青岛二中高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-第2讲 集合的关系(训练篇)

新教材必修1每课讲与练第2讲集合的关系（训练篇）A组

一、选择题

1. 设集合M={x∣x>?2}，则下列选项正确的是( )

A. {0}?M

B. {0}∈M

C. ?∈M

D. 0?M

2. 下列四个说法中，正确的有( )

①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若??A，则A=?；④

任何集合至少有两个子集．

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

3. 已知集合A={1,2,3}，则下列可以作为A的子集的是( )

A. 1，2

B. {1,2,4}

C. {1,4}

D. {1,2}

4. 下列各式：①1∈{0,1,2}；②??{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}={2,0,1}，

其中错误的个数是( )

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5. 已知集合A={0,a}，B={x∣ ?1

( )

A. ?1

B. 0

C. 1

D. 2

6. 满足{1,2}?P?{1,2,3,4}的集合P的个数是( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

7. 设S={x∣ x=2n,n∈Z}，P={x∣ x=4n+2,n∈Z}，则下列关系正确的是

( )

A. S?P

B. S=P

C. S?P

D. S?P

8. 已知两个集合M={x∈R∣ y=1

x }，N={y∈R∣ y=1

x

}，这两个集合的关系是

( )

A. M=N

B. M∈N

C. M?N

D. M?N

9. 已知集合A={x∣ ?1

为( )

A. (?∞,0]

B. [0,+∞)

C. (?∞,0)

D. (0,+∞)

10. 已知集合M={x∣ x2=1}，N={x∣ ax=1}，若N?M，则实数a的取值集

合为( )

A. {1}

B. {?1,1}

C. {1,0}

D. {?1,1,0}

二、填空题

1. 已知A?B，A?C，B={0,1,2,3,4}，C={0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A

的个数是．

2. 已知集合A={1,x?1

2}，B={0,1,2}，若A?B，则x=．

3. 已知集合A={1,cosθ}，B={1

2

,1}，若A=B，则锐角θ=．4. 若集合A=(?∞,m]，B={x∣?2

是．

5. 设集合A={x∣ 1≤x<4}，B={x∣ 2a≤x<3?a}．若B?A，则实数a的

取值范围．

6. 满足{1}?A?{1,2,3}的集合A的个数是．

7. 设集合M={x∣∣x=k

2+1

4

,k∈Z}，N={x∣∣x=k

4

+1

2

,k∈Z}，则集合M，N的

关系用符号表示为．

8. 已知集合A={a,b

a

,1}，B={a2,a+b,0}，若A?B且B?A，则a=，b=

9. 满足条件{1,2}?M?{1,2,3,4,5}的集合M的个数是．

10. 若集合A={x∣ x=3m?2,m∈Z}，B={x∣ x=3m+1,m∈Z}，C=

{x∣ x=6m+1,m∈Z}，则集合A，B，C的关系是．

三、解答题

1. 已知M={x∣ x=a2+1,a∈N?}，P={y∣ y=b2?6b+10,b∈N}，试判断集

合M与P之间的关系．

2. 若集合A={?1,3}，集合B={x∣ x2+ax+b=0}，且A=B，求实数a，b．

3. 已知集合A={x∣ ?2

取值范围．

4. 设集合A={x∣ x2?3x+2=0}，集合B={x∣ x2?4x+a=0}．

若B?A，求实数a的取值范围．

5. 设S是非空集合，且满足两个条件：①S?{1,2,3,4,5}；②若a∈S，则6?a∈

S．那么S的个数是多少?

6. 已知M={a?3,2a?1,a2+1}，N={?2,4a?3,3a?1}，若M=N，求实数a的值．

新教材必修1每课讲与练第2讲集合的关系（训练篇）B组

一、选择题

1.下列四个命题中，正确的有( )

①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若??A，则A=?；④任何集合至少有两个子集．

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

2. 满足关系{1,2}?B?{1,2,3,4,5,6,7}的集合B个数为( )

A. 10个

B. 30个

C. 31

D. 32个

3. 设集合P={立方后等于自身的数}，那么集合P的真子集个数是（）

A. 3

B. 4

C. 7

D. 8

4. 下列关系正确的是( )

A. 3∈{y∣ y=x2+π,x∈R}

B. {(a,b)}={(b,a)}

C. {(x,y)∣ x2?y2=1}?{(x,y)∣ (x2?y2)2=1}

D. {x∈R∣ x2?2=0}=?

5. 设集合M={x∣ ∣x∣≤2,x∈R}，N={x∣ x2≤4,x∈N}，则( )

A. M=N

B. M?N

C. M?N

D. M?N

6. S(A)表示集合A中所有元素的和，且A?{1,2,3,4,5}，若S(A)能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是( )

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

7. 已知A={2,3,4}，B={x∣ x?A}，则集合A与集合B之间的关系为( )

