变质量物体的运动微分方程研讨
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变质量物体的运动微分方程及火箭运动
专业：物理学
学号: 0840********
姓名: 秦瑞锋
变质量物体的运动微分方程及火箭运动
秦瑞锋
(物理与电气工程系09级物理学专业,0840********)
摘要:我们已经了解了一定质量的系统的运动学方程和动力学方程,但在实际问题中,系统的质量往往是变化（按一定规律减少或增加）的,我们所学的一定质量的物体的运动学或动力学方程却不适用于变质量系统,下面我们将研究变质量系统的运动学和动力学的若干方程,以及变质量物体的运动规律.
关键字: 变质量系统 运动微分方程 火箭 动能定理 动量定理
一、变质量物体的基本运动微分方程
在以前的学习中，我们接触到的质点或者质点组系统运动过程中，本身的质量不会发生变化。但在实际生活和自然现象中，在某时刻有一部分质量进入或者离开我么们所要研究的对象，经常有变质量系统的运动情况，例如，地球的质量由于陨石的降落而增加，飞行中的喷气飞机和火箭随着燃料的减少质量减少，浮冰由于溶化而减少质量，运动着的传送带在某时可添加或取走货物，下降的陨石由于空气的作用发生破碎或者燃烧使质量减少……这些质点系在运动过程中，不断发生系统外的质点并入，或系统内的质点分离，以致系统的总质量随时间不断改变，我们称这些系统为变质量系统。那么该用怎样的方法研究变质量系统的运动情况呢？
我们可以假设在任何时刻，系统的分离或并入的质量是小量，两次发生分离或并入的时间间隔是小量，在这些理想的假设下，离开质点系的质量
)(m 2
t 和进入质点系的质量
)(1
t m 是时间的连续可微函数，如果系统的质量m t
在t=0时刻为m 0
，则它随着时间的
变化规律为)()()(2
1
t t t m m m m +-=
，那对应的关于质量的一些物理量也是对时间的
可微函数，得到微分方程后，进行积分，问题可解决。
设变质量质点的质量m 是时间t 的函数，即m ＝m (t )。在瞬时t ，质点的质量为
m (t )，质点对于定坐标系Oxyz 的速度为v (图1)，即将与之合并的微粒的质量为d m (t )，其对Oxyz 的速度为u 。在瞬时t +d t ，微粒与质点合并。于是质点的质量变为(m +d m )，其对Oxyz 的速度成为v +d v 。对于质量分出的情况则d m ＜0，即
dt
dm
为负。 m 和d m 所组成的质点系在瞬时t 的动量为m v +u d m ;在瞬时t +d t 的动量为
(m +d m )(v +d v )。在d t 时间内，动量的增加t F p d ??=ρ
ρ为：
p d ρ＝(m ＋d m ))(v d v ρρ+－(m v ρ＋u ρ
d m )。
将上式展开并略去二阶微量，再根据牛顿第二定律，就得到变质量质点的基本运动微分方
程：
dt
dm
F dt v d m r
v ρρρ
+=，(1) 式中
v u v r
ρ
ρρ-=是微粒相对于变质量质点的速度。若把上式右端第二项记为F r
ρ，就得：
F r F v d ρρρ
+=dt
m (2)
这是变质量质点的基本运动微分方程的另一种形式，式中F ρ为外力。
F r
ρ
具有力的量纲，
称为反作用力。
三、下面将根据变质量系统的微分方程来研究火箭的运动
火箭的速度就是靠发动机向外喷气的方式来增加，火箭的运动也就是变质量物体的运动。
F
ρr
就是放出物质对火箭的推力T ρ，即dt dm T v F r
ρρρ==r
，式中v u v r
ρ
ρρ-=是放出物质相对于火箭的速度，由于 0 dm ，推力 T 与相对速度为反向，故火箭在直线运动中的运动微分方程可写作： T F dt v d ρρρ +=m ， （3） 式中F ρ 包括诸如重力和空气阻力等外力。这方程表明，火箭由于发动机喷出微粒而受到推力T ρ。 （1）火箭在真空中的运动 设变质量质点P 在重力场外的真空中运动，如果将火箭看做质点并忽略皆知的阻力、引力等，这样的变质量质点可以作为在宇宙空间中运动的火箭的模型，那么外力为0，由方程（3）可得火箭运动的方程： v r dt dm ρρ =dt v d m ， （4） 其中 v ρr 是燃料相对于火箭的速度。v ρr 的大小是常数并且与火箭的速度v ρ 相反。火箭沿着v ρr 的方向作直线运动将方程（4）向Ox 轴投影可得， v r dt dm -=dt dv m ，(5) 其中 v r 是相对速度v r ρ的大小。假设t=0时刻火箭的质量为m 0 ，速度为 v ，对（5）式 积分可得 V(t)= v +]) (1ln[0 v t m m r + 。 (6) 从（6）式可以看出，火箭在某时刻的速度由两个因素决定：初速度 ；相对速度；火箭初始质量与当前质量之比。假设燃料的初始质量为 m f ，火箭在燃料燃烧完成时质量为 m s ，自然有m m m s f +=0 ，所以燃料燃烧完成时火箭的速度为 )1ln(0m m v v v s f r w + +=， （7） 由（7）可知，火箭最终的速度不依赖于质量变化规律与燃料消耗的快慢无关，而是依赖于燃料的初始质量，火箭自身的质量，以及燃料产生气体的相对速度。 （2）火箭在均匀重力场的竖直运动 假设火箭在均匀重力场中运动，不考虑阻力。将火箭看做质点，初始速度为0，初始质量为 m 。燃料分离时的相对速度为v r ρ，大小为常数，方向竖直向下。假设火箭质量随时间 的变化规律为e t α-= m 0 m 。 火箭受到的外力为重力，方向竖直向下，根据（3）式有， v r dt dm dt dv - -=mg m ， （8） 将（8）式积分，可得火箭的速度， gt t m m -=) (ln v 0 r v ， （9） 设t=0时h=0,对（9）式进行积分可得，上升高度h 随时间的变化公式为 t m g dt t m t o 2 r 21) (ln h v - =?， （10） 因为， t e t m α=) (m ，再对 （9）（10）进行计算可得， t g v r )(v -=α （11） 2)(2 1 t g h v r -= α (12) 从（11）、(12)可以看出，反作用力产生的加速度大于重力加速度，火箭才会上升。 下面分析一下燃料燃烧完事火箭的高度，设燃质量为 m f ，火箭质量在燃烧结束时为 m s ，t s e m α-=0m ，m m m f s +=0可解得)1(ln t m m s f w + =α，带入（11）、(12)可以得到在燃料燃烧完成时，火箭的速度和高度。 