第十章 静电场中的导体和电介质
10–1 如图10-1所示，有两块平行无限大导体平板，两板间距远小于平板的线度，设板面积为S ，两板分别带正电Q a 和Q b ，每板表面电荷面密度
σ1= ，σ2= ，σ3= ，σ4= 。
解：建立如图10-2所示坐标系，设两导体平板上的面电荷密度分别为σ1，σ2，σ3，σ4。由电荷守恒定律得
12a S S Q σσ+= （1）
34b S S Q σσ+= （2）
设P ，Q 是分别位于二导体板内的两点，如图10-2所示，由于P ，Q 位于导板内，由静电平衡条件知，其场强为零，即
31240000
02222P E σσσσ
εεεε=---= （3）
3124
0000
02222Q E σσσσεεεε=
++-= （4） 由方程（1）~（4）式得
142a
b
Q Q S
σσ+== （5） 232a b
Q Q S
σσ-=-= （6） 由此可见，金属平板在相向的两面上（面2，3），带等量异号电荷，背向的两面上（面1，4），带等量同号电荷。
10–2 如图10-3所示，在半径为R 的金属球外距球心为a 的D 处放置点电荷+Q ，球内一点P 到球心的距离为r ，OP 与OD 夹角为θ，感应电荷在P 点产生的场强大小为 ，方向 ；P 点的电势为 。
解：（1）由于点电荷+Q 的存在，在金属球外表面将感应出等量的正负电荷，距+Q 的近
端金属球外表面带负电，远端带正电，如图10-4所示。P 点的场强是点电荷+Q 在P 点产生的场强E 1，与感应电荷在P 点产生的场强E 2的叠加，即E P =E 1+E 2，当静电平衡时，E P =E 1+E 2=0，由此可得
21r 2204π(2cos )
Q
a r ar εθ=-=-
+-E E e
其中e r 是由D 指向P 点。
因此，感应电荷在P 点产生的场强E 2的大小为
图10–
4
x
σ
2 4
σ
Q
Q
Q 图10-2
σ1
σ2 σ4
σ3 Q a Q b
图10-1
图10-3
22
2
04π(2cos )
Q
E a r ar εθ=
+-
方向是从P 点指向D 点。
（2）静电平衡时，导体是等势体。P 点的电势V P 等于球心O 点的电势V O 。而由电势叠加原理，球心O 点的电势V O 是由点电荷+Q 在该点的电势V 1和感应电荷在该点的电势V 2的叠加，即
12P O V V V V ==+
其中，点电荷+Q 在O 点的电势V 1为
104πQ
V a
ε=
由于感应电荷是非均匀地分布在导体球外表面，设球面上面积元d S 处的面电荷密度为
σ，则它在球心的电势为
0d 4πS
R
σε，考虑球的半径是一常量，故整个球面上的感应电荷在球心O 点产生的电势为
200d 1
d 4π4πS S S V S R R
σσεε=
=
??
??
由电荷守恒可知，感应电荷的代数和
d 0S S σ=??。因此
201d 04πS V S R
σε=
=??
所以，P 点电势为
120004π4πP O Q Q
V V V V a a
εε==+=
+=
10–3 如图10-5所示，三个无限长、半径分别为R 1，R 2，R 3的同轴导体圆柱面。A 和C 接地，B 带电量为Q ，则B 的内表面的电荷Q 1和外表面的电荷Q 2之比为 。
解：三个导体圆柱面构成两个圆柱形电容器，电容分别为
12012πln BA B A Q R
C L V V R ε==-
32
02
2πln BC B C R Q C L V V R ε=
=-
由于A 和C 接地，则B A B C V V V V -=-，因此
211
32
2
ln ln R Q R R Q R =
10–4 一平行板电容器，充电后断开电源，然后使两极板间充满相对介电常数为εr 的各向同性均匀电介质，此时电场能量是原来的 倍。如果在充入电介质时，电容器一直与电源相连，能量是原来的 倍。
解：一平行板电容器，充电后断开电源，其电荷量不变，根据电容器能量公式2
e 2q W C
=
，
可得电容器充入电介质后的能量W′与充入电介质前的能量W 之比为
图10–5
e e r r
1
W C C W C C εε'===' 若电容器一直与电源相连，电容器电压不变，根据公式21
2
W CV =，可得
e r r e W C
C W C C
εε''=== 10–5 一平行板电容器两极板间电压为V ，其间充满厚度为d ，相对介电常数为εr 的各向同性均匀电介质，则电介质中的电场能量密度w e = 。
解：电介质内场强为V
E d
=
。故电介质中的电场能量密度为 2
220r e 0r 211222V V w E d d
εεεεε??
=== ???
10–6 如图10-6所示，真空中有一点电荷q ，旁边有一半径为R 的球形带电导体，q 距球心为d （d >R ），球体旁附近有一点P ，P 在q 与球心的连线上，静电平衡时，P 点附近导体的面电荷密度为σ 。以下关于P 点电场强度大小的答案中，正确的是[ ]。
A ．
2
0024π()q
d R σεε+- B ．2
0024π()q d R σεε-- C ．2004π()q d R σεε+- D ．2
004π()q d R σεε-- E ．
σε F ．以上答案全不对
解：导体处于静电平衡时，邻近导体表面P 处的电场强度大小为σ /ε0，正确答案选（E ）。 10–7 如图10-7所示，一半径为R 的金属球接地，在与球心相距d =2R 处有一点电荷+q ，则金属球上的感应电荷q ′为[ ]。
A ．2q +
B ．0
C ．2
q
- D ．由于感应电荷分布非均匀，因此无法求出 解：金属球面上感应电荷q ′分布非均匀，设感应电荷的面电荷密度为σ，在导体球面面积元d S 处的感应电荷为d S σ，则它在球心的电势为
0d 4πS
R
σε，故整个球面上感应电荷在球心O 处产生的电势为
1000d 1d 4π4π4πS S S q V S R R R
σσεεε'
=
==
????
电荷+Q 在球心O 处产生的电势为
图10–6
图10–7
204π(2)
q
V R ε=
由电势叠加原理，球心O 处的电势由点电荷+q 和导体表面的感应电荷q ′在该处产生的电势的叠加，又由于金属球接地，于是
120004π4π(2)
O q q
V V V R R εε'=+=
+= 由此可求得导体表面上存在感应电荷为
2
q q '=-
故应选（C ）。
10–8 下列说法正确的是[ ]。
A ．高斯面上各点的D 为零，则面内必不存在自由电荷
B ．高斯面上各点的E 为零，则面内自由电荷的代数和为零，极化电荷的代数和也为零
C ．高斯面内不包围自由电荷，则面上各点
D 必为零 D ．高斯面上各点的D 仅与自由电荷有关
解：高斯面上各点的D 为零，表明曲面内自由电荷的代数和一定为零；所以（A ）说法错误。
由电介质的高斯定理
d i Q ?=∑??S D S 和εD =E ，可知高斯面上各点的E 为零，则曲
面内自由电荷的代数和一定为零。又由
1
1
d in i q Q q εε'?=
=
+∑
∑??S
E S ，可知极化电荷
的代数和也为零，所以（B ）说法正确。
高斯面上的D 由空间中所有电荷（包括自由电荷和极化电荷）的分布决定，通过高斯面的D 的通量只由其中的自由电荷所决定，高斯面内不包围自由电荷，只能说明通过该高斯面的D 的通量为零。所以（C ）、（D ）说法错误。故答案应选（B ）。
10–9 极化强度P 是量度介质极化程度的物理量，有一关系式为P = ε0(εr -1)E ，电位移矢量公式为D = ε0E + P ，则[ ]。
A ．二公式适用于任何介质
B ．二公式只适用于各向同性电介质
C ．二公式只适用于各向同性且均匀的电介质
D ．前者适用于各向同性电介质，后者适用于任何电介质
解：在电磁学中，为简化数学，D = ε0E + P 是由一些特例得到的，对任何介质都适用，是一个一般结论，介质的特性由P 与E 的关系体现，对各向同性介质，才有0e εχ=P E ，由此可得到P = ε0(εr -1)E ，因此P = ε0(εr -1)E 只适用于各向同性介质。故答案应选（D ）。
10–10 空气平行板电容器保持电压不变，再在两极板内充满均匀介质，则电场强度大小E 、电容C 、极板上电量Q 及电场能量W 四个量与充入介质前比较，变化情况是[ ]。
A ．E 减小，C 、Q 、W 增大
B ．E 不变，
C 、Q 、W 增大 C ．E 、W 减小，C 、W 增大
D ．
E 不变，C 、Q 、W 减小
解：未插入介质前，设平行板电容器电容为C 0，极板上的电量为00Q C U =，插入介质后，电容r 0C C ε=增大，电容器接在电源上，两极板间的电势差0V V =仍不变，极板上的电
量r 0r 0Q CU C U Q εε===增大。
未插入介质前，电场强度0V E d
=，插入介质后，V
E d =，因V ，d 不变，所以0E E =，
电场强度不变。
未插入介质前，电场能量20012W C V =，插入介质后，22r 0r 011
22W CV C V W εε===增
大。
综上，正确答案是（B ）。
10–11如图10-8所示，一球形导体A 含有两个球形空腔，这导体本身的总电荷为零，但在两空腔中心分别有一个点电荷q 1和q 2，导体球外距导体球很远的r 处有另一个点电荷q 3。求：（1）球形导体A 外表面所带电量；（2）A ，q 1，q 2，q 3所受的力。
解：（1）在导体内作一闭合曲面包围q 1所在空腔。由于静电平衡时，导体内场强处处为零，因此闭合曲面的电通量为零。根据高斯定理，点电荷q 1空腔壁上有电量-q 1，同理，点电荷q 2空腔壁上有电量-q 2。已知导体本身的总电荷为零，根据电荷守恒，导体球A 外表面所带电量为（q 1+q 2）。由于静电屏蔽效应，-q 1，-q 2不受q 3影响，在腔内均匀分布。
（2）由于点电荷q 1所在球形空间被周围金属屏蔽，q 1相当于只受空腔1内表面电荷的作用，又因q 1处于带电空腔的中心，空腔表面上的感应电荷-q 1均匀分布，则感应电荷-q 1在q 1处产生的场强E 1=0，
因此，点电荷q 1受到的作用力F 1= q 1E 1=0。同理，点电荷q 2受到的作用力F 2=0。
由于点电荷q 3距导体球A 很远，它对导体球外表面电荷的影响可忽略，因此，感应电荷在导体球A 外表面上近似均匀分布，它在q 3处产生的场强可等效看成是在球心的点电荷（q 1+q 2）激发
