[教学目标] 理解常量、变量以及函数概念，了解初等函数和分段函数的概念。熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法，掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。了解幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的基本特征和简单性质。了解极限、无穷小（大）量的有关概念，掌握求极限的常用方法。了解函数连续性概念，会求函数的间断点。理解导数概念，会求曲线的切线方程，熟练掌握导数基本公式和求导数的常用方法，会求简单的隐函数的导数。知道微分概念，会求微分。会求二阶导数。
[重难点]函数概念、导数概念和导数的计算 [教学内容]
第一编 微分学 第1章 函数
一、试着回答下列问题：
问题1：在某过程中由两个变量，其中一个量x 变，另一个量y 也变，那么变量y 是变量x 的函数，此话对吗？
问题2：一个函数可以由哪些要素唯一确定？
问题3：函数的定义域、对应关系和值域中的任意两个因素，是否可将函数唯一确定呢？ 问题4：如果y 是x 的函数y=f(x)，是否y 与x 之间的关系只能用一个解析式子表示？ 答：问题1：不对。根据函数定义，变量x 变，变量y 也变，并没有说明y 是如何随x 的变化而变化，也没有说明每给x 一个值，就有唯一的y 值与之对应，因此还不能说y 是x 的函数。
问题2：任一函数，都可由其定义域D 和对应关系f 这两个要素确定。有的教材讲，确定函数有三个要素：定义域、对应关系和值域，实际上，只要定义域和对应关系确定了，值域也就随之确定了。
问题3：不一定。例如y=sinx 与y=cosx ，它们的定义域相同，值域也相同，但对应关系不同，它们不是同一个函数。
问题4：不一定。表示函数的方法有：公式法、图示法和列表法。即使对于公式法，也不一定必须用一个解析式表示，如分段函数：
包含了两个式子，但分段函数仍是一个函数。
二、主要内容归纳： （一）、函数概念
1、 常量与变量——在所研究的问题中，保持同一确定数值的量，称为常量。而能取不同数值的量，称为变量。
注意：常量与变量是相对的，条件改变时，可以相互转化。 2、函数定义： y=f(x)
其中x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的变域D 称为函数的定义域。用图示说明如下：
Y D
（ y 的变化范围）
（x 的变化范围） 函数的实质是两个变量（x 与y ）及其对应规则f( ) （二）、初等函数
?????≤<-<<-+=4
x 2 ,921 ,12
22x x x y
微积分研究的对象主要是初等函数，但初等函数是由基本初等函数构成的。 1、 基本初等函数
常数函数 y=C (C 是常数)
幂函数 y=x a
（a 为实数）
指数函数 y=a x
(a>0,a ≠1)
对数函数 y=log a x
(a>0,a ≠1) 三角函数 y=sinx , y=cosx y=tanx , y=ctgx 2、 复合函数
y=f(u),u=φ(x)且u=φ(x)的值域是y=f(u)的定义域的子集，则y 是x 的复合函数： y=f[φ(x)].