α αt v )(w r w g v - =， （13） 22 )(2h α αt v w r w a g -=，（14） 在燃料燃烧完后，火箭还会上升一段距离，它的质量不再变化，上升的距离g v w 22 1 h =。 上升的总距离 )1 (2)] 1[ln(2 1α - + = +g v v m m h h r r s f w ， （15） 从（15）可知，随着α的增加，火箭上升的总高度也会增加，当∞=α时总距离取得最大 值 g 2)] 1[ln(221 max h v m m h h r s f w + = += （16） 火箭在主动加速段取得上升高度最大值，α需满足怎样的条件？ 从（14）可得 3 2 22)(h a g v t r w w αα α-=??， （17） 由（16）可知当v r g 2= α时，主动加速段上升的距离取得最大值 g 8)] 1[ln(22v m m h r s f w + = （18） 此时火箭上升的高度为 g 4)] 1[ln(h 22v m m r s f += ， 为 h max 的一半。 参考文献：1、《理论力学》，刘延柱，杨海兴著，1991年6月第一版，高等教育出版社； 2、《理论力学》，马尔契夫著，李俊峰译，2006年一月第一版，高等教育出版社； 运动微分方程 弹性体体积V ，表面积S ，密度ρ,单位质量所受的体力为f,体力场为f(x,t),单位向量为n 的面元dS 的面力场为t(n,x,t),x 为原点到受力点的向量，t 为时间。弹性体在t 时刻的动量P （t) dV v dt d dV f dS t dt dP F f V f m F dV f dS t F F F dV v m v p V i V i s i i i V i s i i V i i ??????= += ?=?=+=+===ρρρρρ动量定理合力弹性体动量体体面 ******************************************************************************* 散度定理:散度定理是矢量场中体积分与面积分之间的一个转换。???=??s V S d F dV F 散度：表征矢量场A 产生的体积(三维)或面积(二维)的相对膨胀率，其表达式为▽·A 。 z R y Q x P R Q P z y x F ??+ ??+??=???????=??),,(),,( ，P,Q ，R 为F 在x,y,z 上的分量。 散度定理的证明：S d F dV F s V ?=???????。 令()R Q P F ,,= ，假设F =(0，0，R)，则需要证明 dS n R dV R s V z ?? ????=),0,0( 如下图，投影区为U 。 dxdy y x z y x R y x z y x R dxdy dz R dV R U y x Z y x Z z D z ))],(,,()),(,,([)() ,() ,(底顶 顶底????????-== S=S 底+S 顶+S 侧面 变质量动力学 引言 有些物体在运动过程中质量不断增加或减少，譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小，因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究。一般情况下，当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究。 关键词；变质量 运动学 动量定理 动量距定理 1.变质量指点的运动微分方程 1. 变质量指点的运动微分方程： 设变质量质点在瞬时t 的质量为m ，速度为v ；再瞬时t dt +,有微小质量dm 并入，只是指点的质量为dm m +,速度为v dv +；微小质量dm 在尚未并入的瞬时t ,它的速度为1v ，以原质点与并入的微小质量组成质点系。设作用于质点系的外力为()e F 。 质点在瞬时t 的动量为： 11p mv dm v =+? 质点系在瞬时t dt +的动量为： 2()()p m dm v dv =++ 根据动量定理 ()21e dp p p F dt =-= 得 ()1()()()e m dm v dv mv dm v F dt ++-+?= 将上式展开得 ()1e mdv dm v dm dv dm v F dt +?+?-?= 略去高阶微量dm dv ?，并以dt 除各项，得 ()1e dv dm dm m v v F dt dt dt +-= 或 ()1()e dv dm m v v F dt dt --= 上式中1()v v -是微小质量dm 在并入前相对于质点m 的相对速度r v ，令 r dm F v dt Φ= 则可以得到 ()e dv m F F dt Φ=+ 上式称为变质量质点的运动微分方程。式中m 是变量， dm dt 是代数量。 变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。其中F Φ常称为反推力。 2. 两种常用的质量变化规律 1.质量按线性规律变化。 设变化规律为 0(1)m m t β=-, 1t β< 式中0m ,β 皆为常数，该式代表质量随时间变化呈线性关系。由0dm m dt β=-知，其反推力为 0r r dm F v m v dt βΦ==- 由上式可知，当r v 为常量时，反推力F Φ也为常量，且与r v 方向相反。 3. 质量按指数规律变化。 设变化规律为 0t m m e β-= 式中0m ，β全为常数。由0t dm m e dt ββ-=-知，其反推力为 0t r r dm F v m e v dt ββ-Φ==- 令a Φ表示仅在反推力F Φ作用下变质量质点的加速度 第九讲 变质量物体的运动 教学时间：2学时 教学目的要求： 使学生熟练掌握变质量物体的运动微分方程——密舍尔斯基方程并能解决实际问题。 重点：密舍尔斯基方程的应用。 难点：如何判断对具体问题使用哪种密舍尔斯基方程。 教学方法：数学推导结合典型实例分析。 讲授要点及内容： 日常生活和生产实践中，我们经常见到物体在运动过程中其质量不断发生变化，例如： 喷气飞机、火箭、洒水车、下落的雨点等等。 定义：若物体在运动过程中，其质量随时间不断变化，则物体的这种运动称为变质量物体 的运动。 说明：1）本节只研究物体运动时，其质量按一定规律变化的情况。 2）本节所研究的变质量物体可视为质点。 3）本节研究物体的质量随时间变化，与相对论中物体的质量随速度变化就有本质 的不同。 （一）对变质量物体运动的初步分析 1、基本概念 主体——质量随时间不断变化的运动物体（如飞机、雨滴）。 并体（分体）——在dt 时间内合并到主体上或从主体上分出的微质量物体。 2、问题的实质——将主体和并体（或分体）均视为质点并且由于合并（分开）瞬时它们之 间存在相互作用力，因此问题的实质应为质点组动力学问题。 3、研究问题的着眼点——质量不断发生变化的主体的运动规律应是研究问题的着眼点，因 此这类问题又可视为主体的质点动力学问题。 4、研究问题的方法——从质点的动力学基本定理出发，最后归结为主体的运动微分方程。 （二）变质量物体的运动微分方程（以质量不断增加为例） 设：1）t 时刻，主体质量为m ，相对于某惯性系的绝对速度是v r ，并体质量为dm ，相对于 同一惯性系的绝对速度为u r 。 2）在dt 时间内主体与并体完成合并。 3）在t dt + 时刻，主体的质量变为m dm + ，相对于同一惯性系的速度为v dv + r r 。 4）在dt 时间内，作用在和的外力主矢量为F u r 。 根据质点组动量定理( )( ) ( ) m dm v dv mv udm Fdt ++-+= r r r r u r ， 将该式展开并略去二阶无穷小量dmdv r ，得 ( ) d dm mv u F dt dt -= r r u r （1）， ( ) dv dm m F v u dt dt =+- r u r r r （2） 可进一步将方程整理成两种形式 全身运动(GMs)质量评估: 一种早期预测脑性瘫痪等严重神经学发育结局的实用工具 杨红[1]* ，王艺[2] 史惟[1] 曹云[3] Christa Einspieler[4] 邵肖梅[3] 复旦大学附属儿科医院儿童保健康复科[1],新生儿科[3],神经科[2] 奥地利Graz医科大学[4] 在整个儿童期，脑发育处于一种连续不断的重塑造过程，如何在生后早期识别出脑性瘫痪（简称脑瘫）等等发育障碍的儿童非常重要。虽然有多种方法与技术用来评估生后早期婴儿的脑功能，但对小婴儿进行发育结局预测是困难的。这些技术包括不需要设备的临床床旁检查（，如各种形式的神经学评估,3,）、；比较复杂的技术性评估（，如超声，MRI和CT等脑影像技术）以及；神经生理学评估（，包括脑电图和视觉或体感诱发电位）。以上这些评估技术用于预测发育结局时的敏感性、特异性和准确性差异很大，这种在预测效度上的异质性提示有必要发展更为先进和准确的方法。 传统的神经学评估尽管在当今仍然不可缺少，但存在两大弱点，第一个弱点是具有两面性：简单版不可靠，而可靠的复杂冗长版又太耗时间。；第二个弱点是它仅能揭示婴儿神经系统的急性期状态，不能特异性预测婴儿的神经学结局。所以急需一种新的早期神经学评估技术，能对个体发育结局具有高预测能力。全身运动（general movements, GMs）质量评估，是一种针对新生儿和小婴儿的新型的神经运动评估，能敏感地提示特定的神经损伤。因此，GMs质量评估可作为一种诊断性工具，用于年幼的神经系统的功能评估，由此打开一扇了解大脑功能的窗户。 1 全身运动质量评估的基本理论 1.1 什么是全身运动？ 在过去的几十年内，发育神经学研究在人类神经系统功能发育方面提出了个体发生适应概念，认为在个体发育过程中发育中神经组织的功能必须满足机体本身及其周围环境所需，发育中生物体在每个发育阶段应与其内部和外部环境的需要相适应。在不同的年龄阶段，神经系统在结构和功能上是不同的。由于发育中神经系统的年龄特异性差异，需要一种与年龄相适应的诊断程序，GMs质量评估完全考虑到了年龄特异性和个体发生适应的概念。发育神经学研究结果表明在正常状态下，年幼的神经系统很大程度上是一个主动的生物体，胎儿、早产儿、足月儿和生后数月内小婴儿的自发性运动具有重要的临床意义。 人们在一百多年前就已知道年幼人类神经系统能够内源性产生各种运动模式，并不需要特定的感觉输入引发。20世纪80年代由于先进超声设备的引进使得长时间的重复直接观察胎儿运动成为可能,11,12,13,。人们观察到头部侧屈是最早出现的胎儿运动，在妊娠7周半至8周发生。妊娠9周至～10周出现复杂的全身运动和惊吓反应，一1周后（妊娠10周至～11周）出现臂或腿的孤立运动。更多的自发性胎儿运动模式随后逐渐出现。胎儿运动自最初出现就呈现出明显的运动模式，没有一个阶段表现为无定形的任意运动。这些内源性产生的胎儿运动模式可持续到出生后，大体上，出生后头2个月内的运动模式是出生前胎儿运动模式在出生后的延续。 全身运动是最常出现和最复杂的一种自发性运动模式，最早出现于妊娠9周的胎儿，持续至出生后5个月到～6个月，能够十分有效地评估年幼神经系统的功能。GMs指整个身体参与的运动，臂、腿、颈和躯干以变化运动顺序的方式参与 变质量物体的运动微分方程研讨(doc 6页) 变质量物体的运动微分方程及火箭运动 专业：物理学 学号: 0840******** 姓名: 秦瑞锋 变质量物体的运动微分方程及火箭运动 秦瑞锋 (物理与电气工程系09级物理学专 业,0840********) 摘要:我们已经了解了一定质量的系统的运动学方程和动力学方程,但在实际问题中,系统的质量往往是变化（按一定规律减少或增加）的,我们所学的一定质量的物体的运动学或动力学方程却不适用于变质量系统,下面我们将研究变质量系统的运动学和动力学的若干方程,以及变质量物体的运动规律. 关键字: 变质量系统运动微分方程火箭动能定理动量定理 一、变质量物体的基本运动微分方程 在以前的学习中，我们接触到的质点或者质点组系统运动过程中，本身的质量不会发生变化。但在实际生活和自然现象中，在某时刻有一部分质量进入或者离开我么们所要研究的对象，经常有变质量系统的运动情况，例如，地球的质量由于陨石的降落而增加，飞行中的喷气飞机和 度为u 。在瞬时t +d t ，微粒与质点合并。于是质点的质量变为(m +d m )，其对Oxyz 的速度成为v +d v 。对于质量分出的情况则d m ＜0，即 dt dm 为负。 m 和d m 所组成的质点系在瞬时t 的动量为mv +u d m ;在瞬时t +d t 的动量为 (m +d m )(v +d v )。在d t 时间内，动量的增加t F p d ??= 为： p d ＝(m ＋d m ))(v d v +－(m v ＋u d m )。 将上式展开并略去二阶微量，再根据牛顿第二定律，就得到变质量质点的基本运动微分方程： dt dm F dt v d m r v +=，(1) 式中v u v r -=是微粒相对于变质量质点的速度。