完全平方公式与平方
差公式
《完全平方公式与平方差公式》教学设计
第1课时完全平方公式
1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点) 2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点)
一、情境导入
计算：
(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；
(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.
由上述计算，你发现了什么结论？
二、合作探究
探究点：完全平方公式
【类型一】直接运用完全平方公式进行计算
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题
【类型二】构造完全平方式
如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型三】运用完全平方公式进行简便计算
利用完全平方公式计算：
(1)992; (2)1022.
解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；
(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.
方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写
成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第13题
【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值
若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1.
(1)求1
x2＋1
y2的值；
(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．
解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．
解：(1)∵(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，∴x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝
1，4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，∴1
x2＋
1
y2＝
x2＋y2
x2y2＝
（x＋y）2－2xy
x2y2＝
9－2×2
22＝5 4；
(2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝x2y2＋(x ＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.
方法总结：所求的展开式中都含有xy或x＋y时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
【类型五】完全平方公式的几何背景
我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是()
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C.
方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型六】与完全平方公式有关的探究问题
下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a ＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.
解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋
3ab2＋b3可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此(a＋b)6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1，故填20.
方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题
三、板书设计
1．完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．完全平方公式的运用
本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆
平方差公式 令狐采学 ◆基础训练 1．（a2+b2）（a2－b2）=（____）2－（____）2=______． 2．（－2x2－3y2）（2x2－3y2）=（____）2－（____）2=_____． 3．20×19=（20+____）（20－____）=_____－_____=_____． 4．9.3×10.7=（____－_____）（____+____）=____－_____． 5．20062－2005×2007的计算结果为（） A．1 B．－1 C．2 D．－2 6．在下列各式中，运算结果是b2－16a2的是（） A．（－4a+b）（－4a－b）B．（－4a+b）（4a－b） C．（b+2a）（b－8a）D．（－4a－b）（4a－b）
7．运用平方差公式计算． （1）102×98 （2）2×3（3）－2.7×3.3 （4）1007×993 （5）12×11（6）－19×20 （7）（3a+2b）（3a－2b）－b（a－b）（8）（a－1）（a－2）（a+1）（a+2） （9）（a+b）（a－b）+（a+2b）（a－2b）（10）（x+2y）（x－2y）－（2x+5y）（2x－5y）（11）（2m－5）（5+2m）+（－4m－3）（4m－3） （12）（a+b）（a－b）－（a－3b）（a+3b）+（－2a+3b）（－2a－3b） ◆综合应用 8．（3a+b）（____）=b2－9a2；（a+b－m）（____）=b2－（a－m）2． 9．先化简，再求值:（3a+1）（3a－1）－（2a－3）（3a+2），其中a=－． 10．运用平方差公式计算:
平方差公式（提高） 知识讲解 【学习目标】 1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： ()()22a b a b a b -=+- 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边 是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——平方差公式 【高清课堂400108 因式分解之公式法 例1】 1、分解因式： （1）2()4x y +-； （2）2216()25()a b a b --+； （3）22 (2)(21)x x +--． 【思路点拨】（1）把x y +看做整体，变形为22()2x y +-后分解．（2）216()a b -可写成2[4()]a b -，225()a b +可写成2[5()]a b +，4()a b -和5()a b +分别相当于公式里的a 和b ．（3）把(2)x +、(21)x -看作一个整体进行分解． 【答案与解析】 解：（1）222 ()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-． （2）222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+
解析完全平方公式 完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解 (如对公式中积的一次项系数的理解)．我在教学完全平方公式后反思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式与；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。现我结合教授完全平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析： 一、理解公式左右边特征 （一）学会推导公式（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意“创造”的不正确性； （二）学会用文字概述公式的含义： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍． 与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． （三）这两个公式的结构特征是：
1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）； 3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．（四）两个公式的统一： 因为 所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。 二、把握运用公式四步曲： 1、“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算． 2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式． 3、“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的
完全平方公式的典型应用 题型一、完全平方公式的应用 例1、计算（1）（－ 21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 题型三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 5．代数式xy －x 2－ 41y 2等于－（ ）2 题型四、配方思想 1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 3、已知222450x y x y +--+=，求 21(1)2x xy --=_______. 4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______. 5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角
平方差与完全平方公式教案与答案
15.2.1 平方差公式 知识导学 1．平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 平方差公式的灵活运用：通过变形，转化为符合平方差公式的形式，也可以逆用平方差公式，连续运用平方差公式，都可以简化运算。 典例解悟 例1. 计算：（1）(2x+3y)(2x-3y) (2) (-4m2-1)(-4m2+1) 解：（1）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2 (2) (-4m2-1)(-4m2+1)=(-4m2)2-12=16m4-1 感悟：正确掌握平方差公式的结构，分清“相同项”与“相反项”，再结合已学知识计算本题。其中第（2）题中的相同项是-4m2,不能误以为含有负号的项一定是相反项。 例2.先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y),其中x=8,y=-8. 解：原式=(x2-4y2)-(y2-4x2)=5x2-5y2. 当x=8，y=-8时，原式=5×82-5×(-8)2=0.
