分离常数法、判别式法求值域一、单选题(共9道，每道11分)
1.函数的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
2.若函数的定义域是，则其值域为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
3.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
4.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
5.若函数的值域为，则实数的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
6.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
7.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域
8.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域
9.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域
函数值域的求法 1、（观察法）求下列函数的值域 （1）求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 （2）求函数y1=2－x 的值域。 (]2-，∞ 2、（配方法）求下列函数的值域 （1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84， （2）求函数y =的值域： ][20， （3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（ ） C A.-1241 B.18 C.8 D.43
3、（换元法）求下列函数的值域 （1）21y x =+[)∞+，3 （2）4y x =++ ][234,1+ （3）求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 （4）求函数y = ][2,1 （5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-
4、（分离常数法）求下列函数的值域 （1）求值域（1）1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞，，251- （2）求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -， 5、（判别式法）求下列函数的值域 （1）求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51， （2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -， （3）已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ， b 的值. a=2或-2，b=2
6、(单调性法)求下列函数的值域 （1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = （2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间???? ??－34，14上的最大值和最小值． max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 （1）求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-， （2）求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-
1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 44|2 -≤}. 练习1．求下列函数的值域 ① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y 2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。 练习2.求函数1 1)(+-= x x e e x f 的值域。 3．有解判别法： 有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例1．求函数y=1 1 22+++-x x x x 值域 解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1,由题?≥0，
即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得33 1 ≤≤y 且 y ≠1. 综上：值域{y|33 1 ≤≤y }. 例2．求函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？） 解：把已知函数化为(2)(3)36 1(2)(3)33 x x x y x x x x ---===- -+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1 ∵ x=2时 51-=y ∴ 5 1 -≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5 1 -} 练习3（1）31 (1)2 x y x x +=≤- （2）22 1x x y x x -=-+ 4．二次函数在给定区间上的值域。 例3． 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142 ∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 注：对于二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值 321-1-2-3 654321-1-2x O y
函数的值域(配方法，分离常数法) 一、配方法。 例1．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例2．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。 例3．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。 【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得： 2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。 练习．求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；⑤ y =。 【答案】①[3,)-+∞；②[2,1]-；③[2,1]-；④[3,6]-；○6[0,2] 二、分离常数法 适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法 例4：求函数125 x y x -=+的值域。 解：∵177(25)112 222525225 x x y x x x -++-===-++++，
求值域方法 常用求值域方法 （1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 例1、求函数 1 ,[1,2]y x x = ∈的值域。 例2、 求函数x 3y -=的值域。 【同步练习1】函数2 21x y += 的值域. （2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2 类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例1、求函数 225,y x x x R =-+∈的值域。 例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 例3、求()()22log 26log 62log 22 222 2-+=++=x x x y 。（配方法、换元法） 例4、设02x ≤≤，求函数1 ()4321x x f x +=-+g 的值域． 例5、求函数13432-+ -=x x y 的值域。（配方法、换元法） 例6、求函数x x y 422+--=的值域。（配方法） 【同步练习2】 1、求二次函数2 42y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域. 2、求函数342-+-=x x e y 的值域. 3、求函数421,[3,2]x x y x --=-+∈-的最大值与最小值. 4、求函数])8,1[(4 log 2log 22 ∈?=x x x y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数1 2 ()4 325x x f x -=-?+的值域. 6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1) (1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