若 把上式右端第二项记为F r ，就得： F r F v d +=dt m (2) 4.2 理想流体的运动微分方程 理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。实际流体有粘性，粘性流体。 1. Enler 运动微分方程 H G 图 4-3 理想流体的作用力 取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为 ),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x 向分别为z y x x p p d d )d 21(??- 和z y x x p p d d )2 d (??+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下： z y x a z y x x p p x x p p z y x X d d d d d )]2 d ()2d [(d d d x ρρ=??+-??-+ 列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下 ??? ? ? ? ???==??-==??-==??-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z z y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为 t u a x p X d d 1i i i i ==??- ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式 t p d d 1 u a G = =?- ρ (4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。 式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。 4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程 Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。 一 运动微分方程在流线上的积分形式 在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为 t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1） 对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有 )d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ??+??+??- ++ρz t u y t u x t u d d d z y x ??+??+??= t u t u t u t u t u t u d d d z z y y x x ??+??+??= z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2） 习 题 3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。 解:系统具有一个自由度，选复摆转角?为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。 复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =? 其中 )(22 a g P J C O += ρ 得到复摆运动微分方程为 ?? ρcos )(22 Pa a g P C =+ 或 0cos )(22 =-+?? ρga a C 3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。 解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为： 222 1 21ωC C J mv T += 用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2 C C m J ρ= 故 222222 1)cos 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+= 系统具有理想约束，重力的元功为 题3-1图 题3-2图 θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式 W dT δ= θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=?? ????+-+ θθθθθθθθθθ ρd m g e d m R e d m R e d R e m C s i n s i n c o s 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ， θθθθθθθθθθ ρ s i n s i n c o s 2)(2222m g e m R e m R e R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ 故微分方程为 0s i n s i n )c o s 2(2222=+++-+θθθθρθ m g e m R e Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为 0])[(22=++-θθρge r R C 要点及讨论 （1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。列写微分方程 ??? ??--=-=-=④③② θ θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C 上述方程包含C x ，C y ，θ ，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系 ?? ?-=-=θθ θcos sin e R y e R x C C ， ???=-=θθθθθ sin cos e y e R x C C 所以 ?????