1.（12T16）
已知数列{}n a 的前n 项和21()2n S n kn k +=-
+∈Ν,且n S 的最大值为8. （1）确定常数k ，求n a ；
（2）求数列922n n a -??????
的前n 项和n T . 【测量目标】错位相减法求和.
【难易程度】中等
【试题解析】（1）当n k +=∈Ν时，212n S n kn =-
+取最大值，即22211822k k k =-+=， 故4k =，从而19(2)2n n n a S S n n -=-=-，(步骤1) 又1172a S ==，92
n a n ∴=-. （步骤2） （2）19222n n n n a n b --==，12n T b b =++…223122n b +=+++…21122n n n n ---++， 212111112221...44222222n n n n n n n n n n n T T T -----+∴=-=++++-=--=-.（步骤3） 2.(11T20)
设d 为非零实数，122111(C 2C (1)C C ()n n n n n n n n n a d d n d n d n n --=+++-+∈*N
(1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；
(II)设()n n b nda n =∈*N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
【测量目标】等比数列的通项，错位相减法求和，根据数列的前n 项求数列的通项公式.
【难易程度】较难.
【试题解析】（1）122
3(1)(1)a d
a d d a d d ==+=+
122311
11C C C C (1)(1)1n n n n n n n n n
n n n a d d d d d d a d d a d a --++=++++=+=+=+
因为d 为常数，所以{}n a 是以d 为首项，1d +为公比的等比数列.（步骤1）
（2）
21
2021222120121(1)(1)2(1)3(1)(1)[(1)2(1)3(1)(1)]
n n n n n b nd d S d d d d d d nd d d d d d n d ---=+=++++++
++=++++++++(1)2123(1)[(1)2(1)3(1)(1)]n n d S d d d d n d +=++++++
++(2)（步骤2） （2）-（1）2221(1(1))[(1)]()(1)1(1)
n
n n n d dS d d n d d d n d d d -+==-++=+-+-+ 1(1)(1)n n S dn d ∴=+-+（步骤3）
3.（10T17）
设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=,
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令n n b na =，求数列的前n 项和n S
【测量目标】错位相减法求和.
【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，
111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+
+-+ 21233(222)2n n --=++++
2(1)12n +-=. (步骤1)
而12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=. (步骤2)
（Ⅱ）由212n n n b na n -==知
35211222322n n S n -=++++ ①(步骤3)
从而 23572121222322n n S n +=+++
+ ②(步骤4) ①-②得
2352121(12)22222n n n S n -+-=++++- .
即211[(31)22]9
n n S n +=-+.(步骤5)
4.（10T21）
已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈*N 都有 a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2
（Ⅰ）求a 3，a 5；
（Ⅱ）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈*N )，证明：{b n }是等差数列； （Ⅲ）设c n ＝(a n+1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈*
N )，求数列{c n }的前n 项和S n . 【测量目标】等差数列的性质，错位相减法求和，等差数列的通项.
【难易程度】较难
【试题解析】
（Ⅰ）由题意，令.6221,2123=+-===a a a n m 可得（步骤1） 再令.20821,3135=+-===a a a n m 可得（步骤2）
（Ⅱ）2121212(1)12(1)12121,(2)28[]()8n n n n n n n n n m a a a a a a a +-+=++-+-∈++==---=N*当时由已知以代替可得
于是即
（步骤3）
.81=-+n n b b 所以，数列{}.8的等差数列是公差为n b （步骤4）
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知{}1316,8.n b b a a =-=是首项公差为的等差数列 则82n b n =-.即212182,n n a a n +--=-（步骤5）
令由已知（令m =1）可得，()22111,2
n n a a a n -+=
--（步骤6） 那么,21211212n n n n a a a a n +-+--=-+=822122n n n --+= 于是，12n n c nq -=（步骤7）
当q =1时，()24621.n S n n n =++++=+（步骤8）
当1q ≠时，01212462n n S q q q n q -=++++.（步骤9）
两边同乘q 可得()1231246212n n n qS q q q n q n q -=+++
+-+（步骤10）
上述两式相减即得 1231(1)2(1)2n n n q S q q q q n q --=+++++- =1221n n q nq q ---=()11121n n n q nq q +-++-
所以()()11
2121n n n n nq n q nq S q ++-++=-（步骤11）
综上所述，()()()()()112111211n n n n n n q nq n q nq S q q ++?+=?-++=?≠?-?
（步骤12） 5.(09全国I T20)
在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++
（I ）设n n a b n
=，求数列{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .
【测量目标】已知递推公式求通项，错位相减法求和. 【难易程度】较难
【试题解析】（I ）由已知有1112
n n n a a n n +=++， 即 112
n n n b b +=+， 从而 2112
b b =+ 32212
b b =+ …
11
1(2)2n n n b b n --=+
（步骤1） 于是 121111222
n n b b -=++++… =112(2)2n n --（步骤2） 又 11b =
所以数列{}n b 的通项公式: 1122n n b -=-
(*n ∈N )（步骤3） （II ）由（I ）知122n n n a n -=-
, ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2
n n k k k k k -===-∑∑（步骤4） 而1(2)(1)n
k k n n ==+∑,又112n
k k k -=∑是一个典型的错位相减法模型，
易得
1112422n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242
n n -++-（步骤5）