其各量的关系图示如下：
3、 初等函数
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合所构成的函数。
注意：要掌握好将一个初等函数分解成较简单函数，其步骤是自外层向内层逐层分解，切忌漏层。
4、 常见函数的定义域的基本求法
求一元函数y=f(x)的定义域D ，即是求使函数有意义的自变量x 的变化范围。 常见解析式的定义域求法有： （1）、分母不能为零； （2）、偶次根号下非负； （3）、对数式中的真数恒为正； （4）、分段函数的定义域应取各分段区间定义域的并集。 5、 对应规则f( )
从以上分析，对应规则f( )往往表现为各种运算，已知f( ) 求f( a)，只须用a 取代x ，代入对应规则运算即成。但应注意分段函数不同区间有不同的对应规则。 （三）、函数的奇、偶性
判断函数y=f(x)的奇、偶性常见有以下方法： （1）、定义法：即在对称区间上若满足f(-x)=f(x) ，则y=f(x)为偶函数，若满足f(-x) = -f(x) ，则y=f(x)为奇函数，否则y=f(x)为非奇非偶函数。
则：
（2）、符合法：记偶为②，记奇为①，则有： ②×②＝②，②÷②＝② ①×①＝②，①÷①＝② ②×①＝①，②÷①＝① 即“同号”相乘除为②，“异号” 相乘除为①。
记住这些常见函数的奇、偶性，用符合法可以判断很多函数的奇、偶性。 （3）、图象法：
奇函数关于原点对称 偶函数关于y 轴对称
图象法即利用奇函数关于原点对称、偶函数关于y 轴对称来判断函数的奇、偶性。 （四）、经济中常用的函数
1、需求函数：q d =q(p), q d ——需求量，p ——价格
2、供给函数：q s =q(p), q s ——需求量，p ——价格
3、总成本函数：C(x)=C 1+C 2(x), q ——产量 C 1
24、收入函数：R(q)=q.p(q), q ——销售量，p ——价格 6
、 利润函数：L （q ）=R(q) －C(q) 三、重点、难点：
重点：1、函数y=f(x)的两要素；
2、 函数的奇偶性；
3、 基本初等函数；
4、 经济中常用的函数。 难点：经济中常用的函数。 四、实例分析：
例1、 求下列函数定义域
（x x
解：要使函数有意义，必须使：
（2）、分析：要求分母≠0且对数真数>0、偶次根号下非负，于是 解：要使函数有意义，必须使：
对照练习1、求下列函数定义域：
例2、求分段函数的定义域：
分析：分段函数的定义域应是各段定义域的并集
对照练习2、求分段函数的定义域：
例3、 函数f(x)的定义域是[1，2]，求函数f(x+1)的定义域。 分析：已知f(x)的定义域为[1，2]， ∴ 有f(x+1)的定义域要求1≤x+1≤2, 即0≤x ≤1,
即f(x+1)的定义域为D=[0，1]
对照练习3、函数f(x)的定义域是[2，3]，求函数f(x+1)的定义域。
例4、 设g （t ）=t 3－6,求g （t 2）, [g （t ）]2
分析：函数关系为g( )=( )3－6，（1）用t 2代t ，即求出g （t 2）；（2）求[g （t ）]2
即是求该函数的平方。
解：g （t 2）＝(t 2 )3－6＝t 6
－6
[)()
+∞?=∴???≥±≠??
??≥≠???
?≥-≠-,22,1 12
14010422D x x x x x x 定义域()
+∞-=∴?????-≠->-≥??????≠+->-≥??????≠+->-≥??????≠+>+≥+,1 12112211lg )2lg(210)2lg(0201D x x x x x x x x x x x x
定义域
?????<<-≥-=1
0 , 81 , 1 )(2
x x x e x f x
[g （t ）]2=（ t 3－6）2
对照练习4、设f(x)= x 2
+5,求f(1/x)，f[f(x)]
求f(0) ，f(2) ，f(4)
分析：求分段函数的函数值应将自白变量的取值代入所在区间对应的表达式中。
解：f(0)= 02
+1=1
f(2) 无意义 （2不在f(x)的定义域内）
f(4)=9－42
=－7
对照练习5、在上例中，求f(1) ，f(5) 例6、下列函数对中，（ ）表示相同函数
分析：两个函数相同是当且仅当其定义域和对应规则分别相同。
解：选择A ，因为f(x)与g(x)的定义域均为（-∞，+∞），对应规则也相同（∵sin 2x+cos 2
x=1） 对照练习6、下列函数对中，（ ）表示相同函数
例7、找出下列函数的奇函数
对照练习7、找出下列函数的偶函数
?????≤<-<<+=4
2 , 9 2
1- , 1 )(52
2x x x x x f 、设
例
