根据计盒维数原理求一维曲线分形维数的matlab程序function D=FractalDim(y,cellmax) %求输入一维信号的计盒分形维数 %y是一维信号 %cellmax:方格子的最大边长,可以取2的偶数次幂次(1,2,4,8...),取大于数据长度的偶数 %D是y的计盒维数（一般情况下D>=1）,D=lim(log(N(e))/log(k/e)), if cellmax 分形维数算法． 分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形， 如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近 似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20） 如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维 D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的[26]。点 集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法（1）尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系 -D（2-21） N～λ上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为： 1-D（2-22）L=Nλ～λ 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈[27]。。这说明挪威的海岸线更曲折一些1.3． ）小岛法（2面积如果粗糙曲线都是封闭的，例如海洋中的许多小岛，就可以利用周长-关系求分维，因此这个方法又被称为小岛法。则与λ的而面积A对于规则图形的周长与测量单位尺寸λ的一次方成正比， 二次方成正比。通常我们可以把它们写成一个简单的比例关系：1/2 (2-23) AP∝对于二维空间内的不规则分形的周长和面积的关系显然更复杂一些，提出，应该用分形周长曲线来代替原来的光滑周长，从而给出了下Mandelbrot 述关系式：21/??D??1/1/D2）（2-24)]?(?)]?[a?AP[(?)][??a(1?D)/DA(?00的P）式），使1（周长光滑时D=1，上式转化成为（2.23这里的分维D大于??的数1变化减缓，a是和岛的形状有关的常数，为小于是测量尺寸，一般取0/D）（1-D??减小而增大。作随测 分形维数算法 分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20） 如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。 （1）尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系 N～λ-D（2-21） 上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为： L=Nλ～λ1-D（2-22） 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈1.3。这说明挪威的海岸线更曲折一些[27]。 分形维数（Fractal Dimension）浅释 笔者: 喻麟佑博士（美国亚利桑那大学物理学博士）2012年3月于广州 前言： 最近，数学课下课后，有学生问我一个网上流传的数学问题，令很多学生困惑。简化以后，大意可以由下图描述： 三角形的两个斜边一直往下折，折了无穷次后，看起来不就是和底边一样了？那 么，1 + 1了？要回答类似这个问题，必须了解分形(Fractal)的原理才行。其实这两个斜边，折了无穷次后，是一个分形的结构，和一条直线是大不相同的。现在，我们来了解一下分形的原理。 正文： 分形 (Fractal) ，又称“碎形”或“残形”。这种几何形状，对很多人而言，其实并不陌生，大家或多或少都可在一些书本、杂志封面、海报或月历等地方看到过。自从20世纪80年代开始 [注一] ，“混沌 (chaos)”，“奇异吸引子 (strange attractors)”，“分形 (fractal)”, 还有与以上相关的许多新名词，如雨后春笋般呈现，且被人们所津津乐道。无论是专业人士的讨论或一般茶余饭后的闲谈皆然。 分形几何，有若干特性，例如“自相似性（self-similarity）”等等。本文由一个最耐人寻味的特性切入，那就是分形维数（Fractal Dimension）。并且，也借此讨论过程，得以对分形（碎形）有更深入的了解。 首先，众所周知，一般几何所用的维数，或维度 (Dimension) 是整数，如一 个点是0维，一条线段是1维，一个在平面上的几何图形是2维，如一个方形或一个圆形；再者，一个立方体或一个球形，则被视为3维。 然而，分形，却具有非整数的维数。这是怎么回事呢？