1设总体X~N(60

习 题 六

1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.

2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2)内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？

3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）.

4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.

5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，S 2为其样本方差，且P （S 2＞a ）=0.1，求a 之值.

6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量

Y =

∑∑==-i i

i i X

X n 62512)15(，n ＞5 服从何种分布？

7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率.

8.设总体X ~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =()

215212************ X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 . （2001研考）

9.设总体X ~N （μ1,σ2）,总体Y ~N (μ2,σ2),X 1,X 2,…,1n X 和Y 1，Y 2，…，2n X 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则

?????

???????-+-+-∑∑==2)()(21121221n n Y Y X X E n j j n i i = . (2004研考) 10.设总体X ~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X 2n （n ≥2）是总体X 的一个样本，∑==n

i i X n X 2121，令Y =∑=+-+n i i n i X X X

12)2(，求EY . （2001研考）

11. 设总体X 的概率密度为f (x )=x e 21

(-∞

本，其样本方差为S 2，求ES 2. (2006研考)

正态分布

正态分布 1．关于正态分布N (μ，σ2)，下列说法正确的是( ) A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件 B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件 C ．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件 D ．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件 2．已知随机变量ξ服从正态分布N (4，σ2)，则P (ξ＞4)＝( ) A.15 B .14 C.13 D .12 3．若随机变量X 的密度函数为f (x )＝12π·e －x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( ) A ．p 1>p 2 B ．p 1

c )＝p ,则p 的值为( ) A ．0 B ．0.5 C ．1 D ．不确定 9．已知随机变量X ～N (0,σ2)．若P (X >2)＝0.023,则P (－2≤X ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977 10．某地区高二女生的体重X (单位:kg)服从正态分布N (50,25),若该地区共有高二女生2 000人,则体重在50 kg ～65 kg 间的女生共有( ) A ．683人 B ．954人 C ．997人 D ．994人 11．图是三个正态分布X ～N (0,0.25)，Y ～N (0,1)，Z ～N (0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________. 12．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ

随机变量及其分布--正态分布

正态分布 知识点 一、正态曲线 函数f(x)＝1 2πσ 2 2 () 2 e xμ σ - - ，x∈R的图象如图所示 x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值1 σ2π ； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：

二、正态分布 bφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正一般地，如果对于任何实数a，b(a

【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差． 【过关练习】 1.某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是() A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同

正态分布

正态分布 1．正态曲线 函数φμ，σ(x )＝1 2πσ e －（x －μ） 2 2σ2 ，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝??a b φμ，σ(x)d x ，则 称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和 σ确定，因此正态分布常记作N(μ， σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)． 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小 的特征数，可以用样本的标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布称为标准正态分布． 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ(x )＝1 2πσ e －（x －μ） 2 2σ2 ，x ∈R 有以下性质： (1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称． (3)曲线在x ＝μ处达到峰值 1 σ2π ． (4)曲线与x 轴之间的面积为 1． (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682__7； P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954__5； P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997__3．