5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移
●知识梳理 1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）.
∴|AB |=212212）
（）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式???
????
++=++=λλλλ1121
21y y y x x x ，（λ≠－1）.
3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，??
?+='+='.
k y y h x x ，
特别提示
1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点.
2.定比分点的向量表达式：
P 点分21P P 成的比为λ，则OP =
λ+111OP +λ
λ
+12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基
1.（2004年东北三校联考题）若将函数y =f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为
A.y =f （x +1）－2
B.y =f （x －1）－2
C.y =f （x －1）+2
D.y =f （x +1）+2 解析：由平移公式得a =（1，2），则平移后的图象的解析式为y =f （x －1）+2. 答案：C
2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y =4x ，则向量a 为
A.（－1，2）
B.（1，－2）
C.（－4，2）
D.（4，－2） 解析：设a =（h ，k ），由平移公式得
?
?
?-'=-'=????=-'=-'，，
k y y h x x k y y h x x
代入y 2=4x 得
（y '－k ）2=4（x '－h ），y '2－2k y '=4x '－4h －k 2， 即y 2－2ky =4x －4h －k 2， ∴k =2，h =－1. ∴a =（－1，2）. 答案：A 思考讨论
本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由y 2－4y =4x ，配方得 （y －2）2=4（x +1），
∴h =－1，k =2.（知道为什么吗?）
3.设A 、B 、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比为
A.8
3 B.38 C.－8
3
D.－3
8
解析：设A 点分所得的比为λ，则由2=λλ+1+105，得λ=－8
3
. 答案：C
4.若点P 分所成的比是λ（λ≠0），则点A 分所成的比是____________. 解析：∵AP =λPB ，∴AP =λ（－AP +AB ）.∴（1+λ）AP =λAB . ∴AB =
λλ
+1AP .∴BA =－
λ
λ
+1AP .
答案：－
λ
λ
+1
5.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC 的重心坐标为____________.
解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），
则???????????
???
???-=+-=+=+-=+=+=+.
12
12423212
22
323231312
12
1y
y x
x y y x x y y x x ，
，，，， ∴???=++-=++42321321y y y x x x
∴重心坐标为（－32，3
4
）. 答案：（－
32，3
4） （文）已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y =mx －7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2，则m 的值为____________.
解析：设M （x ，y ），则x =231236++
=515=3，y =2
3123
72+
?
+=5214+=5，即M （3，5），代入y =mx －7得5=3m －7，∴m =4.
答案：4 ●典例剖析
【例1】 已知点A （－1，6）和B （3，0），在直线AB 上求一点P ，使|AP |=31
|AB |.
剖析：|AP |=31|AB |，则AP =31AB 或AP =3
1
BA .设出P （x ，y ），向量转化为坐标运算
即可.
解：设P 的坐标为（x ，y ），若AP =
31AB ，则由（x +1，y －6）=3
1
（4，－6），得 ????
?-=-=+.26341y x ，解得??
???
==.431y x ，
此时P 点坐标为（31
，4）.
若AP =－
31AB ，则由（x +1，y －6）=－3
1
（4，－6）得 ????
?=--=+.26341y x ，解得??
???
=-=.837y x ，
∴P （－37，8）.综上所述，P （3
1，4）或（－37
，8）.
深化拓展
本题亦可转化为定比分点处理.由AP =3
1AB ，得AP =21
PB ，则P 为AB 的定比分点，
λ=21，代入公式即可；若AP =－3
1AB ，则AP =－41
PB ，则P 为AB 的定比分点，
λ=－
4
1
. A P B P A B
由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法. 【例2】 已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，1），B （3，4），C （－1，2），BD
是∠ABC 的平分线，求点D 的坐标及BD 的长.
剖析：∵A 、C 两点坐标为已知，∴要求点D 的坐标，只要能求出D 分AC 所成的比即可.
解：∵|BC |=25，|AB |=10，∴D 分AC 所成的比λ=2
2
=
=BC AB DC AD . 由定比分点坐标公式，得 ?
???
?
?
?
??
??=++=-=+-?+=
.
222
12125922
1122
4D D y x ，）
（ ∴D 点坐标为（9－52，2）.
∴|BD |=2
2423259）
（）（-+--=268104-. 评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.
深化拓展
本题也可用如下解法：设D （x ，y ），∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴〈BA ，BD 〉=〈BC ，BD 〉. ∴
|
||||
|||BD BC BD BC BD BA BD BA ??=
?，
即
|
|BA BD BA ?=
|
|BC BD BC ?.
又BA =（1，－3），BD =（x －3，y －4），BC =（－4，－2）， ∴
10
12
33+--y x =
20
8
2124+-+-y x .
∴（4+2）x +（2－32）y +92－20=0.
①
又A 、D 、C 三点共线，∴AD ，AC 共线. 又AD =（x －4，y －1），AC =（x +1，y －2）， ∴（x －4）（y －2）=（x +1）（y －1）. ②
由①②可解得?????=-=.
