B 1
D 1
A D
C 1
B
C
A 1§线线角与线面角(教案)
一、复习目标
1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法．
2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法．
3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维” 的思想方法. 二、课前预习
1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 .
2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο
和45ο
，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A).
4
6 (B).
36 (C).6
2 (D).63
3.平面α与直线a 所成的角为3
π
,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ．
4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为
( )
(A).30ο
(B).45ο
(C).60ο
(D).90ο
5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο
, ∠C=90ο
,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο
角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ．
三、典型例题
例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60ο
角,求异面直线AD 与BF
所成角的余弦值.
备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.
2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过
程,还要有合理的步骤. A
C
B
D
B
P
C D A C B F E
例2.如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B
所成的角.
备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在 此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作
平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂
直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊 位置.
例3. 已知直三棱住ABC-A 1B 1C 1,AB=AC, F 为棱BB 1上一点,BF ∶FB 1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D
为BC 的中点,E 为线段AD 上不同于A 、D 的任意一点,证明：EF ⊥FC 1; (2)试问:若AB=a 2,
在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60ο
角,为什么?证明你的结论. 备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解
决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,
从而判断命题是否成立.
A
D
C 1
D 1A 1
B 1
C
B A 1
C B
A B 1
D C 1
E F
四、反馈练习
1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则( )
(A)A=B=C (B)A=B?C (C)A?B?C (D) B?A?C.
2两条直线a,b与平面α所成的角相等,则直线a,b的位置关系是( )
(A)平行(B)相交(C)异面(D) 以上均有可能.
3设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1和BB1的中点，则直线CM和D1N所成角的正弦值为.
4已知a、b是一对异面直线，且a、b成60o角，则在过空间任意点P的所有直线中，与a、b均成60o角的直线有条.
5异面直线a、b互相垂直，c与a成30o角，则c与b所成角的范围是 .
6∠ACB=90ο在平面α内,PC与CA、CB所成的角∠PCA=∠PCB=60o,则PC与平面α所成的角为.
7设线段AB=a,AB在平面α内,CA⊥α,BD与α成30ο角,BD⊥AB,C、D在α同侧,CA=BD=b.
求: (1)CD的长;
(2)CD与平面α所成角正弦值.
课前预习 1. 60
ο
2.A
3. [
3
π,
2
π
] 4.C 5.
4
6 典型例题
例1解:∵CB ∥AD
∴∠CBF 为异面直线AD 与BF 所成的角. 连接CF 、CE
设正方形ABCD 的边长为α,则BF=a 2 ∵CB ⊥AB, EB ⊥AB
∴∠CEB 为平面ABCD 与平面ABEF 所成的角
∴∠CBE=∠60
ο
∴CE=a FC=a 2 ∴cos ∠CBF=
4
2
例2解:(1)设所求的角为α,先证BD ⊥平面ACC 1A 1,则sin α=sin ∠OC 1B=
1BC OB =2
1
.故α=30o .(2)△A 1BC 1是正三角形,且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱锥B 1-A 1BC 1是正三棱锥.过B 1作B 1H
⊥平面A 1BC 1,连A 1H, ∠B 1A 1H 是直线A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角.设A 1B 1=a 则A 1B =a 2得A 1H =
a 36.故cos ∠B 1A 1H=111B A H A =3
6.所求角为36
arccos
例3解:(1)连接OF ,容易证明AD ⊥面BB 1C 1C, DF 是EF 在面B 1C 1CB 的射影,且DF ⊥FC 1,
∴FC 1⊥EF.
(2) ∵AD ⊥面BB 1C 1C , ∠EFD 是EF 与平面BB 1C 1C 所成的角.在△EDF 中,若∠EFD=60ο
,
则ED =DF ·tan 60ο
=3·5=a 15,∵AB=BC=AC=2a ,
∴AD=a 3.∵a 15>a 3.
∴E 在DA 的延长线上,而不在线段AD 上;故线段AD 上的E 点不可能使EF 与平面BB 1C 1C
成60ο
角.
反馈练习
1. D
2. D
3.