D 2
2
2
为奇函数为偶函数为奇函数，解：选择为奇函数分析：由符号法可知：x x x xa a x xa y ---∴=
例8、某厂生产一种元器件，设计能力为日产100件，每日的固定成本为150元，每件的平均可变成本为10元。 （1）、试求该厂此元器件的日总成本函数及平均成本函数； （2）、若每件售价14元，试写出总收入函数； （3）、试写出利润函数。
解：设总成本函数为C （q ）,平均成本函数为A(q),总收入函数为R(q),利润函数为L （q ） 其中：q 为生产量（销售量），则有： （1）、C （q ）=固定成本+变动成本 =150+10q ，（0≤q ≤100） A(q)= C （q ）／q=150／q ＋10 （2）、R(q)=14q （3）、L （q ）= R(q)－C （q ） =14q －(150 ＋10q) =4q －150
对照练习8、已知某产品固定成本为2000元，每生产一件产品，成本增加50元，则生产q 件产品的平均成本为何函数？
五、问题解答： 对照练习答案
第2章 一元函数微分学 第一部分 极限与连续
一、试着回答下列问题： 问题1：什么是函数的极限过程？函数的极限过程是用什么指标来衡量的？为什么说函数极限存在与否取决于函数极限过程？
问题2：设有函数y ＝f(x)＝3x －2，当x →2时，f(x)＝3x －2→4，而f(2)＝4，即f(x)
在
5
)2(4)(lim 4)(,
2, 4
, 52
, 23)( 2
==→???=≠-=→g x g x g x x x x x g x ，但却有即仍然有时趋于当再看x ＝2的函数值f(2)＝4，这两件事有什么不同？
问题3：怎样直观描述函数的极限？
问题4：能否直接称x
x f y 21
)(=
=是无穷大量或无穷小量呢？
答：问题1：因为微积分研究的是变量间的变化关系，也就是函数关系，而在极限中往往用自变量x 的变化去刻画变化过程，去研究相应的函数f(x)的变化趋势，所以函数的极限过程是指：函数的自变量x 的变化过程。而自变量x 的变化过程有各种情形：
x →x 0, x →x 0 －, x →x 0 ＋
, x →∞, x →＋∞, x →－∞ 等等。
显然，函数y ＝f(x)的变化趋势，或存在极限或不存在极限都与极限过程有关，也就是与自变量x 的各种变化过程有关，同一函数y ＝f(x)对不同极限过程就有不同的变化趋势。 例如：y ＝f(x) ＝1／x ，当x →1时，f(x) →1； 当x →1／2时，f(x) →2 等等。
问题2：当x →2时，y ＝f(x)＝3x －2的值如下表：
由此可以看出：当x →2时，（包括小于2和大于2的值），y ＝f(x)＝3x －2→4。
在讨论x 趋于2时，y ＝f(x)＝3x －2的极限过程中，并未提及y ＝f(2)＝4这一事实，其原因在于y ＝f(2)描写的是x ＝2时 y ＝f(x)的值，而我们所研究的却是当x 趋于2时y ＝f(x)的变化，这是两码事。即在本例中，两种不同的概念得到是相同的值，注意这是不应混淆的两件不同的事。
这表明这两种不同的概念有时产生不同的结果。
问题3：由上述两个问题我们有：定义——如果当x 取值趋近于α时，f(x)趋近于一个单一的值A 或在A 值上保持不变，则称A 是当x 趋近于α时函数y ＝f(x)的极限，这时可写成 等。，，其中),( )(0
lim ±
→
==∞=±∞==x x A x f x ααααα
问题4：显然不然。比如：若x →∞时，则021
)(→=x
x f 即是无穷小量；又若x →0时，则∞→=
x
x f 21
)(即是无穷大量。可见，极限过程不相同，那么函数极限一般也不同，因此，所谓的无穷大量或无穷小量是相对某一极限过程而言。
二、主要内容归纳： （一）、函数极限 1、 描述性定义：
A x f =)(
注意：①、以上是一个符号系统，构成极限定义，缺一不可； ②、弄懂定义的关键是联系函数图像，看懂在同一变化过程中自变量与因变量两个无限变化趋势；
③、极限过程x →○是指：
x →x 0, x →x 0 －, x →x 0 ＋
, x →∞, x →＋∞, x →－∞ 中的一种。
2、 极限存在的充要条件
A x x A x f x x A x f x x =+→?=-→?=→0
lim )(0lim )(0lim 3、 穷小量与无穷大量
以零我极限的变量称为无穷小量；
绝对值越来越大且趋于正无穷大的变量称为无穷大量。 无穷小量与无穷大量的关系是：
∞=→≠?=→)
(1
0lim 0)(0)(0lim x f x x x f x f x x （即关系互倒） 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量。 4、 极限的四则运算 对某一极限过程x →○，