感悟：本题是整式的混合运算，其中两个多项式相乘符合平方差公式的特征。在本题(2x-y)(-2x-y)中，相同项是-y，相反项是2x与-2x，应根据加法的交换律，将此式转化为（-y+2x）（-y-2x）。阶梯训练 A级 1.下列各多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A.(-a-b)(a+b) B.(-a-b)(a-b) C.(-a+b)(a-b) D.(a+b)(a+b) 2.在下列各式中，计算结果是a2 -16b2 的是（） A．（-4b+a）（-4b-a） B.(-4b+a)(4b-a) C．（a+2b）（a-8b） D.(-4b-a)(4b-a) 3.下列各式计算正确的是（） A.（x+3）（x-3）=x2 -3 B．（2x+3）（2x-3）=2x2 -9 C.（2x+3）（x-3）=2x2 -9 D．（2x+3）（2x-3）=4x2 -9 4．（0.3x-0.1）（0.3x+0.1）=_________ 5. (2 3x+3 4 y) (2 3 x-3 4 y) = _________ 6.（-3m-5n）（3m-5n）=_________
《完全平方公式与平方差公式》教学设计 第1课时完全平方公式 1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点) 2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点) 一、情境导入 计算： (1)(x＋1)2; (2)(x－1)2； (3)(a＋b)2; (4)(a－b)2. 由上述计算，你发现了什么结论？ 二、合作探究 探究点：完全平方公式 【类型一】直接运用完全平方公式进行计算 利用完全平方公式计算： (1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2. 解析：直接运用完全平方公式进行计算即可． 解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题 【类型二】构造完全平方式 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值． 解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m 的值． 解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】运用完全平方公式进行简便计算 利用完全平方公式计算： (1)992; (2)1022. 解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801； (2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404. 方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成
年级八年级课题完全平方公式课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1．经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一 步发展符号感和推理能力． 2．会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．过程 方法 进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力． 情感 态度 了解数学的历史，激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索算法的多样化，有意 识地培养学生的创新能力． 教学重点(a±b)2＝a2±2ab＋b2的推导及应用． 教学难点完全平方公式的推导和公式结构特点及其应用． 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习旧知 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________； （2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________； （3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________； （4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________． 答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4． 二、探究新知 1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2． （a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab －ab+b2=a2－2ab+b2． 2.归纳完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即学生利用多项式与 多项式相乘的法则 进行计算，观察计算 结果，寻找一般性的 结论，并进行归纳 教师让学生利用多 项式的乘法法则进 行推理. 教师让学生用自己 的语言叙述所发现 的规律，允许学生之 间互相补充，教师不 急于概括． 这里是对前边 进行的运算的 复习，目的是 让学生通过观 察、归纳，鼓 励他们发现这 个公式的一些 特点，如公式 左右边的特 征，便于进一 步应用公式计 算 公式的推导既 是对上述特例 的概括，更是 从特殊到一般 的归纳证明， 在此应注意向 学生渗透数学
4.61平方差公式（基础） 【学习目标】 1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： ()()22a b a b a b -=+- 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式） 的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式. 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——平方差公式 1、下列各式中能用平方差公式分解因式的有________（填序号）． ①2 2 a b --；②2 2 4a b -；③224x y --；④22 91a b -+； ⑤22()()x y y x -+-；⑥4 1x -． 【答案】②④⑥； 【解析】①⑤是两个符号相同的平方项，不能用平方差公式分解．③是三项式，不符合平方差公式的特点．② ④⑥都能写成两个数（式）的平方差，在实数范围内能够运用平方差公式． 【总结升华】能否运用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断．分别从项数、符号、平方项等方面来判断． 2、分解因式： （1）2 2 9a b -； （2）22 251x y -； （3）22 168194 a b - +； （4）214m -+． 【思路点拨】本题都符合平方差公式的特点，可以分别写成两数（式）平方差的形式，然后运用平方差公式进 行因式分解. 【答案与解析】 解：（1）22229(3)(3)(3)a b a b a b a b -=-=+-． （2）2222251(5)1(51)(51)x y xy xy xy -=-=+-． （3）22 221681949 49494232 323a b b a b a b a ????????-+=-=+- ? ? ???????????． （4）22214(2)1(21)(21)m m m m -+=-=+-． 【总结升华】（1）可以利用加法的交换律把负平方项交换放在后面．（2）“1”是平方项，可以写成“2 1”．