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解三角形经典例题

解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

【典型题剖析】

考察点1：利用正弦定理解三角形例1

在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.

【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。

解：

::1:2:3,A .,,,

13::sin :sin :sin sin

:sin

::11:3:2.63222A B C B C A B C a b A B C ππ

=++=∴=

∴===

=而

【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。

例2在ABC 中，已知c=2+6，C=30°，求a+b 的取值范围。

【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。

解：∵C=30°，c=2+6，∴由正弦定理得：26,

sin sin sin sin 30a b c A B C +===?

∴ a=2(2+6)sinA,b=2(2+6)sinB=2(2+6)sin （150°-A ）.

∴a+b=2(2+6)[sinA+sin(150°-A)]= 2(2+6)·2sin75°·cos(75°-A)=

(

+ cos(75°-A)

① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值()

+=8+43； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，

∴＞

(

+ cos75°=(

)

+×62

4-=2+6.

综合①②可得a+b 的取值范围为(2+6,8+43> 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状

例3

在△ABC 中，2

a ·tanB=2

b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。

【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得：

()

()2

sin sin 2R sin 2R sin cos cos B A A B B A ?

=?,

sin cos sin cos ,A A B B ∴=

即sin 2sin 2A B =，2222A B A B π∴=+=或，

2A B A B π

∴=+=

或.

∴ABC 为等腰三角形或直角三角形。

【解题策略】“在△ABC 中，由sin 2sin 2A B =得∠A=∠B ”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B 或∠

A+∠B=2π

”的导出过程。

例4

在△ABC 中，如果lg lg lgsin lg 2a c B -==-，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC 的形状。

解：

2lgsin lg 2,sin 2B B =-∴=

又∵B 为锐角，∴B=45°.

由

2lg lg lg 2,.2c a c a -=-=得

由正弦定理，得sin 2sin 2A C

, ∵18045,A C =?-?-代入上式得：

()

2sin 2sin 135C C =?-

()2sin135cos cos135sin C C =?-?

2cos 2sin ,C C =+

cos 0,90,45.C C A ∴=∴=?∴=? ABC ∴为等腰直角三角形。

考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式

例5

在△ABC 中，求证222222

cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A ---++=+++.

【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将222

a b c ，，转化为

222sin ,sin ,sin A B C . 证明：由正弦定理的变式a 2sin ,2sin R A b R B ==得：

2222224sin 4sin =

cos cos cos cos a b R A R B

A B A B --++ 2224[cos cos ]cos cos R A B =

+（1-A ）-(1-B)

222(cos cos )

4(cos cos )

cos cos B A R B A A B -==-+

同理22

222

24(cos cos ),

cos cos 4(cos cos ).

cos cos b c R C B B C c a R A C C A -=-+-=-+

2=4(cos cos cos cos cos cos )0R B A C B A C ∴-+-+-==∴左边右边等式成立。

【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。例6

在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，C=2B ，求证22

c b ab -=.

【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用. 证明：

180,180.A B C B C A ++=?∴+=?-

2,.C B C B B =∴-=又

sin()sin(180)sin ,B C A A +=?-=

2222222224(sin sin )

4(sin sin )(sin sin )

42sin cos 2cos sin

2222

4sin()sin()4sin sin .c b R C B R C B C B B C C B B C C B

R R C B C B R A B ab ∴-=-=+-+-+-=????=+-===∴右边等式成立.

【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。

,,,2222

222.

A B C

A B C A B C A B C ππππ+++=+=-=-+=-（1）

(2)sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .

A B C A B C A B C +=+=-+=-

(3)sin cos ,cos sin ,tan 22222

cot .2

A B C A B C A B

+++===

(4)sin(22)sin 2,cos(22)cos 2,tan(22)tan 2.A B C A B C A B C +=-+=+=-

考察点4：求三角形的面积例7

在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边，若252,,cos

25B a C π

=,求△ABC 的面积S.

