初
一
上
册
数
学
培
优
讲
义
教师：
学生：
目录
第一讲正数与负数、有理数的概念 (3)
第二讲有理数的加减 (7)
第三讲有理数的乘除、乘方 (11)
第四讲有理数的的混合运算 (15)
第五讲整式的加减 (19)
第六讲解一元一次方程（一） (23)
第七讲解一元一次方程（二） (27)
第八讲实际问题与一元一次方程（一） (31)
第九讲实际问题与一元一次方程（二） (35)
第十讲图形的初步认识（一） (39)
第十一讲图形的初步认识（二） (43)
第十二讲有理数与整式的复习 (47)
第十三讲一元一次方程复习 (51)
第十四讲期末复习 (55)
第一讲 正数与负数、有理数的概念
考试目标解读
1、正数和负数：
（1）负数的定义：在正数前面加上的数叫做负数。▲特殊数字0 （2）通常在日常生活中用正数和负数表示 的两种量。 （3）用正负数表示加工允许误差。 2、有理数：
（1）有理数的定义： 。 （2）分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 正整数
整数 0 正有理数 负整数 正分数
有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数
分数 负有理数
负分数 负分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 ⑤ a ＞0时，a 是正数；a ＜0时，a 是负数；
a ≥0时，a 是正数或0,即非负数；
a ≤0时，a 是负数或0,即非正数.
3、数轴
（1）数轴的定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 （2）数轴的三要素： 、 、 。 4、相反数
（1）只有 不同的两个数叫做互为相反数。
（2）一般地，a 的相反数是 ，0的相反数是 。 （3）相反数的性质：互为相反数的两数 。 5、绝对值
（1）定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值。 （2）正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 。 （3）绝对值的性质： ①有理数的绝对值是一个非负数，即最小的绝对值是零；
②两个互为相反数的绝对值相等，即a a -=.
（4）两个数比较大小的方法：
根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较，数轴上的数从左到右是逐渐 。 异号两数比较大小：正数 0,0 负数，正数 负数; 同号两数比较大小：两个负数，绝对值大的 。
一．典型例题
考点一、考查有理数的有关概念：
例1.（1）如果向东走3米记作+3米，那么向西走5米记作 米。
（2）把下列各数填入表示它所在的数集中：16,0.618, 3.14,260,2008,,0.21,5%37
-----。
整数集{ } ;分数集{ }; 负数集{ };有理数集{ }
例2．（1）化简－（－2）的结果是（ ）
A ．－2
B ．2
1
-
C ．21
D ．2
考点二、考查数轴、相反数、倒数的概念： 例3．（1）2的相反数是（ ）
A ．2-
B ． 2
C ．12
-
D ．
12
（2）若实数a 、b 互为相反数，则下列等式中恒成立的是（ ） A .0a b -= B .0a b += C.1ab = D. 1ab =- 例4．2-的倒数是（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．2
D ．2-
例5.（1）点A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图所示，其中表示－2的相反数的点是
（2）如图1，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有 A ．D 点
B ．A 点
C ．A 点和
D 点
D ．B 点和C 点
考点三、考查绝对值的有关运算： 例6．
21
-的值是（ ）
A ．2
1
-
B ．21
C ．2-
D ．2
例7.若2
3(2)0m n -++=，则2m n +的值为（ ） A ．4-
B ．1-
C ．0
D ．4
图1
A B C D
考点四、有理数大小的比较：
例8.（1）． 在2-、0、1、3这四个数中比0小的数是（ ）
A ．2-
B ．0
C ．1
D ．3
（2）实数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，则a 与b 的大小关系是（ ）
A ．a > b
B ． a = b
C ． a < b
D ． 不能判断
二．课堂练习
一、填空题
1．-2.5的相反数是______________，绝对值是______________。
2．最小的正整数是____________，最大的负整数是____________，绝对值最小的数是____________。 3．化简-[-（-2002）]= ____________，-（-3.14）=____________，4
3
-
-__________。 4．a 的相反数是-11，那么
=a
1
______。若3是x 的相反数，那么x =_______，)(3x -?=_________。
5．相反数大于-4的正整数是__________，绝对值不大于2的整数是__________。
6．一个数的绝对值与它的相反数相等，这个数为__________，一个数的相反数大于它的本身， 这个数为__________。
7．若两个数的绝对值相等，这两个数可能是__________。 8．若一个数的相反数不小于零，那么这个数为__________。 9．若|-m|=-（-0.3），那么m=__________。
10．在数轴上点B 表示数-3，那么与B 点相距4个单位长度的点表示的数是__________。 二、解答题
11．在数轴上画出表示下列各数的点，再按从小到大的顺序，用“＜”号连接起来。 4，2
1
3-，|-0.5|，-1，0
图1
三．课后练习
一、选择题
1. 下列各数不是正数的是（ ） A. 3.5
B. +7
C. +5.3
D. －5.6
2. 在数轴上表示数－3，0，5，2，5
2
的点中，在原点右边的有（ ） A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
3. 一个数的绝对值是正数，则这个数是（ ） A. 正数； B. 不等于零的有理数； C. 任意有理数； D. 非负数.
