历年自考线性代数试题
真题及答案分析解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.已知2阶行列式m b b a a =2
1
21,
n c c b b =2
1
21,则
=++2
21
121c a c a b b ( B )
A .n m -
B .m n -
C .n m +
D .)(n m +-
2.设A , B , C 均为n 阶方阵,BA AB =,CA AC =,则=ABC ( D ) A .ACB
B .CAB
C .CBA
D .BCA
3.设A 为3阶方阵,B 为4阶方阵,且1||=A ,2||-=B ,则行列式||||A B 之值为( A ) A .8-
B .2-
C .2
D .8
4.???
??
??=3332312322
21131211a a a
a a a a a a A ,????? ??=3332312322
211312
11333a a a a a a a a a B ,????? ??=100030001P ,???
?
?
??=100013001Q ,则=
B ( B ) A .PA B .AP
C .QA
D .AQ
5.已知A 是一个43?矩阵,下列命题中正确的是( C ) A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩(A )=2
B .若A 中存在2阶子式不为0,则秩(A )=2
C .若秩(A )=2,则A 中所有3阶子式都为0
D .若秩(A )=2,则A 中所有2阶子式都不为0
6.下列命题中错误..
的是( C ) A .只含有1个零向量的向量组线性相关 B .由3个2维向量组成的向量组线
性相关
C .由1个非零向量组成的向量组线性相关
D .2个成比例的向量组成的向量组线性相关
7.已知向量组321,,ααα线性无关,βααα,,,321线性相关,则( D ) A .1α必能由βαα,,32线性表出 B .2α必能由βαα,,31线性表出 C .3α必能由βαα,,21线性表出
D .β必能由321,,ααα线性表出
8.设A 为n m ?矩阵,n m ≠,则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩( D ) A .小于m
B .等于m
C .小于n
D .等于n
9.设A 为可逆矩阵,则与A 必有相同特征值的矩阵为( A ) A .T A
B .2A
C .1-A
D .*A
10.二次型212
322
213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为( C ) A .0 B .1 C .2
D .3
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 11.行列式
2010
2009
2008
2007的值为_____________.
12.设矩阵????
??-=102311A ,?
??
?
??=1002B ,则=B A T _____________.
13.设T )2,0,1,3(-=α,T )4,1,1,3(-=β,若向量γ满足βγα32
=+,则=γ__________.
14.设A 为n 阶可逆矩阵,且n
A 1||-=,则|=-||1A _____________.
15.设A 为n 阶矩阵,B 为n 阶非零矩阵,若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组
Ax =0的解,则=||A _____________.
16.齐次线性方程组???=+-=++0320
321
321x
x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为
_____________.
17.设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3-,则矩阵1
23
1-??
?
??A 必有一个特征值为
_________.
18.设矩阵??
?
?
?
??----=00202221x A 的特征值为2,1,4-,则数=x _____________.
19.已知????
?
?=10002
/102/1b a A 是正交矩阵,则=+b a _____________.
20.二次型323121321624),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是_____________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算行列式33
3222
c c b b a a c b a c
b a D +++=的值. 解:2
2
2
33
3
22233
3
222
11
1c b a c b a abc c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b a
D ==+++= ))()((1
1)
)((b c a c a b abc a
c a b a c a b abc ---=++--=.
22.已知矩阵)3,1,2(=B ,)3,2,1(=C ,求(1)C B A T =;(2)2A .
解:(1)????
? ??=????? ??==963321642)3,2,1(312C B A T
;
(2)注意到13312)3,2,1(=???
?
?
??=T CB ,所以
131313)())((2=====A C B C CB B C B C B A T T T T T ???
?
? ??963321642.
23.设向量组T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1),)0,3,1,1(,(1,2,0,1),(2,1,3,1)=--===αααα,求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.
解:??
?
?
?
?
?
?
?--==101113031121
111
2
),,,(4321ααααA →
??????? ?
?--11121303112110
1
1
→???
??
?
? ??------11102330011
01011
→???????
?
?--10002000011010
11→???????
??00001000011
01011→????
??
?
??-0000100001
1011
01,向量组的秩为3,421,,ααα是一个极大无关组,213ααα+-=.
24.已知矩阵????? ??=100210321A ,???
??
??--=315241B .(1)求1-A ;(2)解矩阵方程B AX =.
解:(1)????? ??=100010001100210321),(E A →???
?
? ??--100210301100010021
→????
?
??--100210121100010001,1
-A ????? ??--=100210121;
(2)==-B A X 1????? ??--100210121???
?
?
??---=????? ??--3111094315241.
25.问a 为何值时,线性方程组???
??=++=+=++6
322224
32321
32321x x x ax x x x x 有惟一解?有无穷多解?并在有解
时求出其解(在有无穷多解时,要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解).