【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c ，再求面积。

解：由题意

cos

25B =

，得

23cos 2cos 1,25B B =-= ∴B 为锐角，

4372

sin ,sin sin()sin(),

5410B A B C B ππ∴==--=-= 由正弦定理得

10,7c =

111048sin 2.22757S ac B ∴=

=???=

【解题策略】在△ABC 中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，

,sin()sin ,cos()cos ;sin 2A B A B C A B C A B C π+++=+=+=-=

cos

,cos sin .222C A B C

例8

已知△ABC 中a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且3C π

, 求△ABC 的面积S 的最大

值。

【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。

解：

sin 2sin 2sin sin 22ABC

ab C R A R B C =

33sin sin [cos()cos()]2R A B R A B A B ==

--+

231

[cos()].22R A B =

cos()1,A B A B -==当即时，

2max 3333

()144108 3.44ABC S

R =

【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。

考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9

已知△ABC 的内角A,B 极其对边a,b 满足cot cot ,a b a A b B +=+求内角C

【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。解法1：

cot cot ,2sin sin a b

a b a A b B R A B +=+==且

（R 为△ABC 的外接圆半径），

sin cos cos sin ,1sin 21cos 2.A A B B A B ∴-=-∴-=-

cos 2cos 20A B ∴-=

sin 2sin 22cos()sin().cos()sin()0,cos()0sin()0.

A B A B A B A B A B A B A B -=+-∴+-=∴+=-=又或

又∵A,B 为三角形的内角，

A B A B π

∴+=

=或

2A B C π

当时，；

当A B =时，由已知得

cot 1,,.4

2A A B C π

=∴+=

∴=

综上可知，内角2C π

解法2：

由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得，

sin sin =cos cos A B A B ++， sin cos cos sin A A B B -=-，

从而

sin cos

cos sin

sin cos

4A A B B π

-=-

即sin()sin().

44A B ππ

-=-

又∵0＜A+B ＜π，

A B π

∴-

2A B C π

∴+=

∴=

【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。

例10

在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,且c=10,cos 4

cos 3A b B a ==

，求a,b 及△ABC 的内切圆半径。

【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。

解：

cos cos sin ,=,cos cos sin A b A B

B a B A =由

可得

变形为sin cos sin cos ,sin 2sin 2A A B B A B =∴=

又

,22,,

2a b A B A B π

π≠∴=-∴+=

∴△ABC 是直角三角形。

由2221043,a b b a ?+=?

?=??解得6,8.a b ==

6810

222a b c ABC +-+-∴==的内切圆半径为r=

【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。

------------------------------------------

『易错疑难辨析』

易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解

【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例1

（1）在△ABC 中，23,6,30,;a b A B ===?求（2）在△ABC 中，23,2,60,;a b A B ===?求【错解】

（1）由正弦定理得

sin sin303

sin 6,60223A B b B a ?=?

=?=∴=?

（2）由正弦定理得

sin sin 601

sin 2,30150223A B b B a ?=?

=?=∴=??或

【点拨】（1）漏解，由

sin 2B =

（0°＜B ＜180°）可得60120B =??或因为b ＞a,所以两解都存在。（2）增解。由

sin 2B =

（0°＜B ＜180°）可得30150B =??或，因为b ＜a,根据三角形中大边对大角可知B ＜A,所以150B =?不符

合条件，应舍去。【正解】

（1）由正弦定理得sin sin 303

sin 6.223A B b a ?=?

=?=

又∵0°＜B ＜180°

60120B ∴=??或（经检验都符合题意）

（2）由正弦定理得

sin sin 601

sin 2.223

A B b a ?=?

=?=

又∵0°＜B ＜180°30150B ∴=??或 ∵b ＜a,根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，

150B ∴=?不符合条件，应舍去，30B ∴=?。

易错点忽略三角形本身的隐含条件致错

【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误。例2

在△ABC 中，若3,C B =求c

b 的取值范围。

【错解】由正弦定理得

sin sin 3sin(2)=sin sin sin c C B B B b B B B +== sin cos 2cos sin 2sin B B B B B +=

22cos 22cos 4cos 1.B B B =+=-

220cos 114cos 13,03c

B B b ≤≤∴-≤-≤∴≤

≤

【点拨】在上述解题过程中，得到了2=4cos 1

B b -后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的,,A B

C 均为正角这一条

件。

【正解】

由正弦定理可知

sin sin 3sin(2)=sin sin sin c C B B B b B B B +== sin cos 2cos sin 2sin B B B B B +=

22cos 22cos 4cos 1.B B B =+=-

=180A B C ++?，3.C B = ∴0°＜B ＜45°，2

2＜cos B ＜1. ∴1＜2

4cos 1B -＜3，故1＜c

b ＜3.