分离常数法与分离参数法 一:分离常数法: 是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有 22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p +++++====+++++等。 解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1）用分离常数法求分式函数的值域 例1：求函数31()2 x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ???? -++-+= ==+---。由1x ≤，得 21x -≤-。 所以1102 x -≤ <-。故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性 例2：已知函数f(x)= (),x a a b x b +≠+,判断函数f(x)的单调性。 解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b ++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。 3)用分离常数法求分式函数的最值 例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101 x x x +++的最小值。 解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()2 11711101 x x x +-++-+????????+
()()21514 1x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411 x x +=+，即x=1时，等号成立。所以当x=1时，f(x)取得最小值9. 二：分离参数法 分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。分离参数法在解决不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数的单调性中参数的取值范围问题时经常用到。解题的关键是分离出参数后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。 1. 用分离参数法解决函数有零点的问题 例4：已知函数g(x)= 24ax x -+,在[]2,4上有零点，求a 的取值范围 解：因为函数g(x)= 24ax x -+在[]2,4上有零点，所以方程24ax x -+=0在[]2,4上有实根，即方程4a x x =+在[]2,4上有实根，令4()f x x x =+，则a 的取值范围等价于函数f(x)在[]2,4上的值域。 又()()22 224'()10x x f x x x +-=-=≥在[]2,4上恒成立，所以f(x)在[]2,4上是增函数。所以 (2)()(4),f f x f ≤≤即4()5f x ≤≤所以45a ≤≤ 2. 用分离参数法解决不等式恒成立问题 例5已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：原不等式可以化为2 (1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立。 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段。于是有{2(2)2(1)210},f x x -=---+<和2(2)2(1)210f x x =--+<即 22230x x +->，｜｜｜｜且22210,x x --<解得 1122x -++<< 3．用分离参数法解决函数的单调性问题 例6已知2222()x ax a x f x +-=在[)1,+∞上是单调增函数，求a 的取值范围。
求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数 ，可变为解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 就是利用函数和的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域 由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得 ，故所求值域是 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为 ，而，所以 ，故 （5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域 当时，；当时，，若，则 若，则，从而得所求值域是 （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域 因，故函数在上递减、 在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为 4cos 2sin 2+--=x x y 2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y )32(log 22 1++-=x x y u y 2 1log =322++-=x x u 2 21 22+-+= x x x y 2 2122+-+= x x x y 0 12)1(22 =-++-y x y yx 0=y 21-=x 0=y 0≠y 0)12(4)]1(2[2 ≥--+-=?y y y 021332133≠+≤≤-y y 且]2 13 3,2133[+-1 cos 3 cos 2+-= x x y 1cos 521cos 3cos 2+-=+-= x x x y ]2,0(1cos ∈+x ]2 5 ,(1cos 5--∞∈+-x ]2 1,(--∞∈y 4 32+= x x y 0=x 0=y 0≠x x x y 43+ = 0>x 44 24=?≥+ x x x x 0 分离常数法与分离参数法 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2 x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322 x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x a f x a b x b +=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b ++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数. 3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1 x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>.由已知有 2 [(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51 x x =++++59≥=. 当且仅当411 x x += +，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题 例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围. 解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程2 40x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x =+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x =+ ，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤. 分离常数法与分离参数法的应用 娄底二中 康惠如 一）:分离常数法: 是研究分式函数的一种代数变形的常用方法:主要的分式函数有 22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p +++++====+++++等。 解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1)用分离常数法求分式函数的值域 例1：求函数31()2 x f x x +=-(1)x ≤的值域 解:由已知有()()32213277()3.2 22x x f x x x x ???? -++-+===+---。由1x ≤，得 21x -≤-。 所以1102 x -≤<-。故函数f （ｘ)的值域为{}:43y x -≤<. 2）用分离常数法判断分式函数的单调性 例２：已知函数f(x)= (),x a a b x b +≠+,判断函数f(x)的单调性。 解:由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b ++--=+≠++.所以,当0a b ->时,函数ｆ(x ）在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数;当a-ｂ<0时,函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。 ３)用分离常数法求分式函数的最值 例3:设x ＞-1，求函数f （x)＝ 27101 x x x +++的最小值。 解:因为x ＞-1，所以ｘ+１>0.f(x)= ()()211711101 x x x +-++-+????????+ ()()21514 1x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411 x x +=+,即x=1时,等号成立。所以当x=1时，ｆ(x ）取得最小值9. 二：分离参数法 分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变 求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1 ．求函数的值域。 【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。 【练习】 1 ．求下列函数的值域： ① ；② ； ③ ；，。 【参考答案】① ；② ；③ ；。二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 的函数的值域问题，均可使用配方法。 例 2 ．求函数（）的值域。 【解析】。 ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。 ∴函数（）的值域为。 例 3 ．