2259y x ，
∴D 点坐标为（9－52，2），|BD |=268104-.
思考讨论
若BD 是AC 边上的高，或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.
【例3】 已知在□ABCD 中，点A （1，1），B （2，3），CD 的中点为E （4，1），将 □ABCD 按向量a 平移，使C 点移到原点O .
（1）求向量a ；
（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.
解：（1）由□ABCD 可得=， 设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 则??
?=-=-②
①，.
214343y y x x
又CD 的中点为E （4，1）， 则??????
?=+=+④
③
，.12
42
434
3y y x x 由①－④得??
???
==，，22933y x ?????==，
，
02744y x
即C （29，2），D （27
，0）.
∴a =（－
2
9
，－2）. （2）由平移公式得A ′（－27，－1），B ′（－2
5，1），C ′（0，0），D ′（－1，－2）. ●闯关训练
夯实基础
1.（2004年福州质量检查题）将函数y =sin x 按向量a =（－4
π
，3）平移后的函数解析式为
A.y =sin （x －4
π
）+3 B.y =sin （x －4
π
）－3 C.y =sin （x +
4π
）+3
D.y =sin （x +
4
π
）－3 解析：由???-'=-'=，，k y y h x x 得?????
-'=+'=.34πy y x x ，
∴y '－3=sin （x '+4
π
）.
∴y '=sin （x '+4
π
）+3， 即y =sin （x +4
π
）+3. 答案：C
2.（2003年河南调研题）将函数y =2sin2x 的图象按向量a 平移，得到函数y =2sin （2x +3
π）+1的图象，则a 等于
A.（－3
π
，1） B.（－6
π
，1） C.（
3π
，－1）
D.（
6
π
，1） 解析：由y =2sin （2x +
3π）+1得y =2sin2（x +6π）+1，∴a =（－6
π
，1）. 答案：B
3.（2004年东城区模拟题）已知点P 是抛物线y =2x 2+1上的动点，定点A （0，－1），若点M 分所成的比为2，则点M 的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.
解析：设P （x 0，y 0），M （x ，y ）.
???
????-==32
3
00y y x x ???
?+==，，23300y y x x 代入y 0=2x 02+1得3y +2=18x 2+1，即18x 2=3y +1，x 2=
61y +181=61（y +31），∴p =121，焦点坐标为（0，－247）. 答案：x 2=
61（y +31） （0，－24
7
） 4.把函数y =2x 2－4x +5的图象按向量a 平移后，得到y =2x 2的图象，且a ⊥b ，c =（1，－1），b ·c =4，则b =____________.
解析：a =（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b =（x ，y ），由题意得???=-=--，，403y x y x ?
?
?-==，，
13y x 则b =（3，－1）.
答案：（3，－1）
5.已知向量OA =（3，1），OB =（－1，2），OC ⊥OB ，BC ∥OA .试求满足OD +OA =OC 的OD 的坐标.
解：设=（x ，y ），则=（x ，y ）+（3，1）=（x +3，y +1）， =－=（x +3，y +1）－（－1，2）=（x +4，y －1），
则???=--+=+++-.01340123）（）（，）（）（y x y x 所以?
??==，，611y x OD =（11，6）.
6.已知A （2，3），B （－1，5），且满足=3
1，=3，=－41
，求C 、
D 、
E 的坐标.
解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C （1，3
11），D （－7，9），E （
4
11，25）. 培养能力
7.（2004年福建，17）设函数f （x ）=a ·b ，其中a =（2cos x ，1），b =（cos x ，3sin2x ），
x ∈R .
（1）若f （x ）=1－3，且x ∈［－
3π，3
π
］，求x ； （2）若y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）（|m |＜2
π
）平移后得到函数y =f （x ）的图象，求实数m 、n 的值.
解：（1）依题设f （x ）=2cos 2x +3sin2x =1+2sin （2x +6
π）， 由1+2sin （2x +6
π
）=1－3，得 sin （2x +
6
π
）=－23.
∵|x |≤3π，∴－2π≤2x +6π≤6
π5.
∴2x +
6π=－3π，即x =－4
π. （2）函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）平移后得到函数y =2sin2（x －m ）+n 的图象，即y =f （x ）的图象.由（1）得f （x ）=2sin2（x +
12π）+1.又|m |＜2
π，∴m =－12π
，n =1. 8.有点难度哟！
（2004年广州综合测试）已知曲线x 2+2y 2+4x +4y +4=0按向量a =（2，1）平移后得到曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）过点D （0，2）的直线与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DM =λMN ，求实数λ的取值范围.
解：（1）原曲线即为（x +2）2+2（y +1）2=2，则平移后的曲线C 为x 2+2y 2=2，
即2
2x +y 2=1.
（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则
???
????++=+=.1212121λλλλy y x x ，由于点M 、N 在椭圆x 2+2y 2
=2上，则?????=+=+，，222222222121y x y x 即???
