2019-2020学年新人教A版必修一函数的单调性教案1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2
当x1〈x2时,都有f(x1) 么就说函数f(x)在区间D上是增 函数 当x1〈x2时,都有f(x1)〉f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D上是 减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)对于任意的x∈I,都有f (x)≥M; (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论M为最大值M为最小值 概念方法微思考 1.在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论? 提示对?x1,x2∈D,错误!〉0?f(x)在D上是增函数,减函数类似. 2.写出对勾函数y=x+错误!(a>0)的增区间. 提示(-∞,-错误!]和[错误!,+∞). 题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)〈f(3),则函数f(x)在R上为增函数.(×)(2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( ×)(3)函数y=错误!的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( ×) (4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( ×) (5)所有的单调函数都有最值.(×) 题组二教材改编 2.函数f(x)=x2-2x的单调递增区间是____________. 答案[1,+∞)(或(1,+∞)) 3.函数y=错误!在[2,3]上的最大值是______. 答案 2 4.若函数f(x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________. 答案(-∞,2] 解析由题意知,[2,+∞)?[m,+∞),∴m≤2. 题组三易错自纠 log (x2-4)的单调递减区间为________. 5.函数y= 1 2 答案(2,+∞) 6.若函数f(x)=|x-a|+1的增区间是[2,+∞),则a=________. 答案 2 解析∵f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是[a,+∞), ∴a=2。 7.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1) 答案[-1,1) 解析由条件知错误!解得-1≤a<1。 8.函数f(x)=错误!的最大值为________. 答案 2 解析当x≥1时,函数f(x)=错误!为减函数, 所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1; 当x〈1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2。 故函数f(x)的最大值为2。 题型一确定函数的单调性 命题点1 求函数的单调区间 例1 (1)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是() A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 答案 D 解析函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x〈-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞). (2)函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间是__________________. 答案[-1,0],[1,+∞) 解析由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 二次函数的图象如图. 由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞). 命题点2 讨论函数的单调性 例2 判断并证明函数f(x)=ax2+错误!(其中1 解函数f(x)=ax2+错误!(1〈a<3)在[1,2]上单调递增. 证明:设1≤x1〈x2≤2,则 f(x2)-f(x1)=ax错误!+错误!-ax错误!-错误! =(x2-x1)错误!, 由1≤x1 1 又因为1〈a〈3,所以2〈a(x1+x2)〈12, 得a(x1+x2)-错误!〉0, 从而f(x2)-f(x1)〉0,即f(x2)〉f(x1), 故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增. 引申探究 如何用导数法求解本例? 解f′(x)=2ax-错误!=错误!, 因为1≤x≤2,所以1≤x3≤8,又1 所以2ax3-1>0,所以f′(x)>0, 所以函数f(x)=ax2+错误!(其中1〈a<3)在[1,2]上是增函数. 思维升华确定函数单调性的方法:(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连接. 跟踪训练1 (1)下列函数中,满足“?x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]〈0”的是() A.f(x)=2x B.f(x)=|x-1| C.f(x)=错误!-x D.f(x)=ln(x+1) 答案 C 解析由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]〈0可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,A,D选项中,f(x)为增函数;B中,f(x)=|x-1|在(0,+∞)上不单调;对于f(x)=错误!-x,因为y=错误!与y=-x在(0,+∞)上单调递减,因此f(x)在(0,+∞)上是减函数.(2)函数f(x)=(a-1)x+2在R上单调递增,则函数g(x)=a|x-2|的单调递减区间是______________. 答案(-∞,2] 解析因为f(x)在R上单调递增,所以a-1>0,即a〉1,因此g(x)的单调递减区间就是y=|x-2|的单调递减区间(-∞,2]. (3)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是________. 答案[1,2] 解析f(x)=错误! 画出f(x)图象, 由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]. 题型二函数的最值 1.函数y=错误!的值域为____________. 答案[-1,1) 解析由y=错误!,可得x2=错误!。 由x2≥0,知错误!≥0,解得-1≤y〈1, 故所求函数的值域为[-1,1). 2.函数y=x+错误!的最大值为________. 答案错误! 解析由1-x2≥0,可得-1≤x≤1。 可令x=cosθ,θ∈[0,π], 则y=cosθ+sinθ=2sin错误!,θ∈[0,π], 所以-1≤y≤错误!, 故原函数的最大值为错误!. 