（3）一定要把两项写成2 2 a b -的形式，再套用平方差公式． 举一反三： 【变式1】分解因式： （1）212516 m -；（2）22 (2)16(1)x x -++-． 【答案】 解：（1）212516m -2 2111555444m m m ??? ???=-=+- ? ?????? ???． （2）2 2 (2)16(1)x x -++-2 2 16(1)(2)x x =--+ [4(1)(2)][4(1)(2)]x x x x =-++--+ (36)(52)3(2)(52)x x x x =--=--． 【变式2】下列分解因式中，错误的是（ ） A ．2 4(2)1(23)(25)x x x --=-- B ．2211 2(2)(2)22 n m n m n m - +=-+- C ．2 2 2 16()9()(7)a b a b a b --+=-- D ．2 19(13)(13)x x x -=+- 【答案】C ； 提示：()()2 2 16()9()77a b a b a b a b --+=-- . 类型二、平方差公式的应用 3、对于任何整数m ，多项式2 (45)81m +-都能被（ ）整除． A ．8 B ．m C ．2m ＋1 D ．m ＋1
14.3.2公式法（完全平方公式） 一、内容及内容解析 1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。 2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14. 3.2公式法的内容。主要是利用完全 平方公式进行因式分解。因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其 是多项式的乘法关系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因 式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。 二、目标及目标解析 1.目标： （1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式； （2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。 2.目标解析： 达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式 的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。 达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并 且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。从而培养学生的观察和联想能力。 再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。 三、教学问题诊断分析 在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因 式分解。这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式， 再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。 在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生 尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。另外，平 方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。 四、教学过程设计： ●教学基本流程：课前回顾——揭示（学习）目标——指导自学——巡视自学——检查（自学）效果——讨论（学生），点拨（教师）——当堂训练——课后小结 ●教学情景： （一）课前回顾： 1.因式分解的定义: 把一个（）化成几个（）的积的形式。 练一练: 2a-2= ；a2-1= ；2a2-2= ； 因式分解要注意：有公因式先提公因式;分解因式要彻底
完全平方公式 一、教学目标 1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征． 2．熟练使用公式实行计算． 3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的水平． 4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想． 5．渗透数学公式的结构美、和谐美． 二、学法引导 1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法． 2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，使用完全平方公式计算时，要注意： （1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉． （3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式实行计算；若不能变为符合条件的形式，则应使用乘法法则实行计算． 三、重点·难点及解决办法 （一）重点 掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，准确使用公式实行计算．（二）难点 综合使用平方差公式与完全平方公式实行计算． （三）解决办法 增强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．
四、课时安排 一课时． 五、教具学具准备 投影仪或电脑、自制胶片． 六、师生互动活动设计 1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征． 2．引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维水平． 3．举例分析如何准确使用完全平方公式，师生共练完成本课时重点内容． 4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题． 七、教学步骤 （一）明确目标 本节课重点学习完全平方公式及其应用． （二）整体感知 掌握好完全平方公式的关键在于能准确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律． （三）教学过程 1．计算导入；求得公式 （1）叙述平方差公式的内容并用字母表示； （2）用简便方法计算 ①103×97 ②103× 103 （3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果． 学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．
《14.2.1平方差公式》教学设计 明水二中刘培国 一、内容和内容解析 内容 人教版数学八年级上册“14.2乘法公式”（第一课时） 内容解析 《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式. 本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算. 二、目标和目标解析 目标 1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 目标解析： 1、让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性. 2、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.