9
54 4. 3 5.[ 60ο,90ο] 6. 45ο
7.解:(1)作DD ＇⊥α于D ＇,连接AD ＇,BD ＇.CA ⊥α,∴CA ∥DD ＇.四边形CAD ＇D 是直角
梯形,∠CAD ＇=∠D D ＇A =90ο
,AB α?,AB ⊥DD ＇.又AB ⊥BD,∴AB ⊥平面BDD ＇,BD ＇?平
面BDD ＇.∴AB ⊥BD ＇.∵∠DBD ＇是BD 与α所成的角,∴∠DBD ＇=30ο
,BD =b ,DD ＇=
2
b
,BD ＇=23b .在△ABD ＇中,AB=a ,BD ＇=23b ,∠ABD ＇=90ο,∴AD ＇=22＇BD AB +=4
322b a +.在CAD ＇D 中，CD=
222'2')(b a D D AC AD +=-+.
(2)作D ＇C ＇∥DC 交CA 于C ＇,∠C ＇D ＇A 是CD 与α所成的角,
sin ∠C ＇D ＇A=22'2''b
a b D C AC +=
.
WORD文档 立体几何知识点整理 一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 3. 线在面内 l l A l α α α 二．平行关系： 1. 线线平行： 方法一：用线面平行实现。 l l // l l // m m m 方法二：用面面平行实现。 // l l l // m β m γ m α 方法三：用线面垂直实现。 若l ,m ，则l // m 。 方法四：用向量方法： 若向量l 和向量m 共线且l、m 不重合，则l // m 。 2. 线面平行： 方法一：用线线平行实现。 l // m m l // l
l β// l // α l 方法三：用平面法向量实现。n l 若n为平面的一个法向量，n l 且l,则l // 。 α 2.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 l // // , m ', m l l 且相交 且相交 // α l βm l' m' 方法二：用线面平行实现。l // // m // β l m l ,m 且相交 α三．垂直关系： 3.线面垂直：
l AC l l AC AC, A l A α C B 方法二：用面面垂直实现。 β l m l m l m,l α
3.面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 l βl C θ l α A B 方法二：计算所成二面角为直角。 4.线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 l l m l m α m 方法二：三垂线定理及其逆定理。 P PO l OA l PA l A O l α 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则l m 。 三．夹角问题。 （一）异面直线所成的角： （1）范围：(0 ,90 ] （2）求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理） 余弦定理： a c cos 2 a 2 b 2ab 2 c θ b （计算结果可能是其补角）
线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，
线线角、线面角、面面角专题 一、异面直线所成的角 1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。 2.角的取值范围：090θ<≤?； 垂直时，异面直线当b a ,900=θ。 例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值 二、直线与平面所成的角 1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角 2.角的取值范围：? ? ≤≤900θ。 _1 _A
例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中 点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。 一、 二面角： 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围：? ? ≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。 B M H S C A
3.作二面角的平面角的常用方法有六种： 1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。 2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。 3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。 二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。 例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A
新课标高考立体几何——线面角的计算归类分析 深圳市第二实验学校 李平 作者简介 李平，男，1970年12月生，硕士研究生，高级教师，现任深圳市第二实验学校总务处副主任。深圳市“技术创新能手”称号、深圳市高考先进个人。在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。主持和参与省、市级课题多项，主编和参编教育类书籍多部，发表教研论文多篇，辅导学生参加各类竞赛有多人次获奖。 摘 要 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解，这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力. 关键词 线面角 空间角 平移法 等体积法 空间向量方法 线面角——直线和平面所成的角 1．定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条斜线和这个平面所成的角. 若直线l ⊥平面α, 则l 与α所成角为90?; 若直线l //平面α或直线l ?平面α, 则l 与α所成角为0?. 2．线面角的范围: [0]2 π ，. 3．线面角的求法： (1)定义法(垂线法)． (2)虚拟法(等体积法). (3)平移法． (4)向量法. 线面角是立体几何中的一个重要概念, 它是空间图形的一个突出的量化指标, 是空间位置关系的具体体现, 是培养学生逻辑推理能力, 树立空间观念的重要途径, 故线面角一直以高频率的姿态出现在历年高考试题中. 求解线面角问题一般遵循(找)、证、算三个步骤, 并多以棱锥与棱柱作为考查的载体. 求解线面角的方法主要有两种: 一是利用传统几何方法; 二是利用空间向量方法. 总之, 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解, 这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分
D B A C α 空间中的夹角 福建屏南一中 李家有 QQ52331550 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围是2 , 0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动 直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求” 2、线面夹角 直线与平面所成的角的范围是]2 , 0[π 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道） ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 也是简称为“作，证，求” 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角， 则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ） 2.1确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α内， ,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角 两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影） 求证：OAN OAM ∠∠＝ （OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上） 证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ， 90PNA PMA ∠∠?＝＝ PNA PMA ∴???（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ① (PO NO MO PN PM α⊥? ?=?? 斜线长相等推射影长相等） ＝
线线角和线面角 [重点]：确定点、斜线在平面内的射影。 [知识要点]： 一、线线角 1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角. 2、范围:(0,] 3. 向量知识： 对异面直线AB和CD (1)； (2) 向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB 和CD的夹角； (3) 二、线面角 1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,). 2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角； 直线垂直平面它们所成角为， 3、范围: [0,]。 4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。
5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 6、向量知识 （法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角. [例题分析与解答] 例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角. 分析：利用，求出向量的夹角,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角. 解：∵，， ∴ ∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 所以异面直线BA1与AC所成的角为60°. 点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示. 例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD//BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角.