??=+=++++.
22212212222
222
2y x y x ，）（）（λλλλ
消去x 22得，2λ2+8λy 2+8=2λ2+4λ+2， 即y 2=
λ
λ432-. ∵－1≤y 2≤1，∴－1≤λλ43
2-≤1. 又∵λ＞0，故解得λ≥2
1. 故λ的取值范围为［
2
1
，+∞）. 思考讨论
本题若设出直线l 的方程y =kx +2，然后与x 2+2y 2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.
探究创新
9.甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan 2
1
）的方向作匀速直线航行，速度为105 n mile/h.（如下图所示）
B
? 东
北
（1）求出发后3 h 两船相距多少海里?
（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如下图所示的坐标系.
A
P
Q
B
? 东
北
x y
设在t 时刻甲、乙两船分别在P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
则?????===?=.151545cos 215111t x y t t x ， 由θ=arctan
2
1
，可得cos θ=552，sin θ=55，
x 2=105t sin θ=10t ， y 2=105t cos θ－40=20t －40.
（1）令t =3，P 、Q 两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.
|PQ |=2
220453045）
－（）（+-=850=534， 即两船出发后3 h 时，两船相距534 n mile. （2）由（1）的解法过程易知
|PQ |=2
12212）（）（y y x x -+-
=2
21540201510）
（）（t t t t --+- =1600400502+-t t
=8004502+-）（t ≥202.
∴当且仅当t =4时，|PQ |的最小值为202，
即两船出发4 h 时，相距202 n mile 为两船最近距离.
●思悟小结
1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题： （1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；
（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P 1=λ2PP 获解.
2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.
3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.
4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法. ●教师下载中心 教学点睛
1.线段的定比分点公式P 1=λ2PP ，该式中已知P 1、P 2及λ可求分点P 的坐标，并且还要注意公式的变式在P 1、P 2、P 、λ中知三可求第四个量.
2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体
现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.
3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例
【例1】 （2004年豫南三市联考）已知f （A ，B ）=sin 22A +cos 22B －3sin2A －cos2B +2. （1）设△ABC 的三内角为A 、B 、C ，求f （A ，B ）取得最小值时，C 的值；
（2）当A +B =
2
π
且A 、B ∈R 时，y =f （A ，B ）的图象按向量p 平移后得到函数y =2cos2A 的图象，求满足上述条件的一个向量p .
解：（1）f （A ，B ）=（sin2A －23）2+（cos2B －2
1
）2+1， 由题意???
?
??
?
==，，2
12cos 23
2sin B A 得??????
?===.6π3π6πB A A ，
或 ∴C =
3π2或C =2
π
. （2）∵A +B =
2
π
，∴2B =π－2A ，cos2B =－cos2A . ∴f （A ，B ）=cos2A －3sin2A +3=2cos （2A +3π）+3=2cos2（A +6
π
）+3. 从而p =（
6
π
，－3）（只要写出一个符合条件的向量p 即可）. 【例2】 设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平移t 、s 单位长度后，得到曲线C 1.
（1）写出曲线C 1的方程；
（2）证明：曲线C 与C 1关于点A （2t ，2
s
）对称. （1）解：C 1：y －s =（s －t ）3－（x －t ）. ①
（2）分析：要证明曲线C 1与C 关于点A （
2t ，2
s
）对称，只需证明曲线C 1上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 上，反过来，曲线C 上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 1上即可.
证明：设P 1（x 1，y 1）为曲线C 1上任意一点，它关于点A （2t ，2
s
）的对称点为 P （t －x 1，s －y 1），把P 点坐标代入曲线C 的方程，左=s －y 1，右=（t －x 1）3－（t －x 1）.
由于P 1在曲线C 1上，∴y 1－s =（x 1－t ）3－（x 1－t ）. ∴s －y 1=（t －x 1）3－（t －x 1），即点P （t －x 1，s －y 1）在曲线C 上. 同理可证曲线C 上任意一点关于点A 的对称点都在曲线C 1上.
从而证得曲线C 与C 1关于点A （2t ，2
s
）对称.