解: ????? ??=63222204321),(a b A →???
?
? ??---2320220432
1a →????? ??-030022
04321a a . 3≠a 时,3)(),(==A r b A r ,有惟一解,此时→),(b A ???
??
??010********a →
????
?
??010********* →????? ??010*********→????? ??010*********,???
??===012
3
21x x x ; 3=a 时,n A r b A r <==2)(),(,有无穷多解,此时→),(b A ???
?
?
??000023204321
→????? ??000023202001→????? ??000012/3102001,??
?????=-==3
3
321
23
12
x x x x x ,通解为????? ??-+????? ??12/30012k ,其中k 为任
意常数.
26.设矩阵???
?? ??=3030002a a A 的三个特征值分别为5,2,1,求正的常数a 的值及可逆矩阵
P ,使???
?
? ??=-5000200011AP P .
解:由521)9(23
323
0300
02||2??=-===a a a
a a A ,得42=a ,2=a .
=-A E λ???
?
? ??-----320230
002
λλλ. 对于11=λ,解0)(=-x A E λ:
=-A E λ?
??
?
? ??-----22022000
1→????? ??000110001,?????=-==333210x x x x x ,取=1p ????? ??-110;
对于22=λ,解0)(=-x A E λ:
=-A E λ?
??
?
? ??----12021000
0→????? ??000100010,?????===003211x x x x ,取=2p ????? ??001;
对于53=λ,解0)(=-x A E λ:
=-A E λ????? ??--220220003→????? ??-000110001,???
??===33
3210
x
x x x x ,取=3
p ????? ??110. 令????? ??-==101101010),,(321p p p P ,则P 是可逆矩阵,使????
?
??=-5000200011
AP P .
四、证明题(本题6分)
27.设A ,B ,B A +均为n 阶正交矩阵,证明111)(---+=+B A B A .
证:A ,B ,B A +均为n 阶正交阵,则1-=A A T ,1-=B B T ,1)()(-+=+B A B A T ,所以
111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T .
全国2010年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.设3阶方阵),,(321ααα=A ,其中i α(3,2,1=i )为A 的列向量,若
=||B 6|),,2(|3221=+αααα,则=||A ( C )
A .12-
B .6-
C .6
D .12
2.计算行列式
=----3
23
2
020005
1020203
( A )
A .180-
B .120-
C .120
D .180
3.若A 为3阶方阵且2||1=-A
,则=|2|A ( C ) A .2
1 B .
2 C .4
D .8
4.设4321,,,αααα都是3维向量,则必有( B ) A .4321,,,αααα线性无关 B .4321,,,αααα线性相关 C .1α可由432,,ααα线性表示
D .1α不可由432,,ααα线性表
示
5.若A 为6阶方阵,齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2,则=)(A r ( C ) A .2
B .3
C .4
D .5
6.设A 、B 为同阶方阵,且)()(B r A r =,则( C ) A .A 与B 相似
B .||||B A =
C .A 与B 等价
D .A 与B 合同
7.设A 为3阶方阵,其特征值分别为0,1,2,则=+|2|E A ( D ) A .0
B .2
C .3
D .24
8.若A 、B 相似,则下列说法错误的是( B ) A .A 与B 等价
B .A 与B 合同
C .||||B A =
D .A 与B
有相同特征值
9.若向量)1,2,1(-=α与),3,2(t =β正交,则=t ( D ) A .2-
B .0
C .2
D .4
10.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为0,1,2,则( B ) A .A 正定
B .A 半正定
C .A 负定
D .A 半负定
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
11.设?
???? ??-=421023A ,????
??--=010112B ,则=AB ______________.
12.设A 为3阶方阵,且3||=A ,则=-|3|1A ______________.
13.三元方程1321=++x x x 的通解是______________.
14.设)2,2,1(-=α,则与α反方向的单位向量是______________.
15.设A 为5阶方阵,且3)(=A r ,则线性空间}0|{==Ax x W 的维数是______________
.
16.
17.若A 、B 为5阶方阵,且0=Ax 只有零解,且3)(=B r ,则
=)(AB r ______________.
18.实对称矩阵???
?
? ??--110101012所对应的二次型=),,(321x x x f ______________.
19.设3元非齐次线性方程组b Ax =有解?
???
? ??=3211α,???
??
??-=3 2 12α,且2)(=A r ,则b
Ax =的通解是______________.
20.设???
?
?
??=321α,则T A αα=的非零特征值是______________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算5阶行列式2
000102000002000
00201
0002=D .
解:连续3次按第2行展开,
24382
11282
010*******
001020000201
0022=?=?
=?=?
=D .