-------------------------- 『高考真题评析』

例1

（2010·广东高考）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若1,3,2,a b A C B ==+=则

sin _______C =

【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C 的值。

【点拨】在△ABC 中，,A B C π++=又2A C B +=，故

3B π

，由正弦定理知

sin 1sin ,2a B A b =

=又a ＜b ，因此

A =

从而可知

2C π

，即sin 1C =。故填1.

【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。

例2

（2010·北京高考）如图1-9所示，在△ABC 中，若21,3,,3b c C π===

则_________.a =

【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。

【点拨】由正弦定理得，311

,sin .2sin 2sin 3B B π=∴=

∵C 为钝角，∴B 必为锐角，

. 1.

B A a b π

∴=

∴==

故填1

【名师点评】

在

()0,π范围内，正弦值等于1

2的角有两个，因为角C 为钝角，所以角B 必为锐角，防止忽略角的范围而出现增解

图1-9

例3

（2010·湖北高考）在△ABC 中，15,10,60,a b A ===?则cos B 等于（）

.3A -

22.3B 6.3C -

6.3D 【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角B 的范围。

【点拨】由正弦定理得

10151010sin 6032,sin .sin 60sin 15153B B ?

=∴==

=?∵a ＞b ，60A =?，∴B 为锐角。

236

cos 1sin 133B B ??∴=-=-= ? ???，故选D

【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B 的范围，从而确定角B 的余弦值。例4

（2010·天津高考）在△ABC 中，cos .cos AC B

AB C =

（1）求证 B C =；

（2）若

1cos 3A =-

，求sin 43B π??+ ?

?的值。【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基

础知识，同时考察基本运算能力。

证明：（1）在△ABC 中，由正弦定理及已知，得sin cos sin cos B B

C C =

。

于是sin cos cos sin 0,B C B C -=即

()sin 0.

B C -=

因为π-＜B-C ＜π，从而B-C=0，所以B=C . 解：（2）由A B C π++=和（1）得2A B π=-，故

()1

cos 2cos 2cos 3B B A π=--=-=

又0＜2B ＜π，于是

22 2.sin 21cos 23B B =-=

从而42

sin 42sin 2cos 29B B B ==

，

227cos 4cos 2sin 29B B B =-=-

。所以4273sin 4sin 4cos .

3318B B ππ-??+== ???

【名师点评】（1）证角相等，故由正弦定理化边为角。（2）在（1）的基础上找角A 与角B 的函数关系，在求2B 的正

弦值时要先判断2B 的取值范围。

知能提升训练学以致用

1、在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是（） A ．a ＞sin b A B. a =sin b A C. a ＜sin b A D. a ≥sin b A

2、（2011·山东模拟）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，,3,1

A a b π

==，则c 等于（）

A.1

B.2

C.31-

D.3

3、（2011·广东模拟）在△ABC 中，15,10,60a b A ===?，则sin B 等于（）

A ．33 B.3

3±

C.63

3±

4、在△ABC 中，若cos cos cos a b c A B C ==

，则△ABC 是（）

A ．直角三角形 B.等边直角三角形 C ．钝角三角形 D.等腰直角三角形

5、在锐角△ABC 中，若C=2B ，则c

b 的范围是（）

A ．()0,2 B.(

)2,2

C.(

)2,

3 D.

()1,3

6、在△ABC 中，,3,45a b A λλ===?，则，满足此条件的三角形有（） A ．0个 B.1个 C.2个 D.无数个

7、在△ABC 中，若A ：B ：C=3：4：5，则a ：b ：c 等于（） A ．3：4： 5 B.2:6:

(

)31

C. 1:3:2

D.2: 3:322+

8、（2011·浙江模拟）在△ABC 中，135,15,5,B C a =?=?=则此三角形的最大边长为（） A ．53 B.43 C.52 D.42

9、在△ABC 中75,45,32,A B c =?=?=则________b =。

10、（2011·山东模拟）在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若2,2,sin cos 2a b B B ==+=，则角A 的大小为_______。