3.函数y=|x+1|+|x-2|的值域为________. 答案[3,+∞) 解析函数y=错误! 作出函数的图象如图所示. 根据图象可知,函数y=|x+1|+|x-2|的值域为[3,+∞). 4.函数y=错误!的值域为________________. 答案{y|y∈R且y≠3} 解析y=错误!=错误!=3+错误!, 因为错误!≠0,所以3+错误!≠3, 所以函数y=错误!的值域为{y|y∈R且y≠3}. 5.函数f(x)=错误!x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 答案 3 解析由于y=错误!x在[-1,1]上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3. 6.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关 答案 B 解析方法一设x1,x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点, 则m=x错误!+ax1+b,M=x错误!+ax2+b。 ∴M-m=x错误!-x错误!+a(x2-x1), 显然此值与a有关,与b无关.故选B. 方法二由题意可知,函数f(x)的二次项系数为固定值,则二次函数图象的形状一定.随着b的变动,相当于图象上下移动,若b增大k个单位,则最大值与最小值分别变为M+k,m+k,而(M+k)-(m+k)=M-m,故与b无关.随着a的变动,相当于图象左右移动,则M-m 的值在变化,故与a有关,故选B. 思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.(4)分离常数法:形如求y=错误!(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 题型三函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小 例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1〉1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)〈0恒成立,设a=f错误!,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( ) A.c〉a〉b B.c〉b〉a C.a>c>b D.b>a>c 答案 D 解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数,因为a=f错误!=f错误!,且2〈错误!<3,所以b>a>c. 命题点2 解函数不等式 例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)〈0的解集是() A.{x|-3〈x<0或x>3} B.{x|x<-3或0 C.{x|x<-3或x>3} D .{x |-3〈x <0或0 解析 ∵f (x )是奇函数,f (-3)=0, ∴f (-3)=-f (3)=0,解得f (3)=0. ∵函数f (x )在(0,+∞)内是增函数, ∴当0 ∵函数f (x )是奇函数,∴当-3〈x 〈0时,f (x )>0; 当x 〈-3时,f (x )<0. 则不等式f (x )<0的解集是{x |0 例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )=cos x -sin x 在[0,a ]上是减函数,则a 的最大值是( ) A.错误!B 。错误!C.错误!D .π 答案 C 解析 ∵f (x )=cos x -sin x =-错误!sin 错误!, ∴当x -错误!∈错误!,即x ∈错误!时, y =sin 错误!单调递增, f (x )=-2sin 错误!单调递减, ∴错误!是f (x )在原点附近的单调减区间, 结合条件得[0,a ]?错误!, ∴a ≤3π 4 ,即a max =错误!。 (2)已知函数f (x )=错误!若f (x )在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为________. 答案 (1,2] 解析 由题意,得12 +错误!a -2≤0,则a ≤2,又y =a x -a (x 〉1)是增函数,故a >1,所以a 的取值范围为1 (3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )=log 2(x 2 -ax +3a )在[2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是______________. 答案 (-4,4] 解析 设g (x )=x 2 -ax +3a ,根据对数函数及复合函数的单调性知,g (x )在[2,+∞)上是增函数,且g (2)>0,∴错误!∴-4〈a ≤4, ∴实数a 的取值范围是(-4,4]. 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小. (2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函 数的定义域. (3)利用单调性求参数. ①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较; ②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. 跟踪训练2 (1)如果函数f (x )=错误!满足对任意x 1≠x 2,都有错误!>0成立,那么a 的取值范围是________. 答案 错误! 解析 对任意x 1≠x 2,都有 f (x 1)-f (x 2) x 1-x 2 〉0, 所以y =f (x )在(-∞,+∞)上是增函数. 所以错误!解得错误!≤a 〈2。 故实数a 的取值范围是错误!. (2)已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -1)〈f 错误!的x 的取值范围是______________. 答案 错误! 解析 因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足f (2x -1)〈f 错误!, 所以0≤2x -1〈1 3 ,解得错误!≤x 〈错误!。 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A .y =ln(x +2) B .y =-错误! C .y =错误!x D .y =x +错误! 答案 A 解析 函数y =ln(x +2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数. 2.已知函数f (x )=x 2 -2x -3,则该函数的单调递增区间为( ) A .(-∞,1] B .[3,+∞) C .(-∞,-1] D .[1,+∞) 答案 B 解析 设t =x 2 -2x -3,由t ≥0,即x 2 -2x -3≥0,解得x ≤-1或x ≥3,所以函数f (x )的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t =x 2 -2x -3的图象的对称轴为x =1,所以函数t 在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f (x )的单调递增区间 为[3,+∞). 