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浅谈一阶线性微分方程组的一般理论知识及解法

浅谈一阶线性微分方程组的一般理论知识及解法
浅谈一阶线性微分方程组的一般理论知识及解法

浅谈一阶线性微分方程组的一般理论知识及解法

王焕

赤峰学院数学学院,赤峰024000

摘要:一阶线性微分方程组是一类特殊的微分方程组。这类微分方程组的理论研究结果比较完整,而且它们在实际和理论问题中都占有很重要的位置。然而,在很多实际和理论问题中,常要求我们去求解多个未知函数的微分方程组,或者研究它们的解的性质。那么,首先让我们谈一谈它的基本理论知识,从两个方面进行阐述,第一个方面是一阶线性齐次方程组及一阶线性非齐次方程组,第二个方面是常系数线性微分方程组;然后再从三个方面简要的叙述它解的求法,其中,着重强调常数变易法。

关键词:一阶线性微分方程组 一阶线性齐次方程组 一阶线性非齐次方程组 常数变易法

一阶线性微分方程组的基本理论知识

一、定义

1.一阶线性微分方程组:

含有n 个未知函数,,2,1...,n y y y 的一阶微分方程组的一般形式为:

???????????===),...,,,(......),...,,,()

,...,,,(2121222111n n n n n y y y x f dx

dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy 若函数),...,2,1)(...,,,(21n i y y y x f n i =关于,,2,1...,n y y y 是线性的,即

???????????++++=++++=++++=)()(...)()(......)()(...)()()

()(...)()(2211222221212112121111x f y x a y x a y x a dx

dy x f y x a y x a y x a dx dy x f y x a y x a y x a dx dy n n nn n n n n n n n (1) 则称上式(1)为一阶线性微分方程组。

我们总假设它的系数),...,2,1)(...,,(),...,2,1,)((,2,1n i y y y x f n j i x a n i ij ==及在某个区间R I ?上连续。

一般,我们将(1)式写为向量形式:)()(x F Y x A dx

dY += (2) 其中,????????????=)()

()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x A nn n n n n , ????????????=n y y y Y 21, ????????????=)()()()(21x f x f x f x F n 我们一般用上述(1)或(2)来描述一阶线性微分方程。

2.一阶线性齐次方程组: 若在I 上,o x F ≡)(,方程组(2)式即变为

Y x A dx

dY )(= (3) 称为一阶线性齐次方程组。 3.一阶线性非齐次方程组:

若在I 上o x F ≠)(,方程组(2)式即变为

)()(x F Y x A dx

dY +=,(o x F ≠)() (4) 称为一阶线性非齐次方程组。 二、以上三种方程组的解形式及方法

1.一阶线性微分方程:),,,,(;0),,,,()1(''')()('-==n n n y y y y x f y y y y x F (其基本思路即将n 阶微分方程转化为1阶微分方程组进而求解)

(1)令???????===--)1(1''2'1n n y y y y y y 则???????????===-n n y dx

dy y dx dy y dx dy 1211 (2)求出A(x)及Y ,进而求解。

2.一阶线性齐次方程组: Y x A dx

dY )(= 通解形式为:)(,),(),()()()(12211x Y x Y x Y c x Y c x Y c x Y n n n 其中,+++= 是线性

无关解。其中,

????

?

???????=????????????=????????????=)()()()()()()()()()()()(21222122121111x y x y x y x Y x y x y x y x Y x y x y x y x Y nm m m m n n ,, 是方程组的m 个解,m C C C ,,,21 是任意常数。

3.一阶线性非齐次方程组:)()(x F Y x A dx

dY +=,(o x F ≠)() 通解形式为)()(0x Y x Y +;其中,)(x Y 是线性非齐次方程的一个特解;)(0x Y 是线性齐次

方程组的通解。

(1)通过上述一阶线性齐次方程组的求解方法求出其通解)(0x Y ;

(2)求一阶线性非齐次方程组的特解:

①令)()()()()(11x Y x C x Y x C x Y n n ++= 为(4)的一个特解,

则)()()()()()()('2'21'1x F x Y x C x Y x C x Y x C n n =+++ 。 ②因?????