+=+-=⑥ ⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθ e e y e e R x C C 运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。 因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。 （2）本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能 222222 1)c o s 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+= 体转运动 （4×8拍）预备姿势：直立 第1拍左脚向侧迈出（稍宽与肩），同时两臂侧平举（掌心向下）。第2拍下体保持第一排姿势，身体向左转90度，同时，双手胸前击掌两次 第3拍上体向右转体180度，同时，双臂伸直至侧上举（掌心向）第4拍左腿还原成立正姿势，同时，身体转正，两臂经侧还原至体侧。 5——8拍同1——4拍，动作相同，但方向相反。 体侧运动 （4*8拍）预备姿势：直立。 1 拍左脚向左一步（同肩宽），同时左臂侧平举（掌心向下），右臂胸前平屈（掌心向下） 2拍下体保持第一拍姿势，同时上体侧倾45度，左手叉腰，右手摆置上举（掌心向） 3拍左腿并于右腿，同时半蹲左臂上举，右臂贴于体侧 4拍还原至立正姿势，同时半蹲左臂上举，右臂贴于体侧 5-8拍同1-4拍，但方向相反。第二、三、四个八拍同第一个八拍 全身运动 （4×8拍） 第一拍：左腿向左迈出，比肩稍宽，两臂经侧摆置上举交叉掌心向前，抬头看手。 第二拍：身体前屈，双臂体前交叉，（掌心向，低头看手） 第三拍：收左脚，成半蹲姿势同时双手扶膝，肘关节向外低头，眼看前下方 第四拍：站起，成立正姿势 5-8拍同1-4拍，但方向相反。第二、三、四个八拍同第一个八拍 绕:是指关节某环节做大于180度且小于360度以下的弧形动作。绕的方向由动作的开始姿势与身体的关系而定。绕时应指明结束姿势，如立正姿势开始两臂向绕至侧举。 绕环:身体或身体某一部位做360度或360度以上的圆形摆的动作。举:是指四肢移动围不超过180度而停止在某一部位的动作。 间隔:相邻者左右之间的间隙叫间隔。一般为一拳（约10厘米），队与队之间约为两步。 距离：相邻两人前后的间隙（纵队中一般是一步，约是75厘米；横队中约为两步）。 创编方法: 1、组合法。例如，两臂同时做前、上、侧举或一臂做举，另一臂做 屈；下肢一腿弯曲，另一腿弯屈做弓步等。 2、移植法。例如，日常各的刷牙、洗脸；小熊、小猴子的可爱动作； 武术、乒乓球、足球和舞蹈中的简单动作，都可以将其操化， 以应力表示的黏性流体运动微分方程的推导 1. 黏性流体的内应力 黏性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力，因此黏性流体的表面力不垂直于作用面。 如在任一点取一微小的正六面体，如图所示，作用在平面ABCD 上的力 有法向应力 xx p ，与切向应力xy τ和xz τ。应力符号的第一个字母表示作 用面的外法线方向，第二个脚标表示应力方向。 流体场内任一点的应力状况，即该点流体微团在任一方向的作用面上的应力，都可以用通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量来表示。 2. 以应力表示的运动微分方程 在黏性流体中取一边长为dx,dy,dz 的长方体。各表面应力的方向如图所示。为清晰起见，其中两个面上的应力符号未标。各应力的值均为代数值，正直表示应力沿相应坐标系的正向，反之亦然。由于流体不能承受拉力，因此， xx p yy p ，zz p 必为负值。 由牛顿第二定律，x 方向的运动微分方程为： Xdxdydz ρ+xx p dydz +[-(xx p - xx p x ??dy )dydz ]+ yx τdxdz +[-(yx τ- yx y τ??dy )dxdz ]+ zx τdxdy +[-(zx τ- zx z τ??dz )]x du dxdy dxdydz dt ρ= 等式两边分别除以 ρ，然后分别对x,y,z 求偏导，得到： 1 1 ( )zx x XX du P yx X X y z dt τρρ τ??+ + +=???? （1） 同理，在y 方向，由牛顿第三定律得： [()][)][()] yy yy yy xy xy xy zy zy zy y Ydxdydz dxdz dy dxdz y dydz dx dydz x dxdy dz dxdy z dxdydz dt p p p du ρρττ τ ττ τ + +-- + ?+-- + ?+ +-- ?=??? 等式两边同时除以 ρ，然后分别对x,y,z 求偏导得： 1 1 ( )yy zy xy y Y y z x dt p du ρρ ττ+ ++ = ?????? （2） 全身运动(G M s)质量评估: ?一种早期预测脑性瘫痪等严重神经学发育结局的实用工具杨红[1]* ，王艺[2] 史惟[1] 曹云[3] Christa Einspieler[4] 邵肖梅[3] 复旦大学附属儿科医院儿童保健康复科[1],新生儿科[3],神经科[2] 奥地利G r a z医科大学[4] 在整个儿童期，脑发育处于一种连续不断的重塑造过程，如何在生后早期识别出脑性瘫痪（简称脑瘫）等等发育障碍的儿童非常重要。虽然有多种方法与技术用来评估生后早期婴儿的脑功能，但对小婴儿进行发育结局预测是困难的。这些技术包括不需要设备的临床床旁检查（，如各种形式的神经学评估,3,）、；比较复杂的技术性评估（，如超声，MRI和CT等脑影像技术）以及；神经生理学评估（，包括脑电图和视觉或体感诱发电位）。以上这些评估技术用于预测发育结局时的敏感性、特异性和准确性差异很大，这种在预测效度上的异质性提示有必要发展更为先进和准确的方法。 传统的神经学评估尽管在当今仍然不可缺少，但存在两大弱点，第一个弱点是具有两面性：简单版不可靠，而可靠的复杂冗长版又太耗时间。；第二个弱点是它仅能揭示婴儿神经系统的急性期状态，不能特异性预测婴儿的神经学结局。所以急需一种新的早期神经学评估技术，能对个体发育结局具有高预测能力。全身运动（general movements, GMs）质量评估，是一种针对新生儿和小婴儿的新型的神经运动评估，能敏感地提示特定的神经损伤。因此，GMs质量评估 可作为一种诊断性工具，用于年幼的神经系统的功能评估，由此打开一扇了解大脑功能的窗户。 1 全身运动质量评估的基本理论 1.1 什么是全身运动？ 