4. 比较－2，2
1
-，0，0.02的大小，正确的是（ ） A. －2<21-
<0<0.02 B. 21-<－2<0<0.02 C. －2<21-<0.02<0 D. 0<2
1
-<－2<0.02 5. 如果a ＜0，那么 （ ）
A. ｜a ｜＜0
B. －（－a ）＞0
C. ｜a ｜＞0
D. －a ＜0
6. 若a 、b 为有理数，那么下列结论中一定正确的是（ ） A. 若a ＜b ，则|a |＜|b|
B. 若a ＞b ，则|a |＞|b|
C. 若a ＝b ，则|a |＝|b|
D. 若a ≠b ，则|a |≠|b|
7、如果｜a ｜＝｜
b
1
｜，那么a 与b 之间的关系是 （ ） A. a 与b 互为倒数 B. a 与b 互为相反数 C. a ·b ＝－1 D. a ·b ＝1或a ·b ＝－1 8、若023=++-n m ，则n m 2+的值为（ ） .A. 4- B. 1- C. 0 D. 4 二、解答题
1、已知3=a ，4=b ,且a b <，求a 、b 的值.
2、已知0212=-+-y x ，求代数式y x 23+的值。
第二讲 有理数的加减
考试目标解读
有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与零相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a b b a +=+
⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：
⑴当b >0时，a b a >+ ⑵当b <0时，a b a <+ ⑶当b=0时，a b a =+ 4.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：)(b a b a -+=-。 5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。
一．典型例题
例1、计算：
（1）)4
32()413(-+- （2）()??
? ??++-5112.1
（3）)43(31-+ （4）)7
52()723(-+；
例2、计算:
（1）)2()6()8()20()15(++-+++-++ （2）)8
19()125.0()5.2()712()25()72
(-+-+++-+-++
例3、简便运算
(1)())23()1()15()18(33+++--+--- (2))8.4()6.2()8.3()2.5()6.6(+--+---++
(3) 872152432153-+-+--
(4) )25.1()3
2
10()813()433()125.0(+----+--+
二．课堂练习
一、有理数加减混合运算过关题：
1、)2.0(3.1)8.1()9.0()7.0(-++-+-+
2、)2
1
5(75.2433
)5.0(-+++-
3、105.66.43.3+-+-
4、2.44.58.16.0+-+-
5、)9
8
10(9.99810)9.9(-+++- 6、75.19)25.4(25.3)75.20(+-+--
三．课后练习
有理数加减混合运算：
1、)10()4()5()7(---++--
2、104.87.52.4+-+-
3、15)7()8(12-----
4、)6(5.7)9.8(7.4-+---
5、61
436541+-+- 6、)12(24)19(2870--+---
7、)5.7(8.24.53.3---+- 8、)5()9()27()23(-+++-++
9、)7()5()3()20(+---++- 10、20)37(5023+-++-
第三讲 有理数的乘除、乘方
考试目标解读
有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a ·
a
1
=1（a ≠0），就是说a 和
a 1互为倒数，即a 是a 1的倒数，a
1
是a 的倒数。 3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：即ba ab = ⑵乘法结合律：即)()(bc a c ab = ⑶乘法分配律：即ac ab c b a +=+)( 4.有理数的除法法则
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0
有理数的乘方
1.乘方的概念：
求n 个相同因数的 的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 ，在n
a 中， 叫做底数，n 叫做指数。
2.有理数的乘方法则（重点）
1、负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 。
2、正数的任何次幂都是 ，
3、0的任何正整数次幂都是
3.科学记数法：把绝对值大于10的数表示成a ×10n
的形式（其中a 是整数位只有一位数的整数，n 为正整数），这种记数法叫做科学记数法。 4.近似数与准确数、精确度（难点）
1、近似数的概念：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，精确度：近似数和准确数的近似程度可以用精确度来表示，例如：∏≈3.14（精确到0.01,或叫做精确到百分位）。
2、有效数字的概念：从一个数的 边第一个非0数字起，到 止，所有数字都是这个数的有效数字。
一．典型例题例1、.计算:
(1)
3
8
4
??
-?
?
??
; (2)
1
2(6)
3
??
-?-
?
??
; (3)
3
8(4)2
4
??
?-?--
?
??
;
(4)
3
8(4)(2)
4
-?-?-; (5)
3
8(4)(2)
4
??