112
04πA q q
E r ε+=
因而导体球A 近似地对q 3产生的作用力为
312332
0()
4πA q q q F q E r ε+==
两空腔中心处的q 1，q 2对q 3的作用受导体球A 的屏蔽，对其无影响。q 3对导体球A 产生的作用力与F 3大小相等，方向相反。
10–12 面电荷密度为σ1的无限大均匀带电平面B 与无限大均匀带电导体平板A 平行放置，如图所示。静电平衡后，A 板两面的面电荷密度分别为σ2，σ3。求靠近A 板右侧面的一点P 的场强大小。
解：方法一：利用场强叠加原理。
在导体平板A 内任取一点P ′，如图10-10所示。取向右为电场强度的正方向，根据静电平衡条件，P ′点场强为
321
000
0222P E σσσεεε'=
--=
图10–8
σ1
σ3
σ2
A
B
P
图10-9
由此可得
321σσσ=+ （1）
而靠近A 板右侧面P 点的场强可看成是三个无限大的均匀带电平面产生的电场的叠加，
321000
222P E σσσ
εεε=+- （2）
联立（1）（2）式得
20
P E σ
ε=
方法二：利用静电平衡时，导体表面附近任一点的场强大小与导体表面上对应点电荷面密度的关系，得
20
P E σε=
10–13 一导体球半径为R 1，球外有一个内、外半径分别为R 2，R 3的同心导体球壳，此系统带电后内球电势为V 1，外球所带总电量为Q 。求此系统各处的电势和电场分布。
解：设内球带电为q ，由于静电感应，则球壳内表面带电为–q ，而球壳外表面带电为（q +Q ），如图10-11所示。已知内球电势为V 1，它可看作是三个同心带电球面在r =R 1处产生的电势叠加，即
101
02030123
1()4π4π4π4πq q q Q q q q Q
V R R R R R R εεεε-++=
+
+=-+
由此式可解得
0123112231213
4πR R R V R R Q
q R R R R R R ε-=
+-
由高斯定理
d in q ε?=
∑??S
E S ，可得各区域的电场分布
10E =，（1r R <） 2204πq E r ε=
，（12R r R <<）
30E =，（23R r R <<） 42
04πq Q E r
ε+=
，（3r R >）
方向沿径向。
由电势叠加原理，系统的电势V 1可看作是三个同心带电球面在r 处产生的电势叠加，各区域的电势分布为
当1r R <时
1
2
3
1
2
3112340
R R R R R R V d d d d ∞
=?+?+
?+
?????E r E r E r E r
010*******
1()4π4π4π4πq q q Q q q q Q
R R R R R R εεεε-++=
+
+=-
+
图10–11
σ1
2
P
图10–10
同理，当12R r R <<时
200203023
1()4π4π4π4πq q q Q q q q Q
V r R R r R R εεεε-++=
++=-+ 当23R r R <<时
30003034π4π4π4πq q q Q q Q
V r r R R εεεε-++=
++=
当3r R >时
400004π4π4π4πq q q Q q Q
V r r r r
εεεε-++=
++=
10–14 如图10-12所示，半径为r 1，r 2（r 1 （1）外球的电荷量及电势； （2）把外球接地后再重新绝缘，外球的电荷量及电势； （3）然后把内球接地，内球的电荷量及外球的电势的改变。 解：（1）外球壳内表面的感应电荷量为-q ，由于外球原来没有电荷，根据电荷守恒，外球壳外表面感应电荷量为+q ，且均匀分布。由电势叠加原理，外球的电势V 1是内球电荷电场在外球壳处的电势 102 4πq V r ε= （2）外球壳接地后，其外表面电荷为零。重新绝缘后，由高斯定理，外球壳的内表面电荷仍为-q ，外球电势V 2为 202 02 04π4πq q V r r εε-= + = （3）内球接地后，它的电势为零。设内球电量为q ′，则外球壳的内表面带-q ′，球壳外表面带电（-q + q ′），由电势叠加原理，内球电势为 3010202 04π4π4πq q q q V r r r εεε'''--= ++= 由此解得 12 r q q r '= 此时，外球壳电势变为 124202020202 ()4π4π4π4πr r q q q q q V r r r r εεεε'''---= ++= 外球电势的改变量为 1212412202 0202()(2)4π4π4πr r q r r q q V V V r r r εεε--?=-=-= 结果表明，导体接地时，其电荷未必是零。导体接地时唯一可确定的条件是它的电势为零。 10–15 如图10-13所示，由半径分别为R 1=5cm ，R 2=10cm 的两个很长的共轴金属圆柱面构成一个圆柱形电容器。将它与一个直流电源相接。今将电子射入电容器中，如图（b ）， q O r 1 r 2 图10–12 电子的速度沿其半径为r （R 1 解：电子在圆柱形电容器中垂直于轴线的平面上作圆周运动，则其所受的向心力由静电 力提供，由牛顿定律有 2 e F eE m r ==v 由此可得 2 e m E er =v 电容器极板间的电压为 2 22111222e e e 2 1 1d d d ln R R R R R R m m m R V r r er e r e R =?===? ?? E r v v v 3162 19 9.110(310)10 ln 5 1.610--???= ?V=35.5 V 10–16 如图10-14所示，半径分别为R 1，R 2的两个金属导体球A ，B ，相距很远，求： （1）每个球的电容； （2）若用细导线将两球连接后，利用电容的定义求此系统的电容； （3）若系统带电，静电平衡后，两球表面附近的电场强度之比。 解：（1）由于两球相距很远，可将两球看成是孤立导体球。球A 的电容为 1014πC R ε= 球B 的电容为 2024πC R ε= （2）设两球组成的系统带电Q ，细导线将两球连接后，两球分别带电量Q 1，Q 2，则 12Q Q Q += （1） 两球的电势分别为 1 101 4πQ V R ε= （2） R 1 R 2 A B 图10–14 图10– 13 （a ） （b ） 2 202 4πQ V R ε= （3） 两球相连后电势相等，12V V =，则有 12 0102 4π4πQ Q R R εε= 由此可得 1212121212 Q Q Q Q Q R R R R R R +=== ++ 则 1112R Q Q R R =+ 2212 R Q Q R R = + 代入（2）式和（3）式得 121010124π4π() Q Q V V V R R R εε=== = + 由电容定义 0124π()Q C R R V ε= =+ （3）两球表面附近的电场强度分别为 11120 0114πQ E R σεε== 22 22 0214πQ E R σεε== 则 211122 22221 1E Q R R E Q R R σσ=== 10–17 两根平行的长直导线，两线中心线相距为b ，它们的横截面半径都等于a ，并且b >>a ，求单位长度上的电容。 解：如图10-15所示，假设两根导线单位长度上的电荷分别为+λ，-λ，因b >>a ，电荷在导线上均匀分布，在两导线中心连线上距离带正电荷导线中心为x 处的P 点的电场强度的大小为 002π2π() E x b x λλ εε= + - 方向沿x 轴正方向。两导线之间的电势差为 d d b a l a V E x -=?=??E l 00d 2π2π()b a a x x b x λλ εε-? ?= + ?-?? ? O O ′ a a +λ -λ U x b -x x P E 图10–15 000ln ln ln 2π2ππb a a b a a b a a λλλεεε--= -=- 由电容器电容的定义式q C V =，可得单位长度的电容为 00ππln()ln ln ln q C V b a a b a εε= =≈ --- 10–18 将一个电容为4μF 的电容器和一个电容为6μF 的电容器串联起来接到200V 的电源上，充电后，将电源断开并将两电容器分离。在下列两种情况下，每个电容器的电压各变为多少？ （1）将每一个电容器的正板与另一个电容器的负板相连； （2）将两电容器的正板与正板相连，负板与负板相连。 解：当电容器C 1=4μF 与C 2=6μF 串联接到U =200V 的电源时，它们的总电容为 121246 46 C C C C C ?= = ++μF 2.4=μF 由于是串联充电，所以两电容器带有相同的电荷量Q ，其值为 2.4200Q CV ==?μC 480=μC （1）当每个电容器的正板与另一个电容器的负板相连时，正负电荷将等量中和，总电量为零，电容器的电压都变为零。 （2）将两电容器同极相连时，此时两电容器为并联，总电容为 12(46)C C C '=+=+μF 10=μF 总电量为 22480Q Q '==?μC 960=μC 两电容器的电压相等，均是 960 10 Q V C ''= = 'V 96=V 10–19 平行板空气电容器的空气层厚1.5×10–2m ，两极间电压为40kV 时，电容器是否会被击穿（设空气的击穿场强为3×103 kV/m ）？再将一厚0.3cm ，相对电容率为7.0，介电强度为10MV/m 的玻璃片插入电容器中，并与两极板平行，这时电容器是否会被击穿？ 解：未插入玻璃片时，电容器内的电场强度为 32 40 2.7101.510V E d -= ==?? kV/m 因空气的击穿场强E b =3×103kV/m ，b E E <，故电容器不会被击穿。 设空气中的场强为E 1，当所加电压不变时，插入厚度为d 2的玻璃片，玻璃片中场强为 112r 7.0 E E E ε== 于是 2212()E d E d d V +-= 由此可得 122222r 40 ()/(1.5100.310)0.310/7.0 V E d d d ε---= =-+?-?+? kV/m= 3.2×103kV/m 由于31310b E E >=?kV/m ，因此，空气层首先被击穿。