22.设矩阵X 满足方程???
?? ??---=????? ??????? ??-021102341010100001200010002X ,求X .
解:记????? ??-=200010002A ,????
? ??=010100001B ,???
??
??---=021102341C ,则C AXB =,
????? ??-=-2/100010002/11A ,????
? ??=-010*******B ,
????? ??---=021********????? ??010100001????
?
??---=20102443121. 23.求非齐次线性方程组???
??=--+=+--=--+0
89544331
34321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解.
解:=),(b A ????? ??------089514431311311→???
?? ??------176401764011311→
???
?
?
??---00000176
4011311 →????? ??---0000017640441244→????? ??--000001764053604→????? ??----000004/14/72/3104/54
/32/301, ??????
???==++-=-+=44
33432431472341432345x x x x x x x x x x ,通解为??
??
??? ??-+??????? ??+??????? ??-104/74/3012/32/3004/14/521k k ,21,k k 都是任意常数. 24.求向量组)4,1,2,1(1-=α,)4,10,100,9(2=α,)8,2,4,2(3---=α的秩和一个极大无关组.
解:?????
?? ?
?----=844210141002291),,(321T
T T ααα→??????? ??----21121012501291→???????
??--08001900410291 →????
??
?
?
?-000000010291
→????
??
?
?
?-000000010201
,向量组的秩为2,21,αα是一个极大无关组. 25.已知???
?
?
??---=2135212b a A 的一个特征向量T )1,1,1(-=ξ,求b a ,及ξ所对应的特征值,
并写出对应于这个特征值的全部特征向量.
解:设λ是ξ所对应的特征值,则λξξ=A ,即???
??
??-=????? ??-????? ??---1111112135212λb a ,从而
????
?
??-=????? ??++-λλλ121b a ,可得3-=a ,0=b ,1-=λ; 对于1-=λ,解齐次方程组0)(=-x A E λ:
=-A E λ=????? ??+-+---201335212λλλ????? ??----101325213→????? ??----213325101→???
??
??110220101→
????? ??000110101,???
??=-=-=33
3
231x
x x x x x ,基础解系为?????
??--111,属于1-=λ的全部特征向量为k ???
?
?
??--111,k 为任意非零实数.
26.设???
?
? ??----=2211121211
2a A ,试确定a 使2)(=A r .
解:????? ??----=22111212112a A →????? ??----a 12121122211→???
?
? ??----2330233022
11a
→???
?
?
??--a 00023302211,0=a 时2)(=A r . 四、证明题(本大题共1小题,6分)
27.若321,,ααα是b Ax =(0≠b )的线性无关解,证明,12αα-13αα-是对应齐次线性方程组0=Ax 的线性无关解.
证:因为321,,ααα是b Ax =的解,所以12αα-,13αα-是0=Ax 的解;
设0)()(132121=-+-ααααk k ,即0)(3221121=++--αααk k k k ,由321,,ααα线性无
关,得???
??===--0002
121k k k k ,只有零解021==k k ,所以,12αα-13αα-线性无关.
全国2011年1月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题
课程代码:04184
说明:本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,(βα,)表示向量α
与β的内积,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1.设行列式
33
32
31
232221131211a a a a a a a a a =4,则行列式
33
3231232221131211333222a a a a a a a a a =
( )
2.设矩阵A ,B ,C ,X 为同阶方阵,且A ,B 可逆,AXB =C ,则矩阵X =( )
3.已知A 2
+A -E =0,则矩阵A -1
=( ) +E
+E
4.设54321,,,,ααααα是四维向量,则( )
A.54321,,,,ααααα一定线性无关
B.54321,,,,ααααα一定线性相关
C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示
D.