11、在△ABC 中已知a x =cm ，2b =cm ，45B =?，如果利用正弦定理解三角形有两解，那么x 的取值范围是

______________。

12、如图1-10所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=?BD 交AC 于E ，AB=2. （1）求cos CBE ∠的值；（2）求AE 的长。

图1-10

13、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，求证

()222

sin sin A B a b c C --=。

14、在△ABC 中，22,tan 3,tan 2,c A B ===求,a b 及三角形的面积。

15、已知方程

()2cos cos 0

x b A x a B -+=的两根之积等于两根之和，且,A B 为△ABC 的内角，,a b 分别为,A B 的对

边，判断△ABC 的形状。

16、在△ABC 中，13tan ,tan .45A B =

（1）求角C 的大小；

（2）若△ABC 的最大边长为17，求最小边的长。

1.1.2 余弦定理

『典型题剖析』

考察点1：利用余弦定理解三角形例1：

已知△ABC 中，3,33,30,b c B ===?求A ，C 和a 。

【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长a 的方程，首先求出边长a ，再由再由正弦定理求角A ，角C ，也可以先由正弦定理求出角C ，然后再求其他的边和角。解法1：

由正弦定理2

2cos ,b a c ac B =+-得

()

333

233cos30a a =+-???

，

29180,a a ∴-+=解得3a =或6.当3a =时，30,120A C =?∴=?

当6a =时，由正弦定理得1

6sin 2sin 1,

a B

A b ?

==90,60.A C ∴=?∴=?

解法2：

由b ＜c ，30,B =?b ＞

133sin 303322c ?=?

=，知本题有两解。

由正弦定理得

33sin 32sin 32c B

C b

==，

60C ∴=?或120?，

当60C =?时，90A =?，由勾股定理得：

()

222333

a b c =+=+=

当120C =?时，30A =?，∴△ABC 为等腰三角形，3a ∴=。

【解题策略】比较两种解法，从中体会各自的优点，从而探索出适合自己思维的解题规律和方法。三角形中已知两边

和一角，有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。

例2：△ABC 中，已知26,623,43a b c ==+=，求A ，B ，C

【点拨】解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的值。解法1：

由余弦定理得：

(

)()()()2

222

6234326

cos 2262343

b c a

A bc

++-+-==

?+?

36243124824

48348+++-=

+ 72243333

248348232++=

++。

因为

()0,180,

A ∈??所以30A =?。

(

)(

)

(

)

623

cos 2226623

a b c

C ab

++-+-==

??+

243624312482

2246242

+++-=

+ 因为

()0,180,

C ∈??所以45C =?

因为180,A B C ++=?所以1804530105B =?-?-?=? 解法2：

由解法1知

sin 2A =

，

由正弦定理得，

43sin 22sin .

226

c A

C a

== 因为b ＞c ，所以B ＞C ，

所以角C 应该是锐角，因此45C =?。

又因为180,A B C ++=?所以1804530105B =?-?-?=?

【解题策略】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大

小确定角的大小，防止增解或漏解。

考察点2：利用余弦定理判断三角形的形状例3：

在△ABC 中，已知

()()3,a b c a b c ab +++-=且2cos sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。

【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发，找到三角形边角之间的关系，然后判断三角形的形状。

解法1：（角化边）

由正弦定理得sin sin C c

B b =

，

由2cos sin sin A B C =，得

sin cos 2sin 2C c

A B b =

。

又由余弦定理的推论得222

cos 2c b a A bc +-=

。 222

,22c c b a b bc +-∴=即

2222

,c b c a a b =+-∴=。又

()()3.a b c a b c ab +++-=()

223,a b c b ∴+-=22243,.

b c b b c ∴-==

,a b c ABC ∴==∴为等边三角形。

解法2：（边化角）

()180,sin sin .

A B C C A B ++=?∴=+

又

2cos sin sin A B C =，

2cos sin sin cos cos sin ,A B A B A B ∴=+()sin 0.A B ∴-=

又∵A 与B 均为ABC 的内角，∴A=B.