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
§19.10 两点的距离公式 教学目标： 1、让学生经历探求直角坐标平面内任意两点之间距离的过程，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法，掌握两点之间距离公式。 2、学会应用数形结合、方程思想以及分类讨论等数学思想方法。 3、会利用两点的距离公式解决一些基本的简单问题。 教学重点、难点： 重点：直角坐标平面内两点之间距离公式的推导及其应用 难点：直角坐标平面内任意两点之间距离公式的推导 教学过程： 1、复习引入： 已知直角坐标平面内A(-3,2),B(4,1),C(-3,1) 求①B 、C 两点的距离 X 轴或平行于X 轴的直线上的两点 的距离AB= ②A 、C 两点的距离 Y 轴或平行于Y 轴的直线上的两点 的距离CD= ③A 、B 两点的距离 2、探求新知： 任意两点之间距离公式 y)B(),A 21，、（x y x | | 21x x - )y D(),C 21，、（x y x | | 21y y -
如果直角坐标平面内有两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，那么A 、B 两点的距离 AB = 221221)()y y x x -+-（ 3、练一练： 求下列两点的距离 （1）A(1,2)和B(4,6) （2）C(-3,5)和D （7,-2） 4、例题讲解： 例1、已知坐标平面内的△ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为A(-1,4)、B(-4,-2)、C(2,-5),判定这个三角形的形状？ 例2：已知直角坐标平面内的两点分别是A(3，3)、B(6，1) ① 点P 在x 轴上，且PA = PB ，求点P 的坐标。 变一变：②点P 在y 轴上，且PA = PB ，求点P 的坐标。 5、归纳总结： 6、布置作业：
版空间直角坐标系空间两点间的距离公式
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)
[基础·初探] 教材整理1空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．1．空间直角坐标系 定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面
画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz ＝90° 图示 说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
【课题】8．1 两点间距离公式及中点公式 【教材阐明】 本人所用教材为江苏教诲出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数办法研究平面几何问题学科，第八章《直线与圆方程》属于平面解析几何学基本知识。它侧重于数形结合办法和形象思维特性，综合了平面几何、代数、三角等知识。 【学情分析】 学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象知识理解能力不强，但是对直观事物可以理解，对新事物也有较强接受能力。 【教学目的】 知识目的： 1. 理解平面直角坐标系中距离公式和中点公式推导过程． 2. 掌握两点间距离公式与中点坐标公式． 能力目的： 用“数形结合”办法，简介两个公式．培养学生解决问题能力与计算能力． 情感目的： 通过观测、对比体会数学对称美和谐美，培养学生思考能力，学会从已有知识出发积极摸索未知世界意识及对待新知识良好情感态度． 【教学重点】 两点间距离公式与线段中点坐标公式运用． 【教学难点】 两点间距离公式理解． 【教学备品】 三角板． 【教学办法】 讨论合伙法 【学时安排】 2学时．(90分钟)
【教学设计】 针对学生状况，本人在教学中引入尽量安排各种实例，多讲详细东西，少说抽象东西，以激发学生学习兴趣。在例题和练习安排上多画图，努力贯彻数形结合思想，让学生逐渐接受和养成画图习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生自身专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对某些曲线方程有充分理解。同步在教学中经惯用分组讨论法，探究发现法，逐渐培养学生协作能力和独立思考能力。 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何基本公式，教材采用“知识回顾”方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过向量坐标和向量模定义解说，但解说重点应放在公式应用上． 【教学过程】 大海中有两个小岛，
空间直角坐标系空间两点间的距离公式班级：____________ 姓名：__________________
C ．(－4,0，－6) D ．(－4,7,0) 解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－ 6)． 答案：C 二、填空题 7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________． 解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相 同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，所以点B 1的坐标为(a ，b ，c )． 答案：(a ，b ，c ) 8．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． 解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)． 答案：(－4,1，－2) 9．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝(－1－2)2＋[2－(－1)]2＋02＝3 2. 答案：3 2 10．已知点P ????32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为??? ?12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以 ????32－122＋??? ?52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－4 三、解答题 11．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |. 解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间
5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移 ●知识梳理 1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. ∴|AB |=212212） （）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式??? ???? ++=++=λλλλ1121 21y y y x x x ，（λ≠－1）. 3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，?? ?+='+='. k y y h x x ， 特别提示 1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点. 2.定比分点的向量表达式： P 点分21P P 成的比为λ，则OP = λ+111OP +λ λ +12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基 1.（2004年东北三校联考题）若将函数y =f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为 A.y =f （x +1）－2 B.y =f （x －1）－2 C.y =f （x －1）+2 D.y =f （x +1）+2 解析：由平移公式得a =（1，2），则平移后的图象的解析式为y =f （x －1）+2. 答案：C 2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y =4x ，则向量a 为 A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－4，2） D.（4，－2） 解析：设a =（h ，k ），由平移公式得 ? ? ?-'=-'=????=-'=-'，， k y y h x x k y y h x x