若limu ＝A ，limv ＝B ，则有：
⑴、 lim(u ±v) ＝limu ±limv ＝A ±B ； ⑵、 lim(u ·v) ＝limu ·limv ＝AB
若v ＝c (c 是常量)，有lim(cu) ＝climu ＝cA ； ⑶、）。，（0lim lim lim
≠==B B
A v u v u 推论：①、limu n
＝(limu)n
＝A n
，（n 为自然数） ②、lim n n
n A u u ==
lim ，（n 为自然数）
③、limC ＝C ，（C 是常数）
5、 两个重要极限
⑴、
”型）属“00
( 1sin lim 0
=O O →O ⑵、
”型）属“∞O
∞
→O =O
+
1( )11(lim e 或
e =O +O
→O 10
)
1(lim
注：这里教材中相应公式原来x 的位置，统统被“○”取代，它可以是任一有意义的函数，这时的公式实际比原公式应用更广。并给学生提供了想象空间，不具体给出函数形式。
（二）、连续与间断 1、
点连续
)()(0lim 0
x f x f x x =
→
在点连续的这一定义中，一下三个条件要同时满足： ⑴、f(x)在点x 0的某一邻域有定义； ⑵、f(x)在点x 0有极限；
⑶、f(x)在点x 0的极限等于函数值。 2、 间断点——函数的不连续点称为间断点； 3、 初等函数在其定义区间内是连续的 4、 利用连续性求极限：
)()()(0lim lim 0
x f x f x f x x x x =
=→→
三、重点、难点：
重点：1、函数极限（特别是“
00”、“∞
∞”型） 3、 两个重要极限的计算；
4、 无穷大、无穷小的概念、性质和关系。
难点：点连续及间断点的判断。
四、实例分析：
理解并掌握下列极限的计算方法： ● 极限的四则运算法则；
● 两个重要极限e )1(lim e,)1
1(lim ,1sin lim
1
00=+=+=→∞→→x x x x x x x
x x ；
函数的连续性。
具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件，否则会在运算出现错误。 例1 求下列极限
（1）155
10)
13()21()13(lim +--∞→x x x x （2）x x x 2sin 11lim 0-+→ （3）1245lim 224--+-→x x x x x （4）x
x x x )1
1(lim -+∞→
解（1）当∞→x 时分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法则，由教材中公式（2.2.4）可直接得到结果，即
5515510155103
23)2(3)13()21()13(lim -=-=+--∞→x x x x (2) 当0→x 时分式的分子、分母的极限都为0，且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化，即有
)
11(2sin 1
1lim
)11(2sin )11)(11(lim 2sin 11lim
000
++-+=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x =
4
12121111lim 2sin 2lim 21)11(2sin 2lim 21000=?=++?=++→→→x x x x x x x x x （3）当4→x 时分式的分子、分母的极限都为0，且分式的分子、分母均为x 的二次多项式，遇到此情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用除法法则。即
7
3
3414)3()1(lim )4)(3()4)(1(lim 1245lim 442
24=+-=+-=-+--=--+-→→→x x x x x x x x x x x x x （4）先进行恒等变形，在利用第2个重要极限。即
21
)11()1
1(lim )1111(lim )11(lim e e e x
x x x x x x x
x x x x x ==-+=-+=-+-∞→∞→∞→ 对照练习1、求下列极限
（1）10
8
2)13()12()1(lim ++-∞→x x x x （2）x x x x --+→123lim 1 （3）x x x x x x x 62lim 23232---+-→ （4）1
)21(lim -∞→+x x x
五、问题解答： 对照练习1、答案 ⑴、91)3
2(8
?