A P B C E D 一：线面平行的证明方法： 1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线） 看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。 2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行） 例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2， 60BAD ∠= ，ABD ?绕着BD 顺时针旋转120 得到PBD ?，M 是PC 的中点． （1）求证：//PA 平面MBD ； （2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、 边 长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是 棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离． 例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点， 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 二：线面垂直的证明方法： 通过线线垂直，证明线面垂直 1） 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2） 利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂 直等； 3） 通过线面垂直，反推线线垂直； 4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。 例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积. C
高三立体几何专题 1.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 1.解析 （Ⅰ）连接，易知，.又由， 故，又因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故. 又已知，，所以平面. （Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角， 因为为等边三角形，且为的中点，所以 又， 故在中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为 . 2.如图 ，已知三棱柱，平面平面,， 分别是AC ，A 1 B 1的中点. （1）证明：； （2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值. P ABCD -ABCD PCD PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD =G H ，PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC BD AC BD H =BH DH =BG PG =GH PD ∥GH ?PAD PD ?PAD GH ∥PAD PC N DN DN PC ⊥PAC ⊥PCD PAC PCD PC =DN ⊥PAC PA ?PAC DN PA ⊥PA CD ⊥CD DN D =PA ⊥PCD AN DN ⊥PAC DAN ∠AD PAC PCD △2CD =N PC DN =DN AN ⊥Rt AND △sin 3 DN DAN AD ∠= =AD PAC 3 111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=?11 30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==EF BC ⊥
教师姓名 余永奇 学生姓名 洪 懿 上课时间 2014.11.15 辅导学科 数学 学生年级 高二 教材版本 人教版 课题名称 线面角，二面角的计算方法（文科） 本次学生 课时计划 第（10）课时 共（60）课时 教学目标 线面角的计算方法 教学重点 线面角的计算方法 教学难点 线面角的计算方法 教师活动 学生活动 上次作业完成情况(%) 一．检查作业完成情况，并讲解作业中存在的问题 二．回顾上次课辅导内容 三．知识回顾，整体认识 1、本章知识回顾 （1）空间点、线、面间的位置关系； （2）直线、平面平行的判定及性质； （3）直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 （二）整合知识，发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。 公理1——判定直线是否在平面内的依据； 公理2——提供确定平面最基本的依据； 公理3——判定两个平面交线位置的依据； 公理4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题； 3、空间平行、垂直之间的转化与联系： 平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间直线、平面的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。 典型例题： 线面夹角的计算 例1（2014浙江高考文科20题）如图，在四棱锥A-BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE=∠BED =90°，AB=CD=2, DE=BE=1，AC=2. （Ⅰ）证明： AC ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值. 例2(2013浙江，文20)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． (1)证明：BD ⊥平面APC ； ( 43 3 ) (2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；(3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC 的值．(3/2) 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直
立体几何中的角度问题 一、 异面直线所成的角 1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积； （2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。 2、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值
二、直线与平面所成夹角 1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ， 90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2P A A D A B B C ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。 求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。 2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。 三、二面角与二面角的平面角问题 1、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．
2、如图5，?AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为?AC 的中点，点B 和点C 为线 段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =。 （1）证明：EB FD ⊥； （2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，2 3 FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。
B 1 D 1 A D C 1 B C A 1线线角与线面角 一、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C 和C1D 与底面所成的 角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 46 (B).36 (C).62 (D).63 3.平面α与直线a 所成的角为3π ,则直线a 与平面α内所有直 线所成的角的取值范围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ． 二、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平 A C B D B P C D A C B