数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?
答：有完全平方公式。 请写出完全平方公式。 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。
完全平方公式讲解 第一部分概念导入 1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______； （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______； 2．学生计算 3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4 4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。 推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】 得到公式，分析公式 （1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （2）公式特征 左边：二项式的平方 右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和． 注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”． （3）公式中字母可代表的含义 公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式． （4）几何解释 图1－5 图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性． 【学习方法指导】 ［例1］计算 （1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2 点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．
第2课时 完全平方公式 知识点 1 完全平方公式 1．填空：(1)(x ＋2)2＝x 2＋2·________·________＋________2 ＝__________； (2)(2a －3b )2 ＝________2 ＋________＋________2 ＝__________． 2．下列计算正确的有( ) ①(a ＋b )2 ＝a 2 ＋b 2 ； ②(a －b )2 ＝a 2 －b 2 ； ③(a ＋2b )2 ＝a 2 ＋2ab ＋2b 2 ； ④(－2m －3n )2 ＝(2m ＋3n )2 . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．若x 2 ＋16x ＋m 是完全平方式，则m 的值是( ) A ．4 B ．16 C ．32 D ．64 4．计算：(1)(2x ＋y )2 ＝______________； (2)? ?? ??12x －2y 2 ＝______________； (3)(－2x ＋3y )2＝______________； (4)(－2m －5n )2 ＝______________． 5．计算：(1)(x ＋y )2－x (2y －x )； (2)计算：(a ＋1)(a －1)－(a －2)2 ； (3)(x ＋y －3)2 . 知识点 2 完全平方公式的几何意义 6．利用如图8－5－3①所示的长为a 、宽为b 的长方形卡片4张，拼成了如图8－5－3②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为( ) 图8－5－3 A ．(a －b )2＋4ab ＝(a ＋b )2 B ．(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2 C ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2 D ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2 知识点 3 利用完全平方公式进行简便计算 7．计算：3012 ＝________． 8．用简便方法计算：20182－4036×2019＋20192 . 知识点 4 与完全平方公式有关的化简求值问题 9．(1)[2018·宁波]先化简，再求值：(x －1)2 ＋x (3－x )，其中x ＝－12. (2)已知代数式(x －2y )2 －(x －y )(x ＋y )－2y 2 . ①当x ＝1，y ＝3时，求代数式的值； ②当4x ＝3y 时求代数式的值．
完全平方公式的五种常见应用举例 完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明. 一、正用 根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22 (23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22 [(2)3]m m =--222(2)6(2)9 m m m m =---+4322446129 m m m m m =-+-++43242129 m m m m =--++ 思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用 将公式逆向使用，即由右向左套用. 例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( ) 222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019 b x =+20172020 c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2 c a -=∴222 a b c ab bc ac ++---2221(222222)2 a b c ab bc ac = ++---2222221(222)2 a a b b b b c c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2 a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+
1、利用平方差公式计算： （1）(m+2) (m-2) (2)(1+3a) (1-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4)(y+3z) (y-3z) 2、利用平方差公式计算 （1）(5+6x) (5-6x) (2)(x-2y) (x+2y) (3)(-m+n)(-m-n) 3利用平方差公式计算 （1）(1)(-41x-y)(-4 1x+y) (2)(ab+8)(ab-8) (3)(m+n)(m-n)+3n 2 4、利用平方差公式计算 (1)(a+2)(a-2) (2)(3a+2b)(3a-2b) (3)(-x+1)(-x-1) (4)(-4k+3)(-4k-3)