坐标公式大集合（两点间距离公式） 安徽省安庆市第四中学八年级（13）班王正宇著 在八年级上册的数学教材中（沪科版），我们学习到了平面直角坐标系这一章,由此,我们引申出一次函数、二次函数、反比例函数等知识，故完全掌握其知识是十分有必要的。今天，我们来说一说坐标公式。了解它是很有必要的哦！ 一、求平行于x与y轴的直线的距离 ①我们在平面直角坐标系中做一条线段AB平行于x轴（AB为任意直线），我们要求出线段AB的长度，可能有些同学会利用数格子的方式求出其长度，方法是对的，但是书写到作业或试卷中就麻烦了，怎么办？针对这种情况，我们先看AB两点的横坐标，会发现一个特点：随意将其相减，会有两个结果，且互为相反数。有因为其长度ab≥0的，故取正数结果。那么，每次计算都要这么麻烦的去转换吗？不用的，我们只要记住一个公式： | Ax－Bx | 即A点横坐标数减去B点横坐标数，当然，有“绝对值”符号老兄的帮助，A、B两点的横坐标数颠倒过来相减也没有关系。 ②同样的，有上面的过程支撑，我想，推出平行于Y轴的线段CD的长度肯定就好求了！！那么，同理，我们就可以得出一个关于求平行于Y轴线段长度的公式哦： | Cy－Dy | 即C点纵坐标减去D点纵坐标，与上面一样，颠倒过来不影响结论。 二、求斜线的长度 这个内容，本人在一些习题集与各个网站的习题精选里时常见到，不过要涉及到八年级下册的内容。但是，这个内容很重要，必须要讲讲，还要了解清楚。 求斜线的长度涉及到勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即： A 2+ B 2 = C 2 这样一解释，想必大家都清楚了吧！这样，为我们下面推出求斜线长度的公式打下了坚实的基础。
第13课 两点间距离公式 一、新知探究： 试一试，求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)5,3(),5,3(B A - （3）)7,0(),3,0(-B A （4）)7,5(),3,5(---B A （5）)0,0(),8,6(B A （6）)3,4(),0,0(--B A 总结： 若平面上的有两点111222(,),(,)P x y P x y ， 1、如果1P 、2P 两点在x 轴上或在平行于x 轴的直线上，则两点距离12PP 是 2、如果1P 、2P 两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上，则两点距离12PP 是 3、点1P 到原点的距离是 ，点2P 到原点的距离是 探索二：已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求111222(,),(,)P x y P x y 的距离12PP
例1 已知两点)2,1(-A ，)7,2(B 。 （1）求||AB ；（2）在x 轴上求一点P ，使得||||PB PA =，并求||PA 例2 已知△ABC 的三个顶点是13(1,0),(1,0),(2A B C -，试判断△ABC 的形状。 例3 已知△ABC 的顶点坐标为A （3，2），B （1，0），C （2+3，1－3）， 求AB 边上的中线CM 的长； 练习：
1.22(1)(2)a b ++-( ) ()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离 ()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离 ()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离 ()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离 2.已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1）A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） （3）A （5，10），B （-3，0） （4）A （-3，-1），B （5，7） 3.已知点A （-1，-1），B （b ,5）,且AB =10，求b . 4.已知A 在y 轴上，B （4，-6），且两点间的距离AB =5，求点A 的坐标 5.已知A （a ,-5），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB=17，求a 。 6.已知A （2，1）,B （-1，2）,C （5,y ）,且为等腰三角形，求y 并求底上中线的长度 巩固提高：
两点之间距离公式（第一课时） 【教学目标】 1、知识与能力目标：了解在坐标轴上两点间距离公式的推导，并能够运用此公式求解问题。在具体的情景过程中运用公式。 2、过程与方法目标：用生活的事例引导学生思考如何解决问题，然后在思考的过程中寻找解决方法，总结结论。激发学生自主思考，勤动脑的自我意识。 3、情感态度与价值观目标：通过生活中的例子，鼓励引导学生主动思考，激发起对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的归纳总结的能力。 【教学重点】 在坐标轴上两点间距离公式的归纳总结与运用． 【教学难点】 在坐标轴上两点间距离公式的归纳总结. 【教学过程】 (一)复习 数轴的三要素：原点、方向、单位长度。 3的几何意义：点3到坐标原点的距离。 3 的几何意义：点-3到坐标原点的距离。 (二) 引入 本章探讨一个问题： 求家里安装的路由器信号覆盖范围? 此问题转化为点到点的距离求解。 （三)新课 蹭网犯法吗？
按照我国《电信管理条例》第五十九条，盗接他人电信线路，复制他人电信码号，使用明知是盗接、复制的电信设施或者码号，属于扰乱电信市场秩序的行为，公安机关可据此追究其相应的法律责任。” 《刑法》第286条：违反国家规定，对计算机信息系统功能进行删除、修改、增加、干扰，造成计算机信息系统不能正常运行，后果严重的，处五年以下有期徒刑或者拘役；后果特别严重的，处五年以上有期徒刑。 首先看一个题。 求路由器的覆盖范围？（引出新课）【板书标题】 讲授本节新课。 例1 求：M 1与M 2的距离？ 若设点M 1 与 M 2 的坐标分别为x 1与x 2 ，则上述公式用字母如何表 示？ 12 米 9米 123374 M M ==答：7-=-x 0 3 7 1M 2M
2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式 课程学习目标 ［课程目标］ 目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式.目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导. ［学法关键］ 1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标. 2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式 研习点1．空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 研习点2．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.