空气层被击穿后，40kV 电压全部加到玻璃片上，此时玻璃片内的场强增大到 22 40 0.310V E d -= = ?kV/m=13.3 MV/m 因玻璃的击穿场强为10MV/m ，210b E E '>=MV/m ，因此，玻璃片也相继被击穿，整个电容器被击穿。 10–20 如图10-16所示，三块平行金属板A ，B ，C ，面积均为0.02m 2，A 与B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0mm ，B 和C 两板都接地。若A 板带正电荷Q =3.0×10–7C ，不计边缘效应，求： （1）若平板间为空气（εr =1.00），求B 板、C 板上的感应电荷及A 板的电势； （2）若在A ，C 平板间充以另一εr =6的均匀电介质，求B 板、C 板上的感应电荷及A 板的电势。 解：（1）A 板上的电荷Q 分布于它的两个侧面上。设右侧面电量为Q 1，左侧面电量为Q 2，则 12Q Q Q =+ （1） 由高斯定理和静电平衡条件，可得B 板内侧面上感应电荷为-Q 1，C 板内侧面上感应电荷为-Q 2，因此，A ，B 两板间场强和A ，C 两板间场强分别为 1100AB Q E S σεε== 2200AC Q E S σεε== 由于B ，C 板同时接地，电势都为零，所以A ，B 两板间和A ，C 两板间电势差相等， 即 AB AC V V = 而 1 0AB AB AB AB Q V E d d S ε== 2 0AC AC AC AC Q V E d d S ε== 由此可得 1200AB AC Q Q d d S S εε= 即 12AC AB d Q Q d = （2） 联立方程（1）式和（2）式，可得 73 133 3.010 2.010 4.010 2.010AC AB AC Qd Q d d ----???==+?+?C=1.0×10–7 C 图10–16 73 233 3.010 4.0104.010 2.010AB AB AC Qd Q d d ----???==+?+?C=2.0×10–7C 所以，B 板上感应电荷为-Q 1= -1.0×10–7C ，C 板上感应电荷为Q 2= -2.0×10–7C 。A 板的电势 7 31120 1.010 4.0108.85100.02 A A B AB AB AB Q V V E d d S ε---?====????V=2.3×103V （2）解法同（1） A 板上的电荷Q 分布于它的两个侧面上。设右侧面电量为Q 1′，左侧面电量为Q 2′，则 12Q Q Q ''=+ （3） A ， B 两板间和A ， C 两板间电势差相等，即 AB AC V V ''= 而 10AB AB AB AB Q V E d d S ε' ''== 在A ，C 平板间充以另一εr =6的均匀电介质，则 2 0r AC AC AC AC Q V E d d S εε'''== 由此可得 12 00r AB AC Q Q d d S S εεε''= 即 12 r AC AB d Q Q d ε' =' （4） 联立方程（3）（4），可得 73133r 3.010 2.010 2.0106 4.010AC AC AB Qd Q d d ε----???'==+?+??C=2.3×10–8C 73 r 233 r 3.0106 4.0102.0106 4.010AB AC AB Q d Q d d εε----????'==+?+??C=2.8×10–7C 所以，B 板上感应电荷为-Q ′1= -2.3×10–8C ，C 板上感应电荷为-Q ′2= -2.8×10–7C 。A 板的电势 831120 2.310 4.0108.85100.02 A A B AB AB AB Q V V E d d S ε---'?'''=== =????V=5.2×102V 10–21 两个同心的薄金属球壳，内、外球壳半径分别为R 1=0.02m ，R 2=0.06m 。球壳间充满两层均匀电介质，它们的相对介电常数分别为εr1=6和εr2=3。两层电介质的分界面半径R =0.04m 。设内球壳带电量Q = -6×10–8C ，求 （1）D 和E 的分布，并画D -r ，E -r 曲线； （2）两球壳之间的电势差； （3）贴近内金属壳的电介质表面上的面束缚电荷面密度。 解：（1）以r 为半径，与球壳同心的球面为高斯面，由电介质的高斯定理 d i Q ?∑??S D S =及关系式0r εεεD =E =E 得 当1r R <时，有 10D =，10E = 当1R r R <<时，有 22 4πr Q = r D e ，220r14πr Q r εε= E e 当2R r R <<时，有 32 4πr Q = r D e ，320r24πr Q r εε= E e 当2r R >时，有 42 4πr Q = r D e ，4204πr Q r ε= E e D -r ，E -r 曲线如图10-17所示。 （2）两球壳之间的电势差为 2 2 21 1 112232 2 0r10r2d d d d d 4π4πR R R R R R R R R R Q Q V V r r r r εεεε-= ??+ ?= + ?????E l = E l E l 0r110r220r11r1r2r22111111114π4π4πQ Q Q R R R R R R R R εεεεεεεεε?????? = -+-=-+- ? ? ??????? 981111 910(610)( )60.0260.0430.0430.06 -=??-?-+-????V= -3750V （3）贴近内金属壳的电介质表面上的面束缚电荷面密度为 0r120r120r1(1)(1) 4πr Q r σεεεεεε'=?=-?-?P n E n =e n 贴近内金属壳的电介质表面处，e r 与n 反向，且r =R 1，由上式，得 0r1r122 0r11r11(1)cos π(1) 4π4πin Q Q R R σεεεεεε'=-=-- 82 610(61) 4 3.1460.02 --?=--???C/m 2=9.95×10–6 C/m 2 10–22 半径为R 的介质球，相对电容率为εr ，其电荷体密度01r R ρρ? ? =- ??? ，式中0ρ为常量，r 是球心到球内某点的距离。试求：（1）介质球内的电位移和场强分布；（2）在半径r 多大处的场强最大？ 解：由电荷分布的球对称性，取与介质球同心，半径为r （r d i Q ?∑??S D S =得 200 d d 14πr V r V r dr R ρρ? ??= - ??? ????S D S = 即 图10– 17 E ,D O 342 04π4π34r r D r R ρ?? =- ? ??? 可得 2034r r D R ρ?? =- ? ??? 由关系式0r εε=D E 可得 200r 0r 34D r r E R ρεεεε?? ==- ? ??? 电位移D 和场强E 的方向沿径向。 （2）令 d 0d E r =，即 00r d 10d 32E r r R ρεε??=-= ??? 得 R r 3 2= 又因该处 22 d 0d E r <，故此处场强最大。 10–23 在图10-18各图中，平行板电容器极板面积均为S ，板间距为d ，如图（a ）（b ）（c ）所示，充以相对电容率分别为εr1，εr2，εr3的均匀电介质，求各电容器的电容。 解：（1）由电容器定义Q C V = 求C 。 方法一：设电容器上极板带电+Q ，下极板带电－Q ，左边介质中两极板的电荷面密度为±σ 1，场强为E 1，右边介质中两极板的电荷面密度为±σ2，场强为 E 2，则由电荷守恒，可得 1 222 S S Q σσ+= （1） 又由于上极板为等势体，下极板为等势体，故左边和右边极板间的电势差相等，有 12V E d E d == 则左、右两边电介质的场强相等，即12E E =。又因 110r1E σεε= ，2 20r2 E σεε= 可得 （a ） S 2 2 （b ） 2 2 （c ） 图10–18 120r10r2 σσ εεεε= （2） 联立（1）式和（2）式，解得 r11r1r22()Q S εσεε= +，r22r1r22()Q S εσεε=+ 由电容器定义Q C V = 可得 0r1r21()2S Q Q C V E d d εεε= ==+ 此结果说明：该电容器相当于左、右两介质电容器并联。 方法二：利用两电容器并联关系求C 。 图10-18（a ）可看成是相对电容率为εr1的平行板电容器C 1和相对电容率为εr2的平行板电容器C 2的并联，如图10-19（a ）。 0r10r11/22S S C d d εεεε== 0r20r22/22S S C d d εεεε== 0r10r2012r1r2()222S S S C C C d d d εεεεεεε=+=+=+ （2）方法一：由电容器定义Q C V = 求C 。 设电容器上极板带电+Q ，下极板带电－Q ，在相对电容率为εr1的介质内场强为E 1，在相对电容率为εr2的介质内场强为E 2，则在两种介质中的场强分别为 10r10r1Q E S σεεεε= = 20r20r2 Q E S σεεεε== 上、下极板的电势差为 1 20r10r22222 d d Q d Q d V E E S S εεεε=+=+ 由电容器电容的定义Q C V = ，得 0r1r2r1r2 2S Q C V d εεεεε= =+ 此结果说明：该电容器相当于上、下两介质电容器串联。 方法二：图10-18（b ）可看成是两个平行板电容器1C ，2C 串联，如图10-19（b ），则 0r10r112/2S S C d d εεεε== 0r20r222/2S S C d d εεεε== 012 r1r212r1r2 2S C C C C C d εεεεε= =++ （3）图10-18（c ）可看成是两个平行板电容器C 2，C 3串联，然后与平行板电容器C 1 并联，如图10-19（c ），有 0r10r11/22S S C d d εεεε== 0r20r22/2/2S S C d d εεεε== 0r30r33/2/2S S C d d εεεε== 则 230r2r3r1123r2r3 ()2C C S C C C C d εεε εεε=+ =+++ 10–24 有两块平行板，面积各为100cm 2，板上带有8.9×10–7C 的等值异号电荷，两板间充以介质，已知介质内部电场强度为1.4×106 V/m ，求： （1）介质的相对电容率； （2）介质面上的极化面电荷。 