2020年江苏省常州市中考数学试卷及答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）（2020?常州）2的相反数是（）
A．﹣2B．?1
2C．
1
2
D．2
2．（2分）（2020?常州）计算m6÷m2的结果是（）
A．m3B．m4C．m8D．m12
3．（2分）（2020?常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥
4．（2分）（2020?常州）8的立方根为（）
A．2√2B．±2√2C．2D．±2
5．（2分）（2020?常州）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）
A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1 6．（2分）（2020?常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．（2分）（2020?常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）
A．3B．4C．5D．6
8．（2分）（2020?常州）如图，点D是?OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，
BD=√2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=k
x（x＞0）的图象经过A、D两
点，则k的值是（）
A．2√2B．4C．3√2D．6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）（2020?常州）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．
10．（2分）（2020?常州）若代数式1
x?1
有意义，则实数x的取值范围是．11．（2分）（2020?常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．12．（2分）（2020?常州）分解因式：x3﹣x＝．
13．（2分）（2020?常州）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k 的取值范围是．
14．（2分）（2020?常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝．15．（2分）（2020?常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．
16．（2分）（2020?常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．
17．（2分）（2020?常州）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．
18．（2分）（2020?常州）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6√2，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF ＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）（2020?常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．
20．（8分）（2020?常州）解方程和不等式组：
（1）
x
x?1
+
21?x
=2；
（2）{2x ?6＜0?3x ≤6
．
21．（8分）（2020?常州）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量是 ； （2）补全条形统计图；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．
22．（8分）（2020?常州）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是 ；
（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．
23．（8分）（2020?常州）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ∥FB ，EA ＝FB ，AB ＝CD ．
（1）求证：∠E ＝∠F ；
（2）若∠A ＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数．
24．（8分）（2020?常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，
购买2千克苹果和1千克梨共需22元．
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
25．（8分）（2020?常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=8
x（x＞0）的图
象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．
26．（10分）（2020?常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．
（1）点F到直线CA的距离是；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，
保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；
②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．
27．（10分）（2020?常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，
且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ?PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、
“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；
②若直线n的函数表达式为y=√3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．
28．（10分）（2020?常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x 轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD ＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
2020年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）（2020?常州）2的相反数是（ ） A ．﹣2
B ．?1
2
C ．1
2
D ．2
【解答】解：2的相反数是﹣2． 故选：A ．
2．（2分）（2020?常州）计算m 6÷m 2的结果是（ ） A ．m 3
B ．m 4
C ．m 8
D ．m 12
【解答】解：m 6÷m 2＝m 6﹣
2＝m 4． 故选：B ．
3．（2分）（2020?常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A ．圆柱
B ．三棱柱
C ．四棱柱
D ．四棱锥
【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形， 则可得出该几何体是四棱柱． 故选：C ．
4．（2分）（2020?常州）8的立方根为（ ） A ．2√2
B ．±2√2
C ．2
D ．±2
【解答】解：8的立方根是√83
=√233
=2， 故选：C ．
5．（2分）（2020?常州）如果x ＜y ，那么下列不等式正确的是（ ） A ．2x ＜2y
B ．﹣2x ＜﹣2y
C ．x ﹣1＞y ﹣1
D ．x +1＞y +1
【解答】解：A 、∵x ＜y ，
∴2x＜2y，故本选项符合题意；
B、∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；
C、∵x＜y，
∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；
D、∵x＜y，
∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．（2分）（2020?常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°．
故选：B．
7．（2分）（2020?常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）
A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，
∴∠CHB＝90°，
∵点M是BC的中点．
∴MH=1
2BC，
∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，
∴MH的最大值为3，
故选：A．
8．（2分）（2020?常州）如图，点D是?OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，
BD=√2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=k
x（x＞0）的图象经过A、D两
点，则k的值是（）
A．2√2B．4C．3√2D．6
【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOM＝∠CNM，
∵BD∥y轴，
∴∠CBD＝∠CNM，
∴∠AOM＝∠CBD，
∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，
∴∠CDB＝∠AMO，
∴△AOM≌△CBD（AAS），
∴OM＝BD=√2，
∵S△ABD=1
2
BD?AE=2，BD=√2，
∴AE＝2√2，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝2√2，
∴D的纵坐标为3√2，
设A（m，√2），则D（m﹣2√2，3√2），
∵反比例函数y=k
x（x＞0）的图象经过A、D两点，
∴k=√2m＝（m﹣2√2）×3√2，
解得m＝3√2，
∴k=√2m＝6．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）（2020?常州）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝3．