又由

()()3a b c a b c ab +++-=，得()2

23a b c ab

+-=，

22223a b c ab ab +-+=，即2

,a b c ab +-=由余弦定理得

cos 2C =

，

而0°＜C ＜180°，60.C ∴=? 又

,A B =∴ABC 为等边三角形。

【解题策略】已知三角形关系中的边角关系式判断三角形的形状，有两条思考路线：一是化边为角，求出三个角之间的关系式；二是化角为边，求出三条边之间的关系式，种转化主要应用正弦定理和余弦定理。例4：

已知钝角三角形ABC 的三边,2,4,a k b k c k ==+=+求k 的取值范围。

【点拨】由题意知△ABC 为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则，结合a,b,c 的大小关系，故必有C 角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出k 的取值范围。解：

2222cos ,c a b ab C =+-C ∴当为钝角时，2cos ab C -＞0，22a b ∴+＜2c ，

()

22k k ∴++＜

()2

4k +，解得-2＜k ＜6.而k+k+2＞k+4，∴k ＞2.故2＜k ＜6.故k 的取值范围是

()2,6.

【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。

考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题例5

在中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，

（1）求证cos cos ;a B b A c +=

（2）求证

()2

cos cos .222C A a a b c +=++

【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与二倍角公式的综合应用。

证明：（1）左边22222222a c b b c a a b

ac bc +-+-=+ 222222

22a c b b c a ac bc +-+-=+

22c c c ===右边，故原式成立。

（2）左边

()()

1cos 1cos 22a C c A ++=

222222112222a a b c c b c a ab bc ????

+-+-=+++ ? ?????

2222221222a b c b c a a c b b ??+-+-=+++ ???

()1

2a b c =

++=右边，故原式成立。

【解题策略】（1）小题利用余弦定理将角化为边。（2）小题先降幂，然后利用余弦定理将角化为边。例6

在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 。

（1）求证()222

sin ;sin A B a b c C --= （2）求证cos sin cos sin a c B B b c A A -=

【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用

证明：（1）由2222cos ,a b c bc A =+-得；222222cos 12cos a b c bc A b

A c c c --==-??。又∵sin ,sin b B

c C =

∴222

sin sin 2sin cos 12cos sin sin a b B C B A

A c C C --=-??=

()sin 2cos sin sin cos cos sin sin sin A B A B A B A B C C +--==

()sin .

sin A B C +=

故原式成立。

（2）左边2222222

2222222

222222a c b a a c b a c ac a b c a b b c a b c bc b +---+-?

+---+-?

222

sin 2sin 2a c b b B

a b c a a A

b -+====-+右边。

故原式成立。

考察点4：正余弦定理的综合应用例7：

在ABC 中，已知

(

)

31,30,b a C =-=?求,.

A B

【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。解：

(

)

22231,2cos b a c b a ab C

-∴=+-

(

)

(

)

3312312a a a ??=-+--??

()()

222

4233

31a a a =-+--

()2

23.

a =-

∵a ＞0,c ＞0,

23,2 3.c

c a a ∴=-∴

由正弦定理得sin ,

sin c C a A =

sin 2331622sin ,

24222323C A -++∴=====--

75A ∴=?或105?.

由

(

)

31b a

-知a ＞b,

若75,A =?则

()18075,,

B A

C a b =?-+=?=与已知矛盾。

()105,18045.

A B A C ∴=?=?-+=?

【解题策略】本题边未知，已知一角，所以考虑使用余弦定理得a ，c 的关系，再结合正弦定理求sin .A 注意特殊角的

三角函数值，如：6262

sin 75,sin15.44+-?=

例8：

设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

222

3,b c a bc +=+ （1）求A 的大小；（2）求

()

2sin cos sin B C B C --的值。

【点拨】本题考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的综合应用。

解：（1）由余弦定理222

2cos ,a b c bc A =+-得

22233cos ,222b c a bc A bc bc +-=== 所以.6A π

（2）

()

2sin cos sin B C B C --

()2sin cos sin cos cos sin B C B C B C =--

()

sin cos cos sin sin B C B C B C =+=+

()1sin sin 2A A π=-==

。

例9：

设ABC 得到内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 3,sin 4.a B b A == （1）求边长a ；