解：（1）介质内部的场强 0r 0r Q E S σεεεε= = 由此可得介质的相对电容率 7 r 1246 08.9107.28.851010010 1.410Q SE εε---?===????? （2）介质面上的极化面电荷 7r r 1 1 1 (1)(1)(1)8.9107.2 q S S Q σσεε-''==- =- =- ??C=7.7× 10–7C 10–25 一平行板电容器（极板面积为S ，间距为d ）中平行于极板放有一块厚为t ，面积为S ，相对电容率为εr 的均匀电介质，如图10-20所示。设极板间电势差为V ，忽略边缘效应，求： （1）电介质中的电场强度E ，极化强度P 和电位移D ； （2）极板上的电荷量Q ； （3）极板和介质之间区域的场强； （4）此电容器的电容。 解：设空气中的场强为E 0，介质中的场强为E ，极板自由电荷面密度为σ，则 图10–19 C 1 2 （a ） C 2C 1 （b ） C 2 C 3 C 1（c ） 0()V E d t Et =-+ 作如图10-21所示的圆柱形高斯面1，由E 的高斯定理，有 00 d S E S σε??=?= ?? S E S 由此得 00 E σ ε= 为求介质中的E ，作如图10-21所示的圆柱形高斯面2，由电介质的高斯定理，有 d D S S σ?=?=???S D S 由此得介质中的电位移为 D σ= 因此电介质中的电场强度为 00r 0r r E D E σ εεεεε=== 代入U 的表达式有 0r ()()V E d t Et E d t Et ε=-+=-+ 所以介质中的场强为 r r (1)V E d t εε= +- 介质中的极化强度为 0r 0r r r (1)(1)(1)V P E d t εεεεεε-=-= +- 介质中的电位移为 0r 0r r r (1)V D E d t εεεεεε== +- E ，D ，P ，的方向垂直于极板，由带正电荷的极板指向带负电荷的极板。 （2）极板上的电荷量为 0r r r (1)VS Q S DS d t εεσεε=== +- （3）极板和介质之间区域的场强为 r 000r r (1)V D E d t εσεεεε= == +- E 0的方向垂直于极板，由带正电荷的极板指向带负电荷的极板。 （4）此电容器的电容为 0r r r (1)S Q C V d t εεεε= = +- 10–26 半径为a ，b （a 1r εεα= +的非均匀电介质（ε0 与α为常数，r 是径向坐标）。电位移矢量D （r ）=ε E （r ）。内表面上有电荷Q ， 外表面接地， t 图10– 21 S t 图10-20 试计算： （1）a （3）a 解：（1）由电荷分布的球对称性及电介质的高斯定理 d i Q ?∑??S D S =得 24π,()D r Q a r b =<< 则 2 ,()4πQ D a r b r = << 写成矢量形式为 2 ,()4πr Q a r b r = < （2）由电位移矢量D (r )=ε E (r )，可得 2 2 0() (1)()4π4πr r r Q Q r r r r αε ε ε+= = D E = e e 内、外球电势差为 2 00(1) 11d d d (ln )4π4πb b b a a a Q r Q b V E r r a b a r ααεε+= ?= = = -+???E r 因此，系统电容为 04πln ab Q C b V b a ab a εα= =-+ （3）电极化强度 0r 0(1)()4πr Q r α εεεε=-=-=- P E E e （4）r =a 时，面极化电荷密度为 4πa Q P a α σ'=?=-=P n r =b 时，面极化电荷密度为 4πb Q P b α σ'=?==-P n 10–27 如图10-22所示，把原来不带电的金属板B 移近一块带有正电荷Q 的金属板A ，且两者平行放置。设两板面积均为S ，相距为d 。分别计算B 板接地和不接地两种情况下金属板间的电势差V A -V B 和电场能量W e 。 解：如果B 板接地，A ，B 两板可看成平行板电容器，其电容为 d S C 0ε= 由电容的定义Q C V = ，可得两板间的电势差为 图10-22 Q 0A B Q Qd V V C S ε-= = 两板间的电场能量为 22e 022Q Q d W C S ε== 如果B 板不接地，A ，B 板的两个表面上都带有电荷，如图10-23所示。由习题10–1可知，23q q -=，14q q =，又由电荷守恒定律 对A 板：12q q Q += 对B 板：340q q +=，即210q q -+=，可得 122Q q q == 342 Q q q =-=- 则A ，B 板之间的电场强度为 0001/22Q Q E S S σεεε= == 因此两板间的电势差为 02A B Qd V V Ed S ε-== 两板间的电场能量为 22 e e 00128Q d W w Sd E Sd S εε=== 10–28一平行板电容器极板面积为S ，接在电源上以保持电压为V ，使两极板间的距离由d 1缓慢拉开到d 2，必须对系统做多少功（不考虑损耗）？ 解：极板拉开前，平行板电容器的电容为 011 S C d ε= 能量为 22 0e111 1122S W C V V d ε== 极板拉开后，平行板电容器的电容变为 022 S C d ε= 能量为 22 0e222 1122S W C V V d ε== 因此，极板拉开后，电容器的静电能改变为 2012e e2e112 () 2SV d d W W W d d ε-?=-= 电源做的功为 A q 1 q 2 q 图10–23 2 122 0121212112 () d ()()Q Q SV d d A V q Q Q V C C V d d ε-= =-=-= ? 根据功能原理，外力与电源做功之和等于电容器能量的增量，即 12e W W W +=? 因此，拉力做功为 20122e 112 () 2SV d d W W W d d ε-=?-=- 10–29 计算半径为R ，电荷体密度为ρ的均匀带电球体的电场总能量。 解：对于半径为R ，电荷体密度为ρ的均匀带电球体，由于电荷分布具有球对称性，取与球体同心的球形高斯面，由高斯定理 20 1 d 4πin E r q ε?== ∑??S E S 求出场强分布。 球内（R r <），有 2310 1 4 4ππ3 E r r ρε= 10 ,()3r E r R ρε= < 球外（R r >），有 2320 1 4 4ππ3 E r R ρε= 3 22 0,()3R E r R r ρε= > 当R r <时，球体内的能量密度为 2222e101000 11()22318r r w E ρρεεεε=== 当R r >时，球体外的能量密度为 32622e2020240011()22318R R w E r r ρρεεεε=== 取半径为r ，厚度为d r 的球壳为体积元，如图10-24所示，其体积为2d 4πd V r r =，整个电场的能量为 22 26 25 2 2 e e 40000 4πd 4πd 4πd 181518R V R r R R W w V r r r r r ρρρεεε∞ ==+= ?? ? 10–30 如图10-25所示，圆柱形电容器由半径为R 1和R 3的两同轴圆柱导体面构成，且圆柱体的长度l 比半径R 2大得多，内外筒间充满相对电容率分别为εr1和εr2的均匀电介质，两层电介质的分界面半径为R 2。设沿轴线单位长度上内、外筒带电为+λ和－λ，求： （1）两介质中的D 和E ； （2）内外筒间的电势差； （3）电容C ； （4）整个电介质内的电场总能量。 R O r d r ρ 图10-24 习题二 一、选择题 1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r 和2r 的金属球壳。 设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为［ ］ （A ）200, 44Q Q E U r r εε= = ππ； （B ）01 0, 4Q E U r ε==π； （C ）00, 4Q E U r ε==π； （D ）020, 4Q E U r ε== π。 答案：D 解：由静电平衡条件得金属壳内0=E ；外球壳内、外表面分别带电为Q -和Q +，根据电势叠加原理得 00 0202 Q Q Q Q U r r r r εεεε-= + += 4π4π4π4π 2．半径为R 的金属球与地连接，在与球心O 相距2d R =处有一电量为q 的点电荷，如图所示。设地的电势为零，则球上的感应电荷q '为［ ］ （A ）0； （B ）2 q ； （C ）2q -； （D ）q -。 答案：C 解：导体球接地，球心处电势为零，即000044q q U d R πεπε'=+ =（球面上所有感应电荷到 球心的距离相等，均为R ），由此解得2 R q q q d '=-=-。 3．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ （A ）2 200,44r Q Q E D r r εεε= =ππ； （B ）22 ,44r Q Q E D r r ε==ππ； （C ）220,44Q Q E D r r ε==ππ； （D ）22 00,44Q Q E D r r εε==ππ。 答案：C 第十章 静电场中的导体和电介质 一 选择题 1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( ) 2 02 00π4 . D ) (π4 . C π4 . B π4 .A R) (a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势 ??'±'±='= ' = 'q q q R R q V 0d π41π4d 00 εε 点电荷q 在球心处的电势为 a q V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势a q V V V 00π4ε= '+=。 