A. A?B

B. B?A

C. A∈B

D. B∈A

8. 已知集合A={x∈R∣ x2+x?6=0}，B={x∈R∣ ax?1=0}，若B?A，则

实数a的值为( )

A. 1

3或?1

2

B. ?1

3

或1

2

C. 1

3或?1

2

或0 D. ?1

3

或1

2

或0

9. “A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A?x∈B，则称A?B．”那么“A不是B的子集”可以用数学语言表达为( )

A. 若对任意的x∈A但x?B，则称A不是B的子集

B. 若存在x∈A但x?B，则称A不是B的子集

C. 若存在x?A但x∈B，则称A不是B的子集

D. 若对任意的x?A但x∈B，则称A不是B的子集

10. 已知集合M={x∣ x=m+1

6,m∈Z}，N={x∣ x=n

2

?1

3

,n∈Z}，P=

{x∣ x=p

2+1

6

,p∈Z}，则M，N，P的关系( )

A. M=N?P

B. M?N=P

C. M?N?P

D. N?P?M

二、填空题

1. 若A={x∣a?1≤x≤a+2}，B={x∣3

的取值范围是．

2. 已知集合 A ={x∣ 0

数 m 满足的条件是 ．

3. 若 {a,0,1}={c,1b ,?1}，则 a = ，b = ，

c = ．

4. 设集合 A ={0,?4}，B ={x∣ x 2+2(a +1)x +a 2?1=0,x ∈R }．若 B ?A ，

则实数 a 的取值范围是 ．

5. 已知集合 A ?{1,2,3}，且 A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有 个．

6. 设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a ，b ∈P ，都有 a +b 、 a ?b 、

ab 、 a b ∈P （除数 b ≠0），则称 P 是一个数域，例如有理数集 Q 是数域，

有下列命题：

①数域必含有 0，1 两个数；

②整数集是数域；

③若有理数集 Q ?M ，则数集 M 必为数域；

④数域必为无限集．

其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填

上）

7. 设方程 ∣ax ?1∣=x 的解集为 A ，若 A ?[0,2]，则实数 a 的取值范围

是 ．

8. 已知A={0,1},B={x|x ?A},则B=____________,A 与B 之间的关系是_____

9．设集合，．若，则实数的取值集合为________．

10. 已知集合 {a,b,c }={0,1,2}，且下列三个关系：① a ≠2；② b =2；③ c ≠0 有且只有一个正确，则 100a +10b +c 等于 ．

11.设集合A ＝{1，2，3，…，10}，则集合A 的所有非空子集元素的和为____________．

三、解答题

1. 设集合{|32,}A a a n n Z 集合{|31,}B b b k k Z ，试证明集合A B .

2. 已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.

(1)是否存在实数a 的值，使得对于任意实数b 都有A ?B?若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由；

(2)若A ?B 成立，求出对应的实数对（a,b ）.

3. 已知集合{,,2}A x x y x y ,2{,,}B x xm xm 其中0x 且A B 求m 的值.

4. 已知集合 A ={0,1}，B ={x∣ x ∈A }，C ={x∣ x ?A }，试判断 A 、 B 、 C 之间的关系．

{}

28150A x x x =-+={}10B x ax =-=B A ?a

5. 已知函数y= f (x )=x 2?4x +a +3，a ∈R ，当x 取x 0时的函数值记作f(x 0).

（1）若函数 y =f (x ) 的图象与 x 轴无交点，求 a 的取值范围；

（2）设函数 g (x )=bx +5?2b ，b ∈R ．当 a =0 时，若对任意的 x 1∈[1,4]，总存在 x 2∈[1,4]，使得 f (x 1)=g (x 2)，求 b 的取值范围．

新教材必修1每课讲与练 第2讲 集合的关系（训练篇）C 组

一、选择题

1.设集合 M ={1,2,3,4,5,6}，S 1,S 2,?,S k 都是 M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 S i ={a i ,b i }，S j ={a j ,b j }，(i ≠j,i,j ∈{1,2,3,?,k })，都有 min {a i b i ,b i a i }≠min {a j b j ,b

j a j }（min {x,y } 表示两个数 x,y 中的较小者），则 k 的最大值是 ( )

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

2.已知是由个正数组成的集合．若中存在三个不同的元素可构成三角形的三边，则称为“三角数集”．设有连续的正整数组成的集合，它的所有元子集都是三角数集，则的最大可能值是 （ ）