求函数的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： 配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。 说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。 例 4 ．若，试求的最大值。 【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点，确定一条直线，作出图象易得： ， y=1 时，取最大值。 【练习】 2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域： ① ；② ；③ ； ④ ；，；。【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；； 三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。 适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它 易反解出自变量的函数类型。 例 5 ．求函数的值域。 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而 便于求出反函数。 反解得，故函数的值域为。 【练习】 1 ．求函数的值域。 2 ．求函数，的值域。 【参考答案】 1 ．；。 四．分离变量法： 适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。 例 6 ：求函数的值域。 解：∵ ， ∵ ，∴ ，∴函数的值域为。 适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。 例 7 ：求函数的值域。 分析与解：观察分子、分母中均含有项，可利用分离变量法；则有 。 不妨令：从而。 注意：在本题中若出现应排除，因为作为分母 . 所以故。 另解：观察知道本题中分子较为简单，可令，求出的值域，进而可得到的值域。 【练习】 高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 0≥ 11≥， ∴函数1y 的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。 【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。 二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】 求函数2 25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得： ∵ 由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时， ，当 时， 故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知 ，求函数 的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配 方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐 标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2 【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t （2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 图1 图2 图3 ①如图1所示，若顶点横坐标在区间 左侧时，有 ，此时，当 时，函数取得最小值 。 ②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有 ，即 。当时，函数取得最小 值 。 ③如图3所示，若顶点横坐标在区间 右侧时，有 ，即 。当 时，函数取得最小值 综上讨论，g(t)=?? ? ??<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22min t t t t t x f (2)221(0)()1(01)22(1)t t g t t t t t ?+≤?=< 用分离常数法解2014年高考题 1 用分离常数法讨论方程根的个数 题1 (2014年高考课标全国卷I 理科第11题即文科第12题)已知函数 32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( ) A.(2,)+∞ B.(1,)+∞ C.(,2)-∞- D.(,1)-∞- 答案 C 解 因为函数3 2 ()31f x ax x =-+的零点不为0，所以可得本题的题干等价于“关于x 的方程a x x =?? ? ??-??? ??3 113有唯一实根，且该实根是正数，求a 的取值范围”，也等价于“关 于x 的方程a x x =-3 3有唯一实根，且该实根是正数，求a 的取值范围”． 用导数容易作出曲线3 3x x y -=如图1所示： 图1 由图1可得答案C ． 题2 (2014年重庆卷文科第10题)已知函数??? ??∈-∈-+=] 1,0(,]0,1(,311 )(x x x x x f ，且 m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A.]21,0(]2,49(?-- B.]2 1 ,0(]2,411(?-- C.]32,0(]2,49(?-- D.]3 2,0(]2,411(?-- 答案 A 解 设)11(1 ) ()(≤<-+= x x x f x h ，题意即曲线)(x h y =与直线m y =有两个公共点． 因为?????? ?≤<+-≤<-?? ? ??-+=) 10(1 11) 01(2311)(2 x x x x x h ，由复合函数单调性的判别法则“同增异减” 可得函数)(x h 在??? ? ?--31,1上是减函数，在]1,0(,0,3 1?? ????-上均是增函数，从而可作出曲线 )(x h y =的草图如图2所示，由此可得答案． 图2 题3 (2014年高考江苏卷第13题)已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当 [0,3)x ∈时，21 ()22 f x x x =-+ ，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 答案 10, 2?? ??? 解 作出函数2 1 ()2(03)2 f x x x x =-+ ≤<的图象如图3所示： 求函数的值域（常用） 一、用非负数的性质 例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2 +2;（2） ≥-1). 练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________． 练2： 求函数y = 练3：求函数的值域。 练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y （3）2234x x y -+-= ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-= 二、分离常数法 对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域． 例1：求下列函数的值域：（1）y=21 x x ++（2）y=2211x x -+. 练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3 214222++++=x x x x y 三、利用函数单调性 已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例1：求函数y=3x+x 3 的值域. 练1：求函数122+- =x x y ()0>x 的值域. 练2：求函数x x y 213--=的值域. 四、利用判别式 特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ?≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例1：求函数y = 234 x x +的最值． 练1：利用判别式方法求函数222231 x x y x x -+=-+的值域． 五、利用换元法求值域 有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例1：求函数 的值域。 练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域. 1x x y -+= 求函数类型Cx D y Ax B +=+值域的教法的改进 彭增军 （四川省绵阳市绵阳中学实验学校 621000） 摘要：求函数类型Cx D y Ax B +=+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域直接用反函数法和分离常数法显得突兀生硬,学生难以接受.本文从反比例函数出发利用函数图象的平移得到分离常数法,进而层层深入得到求函数类型Cx D y Ax B += +(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域的方法.这种教法循序渐进过渡自然,学生更容易接受. 关键词：反函数法;常数分离法;反比例函数;图象的平移 众所周知,对函数而言最为重要的是函数三要素:定义域,值域,对应关系.从历届学生对函数三要素掌握的情况来看,值域是最薄弱的一个环节.因为求函数值域的题目形式多难度大,学生在众多的求函数值域的方法中往往莫衷一是举手无措.求函数值域的一些常用方法有：反函数法、分离常数法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等等.求函数类型Cx D y Ax B +=+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域,反函数法和分离常数法是最简单、最普遍也最具典型性的方法.