所以选（A ） 2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( ) 2 . D . C 2 . B 2 .A εd E= εE= E E σσεσ εσ= = 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0 εσ= E 。 所以选（C ） 3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d 第6章 静电场中的导体和电介质 一、选择题 1. 一个不带电的导体球壳半径为r , 球心处放一点电荷, 可测得球壳内外的电场．此后将该点电荷移至距球心r /2处, 重新测量电场．试问电荷的移动对电场的影响为下列哪一 种情况? [ ] (A)对球壳内外电场无影响 (B)球壳内外电场均改变 (C)球壳内电场改变, 球壳外电场不变 (D)球壳内电场不变, 球壳外电场改变 2. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 [ ](A)表面上电荷密度较大处电势较高(B)表面上曲率较大处电势较高 (C)表面上每点的电势均相等(D)导体内有电力线穿过 3. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 [ ](A)导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C)导体内的电势与导体表面的电势相等 (D)导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 4. 当一个带电导体达到静电平衡时 [ ](A)导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B)表面曲率较大处电势较高 (C)导体内部的电势比导体表面的电势高 (D)表面上电荷密度较大处电势较高 5. 一点电荷q 放在一无限大导体平面附近, 相距d , 若无限大导体平面与地相连, 则导体平面上的总电量是 [ ] (A) 2q (B)2 q -(C)q (D)q - 6. 在一个绝缘的导体球壳的中心放一点电荷q , 则球壳内、外表面上电荷均匀分布．若 使q 偏离球心, 则表面电荷分布情况为 [ ] (A)内、外表面仍均匀分布(B) 内表面均匀分布, 外表面不均匀分布 (C)内、外表面都不均匀分布 (D)内表面不均匀分布, 外表面均匀分布 7. 带电量不相等的两个球形导体相隔很远, 现用一根细导线将它们连接起来．若大球半径为m , 小球半径为n , 当静电平衡后, 两球表面的电荷密度之比σm ／σn 为 [ ] (A)n m (B)m n (C)22n m (D)22m n 8. 真空中有两块面积相同的金属板, 甲板带电q , 乙板带电Q ．现 将两板相距很近地平行放置, 并使乙板接地, 则乙板所带的电量为 [ ] (A)0(B)－q (C)2Q q +-(D)2 Q q + T6-1-1图 T6-1-5图 T6-1-8图 三、电场中的导体练习题 一、选择题 1．用一根跟毛皮摩擦过的硬橡胶棒，靠近不带电验电器的金属小球a（图1），然后用手指瞬间接触一下金属杆c后拿开橡胶棒，这时验电器小球A和金箔b的带电情况是[ ] A．a带正电，b带负电 B．a带负电，b带正电 C．a、b均带正电 D．a、b均带负电 E．a、b均不带电 2．在绝缘板上放有一个不带电的金箔验电器A和一个带正电荷的空腔导体B，下列实验方法中能使验电器箔片张开的是[ ] A．用取电棒（带绝缘柄的导体棒）先跟B的内壁接触一下后再跟A接触 B．用取电棒先跟B的外壁接触一下后再跟A接触 C．用绝缘导线把验电器跟取电棒的导体部分相连，再把取电棒与B的内壁接触 D．使验电器A靠近B 3．在一个导体球壳内放一个电量为＋Q的点电荷，用E p表示球壳外任一点的场强，则[ ] A．当＋Q在球壳中央时，E p＝0 B．不论＋Q在球壳内何处，E p一定为零 C．只有当＋Q在球心且球壳接地时，E p＝0 D．只要球壳接地，不论＋Q在球壳内何处，E p一定为零 4．一个不带电的空心金属球，在它的球心处放一个正点荷，其电场分布是图2中的哪一个[ ] 5．一带正电的绝缘金属球壳A，顶部开孔，有两只带正电的金属球B、C用金属导线连接，让B球置于球壳A的空腔中与内表面接触后又提起到图3位置，C球放A球壳外离A球较远，待静电平衡后，正确的说法是[ ] A．B、C球都带电 B．B球不带电，C球带电 C．让C球接地后，B球带负电 D．C球接地后，A球壳空腔中场强为零 6．如图4所示，把一个架在绝缘支架上的枕形导体放在正电荷形成的电场中，导体处于静电平衡时，下叙说法正确的是[ ] A．A、B两点场强相等，且都为零 B．A、B两点的场强不相等 D．当电键K闭合时，电子从大地沿导线向导体移动． 二、填空题 7．如图5所示，导体棒AB靠近带正电的导体Q放置．用手接触B端，移去手指再移去Q，AB带何种电荷______．若手的接触点改在A端，情况又如何______． 第六章静电场中的导体与电介质 6 －1 将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，则导体B的电势将（） （A）升高（B）降低（C）不会发生变化（D）无法确定 分析与解不带电的导体B相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A移到不带电的导体B附近时，在导体B的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A）。 6 －2 将一带负电的物体Ｍ靠近一不带电的导体Ｎ，在Ｎ的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体Ｎ的左端接地（如图所示），则（） （A）Ｎ上的负电荷入地（B）Ｎ上的正电荷入地 （C）Ｎ上的所有电荷入地（D）Ｎ上所有的感应电荷入地 分析与解 导体Ｎ 接地表明导体Ｎ 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体Ｎ 在哪一端接地无关。因而正确答案为（A ）。 6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d q v E 04,0πε= = （B ）d q v d q E 02 04,4πεπε= = （C ）0,0==v E （D ）R q v d q E 02 04,4πεπε= = 分析与解达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O点激发的电势为零，O点的电势等于点电荷q在该处激发的电势。因而正确答案为（A）。 6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( ) （A）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D）介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （Ｅ）介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关 姓名 __________ 学号 ____________ 《大学物理Ⅰ》答题纸第十章 一、选择题 [ B ］1（基础训练2 ）一“无限大”均匀带电平面A，其附近放一+σ2 与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B，如图所示．已知A上的 电荷面密度为+σ ，则在导体板B的两个表面1和2上的感生电荷面密度为：(A) σ 1 = - σ，σ 2 = + σ．(B) σ 1 = - (C) σ 1 = -11σ，σ 2 =+σ．22A11σ，σ 1 = -σ．(D) σ 1 = - σ，σ 2 = 0． 22 【提示】“无限大”平面导体板B是电中性的：σ 1S+σ 2S=0， 静电平衡时平面导体板B内部的场强为零，由场强叠加原理得： σσσ+1-2=0 2ε02ε02ε0 σσ 联立解得：σ1=-σ2= 22 [ C ]2（基础训练4）、三个半径相同的金属小球，其中甲、乙两球带有等量同号电 荷，丙球不带电。已知甲、乙两球间距离远大于本身直径，它们之间的静电力为F；现用带 绝缘柄的丙球先与甲球接触，再与乙球接触，然后移去，则此后甲、乙两球间的静电力为： (A) 3F / 4． (B) F / 2． (C) 3F / 8． (D) F / 4． 【提示】设原来甲乙两球各自所带的电量为q，则F=q2 4πε0r2； ?q??3q???3q3q24=F 丙球与它们接触后，甲带电，乙带电，两球间的静电力为：F'=244πε0r28 [ C ］3（基础训练6）半径为R的金属球与地连接。在与球心O相 距d =2R处有一电荷为q的点电荷。如图所示，设地的电势为零，则球上的感 生电荷q'为： (A) 0． (B) qq． (C) -． (D) -q． 22【提示】静电平衡时金属球是等势体。金属球接地，球心电势为零。球心电势可用电势叠加 法求得： q'dq'q1qq'qq+=0=-∴q'=-，，，其中d = 2R， dq'=- ??4πεR4πεdRd24πε0R04πε0d000 q' ［ C ］4（基础训练8）两只电容器，C1 = 8 μF，C2 = 2 μF，分 别把它们充电到 1000 V，然后将它们反接(如图所示)，此时两极板间的电 势差为： 姓名 __________ 学号 ____________ 《大学物理Ⅰ》答题纸第十章 (A) 0 V ． (B) 200 V． (C) 600 V． (D) 1000 V 【提示】反接，正负电荷抵消后的净电量为 Q=Q1-Q2=CU-C2U=(8-2)?10-6?1000=6?10-6C 1 这些电荷重新分布，最后两个电容器的电压相等，相当于并联。并联的等效电容为C'=C1+C2=10-5F，电势差为U'=Q=600(V)。 C' ［ B ］5（自测提高4）一导体球外充满相对介电常量为εr的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度σ0为 (A) ε0E．