为了解释清楚，我们 先看看一条线段（如图一）： 图一 如果我们把此线段分割一次，则 1n =，12N =，12 L ε= 式中 L 是一个常数， n 是分割的次数， n N 乃分割n 次后的总碎片数， n ε是分割n 次后的每一碎片的长度 第二次分割（每个线段再分割一次）： 2n =，2242N ==，22 42L L ε= = 第三次分割（每个线段再分割一次）： 3n =，3382N ==，3382 L L ε= = 遥感图象分形维数的几种估计算法研究1 张凯选1，郭嗣琮2 1辽宁工程技术大学测绘与地理科学学院，辽宁阜新（123000） 2辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000） E-mail：zhangkaixuan@https://www.doczj.com/doc/b23932805.html, 摘要：美籍法国数学家曼德布罗特（B.Mandelbrot）首次引入分形这个新术语，今天分形理论已经成为一门描述自然界中许多不规则事物规律性的科学，在遥感影象学中也有很大的用途。在研究遥感图像的分形维数时,通常把图像看作一个由许多像素点的灰度值构成的曲面来进行估算和分析，本文给出了遥感图象分形维数的几种估算方法，并作了相关实验。关键词：分形，分形维数，遥感图象 中图分类号：TP7 1．引言 分形理论始创立于20世纪70年代中期[1],创立伊始就引起人们极大的兴趣,与耗散结构、混沌并称为70年代科学史上的三大发现。作为一门独立的学科,该理论只有大约30多年的历史。 基于对复杂景物自相似性的描述,Mandelbrot创立了分形几何学理论,提出用分形维数( fractal dimension)D来度量自然现象的不规则程度。分形理论借助相似性原理洞察隐藏于混乱现象中的精细结构,为人们从局部认识整体、从有限认识无限提供新的方法论,为不同的学科发现的规律提供了崭新的语言和定量的描述,为现代科学技术提供了新的思想方法。近年来,分形理论在自然科学、社会科学以及遥感的许多领域中得到了广泛的应用,并逐步成为连结现代各学科的纬线。 2．分形与分形维数的定义 美籍法国数学家曼德布罗特(B.Mandelbrot) 于1967 年在《科学》杂志上发表了一篇题为“英国的海岸线有多长? 统计自相似性与分数维数” 的论文[2], 通常被认为是“分形”学科诞生的标志。自然界的许多物体在某一范围内都具有统计的自相似性,即每一部分都被认为是整体的一个缩小图像。曼德布罗特在随后两本著作《自然界的分形几何学》和《分形、形状、机遇与维数》中第一次提出了fractal这个英文词,其原意是“不规则的”、“分数的”、“支离破碎的”物体,并阐述分形理论的基本思想,即分形研究的对象是具有自相似性的无序系统,其维数的变化是连续的。 关于分形,目前还没有严格的数学定义,只能给出描述性的定义。粗略地说,分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似性图形和结构的总称。它具有两个基本性质:自相似性和标度不变性。自相似性是指局部是整体成比例缩小的性质。形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用的相机的倍数,即标度不变性或全息性。严格按一定的数学方法生成的许多经典的分形(如图1) 具有严格的自相似性,称之为有规分形。而一般情况下的分形都是无规分形,即自相似性并不是严格的,只是统计意义下的自相似性,其局部经放大或缩小操作可能得到与整体完全不同的表现形式,但表征自相似结构或系统的定量参数如分形维数,并 本课题得到辽宁工程技术大学青年基金（05－124），辽宁省教育厅基金项目（05L181）,辽宁省高等学校重点实验室项目基金（20060370）的资助。 分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20） 如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。 （1）尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系 N～λ-D（2-21） 上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为： L=Nλ～λ1-D（2-22） 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈1.3。这说明挪威的海岸线更曲折一些[27]。 1. 欧氏几何的长度、面积、体积等测度对分形刻划无效 ——如何研究分形？ 维数是几何学和空间理论的基本概念。欧氏几何研究的规则图形，长度、面积、体积是它们最合适的特征量，但对海岸线这类不规则的分形，维数才能很好地刻划它们的复杂程度，因而维数才是最好的量化表征。Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。 2. 维数观念的历史回顾 （1）传统的欧氏维数 欧氏几何学、欧氏空间（即日常接触的普通空间）的维数概念 点---0维； 线---1维； 面---2维； 体---3维。 在欧氏几何学中，要确定空间一个点的位置，需要3个坐标，即要用三个实数（X、Y、Z）来表示立体图形中的一个点，坐标数目与空间维数相一致，立体图形的维数为3。要确定平面一个点的位置，需要2个坐标，坐标数目与平面维数相一致，平面图形的维数为2。相应地，直线的维数为1，点的维数为0。这种维数概念和人们的经验相一致，被称为经验维数或欧氏维数，或经典维数，用字母d表示。它的值为整数。 （2）传统维数观念的危机（1890年） （3）维数研究的重要成果——拓扑维数 这是数学的一个重要分支——拓扑学中的维数概念。拓扑学也称为橡皮几何学，它研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。