面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】 例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B 所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直 的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置. 例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F 为棱BB1上一点,BF ∶FB1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 为BC 的中点,E 为线段AD 上不同于A 、D 的任意一点,证明：EF ⊥FC1; (2)试问:若AB=a 2,在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB1C1C 成60ο角,为什么?证明你的结论. 备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解 决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾, 从而判断命题是否成立. 一、知识与方法要点： 1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜 A D C 1 D 1 A 1 B 1 C B A 1C B A B 1 D C 1 E F
立体几何线面角专题(五十八) 1.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1 的中点．试求： (1)AD 1与EF 所成角的大小； (2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值； (3)二面角C 1－DB －B 1的正切值． 答案 (1)60° (2)223 (3)22 思路 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0，0，0)，A(1，0， 1)，B(0，0，1)，D 1(1，1，0)，E(0，12，0)，F(12 ，1，0)，D(1，1，1)． (1)因为AD 1→＝(0，1，－1)，EF →＝(12，12，0)， 所以cos AD 1→，EF →＝（0，1，－1）·（12，12，0）2×22＝12， 即AD 1与EF 所成的角为60°. (2)FA →＝(12，－1，1)，由图可得，BA →＝(1，0，0)为平面BEB 1的一个法向量，设AF 与平面BEB 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos BA →，FA →|＝|（1，0，0）·（12，－1，1）1×（12）2＋（－1）2＋12|＝13，所以cos θ＝223. (3)设平面DBB 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，
DB →＝(－1，－1，0)，B 1B →＝(0，0，1)， 由?????n 1⊥DB →，n 1⊥B 1B →，得?????n 1·DB →＝－x －y ＝0， n 1·B 1B →＝z ＝0， 令y ＝1，则n 1＝(－1，1，0)． 同理，可得平面C 1DB 的一个法向量为n 2＝(－1，1，1)． 则cos n 1，n 2＝（－1，1，0）·（－1，1，1）2×3＝63. 所以tan n 1，n 2＝22. 2.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC. (1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的余弦值； (3)是否存在点E 使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由． 答案 (1)略 (2)144 (3)存在点E 解析 方法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ， ∴PA ⊥BC.又∠BCA ＝90°， ∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC. (2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ， ∴DE ＝12 BC. 又由(1)知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB. 又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形． ∴AD ＝12 AB. 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°.∴BC ＝12 AB.
文科立体几何线面角二面角专题 学校: ___________ 姓名：____________ 班级：____________ 考号： ___________ 一、解答题 1 .如图，在三棱锥，「中，肚一二/,举一厂：- H-钗-化为的中点. (1)证明：卜「"-L平面； (2)若点鮎在棱吃上，且二面角材-PA弋为剜，求PC与平面P3所成角的正弦值. 2 ?如图，在三棱锥|P"BC中，嗣訂0 2辽，""，卩＜："04,0为蚯的中点. (1)证明：P°丄平面 (2 )若点皿在棱比上，且MC = 2^B,求点匕到平面P°何的距离. 3 . (2018 年浙江卷)如图，已知多面体ABCAiBiCi , AiA , BiB , CiC均垂直于平 面ABC，/ ABC=120 ° , AiA=4 , CiC=1 , AB=BC=B iB=2 . (I)证明：ABi丄平面A1B1C1 ; (H)求直线ACi与平面ABB i所成的角的正弦值. 4 .如图，在三棱柱ABC_A i B i C i中，点p, G分别是& 叽的中点，已知吗丄平面 AAJ B#] A.B, A#」 ABC , = =3 , = =2. (I)求异面直线与AB所成角的余弦值；
(II)求证：丄平面吆匚』i; (III )求直线吒丄与平面BCG%所成角的正弦值
5 ?如图，四棱锥P-AB8,底面ABCO是正方形，PA = PD"E = 1 , PAPO型，E ,卜分 别是阳，8的中点? (1)求证； (2)求二面角匚的余弦值. 6 ?如图，三棱柱ABC-A i B i C i中，侧棱吗丄底面ABC ,且各棱长均相等D , E , F分别为 棱’?，, 的中点? (1)证明：?平面’ ; (2)证明：平面珀8」平面气曾； (3)求直线I町I与直线所成角的正弦值? 7 .如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，/ AB D=30 ° , AB = 2CD = 2AD = 2 , DE 丄平面ABCD , EF// BD，且BD = 2EF . (I)求证：平面ADE丄平面BDEF ; (H)若二面角C BF D的大小为60。，求CF与平面ABCD所成角的正弦值. P-A0CD 中PA 丄平面A9CD PA = AB = BC = AD = CD = 1 8 .如图，在四棱锥
立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为,,m n k ， =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号．
1 A 1 B 1 C 1 D A B C D E F G 线线角、线面角、二面角的求法 1.空间向量的直角坐标运算律： ⑴两个非零向量与垂直的充要条件是 1122330a b a b a b a b ⊥?++= ⑵两个非零向量与平行的充要条件是 a 2 b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式 若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： a 2b =|a ||b | cos θ （2）模长公式：则2 12||a a a a a =?=++，2 ||b b b b =?=+（3）夹角公式：2 cos ||||a b a b a b a ??==?+ （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 2 | |(AB AB x ==,A B d = ①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα?? ∈ ??? 在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>= 例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．5 15arccos B ． 4 π C ．5 10 arccos D ．2π （向量法，传统法）
P B C A 例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?且 PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____． 解：（1）向量法 （2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中 ，即 t a n 2PD DBA DB ∠ = =． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P - ②直线a 与平面α所成的角0,2πθ?? ∈ ??? (重点讲述平行与垂直的证明) 可转化成用向量→ a 与平面α的法向量→ n 的夹角ω表示，由向量平移得：若 ππ（图）；若ππ 平面α的法向量→ n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤： (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z = (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a << (4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。 图1－ 图1－ 图1－ 1 D 1 B 1 C P D B C A