A.1003

B.503

C.253

D.103

二、填空题

1.若规定E=的子集为E 的第k 个子集，其中k=

，则

（1）是E 的第 个子集；

（2）E 的第211个子集是_______

2.设有限集合{|,,,}i A x x a i n i n +==≤∈∈+N N ，则1n

i i a =∑叫做集合A 的和，记作.A S 若集合

{|21,,4}P x x n n n +==-∈≤N ，集合P 的含有3个元素的全体子集分别为12k P P P 、、，则1i k

p i S =∑= ．

3．设集合 S n ={1,2,3,?,n }，若 X ?S n ，把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量（若 X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为 0）．若 X 的容量为奇（偶）数，则称 X 为 S n 的奇（偶）子集．若 n =4，则 S n 的所有偶子集的容量之和为 ．

三、解答题

1. 以集合U=的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个

条件：

（1）a 、b 都要选出；

S (3)n n ≥S S {}4,5,

,m 10m {}1,210...a a a {}12...,n k k k a a a 1211222n k k k --+++{}1,3,a a {}a b c d ，，，

（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有.

求共有多少种不同的选法。

2.设f(x)=x 2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f ［f(x)］=x}

(1)求证 A B;

(2)如果A={－1，3}，求B 。

3.设集合 A 2n ={1,2,3,?,2n }(n ∈N ?,n ≥2)．如果对于 A 2n 的每一个含有 m (m ≥4) 个元素的子集 P ，P 中必有 4 个元素的和等于 4n +1，称正整数 m 为集合 A 2n 的一个“相关数”．

（1）当 n =3 时，判断 5 和 6 是否为集合 A 6 的“相关数”，说明理由；

（2）若 m 为集合 A 2n 的“相关数”，证明：m ?n ?3≥0。

4.已知集合 X ={x 1,x 2,?,x 8} 是集合 S ={2001,2002,2003,?,2016,2017} 的一

个含有 8 个元素的子集．

（1）当 X ={2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017} 时，设 x i ,x j ∈

X (1≤i,j ≤8)，

（i ）写出方程 x i ?x j =2 的解 (x i ,x j )；

（ii ）若方程 x i ?x j =k (k >0) 至少有三组不同的解，写出 k 的所有可能取值；

（2）证明：对任意一个 X ，存在正整数 k ，使得方程 x i ?x j =k (1≤i,j ≤8) 至少有三组不同的解．

新教材必修1每课讲与练 第2讲 集合的关系（训练篇）A 组答案

一、选择题

AADAC BCA BD

二、填空题

1.8；

2. 14；3．π3；4.[2,+∞)；5.a ≥1

2；6.3；7.M ?N ；

8. ?1，0；9.8；10.A =B ?C

三、解答题

1. 解1 集合 P 中，y =b 2?6b +10=(b ?3)2+1．当 b =4,5,6,… 时，与集合 M 中 a =1,2,3,… 时的值相同，而当 b =3 时，y =1∈P ，1?M ．

所以 M ?P ．

解2 对任意的 x 0∈M ，有 x 0=a 02+1=(a 0+3)2?6(a 0+3)+10∈P （因为 a 0∈N ?，所以 a 0+3∈N ），所以 M ?P ．

又因为 b =3 时，y =1，所以 1∈P ，而 1<1+a 02(a 0∈N ?)，所以 1?M ，

从而 M ?P ．

2. 因为 A =B ，所以 B ={x∣ x 2+ax +b =0}={?1,3}，即 ?1，3 是方程 x 2+ax +b =0 的两个根．

由韦达定理得 ?a =?1+3=2，b =?1×3=?3，所以 a =?2，b =?3．

3.数形结合可得 a ≥4．

A B B A ??或?

4.考虑B 为空集和非空两种情况： a ≥4

5. 用列举法表示出符合题意的全部 S 为 {3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，

{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共有 7 个．

6．因为 M =N ，所以 (a ?3)+(2a ?1)+(a 2+1)=?2+(4a ?3)+(3a ?1)，即 a 2?4a +3=0，解得 a =1 或 a =3．

当 a =1 时，M ={?2,1,2}，N ={?2,1,2}，满足 M =N ；

当 a =3 时，M ={0,5,10}，N ={?2,9,8}，不满足 M =N ，舍去．

故所求实数 a 的值为 1．

新教材必修1每课讲与练 第2讲 集合的关系（训练篇）B 组答案

一、选择题

ACCCC BCDBB

二、填空题

1. [3,4]；2 . m ≥1；3. ?1，1，0；4. (?∞,?1]∪{1}；5.5；6. ①④；7. a =?1

或 ?12≤a ≤1 或 a ≥32；8. B={?,{0},{1},{0,1}}; A ∈B ；9.11{0,,}35

；10.201；11. 28160.