比如画在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但不破裂或折叠时，它们“相交”始终是不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变为一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。对于任何一 个海岛的海岸线，经过某些形变总可以变为一个圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数Dt=1。在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的经典维数d=1。可以论证对一个几何图形，恒有Dt=d。拓扑维数Dt的值也为整数。 （4）豪斯多夫连续空间理论和分数维数（1914年） 分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 分形是与欧氏几何图形截然不同的另一类图形，它的维数一般是分数，所以分形的维数被称为分数维。由于分形又分为规则分形、不规则分形等许多种类，所以为了测出各类不同分形的维数往往必须使用不同的方法，因而得出多种不同名称的维数。在这些维数中，最重要的是豪斯多夫维数。它之所以重要，是因为它不仅适用于分形，也适用于欧氏几何图形。只不过当它用于欧氏几何图形时，值为整数，而用于分形时，值一般为分数。 3. 分数维数的合理性 （1）直观几何的启示 一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。六个这样的正方形组成的正方体是三维的。直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。我们有下式: log4/log2=2 log8/log2=3 简单分形及维数的研究 （河南大学，物理与电子学院，物理学，河南开封，475004）摘要：本文介绍了分形、维数的相关知识，并以简单分形做例子进行了演示，又求得了Sierpinski三角分形及埃侬映射的维数。 关键词：分形，维数，程序设计。 一、分形 分形（fractal）是指由各部分组成的形态，每个部分以某种方式与整体相似。对这一描述加以引伸，它可以包括以下含义： 分形可以是几何图形，也可以是由“功能”或“信息”架起的数理模型；分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性。 分形的创建历史： (1)曼德勃罗在美国《科学》杂志上发表论文《英国的海岸线有多长》震惊学术界(1967 年)。 (2)法兰西学院讲演报(1973年)。 (3)“病态”“数学怪物”命名——分形(Fractal)(1975年)。 (4)法文版《分形对象：形、机遇和维数》出版(1975年)。 (5)英文版《分形：形、机遇和维数》出版(1977年)。 (6)英文版《大自然的几何学》出版(1982年) 。 分形是由Mandelbrot在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程而引入自然领域的。原意是破碎的、不规则的物体。分形分为两类，规则分形，又称决定类的分形，它是按一定的规则构造出的具有严格自相思的分形；另一类是无规则的分形，它是在生长现象中和许多物理问题中产生的分形，其特点是不具备严格意义上的自相似，只是在统计意义上是自相似的。本文研究的是规则分形。 有以上可知，自相似性是分形最大的几何特征。下面我们就科赫曲线和Sierpinski对此进行讨论。 1、科赫曲线 科赫曲线的生成方法：把一条曲线三等分，中间的一段用夹角为60的折线替代，得到第一个生成元；把第一个生成元中的每一条直线都用生成元迭代，得到第二个生成元；经过无数次迭代，即可得到科赫曲线。 实现程序如下： s=[0,1];t=[0,0];n=8; for j=1:n 分形岩石力学 背景：随着经济全球化和信息技术的高速发展，特别对于发展中国家的来说，经济建设成为重中之重，当然经济建设活动中很多都是以岩石工程为对象的经济建设。所以我们对矿产资源勘探、能源消耗方面及力学研究方面的要求越来越高，人们对岩石力学提出更多更高的要求。发展和提高岩石力学的理论和方法的研究水平已变得非常重要。所以把非线性学科引入岩石力学的研究中句很重要的现实意义。实践表明，分形几何是研究岩石力学的有力工具，首先岩石力学是一个随机、多变、不稳定以及许多不确定因素影响的一个复杂的非线性系统。由于地址的演化，不同平尺度的地质现象很具有相似性，一些较小尺度的地质现象往往重演着大尺度的地质现象的演化过程，所以把分形理论引入到岩石力学的研究当中去是非常适合的和正确的。结合分形理论我们能够比较精确的刻画出岩体结构的复杂程度，定量表征岩石的完整性和节理岩体的质量。这些都给岩石力学的研究带来了极大的便宜。 一、分形的概念和定义 分形的英文词fractal来源于拉丁文fractus，由Mandelbrot1975年引入国内对fractal的翻译方法有“碎片”、“碎形”、“分数维”和“分维”等等。近年来人们开始一致使用“分形”这一译法。 定义一：是由Mandelbrot第一个给出的-----设集合F?R n的Hausdorff的维数是D。如果F的Hausdorff维数D严格大于它的拓扑维数D T=n，即D>D T，我们称集合F为分形集，简称为分形。 即： F={D:D>D T} 定义二：局部与整体以某种方式相似的形叫分形。 