5、利用平方差公式计算 （1）803×797 （2）398×402 7．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b） C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a） D．（a2－b）（b2+a） 8．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）（x+y）=－（x－y（x+y）=－x2－y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 10．（－2x+y）（－2x－y）=______． 11．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 12．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2． 13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 14．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．
完全平方公式优秀教学设计 完全平方公式优秀教学设计 篇一：完全平方公式(1)教学设计 【教材分析】 本节内容是初中数学（北师大版）七年级下册第一章《整式的运算》中的——1.8完全平方公式。 一、教材的地位和前后联系：完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用. 一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容。 二、教材设计的思想方法： 教材按照学生的认知规律，从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，使学生对公式从感性认识、直观认识到本质认识。逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。由此，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，它在本章中起着举足轻重的作用。 【学情分析】 1．认知基础:学生已学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、
整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础。但是对于几何图形如何用代数来表示，从而表示图形的面积，学生会有一定困难，另外，在具体运用公式时，学生的感性认识往往表现比较突出，一部分学生总是会出现(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2的问题，对公式中a、b的理解，对“和”“差”符号的区别也会有些障碍。 2.活动经验基础：在平方差公式一节中，学生已经经历了探索与应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力。 3.心理特征：初中阶段的学生逻辑思维能力、观察能力，记忆能力和想象能力都有一定的局限性，感性认识往往表现比较突出，很多学生还是处于模仿学习的思维阶段，但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的图形，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，发挥学生学习的主动性，要创造条件和机会，让学生发表见解，在辨别中提高认识。【教学目标】 1、知识与技能： 体会公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算。 2、过程与方法： 通过让学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、
平方差公式 公式： ( a+b)(a-b)= a 2-b 2 语言叙述：两数的 和乘以这两个数的差等 于这两个数的平方差 ， . 。 公式结构特点： 左边： (a+b)(a-b) 右边： a 2-b 2 熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。 (5+6x)(5-6x) 中 （5+6x) 是公式中的a ， (5-6x) 是公式中的b (5+6x) (5+6x) 中 (5+6x) 是公式中的a ， (5+6x) 是公式中的b (x-2y)(x+2y) 中 (x+2y)是公式中的a ， (x-2y) 是公式中的b (-m+n)(-m-n) 中 (-m-n) 是公式中的a ， (-m+n) 是公式中的b （a+b+c ）(a+b-c) 中 （a+b+c ） 是公式中的a ， (a+b-c) 是公式中的b （a-b+c ）(a-b-c) 中 （a-b+c ） 是公式中的a ， (a-b-c) 是公式中的b （a+b+c ）(a-b-c) 中 （a+b+c ） 是公式中的a ， (a-b-c) 是公式中的b 填空： 1、(2x-1)( （2x+1 )=4x 2-1 2、(-4x- 7y )( 7y -4x)=16x 2-49y 2 第一种情况：直接运用公式 1.（a+3）(a-3) 2..( 2a+3b)(2a-3b) = a 2-9 =4a 2 -9b 2 3. (1+2c)(1-2c) 4. (-x+2)(-x-2) =1-4C 2 =x 2-42平方差公式和完全平方公式强化练习答案 5. (2x+12)(2x-12) 6. (a+2b)(a-2b) =4x 2-1/4 =a 2-4b 2 7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b) =4a 2-25b 2 =4a 2-9b 2 第二种情况：运用公式使计算简便 1、 1998×2002 2、498×502 =(2000-2)(2000+2) =(500-2)(500+2) =4000000-4 =250000-4 =3999996 =249996 3、999×1001 4、1.01×0.99 =(1000-1)(1000+1) =(1+0.1)(1-0.1) =1000000-1 =1-0.01 =999999 =0.99 5、30.8×29.2 6、（100-13）×（99-23） =(30+0.8)(30-0.8) = =900-0.64 =899.46 7、（20-19）×（19-89） =(19+8/9)(19-8/9) =361-64/81 =11032/27 第三种情况：两次运用平方差公式 1、（a+b ）(a-b)(a 2+b 2) =(a 2-b 2) (a 2+b 2) =a 4-b 4 2、(a+2)(a-2)(a 2+4) =(a 2-4) (a 2+4) =a 4-16 3、(x- 12)(x 2+ 14)(x+ 12 ) =(x 2-1/4)( (x 2+ 14) =x 4-1/16 第四种情况：需要先变形再用平方差公式
完全平方公式（基础） 【学习目标】 1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——完全平方公式 1、 下列各式是完全平方式的是（ ）． A ．412+-x x B ．21x + C ．1++xy x D ．122-+x x 【思路点拨】完全平方式是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 【答案】A ； 【解析】2 21142x x x ??-+=- ???. 【总结升华】形如222a ab b ++，22 2a ab b -+的式子叫做完全平方式. 举一反三： 【变式】（2015春?临清市期末）若x 2+2（m ﹣3）x+16是完全平方式，则m 的值是（ ） A ．﹣1 B ． 7 C ． 7或﹣1 D ． 5或1 【答案】C.