在过去的几十年内，发育神经学研究在人类神经系统功能发育方面提出了个体发生适应概念，认为在个体发育过程中发育中神经组织的功能必须满足机体本身及其周围环境所需，发育中生物体在每个发育阶段应与其内部和外部环境的需要相适应。在不同的年龄阶段，神经系统在结构和功能上是不同的。由于发育中神经系统的年龄特异性差异，需要一种与年龄相适应的诊断程序，GMs质量评估完全考虑到了年龄特异性和个体发生适应的概念。发育神经学研究结果表明在正常状态下，年幼的神经系统很大程度上是一个主动的生物体，胎儿、早产儿、足月儿和生后数月内小婴儿的自发性运动具有重要的临床意义。 人们在一百多年前就已知道年幼人类神经系统能够内源性产生各种运动模式，并不需要特定的感觉输入引发。20世纪80年代由于先进超声设备的引进使得长时间的重复直接观察胎儿运动成为可能,11,12,13,。人们观察到头部侧屈是最早出现的胎儿运动，在妊娠7周半至8周发生。妊娠9周至～10周出现复杂的全身运动和惊吓反应，一1周后（妊娠10周至～11周）出现臂或腿的孤立运动。更多的自发性胎儿运动模式随后逐渐出现。胎儿运动自最初出现就呈现出明显的运动模式，没有一个阶段表现为无定形的任意运动。这些内源性产生的胎儿运动模式可持续到出生后，大体上，出生后头2个月内的运动模式是出生前胎儿运动模式在出生后的延续。 全身运动是最常出现和最复杂的一种自发性运动模式，最早出现于妊娠9周的胎儿，持续至出生后5个月到～6个月，能够十分有效地评估年幼神经系统的 全身运动质量评估在高危儿随访及神经损伤康复中的应用研究 摘要目的探讨全身运动（GMs）质量评估在高危儿随访及神经损伤康复中的应用效果。方法对86例高危新生儿进行定期GMs质量评估，对异常结果进行专业指导、家庭和住院康复相结合的早期干预。总结其临床效果。结果扭动运动阶段GMs16.28%为DA，37.21%为MA，经过早期干预，不安运动阶段GMs有6.98%为DA，2.91%为MA，两阶段异常GMs比较差异有统计学意义（P＜0.01）。其中12月龄后诊断脑瘫3例，均为轻度。回顾性分析脑瘫患儿扭动和不安运动阶段GMs均为异常，且均有F-。不安运动阶段GMs继续表现为显著异常5例次，发展为脑瘫3例（60%）。结论GMs质量评估可作为高危儿随访及神经损伤常规筛查、指导治疗的工具。方法简便、非侵入性，家长依丛性高，非常适于推广。 【关健词】全身运动质量评估；高危儿；神经损伤；康复 随着围生医学技术的提高，早产、窒息等高危新生儿病死率明显下降，但脑瘫发病率并无下降[1]。临床传统神经学评估存在两大弱点：①具有两面性：简单版不可靠，而可靠的复杂冗长耗时太长；②不能特异性地预测神经学结局。GMs质量评估在高危儿严重神经损伤的早期就具有满意的预测效度，并且对于“后期是否发展为脑瘫”具有较高预测价值[2]。本研究将GMs质量评估应用于高危儿随访及神经损伤康复中，追踪观察2年，现将结果报告如下。 1 资料与方法 1. 1 一般资料选取2014年1～12月在濮阳市第三人民医院新生儿病房住院和门诊就诊的86例高危新生儿，其中围生期窒息14 例，缺血缺氧性脑病22例，新生儿高胆红素血症8例，新生儿肺炎22例，早产儿17例，颅内出血3例；其中59例合并2种以上高危因素。排除明确诊断的先天发育畸形、染色体异常等。其中男58例，女28例，孕周30+5～42+1周， 平均孕周（38.1±2.1）周；出生体重2.1～4.3 kg，平均体重（3.16±0.38）kg。 1. 2 方法对高危新生儿进行定期GMs质量评估，具体方法如下。 1. 2. 1 GMs质量评估时间①扭动阶段（足月后2月龄以内）2次：生后第7～10天、1个月各1次录像。②不安运动阶段（足月后2～6个月龄之间）2次：出生后3、5个月各1次。 1. 2. 2 标准化录象录制模式[3] 录像方法：专用拍摄室：环境安静、安全，室温28～30℃，光线柔和。婴儿穿拍摄服，置于拍摄床，索尼录像机记录婴儿清醒、状态良好时的GMs轨迹5～10 min。避免哭闹及持续打嗝。将每个婴儿不同阶段的GMs录像依次进行剪辑整理，编号保存电脑集中评估，回顾性分析运动发育轨迹。 第3篇 动力学 第10章 质点运动微分方程 一、目的要求 1．对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基本定律要在物理课程的基础上进一步理解其实质。 2．深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握质点动力学第一类基本问题的解法。 3．掌握质点动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为常力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解方法。对运动的初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用有清晰的认识，并会根据题目的已知条件正确提出运动的初始条件。 二、基本内容 1．基本概念： 动力学的基本定律，质点的运动微分方程；质点动力学的两类基本问题。 2．主要公式： （1）牛顿第二定律：a m F =（式中，质点的质量为m ，所受合力为F ，其加速度为a 。） （2）质点运动微分方程 1）矢径形式：22dt r d m F =或F r m =，∑=i F F 2）直角坐标形式：∑=x F dt x d m 22，∑=y F dt y d m 22，∑=z F dt z d m 22 3）自然坐标形式：2n m F υρ=∑，d m F dt τυ =∑，∑ = b F 0 强调：动力学基本定律仅在惯性参考系中成立，因此，公式中的速度、加速度指的是绝对速度和绝对加速度。 三、重点和难点 1．重点： （1）建立质点运动微分方程。 （2）求解质点动力学的两类基本问题。 2．难点： 在质点动力学第二类问题中，根据题目所要求的问题对质点运动微分方程进行变量交换后再积分的方法。 四、教学提示 1．建议 （1）在复习物理课程有关内容的基础上，进一步理解动力学各定律的实质，了解古典力学的适用范围。 （2）复习和运用静力学中的合力投影定理与点的运动学知识，学习如何建立不同形式的质点运动微分方程。 （3）注意区分质点动力学的两类基本问题及其解题特点，归纳动力学问题的解题步骤。 2.建议学时 课内（2学时）课外（3学时） 3．作业 10-5，10-12，10-14 一般变质量问题的动力学方程与解题方法 摘要：对变质量问题的动力学方程提出简单的引入方法，从而得出不同形式的动力学方程,解决不同的变质量运动问题。 