（2）若ABC 的面积S=10，求ABC 的周长l 。

【点拨】本题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同脚三角函数关系式的综合应用。解：（1）已知cos 3,sin 4.a B b A ==

将两式相除，有3cos cos cos cot .4sin sin sin a B a B b B

B b A A b B b ==?=?=

又由cos 3a B =知cos B ＞0，

则

cos ,sin 55B B ==

，则 5.a = （2）由

sin 10,2S ac B =

=得 5.c =

由

2223

cos ,

25a c b B ac +-==得25b =。故1025l =+。

【解题策略】把已知两个关系式相除是本题的难点，也是解决此题的关键，相除之后出现sin a

A ，使用正弦定理使问题

得到顺利解决。

『易错疑难解析』

易错点利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况

【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时，需要十分小心，当该因式恒正或恒负时可以约去，一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解。例1：

在ABC 中，已知cos cos ,a A b B =试判断ABC 的形状。【错解】由余弦定理得：

222222,22b c a a c b a b bc ac +-+-?=?()()22222222,

a b c a b a c b ∴+-=+-

2222422224,a b a c a b a b c b ∴+-=+-

()()()2222222,

a b c a b a b ∴-=+-

222.c a b ∴=+

故ABC 为直角三角形。

【点拨】利用余弦定理把已知等式中角的形式转化为边的形式，其思路是正确的，但是在等式变形中约去了可能为零

的因式22

a b -，产生了漏解的情况，导致结论错误。

【正解】

由余弦定理得：

222222,22b c a a c b a b bc ac +-+-?=?()()22222222,

a b c a b a c b ∴+-=+- ()()()2222222,a b c a b a b ∴-=+-()()222220,

a b c a b ∴---=

a b ∴=或222c a b =+。

∴ABC 为等腰三角形或直角三角形。

易错点易忽略题中的隐含条件而导致错误

【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件，特别是隐含条件，全面、细致地分析问题，如下列题中的b

＞a 就是一个重要条件。例2：

在ABC 中，已知2,22,15,a b C ===?求A 。【错解】由余弦定理，得

2222cos c a b ab C

=+-62

482222843,6 2.4c +=+-???

=-∴=-

由正弦定理，得

sin 1

sin .2a C A c =

=又0°＜A ＜180°，30A ∴=?或150?.

【点拨】注意到已知条件中22b =＞2a =这一隐含条件，则B ＞A ，显然150A =?是不可能的。

【正解】由余弦定理，得

2222cos c a b ab C =+-843=-6 2.c ∴=- 又由正弦定理，得

sin 1

sin .2a C A c =

=∵b ＞a ，∴B ＞A.又0°＜A ＜180°，30A ∴=?

『高考真题评析』

例1：

（2011.山东模拟）在ABC 中，D 为BC 边上一点，3,2,135,BC BD AD ADB ==∠=?若2,AC AB =则

__________.BD =

【命题立意】本题主要考察余弦定理与方程组的应用。

【点拨】如图1-13所示，设,AB k =则2,AC k =再设,BD x

=则2,DC x =在ABD 中，由余弦定理得

222

2222222k x x x x ??=+-???-=++ ? ?

①。在

ADC

中，由余弦定理得

2222

242222424,2

k x x x x =+-???

=+-22212k x x ∴=+-②。由①②得2

410,x x --=解得25x =+（负值舍去），故填25+。

【名师点评】根据题意画出示意图由CD=2BD,AC=2AB,设出未知量，在两个三角形中分别利用余弦定理，然后联立方程组求解。

图1-13

例2：

（2010.天津高考）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22

3,sin 23sin ,a b bc C B -==则A 等于（）

A ．30° B.60° C.120° D.150°

【命题立意】本题考察正、余弦定理的综合应用，考察分析问题、解决问题的能力。

【点拨】由sin 23sin ,C B =根据正弦定理得23,c b =代入22

3,a b bc -=得2226,a b b -=即

227,a b =，由余弦定理得

22222222

12763

cos ,2222343b c a b b b b A bc b b

+-+-====?又0°＜A ＜180°，30.A ∴=?故选A 【名师点评】应用正弦定理把已知条件中sin 23sin ,C B =转化成边b ，c 的关系，再代入已知得a ，b 的关系，利用余弦定理变形形式求角的余弦值。

