值域为11[,]216-，求a 的值.

二次方程根的分布 能利用“数形结合”和“韦达定理”讨论二次方程根的情况。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 有两个根： 1． 当两个根在同一个区间上时，需从以下几个方面考 虑： （1）),(,21m x x -∞∈ （2）),(,21+∞∈n x x （3）),(,21n m x x ∈ 2． 当两个根分别在两个不同区间上时，需从以下几个 方面考虑： （1）),(),,(21+∞∈-∞∈m x m x （2）t s n m t s x n m x <<<∈∈)(,(),,(21） 1．已知关于x 的二次方程0122=+++m mx x （1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0），另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围。 （2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m 的取值范围。

二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题 湖北省荆州中学 鄢先进 二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。 类型一 定轴定区间 例1．已知函数2()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =- 变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。 分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数， min ()(2)0f x f ∴== 变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值. 分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。 max ()(3)3f x f ∴== 例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[] -41，上的最大值为5，求实数a 的值。 解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间 []-41，内。 x

①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去 图1 图2 ②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去 综上可知：函数f x ()在区间[] -41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a 变化的，要注意讨论。 小结：二次函数2()()f x a x k h =-+(0)a >在区间[,]m n 最值问题。 ①若[,]k m n ∈，则min ()()f x f k h ==，max ()max{()()}f x f m f n =? ②若[,]k m n ?，当k m <时，min ()()f x f m =，max ()()f x f n = 当k n >时，min ()()f x f n =，max ()()f x f m = 当0a <时，仿此讨论 类型二 定轴动区间 例3．已知函数22,[2,]y x x x a =-∈-，求函数的最小值().g a

二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的x ，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点＆例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： Case Ⅰ、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内. （i ）当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得； （ii ）当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数223y x x =-+在闭区间[]1,2-上的最大值是_______. 例2、函数2()42f x x x =-+-在区间[]0,3上的最大值是_______，最小值是_______.

例3、已知223x x ≤，则函数2()1f x x x =++的最大值是_______，最小值是______. Case Ⅱ、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）在给定区间[],p q 上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以0a >的情形进行分析： （ⅰ）若2b p a - <，即对称轴在给定区间[],p q 的左侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递增，此时max [()]()f x f q = ，min [()]()f x f p =； （ⅱ）若2b p q a ≤- ≤，即对称轴在给定区间[],p q 的内部，则函数()f x 在[,]2b p a -上单调递减，在[,]2b q a - 上单调递增，此时min [()]()2b f x f a =-，max [()]() f x f p =或()f q ，至于最大值究竟是()f p 还是()f q ，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若22 b p q p a +≤- < ，则max [()]()f x f q =；若22p q b q a +≤-≤，则max [()]()f x f p =； （ⅲ）若2b q a - >，即对称轴在给定区间[],p q 的右侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递减，此时max [()]()f x f p = ，min [()]()f x f q =. 综上可知，当0a >时， max (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +? -

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

k k k

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下） 需满足的条件是

（1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ， 可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2 220 mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由2 13 m <<得 2 23 m <<即为所求； 2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数 的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -< 即 ()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0?=即()2164260m m -+=得出1m =-或3 2m =，当 1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m = 时，根()33,0x =?-，故3 2 m =不满足题意；综上分析，得出15 314 m -<<-或1m =- 根的分布练习题 例1、已知二次方程()()2 21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。 解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1 12 m -<<即为所求的范围。 例2、已知方程()2 210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。 解：由

二次函数的区间最值及应用教师版

二次函数的区间最值及应用 模块一：二次函数的区间最值 1．定轴定区间 对于二次函数2(0)y ax bx c a =++>在m x n ≤≤上的最值问题（其中a 、b 、c 、m 和n 均为定值，max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） （1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在2b x a =-时，取到最小值，无最大值． （2）若2b n a <-，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． （3）若2b m a >-，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． （4）若2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--，如图④，当2b x a =-，min y y =；当x n =， max y y =． 2．动轴或动区间 对于二次函数2 (0)y ax bx c a =++>，在m x n ≤≤（m ，n 为参数）条件下，函数的最值 需要分别讨论m ，n 与2b a -的大小． 模块二：二次函数的应用 1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为： （1）经济利润类问题； （2）方案选择类问题； （3）行程问题； （4）数学建模类问题； （5）工程问题。 2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。 b