定义二强调了自相似的特性，反应了自然界中很广泛的一类物质的基本属性：局部与局域，局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性。但是相比定义一，定义二缺乏了不具有自相似但却满足D>D T的这一类集合。 Falconer对分形提出了一个新的认识，即把分形看成是具有某些性质的集合，而不去寻找精确的定义，因为严格的定义几乎总要排除一些特殊的东西。他提出一个分形可以描述为： 定义三：F是分形，如果F具有如下典型性质： ①具有精细的结构，具有任意小的比例细节； ②具有不规则性，它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述； ③一般具有近似的或统计意义的部分与整体之间的自相似性； ④通常以某种方式定义的“分形维数”大于它的拓扑维数； ⑤可以通过令人感兴趣的递归、迭代等简单的方法生成。 类似地Edgar给出了一个分形的粗滤定义： 定义四：分形集合就是比在经典集合考虑的集合更不规则的集合。这个集合无论被放大多少倍，越来越小的细节仍能看到。 分形和分形维数及其在多孔介质研究中的应用 华北科技学院常浩宇 1 分形、分形几何学和分形维数 1.1 分形 分形是指自然界中的一些形体，它们具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次，也就是说适当的放大或缩小事物的几何尺寸，整个结构并不改变。 一些经典的分形如： 一、三分康托集 1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集，或称康托尔集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程 三分康托集的构造过程 构造出来的(如右图)。其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去，最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。 二、Koch 曲线 1904年，瑞典数学家柯赫构造了“Koch曲线”几何图形。Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维。它和三分康托集一样，是一个典型的分形。根据分形的次数不同，生成的Koch 曲线也有很多种，比如三次 Koch 曲线，四次 Koch 曲线等。下面以三次 Koch 曲线为例，介绍 Koch 曲线的构造方法，其它的可依此类推。 Koch 曲线的生成过程 三次Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图形——一条线段；第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。其图例构造过程如右图所示(迭代了 5 次的图形)。 自然界中如生长得枝枝岔岔的树木,高低不平的山脉,弯弯曲曲的河流与海岸线。棉絮团状的云烟和冬天里美丽的雪花等都可以看成是分形结构。 1.2 分形几何学 研究分形的几何学称为分形几何学。 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72。因为它的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”。 1.3 分形维数 fractal dimension主要描述分形最主要的参量。简称分维。通常欧几里德几何中，直线或曲线是1维的，平面或球面是2维的，具有长、宽、高的形体是3 维的；然而对于分形如海岸线、科赫曲线、射尔宾斯基海绵等的复杂性无法用维数等于 1、2、3 这样的数值来描述。科赫曲线第一次变换将1英尺的每边换成3个各长4英寸的线段，总长度变为 3×4×4/3=16 英寸；每一次变换使总长度变为乘以4/3，如此无限延续下去，曲线本身将是无限长的。这是一条连续的回线，永远不会自我相交，回线所围的面积是有限的，它小于一个外接圆的面积。因此科赫曲线以它无限长度挤在有限的面积之内，确实是占有空间的，它比1维要多，但不及2维图形，也就是说它的维数在1和2之间，维数是分数。同样，谢尔宾斯基海绵内部全是大大小小的空洞，表面积是无限大，而占有的 3 维空间是有限的，其维数在2和3之间。 维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。 分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。 当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中 交叠分形维数的七道习题 在正方形点阵中的某些图形，按一定规则结构组成（有自重叠的）并通过此规则反复迭代，将每次重叠部分只计数一次，得到的极限图形称为交叠分形，这种方法计算得到维数称为分形视维数或投影维数。 下面给出《关于交叠分形维数的七道习题》的具体解答过程和结果。 第一类型 第1题：求图1中极限图形曲线的维数？（令k=3）L 系统代码：F→+F-FF-F-F+F+FF+F-，δ=π/2 图1 . 