(B) ε0εrE ．(C) εrE．(D) (ε0εr-ε0)E 【提示】导体外表面附近场强E= σ0σ0，∴σ0=ε0εrE. =εε0εr ［ D ］6（自测提高5）一空心导体球壳，其内、外半径分别为R1和R2，带电荷q，如图所示。当球壳中心处再放一电荷为q的点电荷时，则导体球壳 的电势(设无穷远处为电势零点)为 (A) q 4πε0R14πε0R2 103 第八章 静电场中的导体和电介质 一、基本要求 1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。 2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。 3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。 4．了解电场能量、电场能量密度的概念。 二、本章要点 1．导体静电平衡 导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。 在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。 2．电位移矢量 在均匀各向同性介质中 E E D r εεε0== 介质中的高斯定理 ∑??=?i i s Q s d D 自 3．电容器的电容 U Q C ?= 电容器的能量 C Q W 2 21= 4．电场的能量 电场能量密度 D E w ?= 2 1 电场能量 ? = V wdV W 三、例题 8-1 下列叙述正确的有（Ｂ） （Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。 （Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。 104 （Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。 （Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。 （Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。 解：选（B ）。由高斯定理??∑=?0/εi i q s d E ，由 ∑=?=00φq ，但场强则 不一定为零，如上题。 （C ）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。 （D ）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。 （E ）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。 8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。 解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O 点的电势为 R Q U 0114πε- = 点电荷Ｑ2在球心的电势为 R Q R Q U 02 0221234πεπε= ?= 所以，O 点的总电势为 R Q Q U U U 01 2210123ε-= += 由于整个导体球壳为等势体，则 0U U A =R Q Q 01 2123ε-= 8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。 解：连接前，空心球电势R Q U 2401 1πε= ，所以带电量为 电场中的导体练习题 第4节电场中的导体 1.导体处于静电平衡时，下列说法正确的是( ) A．导体内部没有电场 B．导体内部没有电荷，电荷只分布在导体外表面 ．导体内部没有电荷的运动 D．以上说法均不对 答案：D 2．如图所示，某同学在桌上放两摞书，然后把一块洁净的玻璃板放在上面，使玻璃板离开桌面2～3，在宽约0.5的纸条上画出各种舞姿的人形，用剪刀把它们剪下，放在玻璃板下面，再用一块硬泡沫塑料在玻璃上回擦动，此时会看到小纸人翩翩起舞．下列哪种做法能使实验效果更好( ) A．将玻璃板换成钢板 B．向舞区哈一口气 ．将玻璃板和地面用导线连接 D．用一根火柴把舞区烤一烤 答案：D 3．每到夏季，我省各地纷纷进入雨季，雷雨等强对流天气频繁发生．当我们遇到雷雨天气时，一定要注意避防雷电．下列说法正确的是( ) ①不宜使用无防雷措施的电器或防雷措施不足的电器及水龙头 ②不要接触天线、金属门窗、建筑物外墙，远离带电设备 ③固定电话和手提电话均可正常使用 ④在旷野，应远离树木和电线杆 A．①②③B．①②④ ．①③④ D．②③④ 答案：B 解析：表面具有突出尖端的导体，在尖端处的电荷分布密度很大，使得其周围电场很强，就可能使其周围的空气发生电离而引发尖端放电．固定电话和手提电话的天线处有尖端，易引发尖端放电造成人体伤害，故不能使用．4．金属球壳原带有电荷，而验电器原不带电，如图所示，现将金属球壳内表面与验电器的金属小球相连，验电器的金属箔( ) A．不会张开 B．一定会张开 ．先张开后闭合 D．可能会张开 答案：B 5．(2009•长沙市一中高二检测)如图所示，棒AB 上均匀分布着正电荷，它的中点正上方有一P点，则P点的场强方向为( ) 第6章 静电场中的导体与电介质 一、选择题 1. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面上曲率较大处电势较高 (C) 表面上每点的电势均相等 (D) 导体内有电力线穿过 [ ] 2. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 (A) 导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C) 导体内的电势与导体表面的电势相等 (D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 [ ] 3. 当一个带电导体达到静电平衡时 (A) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 表面上电荷密度较大处电势较高 [ ] 4. 一个带正电的小球放入一个带等量异号电荷、半径为R 的球壳中，如图1所示．在距球心为r (R r <)处的电场与放入小球前相比将 (A) 放入前后场强相同 (B) 放入小球后场强增加 (C) 因两者电荷异号, 故场强减小 (D) 无法判定 [ ] 5. 设无穷远处电势为零, 半径为R 的导体球带电后其电势为V , 则球外离球心距离为r 处的电场强度大小为 (A) 23R V r (B) V r (C) 2RV r (D) V R [ ] 6. 有两个大小不等的金属球, 其大球半径是小球半径的两倍, 小球带有正电荷．当用金属细线连接两金属球后 (A) 大球电势是小球电势的两倍 (B) 大球电势是小球电势的一半 (C) 所有电荷流向大球 (D) 两球电势相等 [ ] 7. 在某静电场中作一封闭曲面S ．若有 ??=?s S D 0d ? ρ, 则S 面内必定 (A) 没有自由电荷 (B) 既无自由电荷, 也无束缚电荷 (C) 自由电荷的代数和为零 (D) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 [ ] 8. 有一空气球形电容器, 当使其内球半径增大到两球面间的距离为原来的一半时, 此电容器的电容为 (A) 原来的两倍 (B) 原来的一半 (C) 与原来的相同 (D) 以上答案都不对 [ ] 9. 一均匀带电Q 的球体外, 罩一个内、外半径分别为r 和R 的同心金属球壳，如图2所示．若以无限远处为电势零点, 则在金属球壳r ＜R ＇＜R 的区域内 q 图1 第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明： R r =21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以 半径为R 的导体球的电势为 R R V 0211π4επσ= 14εσR = 半径为r 的导体球的电势为 r r V 0222π4επσ= 24εσr = 用细导线连接两球，有21V V =，所以 R r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得 S S d E S ?+==??)(1 0320 σσε 故 +2σ03=σ 上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在A 部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022220 4 030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ= 3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为 = O V R q dq R 3π4π4100εε+ ? 03π4π400=+'= R q R q εε 故 - ='q 3 q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳带有电量Q 。 （1）求导体球和球壳的电势1V 和2V ； （2）如果将球壳接地，求1V 和2V ； （3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求1V 和2V 。 解：（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。 半径为R 、带电量为q 的均匀带电球面产生的电势分布为 ???????>≤=)( 4)( 400 R r r q R r R q V πεπε 导体球外表面均匀带电q ；导体球壳表面均匀带电q -，外表面均匀带电Q q +，由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳表面和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。 