《空间两点间的距离公式》 本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。 【知识与能力目标】 理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。 【过程与方法目标】 通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。 【情感态度价值观目标】 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 【教学重点】 空间两点间的距离公式和它的简单应用。 【教学难点】 空间两点间的距离公式的推导。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分
我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？ 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。 2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 （1）长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长. 注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。 (②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 （2）两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 （）（）（） 注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 （①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式； （②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离. 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。
两点间的距离公式 【教学目标】 1、 掌握平面内两点的距离公式和中点公式 2、 能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算 【教学重点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学难点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学过程】 引入： (如图)在数轴上有两点7,521=-=x x 则x x 2 1= -5 0 7 X 在直角三角形中，怎样求出斜边的长度 在直角坐标系中，已知点P （x,y ）,那么|OP|= x y
平面直已知两点1P P P 21说明 (1) 如果P 1P 2 x x 是x x 1 2- (2) 如果P 1和P 2两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上,两点距离 是y y 1 2- 试一试1：求平面上两点)7,1(),2,6(-B A 间的距离AB . 试一试2：求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)7,0(),3,0(-B A （3）)4,2(),3,2(B A - (4))6,8(),9,5(B A - 试一试3：已知A （a,3），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB =12，求a 。 线段的中点公式 点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 22 1x x x + =，221y y y +=。 说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的 试一试3：求下列两点的中点坐标
（1）)13,2(),3,2(B A -（2）)6,18(),9,15(B A - （二）典型例题： 已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度 （解题过程在书240页） 【自我检测】 1、平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(2 22y x P ，两点距离公式为 2、点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 3、 已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1） A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） 4、 已知A(-4,4),B(8,10)两点，求两点间的距离AB 5、 已知下列两点，求中点坐标： a) A （5，10），B （-3，0）（2）A （-3，-1），B （5，7） 6、 已知点A （-1，-1），B （b,5）,且AB =10，求b.
中点坐标公式与两点间的距离公式练习题 1．在数轴上的两点A ，B 分别表示实数m,n ，则AB 的距离AB = 2．在平面直角坐系中， ①A(3,4),D(3,-2)，则=AD ； ②D （3，-2），B （-5，-2），则=BD 。 ③此时=AB 。 3．若()()2211y ,x B ,y ,x A ，则=AB 4：A(x,0)和 B(2,3)的距离为23,求x 的值。 5：已知△ABC 的三个顶点是A(-1,0)、()0,1B ，??? ? ??23, 21C ，试判断三角形的形状。 6：求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 7．已知点()y ,x A 到点()3,2B 的距离是5， ①试问满足条件的A 点有多少？ ②这样的A 点有何特点？他们的全体将构成什么图形？ 8．求下列两点的距离： ①()()3,2B ,3,1A - ②()()71B 3,1A ---，， ③()()12B 31A --，，，
9：已知四边形的四个顶点的坐标分别为：()()3,1B ,2,2A ---，()()4,0D ,3,3C ，试判断这个四边形的形状。 10.求中点坐标： ①已知()()5,4B ,3,2A ，求AB 的中点坐标。 ②已知()()2211y ,x B ,y ,x A ，求AB 的中点坐标。 11.试证3(P ，)8，6(Q ，)2，5(R ，)4三点在同一条直线。 12.己知6(M ，)4-为AB 的中点，且点A 坐标为4(，)6-，试求B 点坐标。 13.设1(-A ，)3-，3(B ，)0，5(C ，)4，则平行四边形ABCD 中，试求D 点坐标。 14.ABC ?中，三边AB ，BC ，CA 的中点坐标为1(-D ，)1，4(E ，)1-，2(-F ，)5，求此ABC ?三顶点的坐标。
两点之间距离公式 例题1、已知点()0,2-A 、()0,3B ，在y 轴上求一点C ，使△ABC 是直角三角形。 例题2、已知点()0,3A 、()0,1B ，在正比例函数x y =的图像上求一点C ，使△ABC 是等 腰三角形。 例题3、△ABC 中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且 2 2AB DC BD AD =?+， 求证：△ABC 为等腰三角形。
例题4、已知在△ABC 中，AC AB =，∠?=120BAC ，点()0,1-B ，点()0,3C ，求点A 。 练习：1、以点()2,1A 、()1,2--B 、()1,4-C 为顶点的三角形是 三角形。 2、点()3,a A 、()1,3+a B 之间的距离为5，则a 的值为 ； 3、若点P 在第二、四象限的平分线上，且到()3,2-Q 的距离为5，则点P 的坐标为 。 4、已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为()2,5--A 、()3,2B 、()2,4-C ，则△ABC 的面 积为 ； 5、已知点()3,0A 、()1,0-B ，△ABC 是等边三角形，求点C 的坐标。 6、已知点()2,2A 、()1,5B 。 （1）求A 、B 两点的距离； （2）在x 轴上找一点C ，使BC AC =。
7、已知直角坐标平面内的点()1,4A 、()3,6B ，在坐标轴上求点P ，使PB PA =。 8、已知直角坐标平面内的点()m P ,4，且点P 到点()3,2-A 、()2,1--B 的距离相等， 求点P 的坐标。 9、已知直角坐标平面内的点?? ? ??23,4A 、()3,6B ，在x 轴上求一点C ，使得△ABC 是等腰 三角形。
学科教师辅导讲义