分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值： （1）x 取任意实数；（2）当 20 x -≤≤ 时；（3）当13x ≤≤时；（4）当12x -≤≤时． 【解析】（1），∴当时，函数的最大值为，无最小值； （2）∵在右侧， ∴当时，函数取得最大值1；当时，函数取得最小值； （3）∵在左侧， ∴当时，函数取得最大值2；当时，函数取得最小值； （4）∵，且， ∴当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值． 【教师备课提示】这道题主要讲解最值的求法（1）配方，求对称轴，（2）画草图． 试求(1)(2)(3)(4)5y x x x x =+++++在33x -≤≤的最值． 【解析】令，则有222(54)(56)5(4)(6)51029y x x x x t t t t =+++++=+++=++ ∵当时，的取值范围是， ∴原题转化为当时，求的最大值和最小值． ∵，故当时，．而当解得：， 又∵，∴当时，． 当时，；当时，，而， ∴当时，即时，． 【教师备课提示】这道题主要是高次函数利用换元转化为二次函数区间最值. 2 317248y x ? ?=--+ ?? ?34x =1783 4 x =20x -≤≤0x =2x =-13-3 4 x =13x ≤≤1x =3x =8-3 124-≤≤331244-->-34 x = 17 81x =-4-25t x x =+33x -≤≤t 25 244 t -≤≤25 244t - ≤≤21029y t t =++()254y t =++5t =-min 4y =255x x -=+1,255 x -±=33x -≤≤55 x -+=min 4y =254t =- 9516y =24t =845y =9845516 >24t =3x =max 845y =

二次函数的最值问题总结

二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时， 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 二次函数求最值（一般范围类） 例1．当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．

解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 例4．当1t x t ≤≤+时，求函数21522 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数21522 y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t = --； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时： 当1x =时，2min 1511322 y = ?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +? 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 二次函数求最值(经济类问题) 例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

高考数学 二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值 二次函数在闭区间[]p,q 上的最值是函数中最常见、最基本、最重要的一类问题.它不完全由顶点的纵坐标决定，需要根据抛物线的对称轴与区间[]p,q 的位置关系采用分类讨论的方式解决。首先是弄清对称轴与区间的相互位置、进而利用图象，结合单调性求解。 若a>0时，观察二次函数的图像可以发现，当图像上的点离对称轴较近时，函数值较小；当图像上的点离对称轴较远时，函数值较大。 若a<0时，所得结论与上述结论相反。 结论：当0a >，f (x)在区间[]p,q 上的最大值为max f ，最小值为min f ，令区间中点01x (p q)2 =+。 （1）若b p 2a - <，则 min max f (p),f (q)f f ==； （2）若0b p x 2a ≤-≤，min max b f (),f (q)2f f a =-=； （3）若0b x q 2a ≤-≤，则 min max b f (),f (p)2f f a =-=； （4）若b q 2a ->，则 max min f(p),f(q)f f ==. 注意：1.若只要研究二次函数在区间[]p,q 上的最小值min f ， 则只需要讨论三种情形： （1）若b p 2a - <，则 min f (p)f =；（在离对称轴近的端点处取得） （2）若b p q 2a ≤-≤，则min b f ()2f a =-；（在顶点处取得） （3）若b q 2a ->，则 min f (q)f =.（在离对称轴近的端点处取得） 2.若只要研究二次函数在区间[]p,q 上的最大值max f ，则只需要讨论二种情形：（其中区间中点01 x (p q)2 =+） （1）若0b x 2a - ≤，max f (q)f =；（在离对称轴远的端点处取得） （2）若0b 1时，22max min ()(2)22,()()22f x f t t t f x f t t t =+=++==-+