导体球是等势体，其上任一点电势为 )( 413 210 1R Q q R q R q V ++-= πε 球壳是等势体，其上任一点电势为 l. 一带电量为Q、半径为R1的金属球, 放在内、外半径分别为R2和R3的金属球壳内, 若用导线把球与球壳连接后，则金属球的电势. ( ) 2．A、B、C为带电导体表面上的三点, 如图所示, 静电平衡时, 比较三点的面电荷密度、电势及表面附近的场强，下述说法中错误的是：( ) 第十章静电场中的导体与电介质课后练习十九 3. 如图所示，两同心导体球壳，初始时刻给内球壳所带电量为+q，给外球壳所带电量为-2q。那么静电平衡时，外球壳的内表面所带电荷量为；外表面所带电荷量为。 4. 一真空中平板电容器，极板面积为S，极板间距为d，则电容C0 = ；当充入εr 的电介质，则电容 C = ；C与C0之比为。 5. 半径分别为R1和R2(R2＞R1)的两个同心导体薄球壳, 分别带电量Q1和Q2, 今将内球壳用细导线与远处的半径为r 的导体球相连, 导体球原来不带电, 试求相连后导体球所带电量q. 6. A、B、C 三个平行板面积均为200cm, A、B之间相距4mm,A、C 之间相距2mm,B、C 两板接地,若使A板带正电3.0×10-7C, 求(1) B、C 两板上的感应负电荷各为多少? (2) A板电势为多大? 第十章静电场中的导体与电介质课后练习十九 1. 一空气平行板电容器充电后与电源断开, 然后在两极板间充满各向同性均匀电介质, 则场强的大小E、电容C、电势差U、电场能量We 四个量各自与充入介质前相比较. 增大(用↑表示)或减小(用↓表示)的情形为( ) (A) E↓C ↑U ↑We ↑ (B) E↑C↓U ↓We ↑ (C) E↓C ↑U ↑We ↓ (D) E↓C↑U ↓We ↓ 2. 平行板电容器极板面积为S, 间距为d, 充电到电压U0 , 然后断开电源, 把相对电容率为εr的均匀电介质充满电容器的一半空间, 如图. 则两极板间电压变为 静电场中的导体和电解质习题、答案及解法 一．选择题 1.一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。在腔内离球心的距离为a 处放一点电荷q +，如图1所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤去。选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 [ D ] （A ） a q 02πε； （B ）0 ； （C ）R q 04πε-； （D ） ??? ??-R a q 1140πε。 参考答案：)1 1(4)11( 4400 2 0R a q a R q dl R q Edl V R a R a -=--===?? πεπεπε 2.三块互相平行的导体板之间的距离21d d 和比板面积线度小得多，如果122d d =外面二板用导线连接，中间板上带电。设左右两面上电荷面密度分别为21σσ和，如图2所示，则21σσ为 （A ）1 ； （B ）2 ； （C ）3 ；（D ）4 。 [ B ] 解：相连的两个导体板电势相等2211d E d E =，所以202101d d εσεσ= 12 21d d =σσ 3.一均匀带电球体如图所示，总电荷为Q +，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r ,2r 的金属球壳。设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势分别为 [ B ] （A ） 2 04r q πε，0 ； （B ）0， 2 04r q πε ； （C ）0，r q 04πε ； （D ）0，0 。 1 r 2 r O P Q +q +a O R 1 d 2 σ2 d 1 σ 参考答案：??? ? ??= ??? ? ? ?-∞-==?+?=?=????∞ ∞∞2 020 201 411441 22 2 r Q r Q dr r Q l d E l d E l d E U r r r r p p πεπεπε 4.带电导体达到静电平衡时，其正确结论是 [ D ] （A ） 导体表面上曲率半径小处电荷密度较小; （B ） 表面曲率较小处电势较高; （C ） 导体内部任一点电势都为零; （D ） 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。 参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势面。 5.两个同心薄金属球壳，半径分别为） （和2121R R R R <，若内球壳带上电荷Q ，则两者的电势分别为2 21 14R 4R Q V Q V πεπε= = 和，（选无穷远处为电势零点）。现用 导线将两球壳相连接，则它们的电势为 [ D ] （A ）1V （B ）()2121V V + （C ）21V V + （D ）2V 参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势 面。 6.当平行板电容器充电后，去掉电源，在两极板间充满电介质，其正确的结果是[ C ] （A ） 极板上自由电荷减少 （B ） 两极板间电势差变大 （C ） 两极板间电场强度变小 （D ） 两极板间电场强度不变 10-1 如题图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ，设无限远处为电势零点。试求： (1) 球壳内外表面上的电荷； (2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势； (3) 球心O 点处的总电势。 习题10-1图 解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q 。 (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为 0d 4q q U a πε-= ?a q 04επ-= (3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和 q Q q q O U U U U +-++= 04q r πε= 04q a πε- 04Q q b πε++ 01114()q r a b πε=-+04Q b πε+ 10-2 有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷，如题图(a)所示。试求： (1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布(参考题图(b))； (2) 面上感生电荷的总电荷(参考题图(c))。 习题10-2图 解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O 为原点，取平面上任意点P ，P 点距离原点为r ，设P 点的感生电荷面密度为 ． 在P 点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理， ()22 0cos 024P q E r b θσ επε⊥= +=+ ∴ () 2 /32 22/b r qb +-=πσ (2) 以O 点为圆心，r 为半径，d r 为宽度取一小圆环面，其上电荷为 ( ) 32 2 2d d d //Q S qbr r r b σ==-+ q Q a b O r 第十章 静电场中的导体和电介质 一 选择题 1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( ) 20200π4 . D )(π4 . C π4 . B π4 .A R)(a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势 ??'±'±='='='q q q R R q V 0d π41π4d 0 0εε 点电荷q 在球心处的电势为 a q V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势a q V V V 00π4ε='+=。 所以选（A ） 2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为 ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( ) 00002 . D . C 2 . B 2 .A εd E=εE=E E σσεσεσ== 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且 高斯面内电荷为S 2σ，可得 0εσ=E 。 所以选（C ） 3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d 练习六 静电场中的导体 一、选择题 1. 以下说法中正确的是 (A ) 电场强度相等的地方电势一定相等。 (B ) 电势梯度绝对值大的地方场强的绝对值也一定大。 (C ) 带正电的导体上电势一定为正。 (D ) 电势为零的导体一定不带电。 2. 以下说法中正确的是 (A ) 场强大的地方电位一定高。 (B ) 带负电的物体电位一定为负。 (C ) 场强相等处电势梯度不一定相等。 (D ) 场强为零处电位不一定为零。 3. 如图所示，真空中有一点电荷Q 及空心金属球壳A ，A 处于静电平衡，球内有一点M ，球壳中有一点N ，以下说法正确的是 ?Q q (A ) E M ≠ 0，E N = 0，Q 在M 处产生电场，而在N 处不产生电场。 (B ) E M = 0，E N ≠ 0，Q 在M 处不产生电场，而在N 处产生电场。 (C ) E M = E N = 0，Q 在M 、N 处都不产生电场。 (D ) E M ≠ 0，E N ≠ 0，Q 在M 、N 处都产生电场。 (E ) E M = E N = 0，Q 在M 、N 处都产生电场。 4. 