三角形的知识点及题型总结一、三角形的认识
定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
分类:
锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)
按角分类直角三角形(有一个角是直角的三角形)
钝角三角形(有一个角是钝角的三角形)
三边都不相等的三角形
按边分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
例题1 图1中共几个三角形。
例题2 下列说法正确的是()
A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形
B.等边三角形不是等腰三角形
C.等腰三角形是等边三角形
D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
例题3已知a、b、c为△ABC的三边长,b、c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|x-4|=2的解.求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.
二、与三角形有关的边
三边的关系:三角形的两边和大于第三边,两边的差小于第三边。例题1 以下列各组数据为边长,能够成三角形的是()
A.3,4,5
B.4,4,8
C.3,7,10
D.10,4,5
例题2 已知三角形的两边边长分别为4、5,则该三角形周长L的范围是()
A.1 B.9 C.10 D.无法确定 课后练习: 1、若三角形的两边长分别为5、8,则第三边可能是() A.2 B. 6 C.13 D.18 2、等腰三角形的两边长分别为6、13,则它的周长为。 3、等腰三角形的两边长分别为 4、5,则第三边长为。 4、已知三角形的两边长为2和4,为了使其周长是最小的整数,则第三边的为。 5、若等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则等腰三角形的底边为() A.3cm B.7 C.7cm D.7cm或3cm 6、根据下列已知条件,能唯一画出△ABC的是() A.AB=3,BC=4,AC=8 B.AB=4,BC=3,∠A=30° C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4 D.∠C=90°,AB=6 8、用7根火柴棒首尾顺次相连摆成一个三角形,能摆成个不同 的三角形。 9、已知三角形的三边长分别为2,x,8,若x为正整数,则这样的三角形有个。 10、小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形的场地,用于饲养鸡,已知第一条边长为m米,由于条件限制,第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米。 (1)请用含m的式子表示第三条边长. (2)第一条边长能否为10米?为什么? (3)求m的取值范围. 11、如图,小红欲从A地去B地,有三条路可走:1)A→B;2)A→D →B;3)A→C→B. (1)在不考虑其他因素的情况下,我们可以肯定小红会走1)路线,理由是 . (2)小红绝对不走路线3),因为路线3)的路程最长,即AC+BC>AD+BD.你能说明其中的原因吗? 三角形的高、中线、角平分线 例题1 在下列各图的△ABC中,正确画出AC边上的高的图形是() 例题2 如图1,AD⊥BC于点D,GC⊥BC于点C, CF⊥AB于点F,下列关于高的说法错误的是() A.△ABC中,AD是BC边上的高 B.△GBC中,CF是BG边上的高 C.△ABC中,GC是BC边上的高 D.△GBC中,GC是BC边上的高 图1 图2 例题3 能将三角形面积平分的是三角形的() A.角平分线 B.高 C.中线 D.外角平分线 课后练习: 1、如图2,AD是△ABC的中线,CF是△ACD的中线,且△ACF的面积是1,求△ABC的面积。 2、如图,AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,∠CAB=90°.求: (1)AD的长; (2)△ABE的面积; (3)△ACE和△ABE的周长差. 3、如图,在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两个部分,求△ABC各边的长. 4、如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=4,则PQ的最小值为。 三角形的稳定性 例题1 王师傅用四根木条钉成一个四边形木架,要使这个木架不变形,他至少要再钉上()根木条。 A.0 B.1 C.2 D.3 例题2一扇窗户打开后,用窗钩可将其固定,这里运用的几何原理是() A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 例题3下列图形中具有稳定性的是() A.正方形 B.长方形 C.直角三角形 D.平行四边形 三、与三角形有关的角 三角形内角和为180°; 直角三角形的两个锐角互余; 三角形外角和等于与它不相邻的两个内角的和。 例题1 如图1,△ABC中,AD是高,AE是角平分线,∠B=20°,∠C=60°.求∠CAD和∠AEC的度数。 例题 2 如果三角形的一个外角与跟它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为() A.30° B.60° C.90° D.120° 例题3在△ABC中,∠A:∠B:∠C=3:4:5,则∠C= . 课后练习: 1、如图2,点D在△ABC的边BC的延长线上,CE平分∠ACD,∠A=80°,∠B=40°,则∠ACE= 。 2、如图3,△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC边上的点E处,若∠B=70°,则∠BDC等于() A.45° B.55° C.65° D.75° 3、已知一个等腰三角形内角的度数之比为1:4,那么这个等腰三角形顶角的度数为() A.20° B.120° C.36° D.20°或120° 4、已知△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,∠A=30°,则∠B= ,∠BCD= . 5、在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则这个三角形 一定是三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”)。 6、如图,在△ABC中,∠BAC=50°,∠C=60°, AD⊥BC,BE是∠ABC的平分线,AD、BE相交于点F,求∠BFD的度数. 7、如图,在某海面上,客轮C突然发生事故,马上向救护船B发出求救信号.由于救护船A离客轮C比救护船B离客轮C要近,所以救护船B立即向救护船A发出信号,让其救助客轮C.已知救护船A在救护船B北偏东45°方向上,客轮C在救护船B的北偏东75°方向上,经测得∠ACB=75°,则救护船A沿南偏东多少度方向驶向客轮C 所用时间最短? 