第1题解法一： 将第n 级构造的顶点分成几类，用n x 表示端点的个数，n a 表示直角顶点的个数，n b 表示平角顶点的个数，n c 表示“⊥”型顶点的个数，顶点数n n n n n V x a b c =+++，每个n 级顶点对应n+1级顶点的递推关系式，如下： 3004320630035x x a b a a b c b a b c a b c →+++→+++→+++→+++由上面的递推关系式，可以得到迭代公式： 11111000346311310 205n n n n n n n n x x a a b b c c ++++???? ???????????? ??=???? ?????? ???????? ∵2,0,1,2,n x n ≡=? ∴n n n n n n n n c b a c b a x V +++=+++=2，可以得到新的迭代公式： ???? ??????+????????????????????=??????????+++026502131364111n n n n n n c b a c b a 从三元迭代式中，可得极限迭代比1 lim 8n n n V M V +→∞==（其中M 相当于4阶方阵的最大特征值） ，收缩比1/3r =，分形视维数ln ln 8 1.89278926ln(1/)ln 3 M D r = ==。 第0级到4级构造的各类型顶点数的实际值： 0000011111222223333344444(,,,)(2,0,0,0)2(,,,)(2,6,2,0)10(,,,)(2,42,14,12)70(,,,)(2,294,98,144)534(,,,)(2,2202,734,1308)4246 x a b c V x a b c V x a b c V x a b c V x a b c V ========== 第1题解法二: 设n E 表示分形第n 级棱线数，n ζ表示分形第n 级直角的个数，可以得到迭代公式： ? ?????????? ??=??????++n n n n E E ζζ261911另外还有关系式：n n n c a 2+=ζ从二元迭代式中，可得极限迭代比11lim lim 8n n n n n n E M E ζ ζ++→∞→∞===（其中M 相当于2阶方阵的最大特 分类号O469 学校代码10495 ＵＤＣ530 学号0145023006 武汉科技学院 硕士学位论文 无序系统中的分形生长研究 作者姓名：田志华 指导教师：田巨平教授 学科门类：工学 专业：机械设计及理论 研究方向：分形与多孔介质 完成日期：二零零七年四月 Wuhan University of Science and Engineering M. S. Dissertation The study of fractal growth in disorder system By TIAN Zhi-hua Directed by Professor TIAN Ju-ping April 2007 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解武汉科技学院有关保留、使用学位论文的规定。特授权武汉科技学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 （保密的学位论文在解密后适用本授权说明） 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月日签字日期：年月日 论文题目：无序系统中的分形生长研究 专业：机械设计及理论 硕士生： 指导老师： 摘要 本文首先概述了分形理论的发展，分形和分形维数的定义，以及产生分形的物理机制与生长机制。简要介绍了模拟分形生长的扩散置限凝聚(DLA)、电介质击穿 (DBM)、粘性指延(Viscous Fingering)、渗流等模型。 本文采用映射膨胀法构造了两种不同的Sierpinski地毯，运用Monte Carlo 方法研究了两种Sierpinski地毯中的有限扩散凝聚（DLA）生长。根据“种子”设置的不同情况，采用DLA模型，通过计算机模拟获得了两种Sierpinski地毯在不同“种子”情况下DLA生长的斑图结构，计算他们的分形维数，获得多重分形谱，并得到下列主要结论。 (1)“种子”为点的情况:我们发现不同空间中DLA生长的斑图结构有着差别：欧氏空间中DLA生长的斑图结构具有明显的空间对称性，而两种Sierpin- ski地毯中DLA生长的斑图结构都存在空间对称性破缺。不过由于Ⅱ型地毯的空间结构要比Ⅰ型地毯的空间结构更具有对称性，故两种Sierpinski地毯中DLA生长的斑图结构的对称性破缺程度不一样。Ⅱ型地毯中DLA生长的斑图结构仍还具有类十字结构的特点，而Ⅰ型地毯中DLA生长的斑图结构不存在类十字结构。Ⅰ型地毯DLA生长的α ?(多重分形谱谱宽)要比Ⅱ型Sierpinski地毯DLA生长的α ?小很多,表明Ⅰ型地毯DLA生长的质量分布要比Ⅱ型地毯DLA生长的质量分布均匀；0 ?f(多重分形谱的最大、最小概率子集维数之差)意味 > 着最大概率子集占据主导地位 (2)“种子”为线种的情况:虽然两种Sierpinski地毯的斑图结构有所不同， ?要比Ⅰ但是他们的DLA生长的斑图结构具有相似性。Ⅱ型地毯DLA生长的α 型地毯DLA生长的α ?小很多,表明Ⅱ型地毯DLA生长的质量分布要比Ⅰ型地毯DLA生长的质量分布均匀；0 > ?f意味着最大概率子集占据主导地位。 本文还采用孔洞位置随机化的方法构造的随机Sierpinski地毯，并给出随机Sierpinski地毯中DLA生长的斑图结构。分形维数算法
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