如图所示，原先不带电的金属球壳的球心处放一点电荷q 1，球 外放一点电荷q 2，设q 2、金属内表面的电荷、外表面的电荷对q 1的 作用力分别为1F v 、2F v 、3F v ，q 1受的总电场力为F v ，则 (A ) F 1 = F 2 = F 3 = F =0。 (B ) F 1 = q 1q 2/(4πε0d 2)，F 2 = 0，F 3 = 0，F = F 1。 (C ) F 1 = q 1q 2/(4πε0d 2)，F 2 = 0，F 3 = ? q 1 q 2 /(4πε0d 2)(即与1F v 反向)，F = 0。 (D ) F 1 = q 1q 2/(4πε0d 2)，与 2F v 3F v 的合力与1F v 等值反向，F = 0。 (E ) F 1= q 1q 2 /(4πε0d 2)，F 2 = ? q 1q 2/(4πε0d 2)(即与1F v 反向)，F 3 = 0，F = 0。 5. 如图所示，一导体球壳A ，同心地罩在一接地导体B 上，今给A 球带负电?Q ，则B 球 Q (A ) 带正电。 (B ) 带负电。 (C ) 不带电。 (D ) 上面带正电，下面带负电。 6. A 、B 是两块不带电的导体，放在一带正电导体的电场中，如图所示。设无限远处为电势零点，A 的电势为 U A ，B 的电势为U B ，则： (A ) U B > U A ≠ 0。 (B ) U B < U A = 0。 (C ) U B = U A 。 (D ) U B < U A 。 7. 半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远。用一根长导线将两球连接，并使它们带电。在忽略导线影响的情况下，两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为： (A ) R /r 。 一、选择题 [ B ］1（基础训练2） 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它 平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷 面密度为+σ ，则在导体板B 的两个表面 1和2上的感生电荷面密度为： (A) σ 1 = - σ， σ 2 = + σ． (B) σ 1 = σ21- ， σ 2 =σ2 1 +． (C) σ 1 = σ21- ， σ 1 = σ2 1 -． (D) σ 1 = - σ， σ 2 = 0． 【提示】“无限大”平面导体板B 是电中性的：σ 1S+σ 2S=0， 静电平衡时平面导体板B 内部的场强为零，由场强叠加原理得： 02220 2010=-+εσεσεσ 联立解得： 122 2 σ σ σσ=- = [ C ］2（基础训练6）半径为R 的金属球与地连接。在与球心O 相距d =2R 处有一电荷为q 的点电荷。如图所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷q ' 为： (A) 0． (B) 2q ． (C) -2 q ． (D) -q ． 【提示】静电平衡时金属球是等势体。金属球接地，球心电势为零。球心电 势可用电势叠加法求得： 000'044q dq q R d πεπε' +=?， 00' 01'44q q dq R d πεπε=-?， 'q q R d =-，其中d = 2R ，'2q q ∴=- ［ C ］3（基础训练8）两只电容器，C 1 = 8 μF ，C 2 = 2 μF ，分别把 它们充电到 1000 V ，然后将它们反接(如图所示)，此时两极板间的电势差 为： (A) 0 V ． (B) 200 V ． (C) 600 V ． (D) 1000 V 【提示】反接，正负电荷抵消后的净电量为 661212(82)101000610Q Q Q C U C U C --=-=-=-??=? 这些电荷重新分布，最后两个电容器的电压相等，相当于并联。并联的等效电容为 512C'10C C F -=+=，电势差为'600()' Q U V C = =。 ［ D ］4（基础训练10）两个完全相同的电容器C 1和C 2，串联后与电源连接。现将一各向同性均匀电介质板插入C 1中，如图所示，则(A) 电容器组总电容减小． (B) C 1上的电荷大于C 2上的电荷． (C) C 1上的电压高于C 2上的电压 ．(D) 电容器组贮存的总能量增大． 【提示】(A) C 1↑，1/C=(1/C 1)+(1/C 2)，∴C ↑ (B) 串联，Q 1=Q 2 (C) U 1=Q/C 1，U 2=Q/C 2 ，∴U 1 第十章静电场中的导体和电介质§10-1 静电场中的导体 一、导体的静电平衡 1、金属导体的电结构及静电感应 （1）金属导体：由带正电的晶格和带负电的自由电子组成. 带电导体：总电量不为零的导体； 中性导体：总电量为零的导体； 孤立导体：与其他物体距离足够远的导体. “足够远”指其他物体的电荷在该导体上激发的场强小到可以忽略. （2）静电感应过程：导体内电荷分布与电场的空间分布相互影响的过程. （3）静电平衡状态：导体中自由电荷没有定向移动的状态. 2、导体静电平衡条件 （1）从场强角度看： ①导体内任一点，场强； ②导体表面上任一点与表面垂直. 证明：由于电场线与等势面垂直，所以导体表面附近的电场强度必定与该处表面垂直. 说明：①静电平衡与导体的形状和类别无关. ②“表面”包括内、外表面； （2）从电势角度也可以把上述结论说成：静电平衡时导体为等势体. ①导体内各点电势相等； ②导体表面为等势面. 证明：在导体上任取两点A，B，.由于=0，所以. （插话：空间电场线的画法. 由于静电平衡的导体是等势体，表面是等势面.因此，导体正端发出的电场线绝对不会回到导体的负端.应为正电荷发出的电场线终于无穷远，负电荷发出的电场线始于无穷远.） 二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布 如图所示，导体电荷为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为： 导体静电平衡时其内， ， 即. S面是任意的，导体内无净电荷存在. 结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上. 2、导体内有空腔时电荷分布 （1）腔内无其它电荷情况 如图所示，导体电量为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为： 第九章 静电场中的导体 9.1 选无穷远处为电势零点，半径为R 的导体球带电后，其电势为U 0，则球外离球心距离为r 处的电场强度的大小为 (A) 3 2r U R ． (B) R U 0． (C) 2 0r RU ． (D) r U 0 ． ［ C ］ 9.2如图所示，一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ ，则板的两侧离 板面距离均为h 的两点a 、b 之间的电势差为： (A) 0． (B) 2εσ ． (C) 0εσh ． (D) 0 2εσh ． ［ A ］ 9.3 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ．在腔内离球心的距离为d 处( d < R )，固定 一点电荷+q ，如图所示. 用导线把球壳接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 (A) 0 ． (B) d q 04επ． (C) R q 04επ-． (D) )1 1(4 R d q -πε． ［ D ］ 9.4 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分布．如果将此 点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： (A) 球壳内、外场强分布均无变化． (B) 球壳内场强分布改变，球壳外不变． (C) 球壳外场强分布改变，球壳内不变． (D) 球壳内、外场强分布均改变． ［ B ］ 9.5在一个孤立的导体球壳内，若在偏离球中心处放一个点电荷，则在球壳内、外表面上将出现感应电荷，其分布将是： (A) 内表面均匀，外表面也均匀． (B) 内表面不均匀，外表面均匀． (C) 内表面均匀，外表面不均匀． (D) 内表面不均匀，外表面也不均匀． ［ B ］ 9.6当一个带电导体达到静电平衡时： (A) 表面上电荷密度较大处电势较高． (B) 表面曲率较大处电势较高． (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高． (D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零． ［ D ］ 9.7如图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷． (2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． (3) 球心O 点处的总电势． 解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q ． (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为 a dq U q 04επ= ?-a q 04επ-= (3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和 q Q q q O U U U U +-++= r q 04επ= a q 04επ- b q Q 04επ++ )111(40b a r q +-π=εb Q 04επ+ 9.8有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷．如图所示，试求： (1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布． (2) 面上感生电荷的总电荷．静电场中的导体和电介质习题详解
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