然而从学生做作业反馈的情况来看,这两种方法掌握的并不理想.通过听课翻阅资料发现,在求函数类型Cx D y Ax B += +(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域的教法上略作改进,效果则要好得多.下面将通过一个例子来具体说明: 例：求函数321 x y x -=-的值域. 解：反函数法： 由321x y x -=-经过整理变形得23 y x y -=-,此时把y 看作自变量x 看作因变量,x 是y 的函数,函数23y x y -= -的定义域为{|3}y y ≠,所以函数321x y x -=-的值域为{|3}y y ≠. 分离常数法： 323(1)113111 x x y x x x --+= ==+---, ∴函数321x y x -=-的值域为{|3}y y ≠. 求函数的值域是在高一第一章集合与函数概念中学习的,学生的具体情况是刚刚从初三步入高一,之前没有接触过“反函数”和“分离常数”,老师为讲授这一道题直接用这两种方法,数学会感到突兀生硬甚至困惑不解.如果用反函数法,势必要引入反函数的有关概念,这样一来,那么要讲的知识就多了.如果用分离常数法,之前没有任何铺垫过渡,那么学生就会产生疑惑,比如为什么要分离出来一个常数呢.鉴于以上考虑,反函数法是不可取的,当然在学完反函数的有关概念之后上例可以作为反函数应用的一个很好的例子.倘若从反比例函数出发,再利用函数图象的平移,最终得到分离常数法,解法就更加完美了.下面给出上例改进后的作法: 分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有 ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2 x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322 x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-. ∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x a f x a b x b +=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b ++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数. 3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1 x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>. 由已知有 2[(1)1]7[(1)1]10()1 x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++ 59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立. ∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题 例4 已知函数2 ()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围. 解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有 方法四 分离（常数）参数法 分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 1 分离常数法 分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围. 1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域） 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d += +，22 ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 例1. 已知函数()242x x a a f x a a -+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的值域； （Ⅲ）当[] 1,2x ∈时， ()220x mf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 2a =；(Ⅱ) ()1,1-；(Ⅲ) 10,3?? +∞???? . 【解析】试题分析： (Ⅰ)由函数为奇函数可得()()f x f x -=-，即242422x x x x a a a a a a a a ---+-+=-++，可得2a =．（Ⅱ）分离常数可得()2121x f x =- +，故函数为增函数，再由211x +>，可得211121 x -<-<+，即可得函数的值域．(Ⅲ) 通过分离参数可得()( )212221 x x x m +-≥ -在[]1,2x ∈时恒成立，令()2 113x t t =-≤≤，，则有 ()()2121 t t m t t t +-≥ =-+，根据函数2 1y t t =- +的单调性可得函数的最大值，从而可得实数m 的取值 求函数值域的十种方法 一．直接法(观察法)：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1.求函数1y = 的值域。 【解析】0≥,11≥,∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1.求下列函数的值域: ①32(11)y x x =+-≤≤；??②x x f -+=42)(; ③1 += x x y ; ?? ?错误!()112 --=x y ,{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-;②[2,)+∞;③(,1) (1,)-∞+∞;错误!{1,0,3}-。 二．配方法:适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。 例2.求函数2 42y x x =-++([1,1]x ∈-）的值域。 【解析】22 42(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤,∴2 3(2)65x -≤--+≤,∴35y -≤≤。 ∴函数2 42y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设: )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得 ][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为:0)(≥x f 。 例4.若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。 2.2函数的值域与最值 求值域的常用方法 1、观察法 2、反函数法 3、分离常数法 4、配方法 5、判别式法 6、单调性法 7、基本不等式法 8、数形结合法 9、换元法 例题：1、直接观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1 求函数的值域（1）y = x 1 （2）y = 3 -x 2 、配方法：配方法是求二次函数值域最基本的方法之一，利用二次函数的有关性质、图象作出分析， 特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如 y = a [f(x)]2 + b f(x) + c (a ≠0) 的函数的值域与最值 例2 、求函数的值域（1）y=2 x -2x+5，x ∈[-1，2] （2）y = sin 2x - 6sinx + 2（3）y=cos2x-6sinx+2 3 、判别式法一般地，求形如 y = 22ax bx c Ax Bx C ++++的有理分式函数的值域，可把原函数化 成关于x 的一元二次方程： f(y)x 2 +g(y)x+ψ(y) = 0,根据方程的判别式Δ＝g 2(y) - 4f(y)ψ(y)≥0 求出y 的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点： ⑴在Δ≥0中，应考虑“＝”能否成立； ⑵由于在变形过程中涉及到去分母，应考虑函数的定义域是否为R ； ⑶f(y)≠0，应验证f(y)＝0的情况。否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。 例3 求函数y = 2211x x x +++的值域。 4、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例4 求函数y=654 3++x x 值域。 5 、函数有界性法:直接求函数的值域困难，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例5求函数y = 11 +-x x e e 的值域 例6 求函数的值域。(1)2sin sin -=x x y (2) y = 3sin cos -x x 6 、函数单调性法利用所学基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域与最值，在求函 数的值域与最值中，是一种比较简捷、巧妙的方法。 例7 求函数y = +-25x log 31-x （2≤x ≤10）的值域 例8 求函数y= 1+x -1-x 的值域。 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换 元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例9 求函数y = x + 1-x 的值域。(分离常数法与分离参数法)
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求值域的十种方法
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