??????===)()()()()()('2'21'1x W D x C x W D x C x W D x C n n 积分得:)(,),(),(21x C x C x C n 的值; ③回代,进而求出其特解。

④该方程组的解即为)()(0x Y x Y +。

4.常系数线性微分方程组:

(4.1)AY dx

dY = 齐次方程组 (5) 其中,A 是m ×n 实常数矩阵。

解题步骤:

?特征根为单根

(1)写出系数矩阵A

(2)写出特征方程E A λ-

(3)求出特征根λ

(4)写出特征根所对应的线性无关的特征向量T

(5)则该方程的通解为n t n t t T e c T e c T e c z y x

n λλλ ++=???

?

?

??221121

?特征根为重根

(1)写出系数矩阵A

(2)写出特征方程E A λ-

(3)求出特征根λ,βαλi ±=2,1

(4.2))(x F AY dx dY

+= 非齐次方程组 (

6)

一阶线性微分方程组

第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1. 基本概念 一阶微分方程组:形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy (3.1) 的方程组,(其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数)叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ==成立,则 )(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x 则称这个方程组为(3.1)的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解,叫做初值问题的解。 令n 维向量函数 Y )(x =? ??? ?? ??????)( )()(21x y x y x y n ,F (x ,Y )=????????????),,,,( ),,,,(),,,,(21212 211n n n n y y y x f y y y x f y y y x f

变系数线性常微分方程的求解

变系数线性常微分方程的求解 张慧敏,数学计算机科学学院 摘要:众所周知,所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的,而变系数 二阶线性微分方程却很难解,至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法,本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法,从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法,简单的介绍了几种高阶微分方程的解法,并讨论了悬链线方程等历史名题。 关键词:变系数线性常微分方程;特殊函数;悬链线方程;幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract:As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words:Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词:高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中,线性微分方程是非常值得重视的一部分内容,这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚,而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程:1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= (1),其中()i a t (i=1,2,3,,n )及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数,如果 ()0f t ≡,则方程(1)变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= (2),称为n 阶齐次线性微分方程,而称一般方程(1)为n 阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程,并且把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法,用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数,称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程,它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根,则应相应地方程(3)有如下n 个解:12,,,.n t t t e e e λλλ(5)我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关,从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数,则(5)是方程(3)的n 个线性无关的实值 解,而方程(3)的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根,则2i λαβ=-也是特征根,因而于这对共轭复根

第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法1

第四讲常系数线性微分方程组的解法(4课时) 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程 式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点:常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点:常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法:讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段:传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程: 1 新课引入 由定理3.6我们已知道,求线性齐次方程组(3.8)的通解问题,归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8),如何求出基本解组,至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx (3.20)

其中A 是n n ?实常数矩阵,借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数,可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法,因为它比较直观. 由线性代数知识可知,对于任一n n ?矩阵A ,恒存在非奇异的n n ?矩阵T ,使矩阵1 T AT -成为约当标准型. 为此,对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2, ,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组 (3.20)化为 1 dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道,约当标准型 1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0 n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ ---= =- 的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.

第三章 一线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)

第四讲 常系数线性微分方程组的解法(4课时) 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点:常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点:常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法:讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段:传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程: 1 新课引入 由定理3.6我们已知道,求线性齐次方程组(3.8)的通解问题,归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8),如何求出基本解组,至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵,借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数,可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法,因为它比较直观. 由线性代数知识可知,对于任一n n ?矩阵A ,恒存在非奇异的n n ?矩阵T ,使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此,对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n ==L det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道,约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-L L M M M L

的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλL 这时 12100 n T AT λλλ-??????=?????? 方程组(3.20)变为 11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ??????????????????????=???????????????? ?????? M M (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=????????M 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ????????????????==???????????????? L M M 把这n 个解代回变换(3.21)之中,便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ???? ??==?????? M (1,2,,)i n =L