关键词：变质量，动力学方程， 合外力 在普通物理及理论力学中的所谓变质量问题，是指与外界有物质交换而使其质量不断发生变化的物体，也正是由于其质量随时间变化而变化这一特点的出现，使学生感到困惑，加强这一内容，不仅能使学生加深对力学基本概念和基本规律的理解，而且可以培养学生分析问题和解决问题的能力。 1.变质量物体的动力学方程 在普通物理及理论力学的教学过程中，都会遇到有关变质量物体的运动问题，而这类问题的解决过程，则需要用到变质量物体的运动方程，现在我们将求出物体按一定规律变化（减少或增加）时的动力学方程，即变质量物体的动力学方程。 设一物质（主体）的质量在t 时刻为m ，它的速度是v → （v < 第二章 基本方程 关于常质量系统的质量守恒方程、能量守恒方程、熵方程以及气体状态方程和过程方程在工程热力学中均已详述，本章则讨论这些方程用于变质量系统的表达式。 2-1 状态方程及热性质 一、状态方程 对于单相纯物质所构成的简单热力系，其状态方程式为f （p ，v ，T ）=0。对于变质量系统，通常用如下更有用的形式： f （p ，V ，T ，m ）=0 若工质为理想气体，则状态方程为 pV=mRT (2-1) 式中压力p 、容积V 、温度T 和质量m 都是变量，R 是气体常数。将式（2-1）微分，得 RTdm mRdT Vdp pdV +=+ 两边除以mRT ，即可得到状态方程的微分形式： 0=--+T dT m dm V dV p dp 研究变质量系统问题时经常要用到状态方程的微分形式。 二、内能和焓 理想气体的内能U 、焓H 只是温度的函数。若取定比热，以0K 时的内能和焓为基点，取其值为零，则任一温度TK 时的内能和焓为： T mc mu U v == (2-2a) T mc mh H p == (2-2b) 式中c v 为定容比热，c p 为定压比热。理想气体的定容比热c v 和定压比热c p 之间有如下关系： R c c v p =- (2-3) k c c v p = (2-4) 因为变质量系统中质量m 是变量，因而 Tdm c dT mc dmu dU v v +== (2-5) Tdm c dT mc dmh dH p p +== (2-5a) 2-2 变质量系统质量守恒方程 质量守恒就是说：质量不能毁灭，也不能创生。应用此定律时，必须摒弃质量已转变为能量的核子过程，或反之，必须承认物体以接近光速的速度运动时其质量的增加。然而，涉及此类设想之过程均属特殊范畴，而我们感兴趣的则是一般过程的质量平衡，特别是开口系的流动过程。 取控制容积，若过程中有质量为m i 的物质进入控制容积，质量为m e 的物质离开控制容积，则进、出质量之差必然增加了控制容积的质量而贮存于系统中，也就是说 进入的质量=系统中贮存质量的变化+离开的质量 或表示为 e cv i m m m m +-=)(12 cv e i m m m m )(12-=- (2-6) m 2为控制容积最终贮存的质量，m 1为最初贮存的质量。 假定取时间dt ，在dt 时间内进入控制容积的微元质量为i m δ，离开的微元质量为 e m δ，则上式又可表示为 cv e i dm m m =-δδ (2-6a) 以上两式即是质量守恒的一般方程式。此两式说明：控制容积总质量的改变等于与外界交换的质量。其实，任何守恒原理均可表示为 加入的=Δ（贮存的）+离开的 假如开口系中除了有与外界的质量交换外，系统内组元间还有化学反应，则对组元来说，其质量变化可由两部分组成：一部分是与外界的质量交换，另一部分则是由于体系内部发生变化而引起。这时 Applied Physics 应用物理, 2018, 8(6), 282-284 Published Online June 2018 in Hans. https://www.doczj.com/doc/af6817825.html,/journal/app https://https://www.doczj.com/doc/af6817825.html,/10.12677/app.2018.86035 Derivation of Motion Equation of Variable Mass Moving Rocket Haiyang Chen Baise University, Baise Guangxi Received: Jun. 1st, 2018; accepted: Jun. 18th, 2018; published: Jun. 25th, 2018 Abstract In this paper, the law of conservation of momentum is expressed: a system is free from external force or external force as zero or internal force is far greater than external force. The increment of the total momentum of the system is zero as the basis, and the equation of motion of fire and ar-row with variable mass motion is obtained in a relatively concise way according to the momentum theorem. The derivation process in this paper will make it easier for readers to understand the equation of motion of variable mass. Keywords Law of Conservation of Momentum, Momentum Theorem, Variable Mass Motion, Rocket Motion Equation 变质量运动火箭运动方程的推导 陈海洋 百色学院，广西百色 收稿日期：2018年6月1日；录用日期：2018年6月18日；发布日期：2018年6月25日 摘要 本文以对动量守恒定律的表述：一个系统不受外力或所受外力之和为零或内力远远大于外力，这个系统总动量的增量为零作为基础，并根据动量定理，运用比较简洁的方式，得出了变质量运动火箭运动方程。 文中推导过程将更易于读者对变质量运动方程的理解。 