⑵、47 ⑶、5
3 ⑷、e 2
第二部分 导数及导数应用
一、试着回答下列问题：
问题1：导数与导函数的关系及区别？
问题2：可导、连续、极限存在三者之间的关系如何？
问题3：函数的极值点、驻点和不可导点的关系如何？
问题4：导数有哪些方面的应用？学习中应注意些什么？
答：问题1：⑴、导数与导函数是两个不同的概念，导数是函数在某一点附近的性质，实质就是函数对自变量在某点的变化速度；而导函数反映函数的一般规律。⑵、导数定义的是一
个常量，导函数仍是一个函数，导数是导函数f ’(x)在某点x 0处的导函数值f ’
(x 0)。因此可先求出函数的导数，再求某点的导数值。
问题2：y=f(x)在x 0处有： 可导→连续→
)(lim 0
x f x x →存在
↓
f(x)在点x 0必有定义 但反方向的箭头结论不一定成立。
问题3：驻点及一阶导数不存在的点x 0即不可导点（但是连续点）是极值点的可疑点，但它们不一定是极值点；可导函数的极值点必是驻点。
问题4：导数应用非常广泛，而需要我们掌握的有：⑴、利用一阶导数的几何意义求曲线在某点的切线方程；⑵、判别函数的单调性、求函数的极值；⑶、边际分析、求解经济应用问题的最值：成本最低、利润最大等等；⑷、求需求弹性。 求解经济应用题的极值，关键是利用所掌握的有关知识列出目标函数，注意函数必须是一元的，若有两个自变量，必须将其中之一转化。求解时所用方法仍是求函数极值的方法。
二、主要内容归纳： （一）、导数的概念: 1、 导数的定义: ①、 点导数：
x
x f x x f x y
x f x x ?-?+=??='→?→?)()()(0000
0lim lim
②、
导函数：
x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()()(lim lim 0
两者的关系：)()
(00
x f x f x x '='= ，即点导数)(0x f '是导函数)(x f '在点0x 的
函数值。
点导数)(0x f '，导函数)(x f '均简称为导数。
③、左、右导数：
左导数：x x f x x f x x y x x f ?-?+-
→?=??-→?=-')0()0(lim
0lim 0)0( 右导数：x x f x x f x x y x x f ?-?++
→?=??+→?=+')0()0(lim
0lim 0)0( 关系：x
y
x x y x x x f y
??+→???-→??=lim
0lim 00)(与可导在点存在且相等。 导数)(x f '是函数)(x f 在点x 处的变化率。
2、
导的几何意义：
)(0x f '是曲线),)(00y x x f y 在点（=处切线的斜率。
曲线),)(00y x x f y 过点（=的切线方程为：
))(000x x x f y y -'=-（
3、可导与连续的关系：
若函数x x f y 在点)(=处可导，则它在点x 处一定连续，反之未必成立。
（二）、求导公式与求导法则 1、导数基本公式
略。看教材第108及109页。
2、导数四则运算法则：
略。看教材第108及109页。
3、复合函数求导法：
设x u x u y y x u u f y '?'='==可导，则)(),(?
4、隐函数求导法： 方法：对隐函数方程F(x,y)=0，两边对自变量x 求导（求导过程中视y 为中间变量y=y(x)）,从等式中解出y’。
5、高阶导数
函数的二阶导数：)(''=''y y ，即是一阶导数的导数。 [作业设计]形成性考核册作业1