最新二阶变系数线性微分方程的一些解法

二阶变系数线性微分方程的一些解法

第九节 二阶变系数线性微分方程的 一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍,而对于变系数线性方程,要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法 在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶,从而求得方程的解,这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程 22dx y d +p(x) dx dy +q(x)y =0 (9.1) 设已知其一个非零特解y 1,作变量替换,令 y =uy 1 (9.2) 其中u =u(x)为未知函数,求导数有 dx dy =y 1dx du +u dx dy 1 求二阶导数有22dx y d =y 122dx u d +2dx du dx dy 1 +u 2 12dx y d 代入(9.1)式得

y 122dx u d +(2dx dy 1+p(x)y 1)dx du +(212dx y d +p(x) dx dy 1 +q(x)y 1)u =0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程,各项系数是x 的已知函数,因为y 1是(9.1)的解,所以其中 212dx y d +p(x) dx dy 1 +q(x)y 1≡0 故(9.3)式化为 y 122dx u d +(2dx dy 1+p(x)y 1) dx du =0 再作变量替换,令dx dy =z 得 y 1dx dz +(2dx dy 1 +p(x)y 1)z =0 分离变量 z 1dz =-[1 y 2 +p(x)]dx 两边积分,得其通解 z =21 2y C e -∫p(x)dx 其中C 2为任意常数 积分得u =C 2∫21 y 1e -∫p(x)dx dx +C 1代回原变量得(9.1) 的通解 y =y 1[C 1+C 2∫21 y 1e -∫p(x)dx dx ]

线性微分方程组

第五章 线性微分方程组 [教学目标] 1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理,掌握一阶齐(非齐)线性微分方程组解的性质与结构, 2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法, 4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念,掌握求基解矩阵的方法。 5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授,实践。 [教学时间] 16学时 [教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系,一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理;齐(非齐)线性微分方程组解的性质与结构,求解非齐次线性微分方程组的常数变易法;常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法;求常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [考核目标] 1.线性微分方程组解的性质与结构。 2.能够求解常系数线性微分方程组。 §5.1 存在唯一性定理 5.1.1记号和定义 考察形如 1 11112211221122222 1122()()()()()()()()()()()()n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++?? ??'=++++? (5.1) 的一阶线性微分方程组,其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n = 和()(1,2,,)i f t i n = 在区间a t b ≤≤上 上是连续的。方程组(5.1)关于12,,,n x x x 及1 2,,,n x x x ''' 是线性的. 引进下面的记号: 1112121 22 212()() ()()() ()()()() ()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ??????=?? ? ? ?? (5.2) 这里()A t 是n n ?矩阵,它的元素是2 n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n = . 12()()()()n f t f t f t f t ??????=?????? 12n x x x x ??????=?????? 1 2n x x x x '????'??'=???? '?? (5.3)

二阶线性微分方程的解法

二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1.解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念

设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).

变系数_非线性微分方程的求解

变系数/非线性微分方程的求解:Example1: van der Pol equation Rewrite the van der Pol equation (second-order) The resulting system of first-order ODEs is 见:vdp_solve.m及vdp.mdl vdp_solve.m vdp.mdl

Example2: 2 with x(0) = 4 x (0)=0 5(5)5sin()5 +-+= x t x t x 见:exam2_solve.m及exam2.mdl exam2_solve.m exam2.mdl

Example3: ODEs 函数实现及封装说明[以一阶微分方程为例] 510 w i t h (0)4 dx x x dt +==- 引言: 一步Euler 法求解[相当于Taylor 展开略去高阶项]: 11()k k k k k k k k k k k x x x Ax bu t x x t x x t Ax bu ++-==+??=+??=+??+ 补充说明1:对于任意方程/方程组可化为如下一阶形式[方程组]: x Ax Bu =+ 或者(,)(,)M t x x f t x = 补充说明2:ODEs 的解法不同之处在于 1、时间步长的选取(及导数的求解?):有无误差控制 变步长; 2、积分方法:选用哪几个时间状态信息。 见:my_ode_rough.m[直接求解] / test_my_ode.m[按Matlab/ODEs 方式封装] my_ode_rough.m