1
α一定可以由
5432,,,αααα线性表出
5.设A 是n 阶方阵,若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则( )
=0 =E (A )=n
6.设A 为n 阶方阵,r (A ) Ax =0的叙述正确的是( ) =0只有零解 =0的基础解系含r (A )个解向量 =0的基础解系含n -r (A )个解向量 =0没有解 7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解,则( ) A.21ηη+是Ax =b 的解 B.21ηη-是Ax =b 的解 C.2123ηη-是Ax =b 的解 D.2132ηη-是Ax =b 的解 8.设1λ,2λ,3λ为矩阵A =???? ? ?????200540093的三个特征值,则321λλλ= ( ) 9.设P 为正交矩阵,向量βα,的内积为(βα,)=2,则(βαP P ,)=( ) A.2 1 C.2 3 10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=3 23121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为 ( ) 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式 1 2 2 1---k k =0,则k =_________________________. 12.设A =?? ? ? ??1101,k 为正整数,则A k =_________________________. 13.设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1 =?? ? ???4321,则矩阵A =_________________________. 14.设向量α=(6,-2,0,4),β=(-3,1,5,7),向量γ满足βγα32=+,则γ=_________________________. 15.设A 是m ×n 矩阵,A x =0,只有零解,则r (A )=_________________________. 16.设21,αα是齐次线性方程组A x =0的两个解,则A (3217αα+)=________. 17.实数向量空间V ={(x 1,x 2,x 3)|x 1-x 2+x 3=0}的维数是______________________. 18.设方阵A 有一个特征值为0,则|A 3|=________________________. 19.设向量=1α(-1,1,-3),=2α(2,-1,λ)正交,则 λ=__________________. 20.设f (x 1,x 2,x 3)=31212322 212224x x x tx x x x ++++是正定二次型,则t 满足_________. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.计算行列式 b a c c c b c a b b a a c b a ------222222 22.设矩阵 A =??? ? ??????---16101512211λλ,对参数λ讨论矩阵A 的秩. 23.求解矩阵方程??????????100152131X =???? ? ?????--315241 24.求向量组:????????????--=21211α,????????????--=56522α,????????????=11133α,????? ???????---=37214α的一个极大线性无关组,并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来. 25.求齐次线性方程组?????=++--=-++-=++-0 3204230 532432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系及其通解. 26.求矩阵???? ??????---3142281232 的特征值和特征向量. 四、证明题(本大题共1小题,6分) 27.设向量1α,2α,….,k α线性无关,1 全国2011年1月高等教育自学考试 线性代数(经管)试题参考答案 课程代码:04184 三、计算题 解:原行列式 全国2011年4月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码:04184 说明:A T表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列等式中,正确的是() A.B.3= C.5D. 2.下列矩阵中,是初等矩阵的为() A.B. C.D. 3.设A、B均为n阶可逆矩阵,且C=,则C-1是() A.B. C.D. 4.设A为3阶矩阵,A的秩r (A)=3,则矩阵A*的秩r (A*)=() A.0 B.1 C.2 D.3 5.设向量,若有常数a ,b 使, 则( ) A .a =-1, b =-2 B .a =-1, b =2 C .a =1, b =-2 D .a =1, b =2 6.向量组的极大线性无关组为 ( ) A . B . C . D . 7.设矩阵A =,那么矩阵A 的列向量组的秩为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 8.设是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵 有一个特征值等于( ) A . B . C . D . 9.设矩阵A =,则A 的对应于特征值的特征向量为( ) A .(0,0,0)T B .(0,2,-1)T C .(1,0,-1)T D .(0,1,1)T 10.二次型2 221213212),,(x x x x x x x f +-=的矩阵为( ) A . B . C . D . 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 11.行列式 __________. 12.行列式 2 23 5 1 011110403 --中第4行各元素的代数余子式之和为__________. 13.设矩阵A =,B =(1,2,3),则BA =__________. 14.设3阶方阵A 的行列式|A |=2 1,则|A 3|=__________. 15.设A ,B 为n 阶方阵,且AB =E ,A -1B =B -1A =E ,则A 2+B 2=__________. 16.已知3维向量=(1,-3,3), (1,0,-1)则+3=__________. 17.设向量=(1,2,3,4),则的单位化向量为__________. 18.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0,且A 的秩为n -1,则齐次线性方程组Ax =0 的通解为__________. 19.设3阶矩阵A 与B 相似,若A 的特征值为4 1,31,21,则行列式|B -1|=__________. 20.设A = 是正定矩阵,则a 的取值范围为__________. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.已知矩阵A = ,B = , 求:(1)A T B ; (2)|A T B |. 22.设A =,B =,C =,且满足AXB =C ,求矩阵X . 23.求向量组=(1, 2, 1, 0)T ,=(1, 1, 1, 2)T ,=(3, 4, 3, 4)T ,= (4, 5, 6, 4)T 的秩与一个极大线性无关组. 24.判断线性方程组??? ??-=+-=+--=-+-1 5424213431 43214321x x x x x x x x x x x 是否有解,有解时求出它的解. 25.已知2阶矩阵A 的特征值为=1,=9,对应的特征向量依次为=(-1,1)T , =(7,1)T ,求矩阵A . 26.已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ=,求行列式|A -E |的值. 四、证明题(本大题共6分) 27.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵.证明: (1)AB -BA 为对称矩阵; (2)AB +BA 为反对称矩阵. 全国2011年7月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码:04184 说明:本卷中,A T 表示方阵A 的转置钜阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 表示单位矩 阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.设101350041A -?? ??=?? ???? ,则T AA =( ) A .-49 B .-7 C .7 D .49 2.设A 为3阶方阵,且4A =,则2A -=( ) A .-32 B .-8 C .8 D .32