例3：

（2010.北京高考）某班设计了一个八边形的班徽（如图1-14所示），它由腰长为1，顶角为a 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（） A.2sin 2cos 2a a -+ B.sin 3cos 3a a -+ C.3sin 3cos 1a a -+ D.2sin cos 1a a -+

【命题立意】本题考察了用余弦定理理解三角形以及三角形面积公式和图形的分割求和等知识。【点拨】三角形的底边长为11211cos 22cos ,x a a =+-???=-

4411sin 2

S S S a x ∴=+=????+正方形三角形2sin 22cos 2sin 2cos 2a a a a =+-=-+ 故选A 。

【名师点评】此题难度较低，该八边形由4个等腰三角形和一个正方形组合而成，应用余弦定理求正方形的边长是关键。例4：

（2010.安徽高考）设ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，且

22sin sin sin sin 33A B B B

ππ????

=+-+ ? ?????。

（1）求角A 的值；

（2）若12,27AB AC a ?==，求b ，c （其中b ＜c ）

【命题立意】本题考察两角和的正弦公式，同脚三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，余弦定理，向量的数量

积等知识。解：（1）因为

223131sin cos sin cos sin sin 2222A B B B B B ????=+-+ ??? ??????? 222313

cos sin sin ,444B B B =

-+=

所以

sin 2A =±

。又A 为锐角，所以

3A π=

必修五解三角形常考题型非常全面

必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC 中，已知，C=30°，求a+b 的取值范围。【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30°，，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。

解三角形经典练习试题集锦(附答案)

解三角形一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60，则底边长为（） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（） A ．0 60 30或 B ．0 060 45或 C ．0 060120或 D ．0 15030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．0 90 B ．0 120 C ．0 135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A sin sin 的最大值是 _______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。三、解答题 1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证： )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证： C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式：（1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题老师

一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形

三角形的必备知识和典型例题及详解

三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin === （R 为外接圆半径）公式的变形:______________________ ______________ _________________ （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式：（1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

解三角形典型例题

1．正弦定理和余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A c; a-b

(完整版)解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型类型一类型二类型三判断三角形形状求范围与最值求值专题类型一判断三角形形状 2 2 2 例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C 由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2 c 2 三角形为等腰直角三角形. 例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状. 解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120 A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1 二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形 2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2) 0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2 即三角形为等腰三角形或直角三角形例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状. cosB cosC 解：⑴由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 ? B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得例3:在厶ABC 中，已知 tan A tan B 2 ，试判断厶ABC 的形状. b 2 解：法1:由题意得 sin AcosB sin B cos A ■ 2 A sin A ■ 2 - sin B ,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B ??? 2A=2B 或 2A+2B=n /? A=B 或 A a 2 a 2 ,2 c b 法2：由已知得sinAcosB sin B cos A 2 a 2 结合正、余弦定理得 b 2 2ac b b 2 2 2 c a a 2 b 2 B i ，?三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.

解三角形典型例题答案

1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-

(完整版)解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型类型一判断三角形形状类型二求范围与最值类型三求值专题类型一判断三角形形状例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状．解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形．例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο ο ο 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状．解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ，整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或即三角形为等腰三角形或直角三角形例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状；（2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状．解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得

实用文档之解三角形经典练习题集锦(附答案)

实用文档之"解三角形" 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则 △ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60，则底边长为（） A ．2 B ．23 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（） A ．006030或 B ．006045或 C ．0 060120或 D ．0 015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3 ．在△ABC 中，若 ====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。三、解答题 1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证： )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证： C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。 4．在△ABC 中，设,3 ,2π =-=+C A b c a 求B sin 的值。解三角形一、选择题 1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ．2 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2

高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1

实用标准

—tanC。

例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)；根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。例2 ?在ABC 中， sin A cos A

si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6

解三角形三类经典题型教学内容

解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型类型一判断三角形形状类型二求范围与最值类型三求值专题类型一判断三角形形状例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状．解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形．例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο οο60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状．解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ，整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或即三角形为等腰三角形或直角三角形例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状；（2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状．解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得