一阶线性非齐次微分方程求解方法归类

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0,则方程称为齐次的; 如果 Q x()不恒等于零,则方程称为非齐次的。 a)首先,我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 分离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ? 或 y c e P x dx =?-?() 其次,我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x(),即作变换 y u e P x dx =?-?() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ?=-? 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -?-? ()() () 代入方程1得

'=-?u e Q x P x dx ()() , '=?u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+??()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 [] y e c Q x e dx P x dx P x dx =?+-???()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()() 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21 13 2 () 的通解。 解: ] 23 )1([1212dx e x c e y dx x dx x ??++??=+-+-- ] 23 )1([22 )1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+??++?= =+?++- ?()[()]x c x dx 1121 2 =+?++()[()] x c x 12121 2 由此例的求解可知,若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程,求解它只需套用公式。

二阶变系数线性微分方程的一些解法

第九节 二阶变系数线性微分方程 的一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍,而对于变系数线性方程,要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法 在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶,从而求得方程的解,这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程 22dx y d +p(x) dx dy +q(x)y =0 (9.1) 设已知其一个非零特解y 1,作变量替换,令 y =uy 1 (9.2) 其中u =u(x)为未知函数,求导数有 dx dy =y 1dx du +u dx dy 1 求二阶导数有22dx y d =y 122dx u d +2dx du dx dy 1+u 21 2dx y d 代入(9.1)式得

y 122dx u d +(2dx dy 1+p(x)y 1)dx du +(21 2dx y d +p(x) dx dy 1+q(x)y 1)u =0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程,各项系数是x 的已知函数,因为y 1是(9.1)的解,所以其中 21 2dx y d +p(x) dx dy 1+q(x)y 1≡0 故(9.3)式化为 y 122dx u d +(2dx dy 1+p(x)y 1) dx du =0 再作变量替换,令dx dy =z 得 y 1dx dz +(2dx dy 1 +p(x)y 1)z =0 分离变量 z 1 dz =-[1y 2+p(x)]dx 两边积分,得其通解 z =21 2y C e -∫p(x)dx 其中C 2为任意常数 积分得u =C 2∫21 y 1e -∫p(x)dx dx +C 1代回原变量得(9.1) 的通解 y =y 1[C 1+C 2∫21 y 1e -∫p(x)dx dx ]

第三章一阶线性微分方程组第二讲一阶线性微分方程组的一般概念及理论

第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念与 一阶线性齐次方程组的一般理论(4课时) 一、 目的与要求: 了解一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性齐次方程组的通解结构, 理解基本解矩阵, Wronsky 行列式等概念. 二、重点:一阶线性齐次方程组的通解结构, 基本解矩阵, Wronsky 行列式. 三、难点:基本解矩阵, Wronsky 行列式. 四、教学方法:讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段:传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程: 1. 一阶线性微分方程组的一般概念 如果在一阶微分方程组(3.1)中, 函数12(,,,,)(1,2,,)i n f x y y y i n =, 关于12,,,n y y y 是线性的, 即(3.1)可以写成 1111122112211222221122()()()()()()()()()()()() n n n n n n n nn n n dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx ?=++ ++???=++++?????=++++? ?

(3.6) 则称(3.6)为一阶线性微分方程组. 我们总假设(3.6)的系数()(,1,2,,)ij a x i j n = 及()(1,2,,)i f x i n = 在某个区间I R ? 上连续. 为了方便, 可以把(3.6)写成向量形式. 为此, 记 1112121 22212()()()()()()()()()()n n n n nn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x ??????=?????? 及 12()()()()n f x f x F x f x ???? ??=?????? 根据第13讲的记号, (3.6)就可以写成向量形式 ()()dY A x Y F x dx =+ (3.7) 如果在I 上, ()0F x ≡,方程组(3.7)变成 ()dY A x Y dx = (3.8)

一阶线性偏微分方程

第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1) 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X (7.1) 的方程,称为一阶线性齐次偏微分方程,其中n x x x ,,,21 是自变量,u 是n x x x ,,,21 的未知函数,n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数,并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2) 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? (7.2) 的方程,称为一阶拟线性偏微分方程,其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的,以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3) 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 (7.3) 称为一阶线性齐次偏微分方程(7.1)的特征方程组。 常微分方程组