立体几何大题训练（1） 1、如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，AA1⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC＝B1F＝2FB． （1）证明：平面AEF⊥平面ACC1A1； （2）若AA1＝3，求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．
2、如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥AB 平面BCP ，//CD 平面ABP ， 22=====CD BP CP BC AB ． （1）证明：平面⊥BAP 平面DAP ； （2）点M 为线段AB （含端点）上一点，设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求αsin 的取值围．
3、如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=． （1）证明：⊥PC 平面BED ； （2）设二面角C PB A --为90?，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小．
4、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=?， 侧面PAB ⊥底面ABCD ，902BAP AB AC PA E F ∠=?===，，，分别为BC AD ，的中点，点M 在线段PD 上． （1）求证：EF ⊥平面PAC ； （2）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PM PD 的值．
5、在四边形ABCD 中，对角线,AC BD 垂直相交于点O ，且4OA OB OD ===，3OC =．将BCD △沿BD 折到BED △的位置，使得二面角E BD A --的大小为90?（如图）．已知Q 为EO 的中点，点P 在线段AB 上，且2AP =． （1）证明：直线PQ ADE ∥平面； （2）求直线BD 与平面ADE 所成角θ的正弦值．
B 1D 1A D C 1 B C A 1 线线角与线面角 一、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C 和C1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 46 (B).36 (C).62 (D).63 3.平面α与直线a 所成的角为3π ,则直线a 与平面α所有直线所成的角的取值围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与 BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ． 二、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平A C B D B P C D A C B
面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】 例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B 所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在 此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作 平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直 的性质找平面的垂线.②点的射影在面的特殊位置. 例 3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F 为棱BB1上一点,BF ∶FB1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 为BC 的中 点,E 为线段AD 上不同于A 、D 的任意一点,证明：EF ⊥FC1; (2)试问:若AB=a 2,在线段AD 上的E 点能否 使EF 与平面BB1C1C 成60ο角,为什么?证明你的结论. 备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解 决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾, 从而判断命题是否成立. 一、知识与方法要点： 1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面的射影，即确定过斜线上A D C 1D 1A 1B 1C B A 1C B A B 1D C 1E F
重点高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D
专题一证明平行垂直问题 题型一证明平行关系 (1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别 是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. (2)在正方体AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB. 思考题1(1)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形， △PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD 的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. (2)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且 AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD. 题型二证明垂直关系(微专题) 微专题1：证明线线垂直 (1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC 中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN. (2)(2019·山西太原检测)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB ＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的 点，求证：DF⊥AE. 微专题2：证明线面垂直 (3)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1. (4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°.若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD.
微专题3：证明面面垂直 (5)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点， 求证：平面DEA ⊥平面A 1FD 1. (6)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD ，求证：平面PQC ⊥平面DCQ. 思考题2 (1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点， 作EF ⊥BP 交BP 于点F ，求证：PB ⊥平面EFD. (2)(2019·济南质检)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4， AO ＝3，OD ＝2. ①证明：AP ⊥BC ； ②若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明平面AMC ⊥平面BMC. 题型三 探究性问题 在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ； (2)在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB.若存在，确 定G 点的位置；若不存在，试说明理由． 思考题3 (2019·山西长治二模)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面 是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED. (1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．