【答案】144 【例10】如图，在一块用边长为cm 20的正方形的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在A点处，，鸽子吃完小朋友洒在B、C处的鸟食，最少需要走多远？ 【答案】360厘米 【例11】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？ 【答案】13米 【例12】如图，有一个高是1.5米、半径是1米的圆柱形油桶，在上地面靠边的地方有一小孔，从孔中插入一根铁 C B A
棒，已知铁棒在油桶外的部分最短是0.5米，这根铁棒有多长？ 【答案】3米 【例13】有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（ 的值取3） 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形.最短路线为展开图中的线段AB. 【答案】15cm
【例14】中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。你能根据这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？（图中4个直角三角形全等） 【答案】 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子： 【借题发挥】 1．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩的头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？ 【答案】540千米 2．如图，每个小方格都是边长为1的正方形， C
§４．３．２ 空间两点间的距离公式 一、教材分析 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 二、教学目标 １．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 ２．过程与方法 ３．情态与价值观 通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程 三、教学重点与难点 教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 四、课时安排 １课时 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式
五、教学设计 （一）导入新课 思路１．距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容. 思路２．我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x １—x ２|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. （二）推进新课、新知探究、提出问题 １平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？ ２设A （x,y,z ）是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？ ３给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ４同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？ ５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示什么图形？在空间中方程x ２+y ２+z ２=r ２表示什么图形？ ⑥试根据２３推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.１学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；２解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；３首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.４回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；５学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用３的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.
空间直角坐标系与空间两点的距离公式 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点0作为原点，过0点作三条两两垂 直的数轴，通常用x、y、z 表示. 轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴的半轴沿逆时针方向转90 能与y轴的半轴重合.这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O —xyz, 0叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2. 在空间直角 坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3. 如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的 正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4. 在平面上画空间直角坐标系O —xyZ时，一般情况下使/ xOy=135°, / yOz=90°. 空间点的坐标 1. 点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz,这样构造的平面同样垂直于x轴, 这个平面与X轴的交点记为P x，它在X轴上的坐标为X，这个数X就叫做点P的x坐标； 2. 点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz,这样构造的平面同样垂直于y轴, 这个平面与y轴的交点记为P y,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的y坐标； 3. 点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy,这样构造的平面同样垂直于z轴, 这个平面与Z轴的交点记为P z,它在Z轴上的坐标为Z,这个数Z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P （x， y, z）,其中x, y, z也可称为点P的坐标分量. 已知数组（x, y, z），如何作出该点？对于任意三个实数的有序数组（x, y, z）：（1）在坐标轴上分别作出点P x, P y, P z,使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z； （2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy,这三个平面的交点就是 所求的点. 空间点的坐标 1. 在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面; 2. 坐标平面上点的坐标的特征：
8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
【课题】8．1 两点间的距离公式及中点公式 【教材说明】 本人所用教材为江苏教育出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数方法研究平面几何问题的学科，第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识。它侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数、三角等知识。 【学情分析】 学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象的知识理解能力不强，但是对直观的事物能够理解，对新事物也有较强的接受能力。 【教学目标】 知识目标： 1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程． 2. 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式． 能力目标： 用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力． 情感目标： 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生的思考能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度． 【教学重点】 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用． 【教学难点】 两点间的距离公式的理解． 【教学备品】 三角板． 【教学方法】 讨论合作法 【课时安排】