【解答】解：|﹣2|+（π﹣1）0
＝2+1
＝3，
故答案为：3．
10．（2分）（2020?常州）若代数式1
x?1
有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
11．（2分）（2020?常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为 6.4×103．
【解答】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．
故答案为：6.4×103．
12．（2分）（2020?常州）分解因式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．
【解答】解：x3﹣x，
＝x（x2﹣1），
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
13．（2分）（2020?常州）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k 的取值范围是k＞0．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，
∴k＞0．
故答案为：k＞0．
14．（2分）（2020?常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝1．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，
∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，
解得：a＝1，
故答案为：1．
15．（2分）（2020?常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝30°．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠B＝∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC＝60°，
∴∠B＝∠BCF＝30°．
故答案为：30．
16．（2分）（2020?常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是（2，√3）．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，
∴CD＝AD＝AB＝2，
∵∠DAB＝120°，
∴∠OAD＝60°，
Rt△AOD中，∠ADO＝30°，
∴OA=1
2AD=
1
2
×2=1，OD=√22?12=√3，
∴C（2，√3），
故答案为：（2，√3）．
17．（2分）（2020?常州）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在
线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝1
2
．
【解答】解：连接CG ， 在正方形ACDE 、BCFG 中， ∠ECA ＝∠GCB ＝45°， ∴∠ECG ＝90°， 设AC ＝2，BC ＝1， ∴CE ＝2√2，CG =√2， ∴tan ∠GEC =
CG EC =1
2
， 故答案为：12
．
18．（2分）（2020?常州）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝6√2，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若BF ＝3DG ，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为 4或2 ．
【解答】解：如图，过点B 作BT ⊥BF 交ED 的延长线于T ，过点B 作BH ⊥DT 于H ．
∵DG ⊥BF ，BT ⊥BF ，
∴DG∥BT，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，
∴四边形DGBT是平行四边形，
∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3√2，
∴BH＝DH＝3，
∵∠TBF＝∠BHF＝90°，
∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，
∴tan∠F＝tan∠TBH=BT
BF
=DG
BF
=13，
∴TH
BH =
1
3
，
∴TH＝1，
∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，
∴BG＝4．
当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．
故答案为4或2．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）（2020?常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）
＝x2+2x+1﹣x2﹣x
＝x+1，
当x＝2时，原式＝2+1＝3．
20．（8分）（2020?常州）解方程和不等式组： （1）
x x?1
+
21?x
=2；
（2）{2x ?6＜0?3x ≤6
．
【解答】解：（1）方程两边都乘以x ﹣1得：x ﹣2＝2（x ﹣1）， 解得：x ＝0，
检验：把x ＝0代入x ﹣1得：x ﹣1≠0， 所以x ＝0是原方程的解， 即原方程的解是：x ＝0； （2）{
2x ?6＜0①
?3x ≤6②
，
∵解不等式①得：x ＜3， 解不等式②得：x ≥﹣2，
∴不等式组的解集是：﹣2≤x ＜3．
21．（8分）（2020?常州）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量是 100 ； （2）补全条形统计图；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数． 【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人）， 则样本容量是100；
故答案为：100；
（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），
踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：
（3）根据题意得： 2000×15
100=300（人），
答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．
22．（8分）（2020?常州）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是
13
；
（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．
【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为1
3，
故答案为：1
3
；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种， ∴P （和为奇数）=4
6=2
3．
23．（8分）（2020?常州）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ∥FB ，EA ＝FB ，AB ＝CD ．
（1）求证：∠E ＝∠F ；
（2）若∠A ＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数．
【解答】证明：（1）∵EA ∥FB ， ∴∠A ＝∠FBD ， ∵AB ＝CD ， ∴AB +BC ＝CD +BC ， 即AC ＝BD ，
在△EAC 与△FBD 中， {EA =FB
∠A =∠FBD AC =BD
， ∴△EAC ≌△FBD （SAS ）， ∴∠E ＝∠F ；
（2）∵△EAC ≌△FBD ， ∴∠ECA ＝∠D ＝80°， ∵∠A ＝40°，
∴∠E ＝180°﹣40°﹣80°＝60°， 答：∠E 的度数为60°．
24．（8分）（2020?常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元． （1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？ 【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元，
依题意，得：{x +3y =26
2x +y =22，
解得：{x =8
y =6
．
答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元． （2）设购买m 千克苹果，则购买（15﹣m ）千克梨， 依题意，得：8m +6（15﹣m ）≤100， 解得：m ≤5．
答：最多购买5千克苹果．
25．（8分）（2020?常州）如图，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y =8
x （x ＞0）的图象交于点A （a ，4）．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图象于点C ，交正比例函数的图象于点D ． （1）求a 的值及正比例函数y ＝kx 的表达式； （2）若BD ＝10，求△ACD 的面积．
【解答】解：（1）把点A （a ，4）代入反比例函数y =8
x （x ＞0）得， a =
8
4
=2， ∴点A （2，4），代入y ＝kx 得，k ＝2， ∴正比例函数的关系式为y ＝2x ， 答：a ＝2，正比例函数的关系式为y ＝2x ； （2）当BD ＝10＝y 时，代入y ＝2x 得，x ＝5， ∴OB ＝5，
当x ＝5代入y =8x 得，y =85，即BC =8
5， ∴CD ＝BD ﹣BC ＝10?85=42
5，
∴S △ACD =
12×42
5
×（5﹣2）＝12.6， 26．（10分）（2020?常州）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1． （1）点F 到直线CA 的距离是 1 ；
（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为
π12
；
②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE ＝OB 时，求OF 的长．
【解答】解：（1）如图1中，作FD ⊥AC 于D ，
∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1． ∴∠ACB ＝60°，∠FCE ＝∠BAC ＝30°，AC ＝CF ， ∴∠ACF ＝30°， ∴∠BAC ＝∠FCD ， 在△ABC 和△CDF 中， {∠BAC =∠FCD
∠ABC =∠CDF AC =CF
，