变质量物体的运动微分方程及火箭运动 专业：物理学 学号: 0840******** 姓名: 秦瑞锋 变质量物体的运动微分方程及火箭运动 秦瑞锋 (物理与电气工程系09级物理学专业,0840********) 摘要:我们已经了解了一定质量的系统的运动学方程和动力学方程,但在实际问题中,系统的质量往往是变化（按一定规律减少或增加）的,我们所学的一定质量的物体的运动学或动力学方程却不适用于变质量系统,下面我们将研究变质量系统的运动学和动力学的若干方程,以及变质量物体的运动规律. 关键字: 变质量系统 运动微分方程 火箭 动能定理 动量定理 一、变质量物体的基本运动微分方程 在以前的学习中，我们接触到的质点或者质点组系统运动过程中，本身的质量不会发生变化。但在实际生活和自然现象中，在某时刻有一部分质量进入或者离开我么们所要研究的对象，经常有变质量系统的运动情况，例如，地球的质量由于陨石的降落而增加，飞行中的喷气飞机和火箭随着燃料的减少质量减少，浮冰由于溶化而减少质量，运动着的传送带在某时可添加或取走货物，下降的陨石由于空气的作用发生破碎或者燃烧使质量减少……这些质点系在运动过程中，不断发生系统外的质点并入，或系统内的质点分离，以致系统的总质量随时间不断改变，我们称这些系统为变质量系统。那么该用怎样的方法研究变质量系统的运动情况呢？ 我们可以假设在任何时刻，系统的分离或并入的质量是小量，两次发生分离或并入的时间间隔是小量，在这些理想的假设下，离开质点系的质量)(m 2t 和进入质点系的质量)(1t m 是时间的连续可微函数，如果系统的质量m t 在t=0时刻为m 0，则它随着时间的变化规律为)()()(2 1 t t t m m m m + - = ，那对应的关于质量的一些物理量也是对时间的可微函数， 得到微分方程后，进行积分，问题可解决。 设变质量质点的质量m 是时间t 的函数，即m ＝m (t )。在瞬时t ，质点的质量为m (t )， 质点对于定坐标系Oxyz 的速度为v (图1)，即将与之合并的微粒的质量为d m (t )，其对Oxyz 的速度为u 。在瞬时t +d t ，微粒与质点合并。于是质点的质量变为(m +d m )，其对Oxyz 的速度成为v +d v 。对于质量分出的情况则d m ＜0，即 dt dm 为负。 m 和d m 所组成的质点系在瞬时t 的动量为m v +u d m ;在瞬时t +d t 的动量为(m +d m )(v +d v )。 在d t 时间内，动量的增加t F p d ??= 为： p d ＝(m ＋d m ))(v d v +－(m v ＋u d m )。 热传导微分方程 导热又称热传导，是两个相互接触的物体或同一物体的各部分之间，由于温度不同而引起的热量传递现象。此时热量主要依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的运动进行传递，没有明显的物质转移。热量可以通过固体、液体以及气体进行传导，但是严格来说，单纯的导热只发生在密实的固体物质中。 1 傅立叶定律 傅立叶定律是导热理论的基础。其向量表达式为: q gradT λ=-? (2-1) 式中:q ——热流密度，是一个向量，2/()Kcal m h gradT ——温度梯度，也是一个向量，℃/m 。 λ——导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C o ； 式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。 2 导热系数（thermal conductivity ）及其影响因素 导热系数λ（ /()Kcal mh C o ）是热传导过程中一个重要的比例常数，在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。 导热系数是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为1度（K ，°C）,在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示，单位为瓦/米·度，w/m·k （W/m·K,此处的K 可用℃代替）。 导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。单位是：W/(m·K)。 在上述假设前提下，建立煤层瓦斯流动数学模型的控制方程。 3．热传导微分方程推导 在t 时刻w 界面的温度梯度为 x T ?? 在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x T x T dx x x T x T 22??+??=???? +?? 单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz x T ??-λ ； 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为：dydz dx x T x T ?? ? ? ????+??-22λ； 单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz x T 22??λ 图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图 同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz y T 22??λ 单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T 22??λ 单位时间内流入六面体的总热量为： dxdydz z T y T x T ??? ?????+??+??222222λ (3-1)运动微分方程
变质量动力学
第九讲 变质量物体的运动
全身运动(GMs)质量评估Word版
变质量物体的运动微分方程研讨(doc 6页)
4.2 理想流体的运动微分方程讲解
第3章--振动系统的运动微分方程题解
体转运动 体侧运动 全身运动
运动微分方程推导
全身运动GMs质量评估
全身运动质量评估在高危儿随访及神经损伤康复中的应用研究
质点运动微分方程
论文：一般变质量问题的动力学方程与解题方法
第二章 变质量系统热力学基本方程
变质量运动火箭运动方程的推导
由变质量运动方程到火箭的运动方程
热传导+对流微分方程推导
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