3.设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (-2),f (π), f (-3)的大小关系是( ) A .f (π)〉f (-3)〉f (-2) B .f (π)>f (-2)>f (-3) C .f (π)〈f (-3)〈f (-2) D .f (π) 解析 因为f (x )是偶函数, 所以f (-3)=f (3),f (-2)=f (2). 又因为函数f (x )在[0,+∞)上是增函数, 所以f (π)〉f (3)>f (2), 即f (π)>f (-3)〉f (-2). 4.已知函数f (x )=错误!当x 1≠x 2时,错误!〈0,则a 的取值范围是( ) A.错误!B.错误! C.错误!D 。错误! 答案 A 解析 当x 1≠x 2时,错误!〈0, ∴f (x )是R 上的减函数. ∵f (x )=错误! ∴错误! ∴0 5.设f (x )=错误!若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为( ) A .[-1,2]B .[-1,0] C .[1,2]D .[0,2] 答案 D 解析 ∵当x ≤0时,f (x )=(x -a )2 ,f (0)是f (x )的最小值,∴a ≥0.当x 〉0时,f (x )=x +1 x +a ≥2+a ,当且仅当x =1时取“=".要满足f (0)是f (x )的最小值,需2+ a ≥f (0)=a 2,即a 2-a -2≤0,解得-1≤a ≤2。 ∴a 的取值范围是0≤a ≤2。故选D. 6.已知函数f (x )=错误!则“c =-1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若函数f (x )在R 上单调递增, 则需log 21≥c +1,即c ≤-1. 由于c=-1,即c≤-1,但c≤-1不能得出c=-1, 所以“c=-1”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件. 7.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f错误!,b=f错误!,c=f(20。8),则a,b,c 的大小关系为________________. 答案a〉b〉c 解析∵f(x)在R上是奇函数, ∴a=-f错误!=f错误!=f(log25). 又f(x)在R上是增函数, 且log25〉log24。1〉log24=2>20.8, ∴f(log25)〉f(log24.1)〉f(20。8),∴a>b>c。 8.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是______________. 答案错误! 解析当a=0时,f(x)=2x-3在定义域R上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-错误!,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a〈0,且-错误!≥4,解得-错误!≤a<0。 综上,实数a的取值范围是错误!. 9.记min{a,b}=错误!若f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为________.答案 6 解析由题意知,f(x)=错误! 易知f(x)max=f(4)=6。 10.设函数f(x)=错误!若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是__________________. 答案(-∞,1]∪[4,+∞) 解析作函数f(x)的图象如图所示, 由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增, 需满足a≥4或a+1≤2, 即a≤1或a≥4. 11.已知f(x)=错误!(x≠a). (1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增; (2)若a〉0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围. (1)证明当a=-2时,f(x)=错误!. 设x1〈x2<-2, 则f(x1)-f(x2)=错误!-错误!=错误!. 因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)〈0,即f(x1)〈f(x2), 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)解设1〈x1〈x2, 则f(x1)-f(x2)=错误!-错误! =错误!. 因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)〉0, 只需(x1-a)(x2-a)〉0恒成立, 所以a≤1。综上所述,0〈a≤1. 12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)=错误! (1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围. 解(1)∵f(-1)=0,∴b=a+1。 由f(x)≥0恒成立,知a>0且方程ax2+bx+1=0中Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,∴a=1. 从而f(x)=x2+2x+1。 ∴F(x)=错误! (2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1, ∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1, 由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知-错误!≤-2或-错误!≥2,得k≤-2或k≥6. 即实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞). 13.已知函数f(x)=错误!若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-1,2) D.(-2,1) 答案 D 解析∵当x=0时,两个表达式对应的函数值都为0, ∴函数的图象是一条连续的曲线.又∵当x≤0时,函数f(x)=x3为增函数,当x>0时, f(x)=ln(x+1)也是增函数,∴函数f(x)是定义在R上的增函数.因此,不等式f(2-x2)〉f(x)等价于2-x2〉x,即x2+x-2<0,解得-2〈x<1. 14.已知f(x)=错误!不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是________. 答案(-∞,-2) 解析二次函数y1=x2-4x+3的对称轴是x=2, ∴该函数在(-∞,0]上单调递减, ∴x2-4x+3≥3,同样可知函数y2=-x2-2x+3在(0,+∞)上单调递减, ∴-x2-2x+3〈3,∴f(x)在R上单调递减, ∴由f(x+a)>f(2a-x)得到x+a〈2a-x,