2课时．(90分钟) 【教学设计】 针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象的东西，以激发学生的学习兴趣。在例题和练习的安排上多画图，努力贯彻数形结合的思想，让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生本身的专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对一些曲线方程有充分的了解。同时在教学中经常用分组讨论法，探究发现法，逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上． 大海中有两个小
《空间两点间的距离公式》习题 一、 选择题 1、点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yoz 内的射影，则OB 等于（ ） 2、到定点（1，0，0）的距离小于或等于1的点的集合是（ ） A {（x ，y ，z ）|（x-1）2+y 2+z 21} B {（x ，y ，z ）|（x-1）2+y 2+z 2=1} C {（x ，y ，z ）|（x-1）+y+z=1} D {（x ，y ，z ）|x 2+y 2+z 21} 3、点P （x ，y ，z ）满足 ，则点P 在（ ） A 以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上 B 以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上 C 以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上 D 无法确定 4、已知三点A （-1，0，1），B （2，4，3），C （5，8，5），则（ ） A 三点构成等腰三角形 B 三点构成直角三角形 C 三点构成等腰直角三角形 D 三点构不成三角形 5、已知A （1-t ，1-t ，t ），B （2，t ，t ），则A 、B 两点间的距离的最小值是（ ） A 5 B 5 C 5 D 115 6、点P(1,3,5)关于原点对称的点/P 的坐标是（ ） A 、(-1,-3,-5) B 、(-1,-3,5) C 、(1,-3,5) D 、(-1,3,5) 7、点B 是点A(1,2,3)在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（ ） A 、 二、填空题 8、已知空间两点A （-3，-1，1），B （-2，2，3），在Oz 轴上有一点C ，它与A 、B 两点的距
离相等，则C点的坐标是_____________________。 的三顶点分别为A(3,1,2)，B（4，-2，-2），C（0，5，1），则BC边上的中9、已知ABC 线长为___________________。 10、若P（x，y，z）到A（1，0，1），B（2，1，0）两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是-----------------------。 11、在z轴上与点A（-4，1，7）和点B（3，5，-2）等距离的点C的坐标为----------------------。 12、已知点P在z轴上，且满足|PO|=1（O是坐标原点），则点P到点A（1，1，1）的距离是-----------------------。 三、解答题 13、球到两定点A（2，3，0），B（5，1，0）距离相等的点P的坐标满足的条件。 14、已知A（1，0，1），B（2，-1，0），求线段AB的中垂面的方程 15、若点G到ABC三个顶点的距离的平方和最小，则点G就为ABC的重心。 已知ABC的三个顶点分别为A（3，3，1），B（1，0，5），C（-1，3，-3），求ABC的重心的坐标。
空间两点间的距离公式 （一）教学目标 1．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 2．过程与方法 3．情态与价值观 通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程 （二）教学重点、难点 重点：空间两点间的距离公式； 难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。 （三）教学设计 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式
巩固练习 1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：
|.求MN 的长. 备选例题 例1 已知点A 在y 轴 ，点B (0，1，2)且||AB =A 的坐标为 . 【解析】由题意设A (0，y ，0)= 解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0) 例2 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B (3，5，2)的距离相等，求点P 的坐标. 【解析】由题意设P (0，y ，z )，则
222222 2 (03)(2)(5)(03)(5)(2) y z y z y z +=??-+-+-=-+-+-? 解得：1 1 y z =??=? 故点P 的坐标为(0，1，1) 例3 在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标. 【解析】设P (0，y ，z )，由题意||||||||PA PC PB PC =??=? 所以==即4607310y z y z --=??+-=?，所以12y z =??=-?， 所以P 的坐标是(0，1，–2).
3.3 直线的交点坐标与距离 公式 3.3.2两点间的距离 【教材导读】 一、情景导入 已知平面上点A （1,3），你能求出A 点与原点之间的距离吗？若已知平面上任意两点的坐标，又该如何求得这两点之间的距离？ 二、教材导读 1.两点间距离公式的推导 已知平面上点A （1,3），在平面直角坐标系中建立直角三角形， 由勾股定理可求得A 点与原点O 之间的距离： d == 那么已知平面上任意两点),(111y x P ， ),(222y x P ，是否能用相同方法求得2 1P P 的距离呢？ 阅读教材P 104内容，掌握应用几何方法推导出两点间距离公式的过程. 2.两点间的距离公式 平面上两点),(111y x P ，),(222y x P 间的距离公式： 由公式可知，原点)0,0(O 与任一点 ),(y x P 的距离22y x OP +=； 3.在《平面向量》一章中我们通过向量的模 也得到了两点间的距离公式：平面上两点 ),(111y x P ，),(222y x P ，则： （1）122121(,)PP x x y y =--u u u u r （2）12||PP = u u u u r 注意比较两种情形下推证方法. 4. 沙尔定理:设A 、B 是x 轴上任意一条有向线段，O 是原点，OA=1x ，OB=2x ，那么 有AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r ：21(,0),AB x x =-u u u r 12(,0),BA x x =-u u u r 于是21||||AB x x =-u u u r 显然，在直角坐标系内，与坐标轴平行的 直线上的有向线段也符合沙尔定理. 由此我们理解两点间距离公式的特例： （1）当21P P ⊥y 轴时，21y y =， 1221x x P P -=； （2）当21P P ⊥x 轴时，21x x =， 1221y y P P -=. 请完成自主评价1 【课堂点金】 一、重难点突破 1. 熟悉两点间距离公式 例1．在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程. 【解析】利用两点间的距离公式建立关系. ∵ 点P 在直线20x y -=上， ∴ 可设(,2)P a a ， 根据两点的距离公式得： 2222 5)82()5(=-+-=a a PM 即0644252 =+-a a 解得3225a a ==或，∴3264 (2,4)(,)55 P 或． ∴直线PM 的方程为 8585 6432482585 55y x y x ----==----或， 即4340247640x y x y -+ =--=或 【评析】通过运算熟练掌握两点间距离公式. 【变式1】求与A （32，10），B （42，0），