解三角形经典例题及解答

知识回顾: 4、理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 a ksinA ， ________________ ， c ksinC ；（2）」 b J 等价于 ______________________ sin A sin B sin C (3) 正弦定理的基本作用为: 正弦、余弦定理 1、直角三角形中，角与边的等式关系：在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AG=b , AB=c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 -sin A ，- sin B ，又sinC 1 -，从而在直角三 c c c 角形ABC 中，-?- sin A b sin B c si nC 2、当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义, 有 CD=asinB bsinA ，则一- b ，同理可得一 sin A sin B sin C b sin B 从而」- sin A b sin B c sin C 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 ____ 的比相等，即旦 sin A b sin B c sin C c b a c sin C sin B ' sin A sin C

① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsinA ； b sin B ② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin A a sin B ； sinC . b (4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形? 5、知识拓展 6、勾股定理： ___________________________________ 7、余弦定理：三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 _____________ ______________ 的两倍，即a 2 b 2 8、余弦定理的推论: cosC ____________________________ 。 9、在 ABC 中，若a 2 b 2 c 2,则 ______________________ ，反之成立; 典型例题: a b sin A sin B c si nC 2R ，其中2R 为外接圆直径. c 2 cosA cosB

解三角形经典练习题集锦附答案

解三角形令狐采学一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -即是（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60，则底边长为（） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 即是（） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最年夜角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最年夜值是_______________。 2 ．在 △ABC 中，若 =++=A c bc b a 则,222_________。 3．在△ABC 中，若 ====a C B b 则,135,30,200_________。 4．在△ABC 中，若 sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最年夜值是________。三、解答题 1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则 △A BC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证：)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证： C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。 4．在△ABC 中，设,3 ,2π =-=+C A b c a 求B sin 的值。解三角形一、选择题 1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 即是（） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．1:2 D ．2 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（） A ．年夜于零 B ．小于零 C ．即是零 D ．不克不及确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 即是（） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 2 4．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不克不及确定 D ．等腰三角形 5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ()

全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

证明：连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。所以三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则 ∠DEG=∠DCA ， ∠DGE=∠2 又 ∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （ AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C B A C D F 2 1 E

解三角形经典例题

解三角形一、知识点梳理： 1、正弦定理：在△ABC 中， R C c B b A a 2sin sin sin === 注：①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用 2、余弦定理：在△ABC 中， A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= 也可以写成第二种形式： bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，ab c b a C 2cos 2 22-+= 3、△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 2 1sin 21sin 21=== 二、题组训练： 1、在△ABC 中， a=12，A=060，要使三角形有两解，则对应b 的取值范围为 2、判定下列三角形的形状在△ABC 中，已知38,4,3===c b a ，请判断△ABC 的形状。在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，请判断△ABC 的形状。在△ABC 中，已知bc a A == 2,2 1cos ，请判断△ABC 的形状。在△ABC 中，已知C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+，请判断△ABC 的形状。在△ABC 中，,sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++请判断△ABC 的形状。 3、在△ABC 中，已知030,4,5===A b a ，求△ABC 的面积。

九年级数学下册《解直角三角形》典型例题(含答案)

《解直角三角形》典型例题例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形．分析本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决．解（1）；（2）由a b B =tan ，知；（3）由c a B = cos ，知860cos 4cos =?==B a c ．说明此题还可用其他方法求b 和c ．例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形．解法一 ∵ ∴ 设 ,则由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ．解法二 133330tan =?=?=b a 说明本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题．例 3 设中，于D ，若，解三角形ABC ．

分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手．解在Rt中，有： ∴ 在Rt中，有说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．例4在中，，求．分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．

解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有；在中，，且， ∴；于是，有，则有说明还可以这样求：

解三角形知识点汇总和典型例题(新)

中小学1对1课外辅导专家文成教育学科辅导教案讲义授课对象授课教师徐老师授课时间 3月11日授课题目解三角形复习总结课型复习课使用教具人教版教材教学目标熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形教学重点和难点灵活解斜三角形参考教材人教版必修5第一章教学流程及授课详案解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式：（1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；

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