?-?-?-
?
??
.
例2、计算
(1)
111111
111111
234567????????????-?-?-?---?-
? ? ? ? ? ?????????????
;
(2)
111111 111111 223344????????????-?+?-?+?-?+
? ? ? ? ? ?????????????
.
例3、计算
(1)[])5()3()11()1155(-?+?-÷-; (2)375÷2332????
-÷- ? ?????
;
(3) 1213(5)6(5)33?
???-÷-+-÷- ? ?????. (4) 111382????
-÷--÷- ? ?????
;
例4、求下列各式的值：
(1)当a =2-，b =1-时，求代数式2
3
)2(2)2(3b a b a +---的值.
(2)a =-2
1
，b =4 ，求代数式b a ab b a 3322)(2)2(+--
的值.
.
例5、（1）计算木星的质量得1901.64×1021吨，用科学记数法表示它的近似值（保留两个有效数字）
为 ×1024.
（2）地球离太阳约有一亿五千万千米，用科学记数法可记为 千米.
二．课后练习
1.选择题 (1).－
4
1
的倒数是( ) A 、 4 B 、 41 C 、 -4 D 、 -4
1
(2)．下列各式积为负数的是（ ）
A 、)5.5()4()3(+?-?-
B 、)5.5(43+?-?-
C 、)5.5()4()3(-?-?-
D 、0)4()3(?-?-
(3). 如果两个有理数的和是正数，积是负数，那么这两个有理数（ ）
A 、都是正数.
B 、都是负数.
C 、绝对值大的那个数是正数，另一个是负数.
D 、绝对值大的那个是负数，另一个是正数.
(4).有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,下列各式正确的是( )
A.0<+b a
B.0<-b a
C.0 D.a b >|| (5).三个数的积为正数，那么这三个数中负因数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 2.计算题 （1）、)63()212917 4 (-?+- （2） 、)41(50125.02581150-?+?-?? ? ??-?- （3）、651517÷（-123)(17)1317+-÷（-12)13 （4）、22 21 227)317713()713(??-?+ （5）、)2 1 (75212 )75()75(213-?-?---? （6）、()48)12 1 6141 (-?-+ 第四讲 有理数的的混合运算 考试目标解读 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 一．典型例题 1 .2)3(2 ?-- 2. )3 1 ()21(54)32(21-+-++-+ 3. ??? ? ? -+++-21575.2414)5.1( 4. 63)5(8--?- 5.3 )21(54-?- 6. 6.0)9.4(65)5 2(---?? ? ??- +- 7. ? ? ? ??-?÷-525)10(2 8. 23 )53()5(-?- 9. )8()4()6(52 -÷---? 10.)22 1()76(412-÷-? 11.)2()5 235016(-÷+-- 12.5)4()2(8)6(2 3?----?- 13. )23232(21)2 1(2 --?+- 14.3 1 )5.01(11997?--- 15.??? ?????-??? ??-?-?-2323232 2 16. 0)132 ()43(2?+-+- 17.[ ] 2 4 )3(23 1)5.01(1--??--- 18.1694)25.2()81(÷?? ? ??-?+÷- 19.2782411)813318(833?÷-? 20.8 71 761651541?+ ?+?+? 三．课后练习 1、13)18()14(20----+- 2、()()()3914512---+-- 3、(－431)－［(－431)－(－33 2 )］ 4、()()()81065-?-??- 5、)2()2 1 ()2(-?-÷- 6、48245834132???? ? ?+-- 7、()332 2)2(222-+---- 8、3 3514 (1)(8)(3)[(2)5]217 ---? +-÷-+ 第五讲 整式的加减 考试目标解读 一．知识框架 二.知识回顾梳理： 1.单项式：对数字和若干个字母施行有限次乘法运算，所得的代数式叫做单项式．单独一个数或一个字母也是单项式． 2.系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 4.多项式：几个单项式的和叫做多项式． 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 6.常数项：多项式中，不含字母的项叫做常数项． 7.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． 8.整式单项式和多项式统称整式。 9.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．常数项都是同类项． 10.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 11.去括号法则 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号； 括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号． 12.整式的加减 整式加减的一般步骤：1.如果遇到括号，按去括号法则先去括号； 2.合并同类项． 一．典型例题 考点一、考查整式的有关概念 1、代数式23 5 6y xy x +- 中共有 项， 36x 的系数是 ，5xy -的系数是 ，2y +的系数是 . 2、在代数式2635842 2 -+-+-x x x x 中，2 4x 和 是同类项，x 8-和 是同类项， 2-和 也是同类项,合并后是 .3、若y x n 2 1与m y x 3是同类项，则=m ，=n . 考点二、去括号、化简绝对值