二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程: 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )

1、变系数线性微分方程的求解

本科毕业论文 题目:变系数线性微分方程的求解问题院(部):理学院 专业:信息与计算科学 班级:信计081 姓名:张倩 学号:2008121191 指导教师:庞常词 完成日期:2012年6月1日

目录 摘要 (Ⅱ) ABSTRACT (Ⅲ) 1前言 1.1微分方程的发展和应用 (1) 1.2二阶变系数线性常微分方程的重要性 (2) 1.3本文的研究内容及意义 (2) 2二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 2.1基本概念 (3) 2.2二阶变系数线性微分方程的求解定理 (3) 2.3二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 (5) 3 微分方程的恰当方程解法 3.1恰当方程的概念 (8) 3.2恰当微分方程解法 (10) 4 微分方程的积分因子解法 4.1积分因子的概念 (14) 4.2积分因子解法 (14) 5二阶变系数微分方程可积的条件 结论 (22) 谢辞 (23) 参考文献 (24)

摘要 微分方程在数学理论中占有重要位置,在科学研究、工程技术中有着广泛的应用。在微分方程理论中,一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究,它们总是可解的,但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。 如果能够确定某一类型的二阶变系数线性微分方程的积分因子或恰当方程,则该二阶变系数线性微分方程就可以求解,问题在于如何确定积分因子和恰当方程及该类方程在何种情况下可积。 本文通过对微分方程的理论研究,用不同的方法探讨这类问题,扩展了变系数线性微分方程的可积类型,借助积分因子和恰当方程的方法求解方程。 关键词:变系数;二阶微分方程;积分因子;恰当因子

S olve For Varied Coefficient Second Order Liner Differential Equation ABSTRACT Second order liner homogeneous differential equation plays an important role in mathematics theory, and use extensively in science research and technology. In differential equation theory, some special differential equation’s solve ways have already been researched. So they can be seemed as could be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, this solve for this sort of equation is hard. If we can make integrating factor or exact equation of some types of second order liner different equation, and this types of second order liner different equation can be solved. The problem is how to make integrating factor and exact equation, and this type equation can be integral in which condition. This article utilizes different ways to research this problem in different equation theories, which expand could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By integrating factor and exact equation make varied coefficient second order liner differential equation. Key Words: varied coefficient; second order liner differential equation; integrating factor; exact equation

线性微分方程的解法

§12.4 线性微分方程 一、 线性方程 线性方程: 方程)()(x Q y x P dx dy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程? (1)y dx dy x =-) 2(?021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0?y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4)y x dx dy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ?0)1(23=+-y x dx dy 或3 2)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法: 齐次线性方程 0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P y dy )(-=, 两边积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=? , 或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=?=-, 这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数). 例1 求方程y dx dy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得 2 -=x dx y dy ,

两边积分得 ln|y |=ln|x -2|+lnC , 方程的通解为y =C (x -2). 非齐次线性方程的解法: 将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把 ?=-dx x P e x u y )()( 设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得 )()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---, 化简得 ?='dx x P e x Q x u )()()(, C dx e x Q x u dx x P +?=?)()()(, 于是非齐次线性方程的通解为 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=? -, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ? ??+?=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 例2 求方程25)1(1 2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程 012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得 1 2+=x dx y dy , 两边积分得 ln y =2ln (x +1)+ln C , 齐次线性方程的通解为 y =C (x +1)2. 用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ?(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得

高阶线性微分方程常用解法简介

高阶线性微分方程常用解法简介 摘要:本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法,主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词:高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中,线性微分方程是非常值得重视的一部分内容,这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚,而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程:1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= (1),其中()i a t (i=1,2,3, ,n )及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数,如果 ()0f t ≡,则方程(1)变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= (2),称为n 阶齐次线性微分方程,而称一般方程(1)为n 阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程,并且把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法,用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数,称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程,它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根,则应相应地方程(3)有如下n 个解:12,,,.n t t t e e e λλλ (5)我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关,从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数,则(5)是方程(3)的n 个线性无关的实值解,而方程(3)的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将称对共轭的出现.

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