8、如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE平分∠BAC, ∠B=75°,∠C=45°,求∠DAE与∠AEC的度数。 9、某工厂要制作符合条件的模板,如图,要求∠A=105°, ∠B=18°,∠C=30°,为了提高工作效率,检验人员测量∠BDC的度数的方法筛选出不合格的产品.若测得∠BDC的度数为150°,则这种模板是否合格?请说明理由. 10、如图1所示,对顶三角形中,容易证明∠A+∠B=∠C+∠D,利用这个结论,完成下列填空. 如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= . 如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= . 如图4,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= . 如图5,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= . 三、多边形及其内角和 多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 正多边形:各个角都相等,各条边都相等的多边形。 n边形的内角和等于(n-2)×180°. 多边形的外角和等于360°. 例题1 一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数为()A.6 B.7 C.8 D.9 例题2一个正多边形的每个外角都等于36°,那么它是() A.正六边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十二边形 例题3内角和等于外角和的2倍的多边形是() A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 例题4 下列说法错误的是() A.边数越多,多边形的外角和越大 B.多边形每增加一条边,内角和就增加180° C.正多边形的每一个外角随着边数的增加而减少 D.正六变形的每一个内角都是120° 课后练习: 1、下列正多边形中,不能铺满地面的是() A.正方形 B.正五边形 C.等边三角形 D.正六边形 2、若多边形的边数增加1,则它的内角和增加。 3、某多边形的内角和与外角和为1080°,则这个多边形的边数是。 4、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是多少? 5、如果一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍,求这个多边形的边数? 解三角形题型总结 题型一:正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、,若,2a A B ==, 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值,则( ) A .111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B .111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C .111A B C ?是钝角三角形,222A B C ?是锐角三角形 D .111A B C ?是锐角三角形,222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若 ( ) C a A c b cos cos 3=-,则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A =a 2,则=a b A . B . C D 5.ABC ?中,3 π = A ,BC =3,则ABC ?的周长为( ) A . 33sin 34+??? ? ?+πB B . 36sin 34+??? ??+πB C .33sin 6+??? ??+πB D .36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中,已知3,1,60===?ABC S b A o ,则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______ 相似三角形压轴经典大题解析 1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为AB 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作MN BC ∥,交AC 于点N ,在AMN △中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h . (2)将AMN △沿MN 折叠,使AMN △落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为1A , 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1) MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= (2)1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h , ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时, 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··(04x <≤) ②当1A 落在四边形BCNM 外时,如下图(48)x <<, 设1A EF △的边EF 上的高为1h , 则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△ 12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述:当04x <≤时,2 38 y x =,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2 912248 y x x =-+-, 取16 3x = ,8y =最大 86> ∴当16 3 x =时,y 最大,8y =最大 2.如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; M N C B E F A A 1 第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形 D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角高中解三角形题型大汇总
相似三角形压轴经典大题(含答案)
第十一章三角形知识点归纳
(完整版)解三角形专题题型归纳
(完整版)数学四年级下三角形知识点总结