4.因为 A ={0,?4}，所以 B ?A 分以下三种情况：

① 当 B =A 时，B ={0,?4}，由此知 0 和 ?4 是方程 x 2+2(a +1)x +a 2?1=0 的两个根，

由根与系数的关系，得 {Δ=4(a +1)2?4(a 2?1)>0,

?2(a +1)=?4,a 2?1=0,

解得 a =1；

② 当 B ≠? 且 B ?A 时，B ={0} 或 B ={?4}，并且 Δ=4(a +1)2?

4(a 2?1)=0，解得 a =?1，此时 B ={0} 满足题意；

③ 当 B =? 时，Δ=4(a +1)2?4(a 2?1)<0，解得 a

综上所述，所求实数 a 的取值范围是 (?∞,?1]∪{1}．

6.①④

对于①，设 x ∈P (x ≠0)，则 x ?x ∈P ，x x ∈P ，即 0∈P ，1∈P ；对于②，1，2∈Z ，但是 12?Z ，故②不正确；对于③，如果集合 M =Q ∪{√2}，很明显 1+√2?M ，故数集 M 不为数域，所以③也不正确；对于④，设 x ∈P (x ≠0)，则 x +x ∈P ，即 2x ∈P ，同理 3x ∈P ，4x ∈P ，?，所以数域中有无数个数．

9.当时，满足，此时；当时，，集合， 又，得或，解得或．综上，实数的取值集合为． B =?B A ?0a =B ≠?0a ≠1B a ??=????B A ?13a =15a =13a =15a 110,,35??????

10.（1）若①正确，则②③不正确，由③不正确得 c =0，由①正确得 a =1，所以 b =2，与②不正确矛盾，故①不正确．

（2）若②正确，则①③不正确，由①不正确得 a =2，与②正确矛盾，故②不正确．

（3）若③正确，则①②不正确，由①不正确得 a =2，由②不正确及③正确得 b =0，c =1，故③正确．

则 100a +10b +c =100×2+10×0+1=201．

11. 含有1的子集有29个，含有2的子集有29个，含有3的子集有29个，…，含有10的子集有29个，∴ (1＋2＋3＋…＋10)×29＝28160.

三、解答题

1.先证A B 设任一元素a A ， 则323(1)1a n n 。

n Z ，1n Z ，a B 故A B 。

再证B A ， 设任一元素b B ，则313(1)2b k k ，

k Z ，1k Z ，b A .故B A ，由此可知A B .

2. （1）不能对于任意实数b 都有A ?B 。因为A 中两个元素相差8，B 中元素1,2，b ，要满足A ?B ，则b 只能取有限个数，此即第（2）题。

（2）由|x-a|=4得x=a+4,x=a-4. 若a+4，则 a-4=b,解得a=-3,b=-7，故实数对(A,B)为（-3,-7）.同理可得其他：(5,9),(6,10),(-2,-6).

3. 依题意有22x y xm x y xm ①②

， ， 由②-①得(1)y xm m ③

将③代入且① 整理得2210m m 解得1m 此时集B 合中的元素2x

xm xm ,这与集合元素的互异性矛盾，故此种情况不成立.

于是只能有22x y xm x y xm ， ，④⑤

由⑤-④ 得(1)y

xm m ⑥ 将⑥代入④且0x

化简可得2210m m 解得12m 或 1m （舍去） 经检验12

m 为所求. 4. 集合 B 中的代表元素是 x ，x 满足的条件是 x ∈A ，因此 x =0 或 x =1，即 B ={0,1}=A ．集合 C 的代表元素虽然也是 x ，但是 x 代表的是集合，且 x ?A ，因此 x =? 或 x ={0} 或 x ={1} 或 x ={0,1}，即 C ={?,{0},{1},{0,1}}，故 A =B ，B ∈C ，A ∈C ．

5.（1） 若函数 y =f (x ) 的图象与 x 轴无交点，

则方程 f (x )=0 的判别式 Δ<0，即 16?4(a +3)<0，解得 a >1．

（2） 若对任意的 x 1∈[1,4]，总存在 x 2∈[1,4]，使得 f (x 1)=g (x 2)，则只需函数 y =f (x ) 在 [1,4] 的值域为函数 y =g (x ) 在 [1,4] 的值域的子集．当 a =0 时，f (x )=x 2?4x +3 的图象的对称轴是直线 x =2，y =f (x ) 在 [1,4] 上的值域为

[?1,3]．

下面求 g (x )=bx +5?2b ，x ∈[1,4] 的值域．

①当 b =0 时，g (x )=5，不符合题意．

②当 b >0 时，g (x )=bx +5?2b 的值域为 [5?b,5+2b ]，则只需 {

5?b ≤?1,5+2b ≥3. 解得 b ≥6．

③当 b <0 时，g (x )=bx +5?2b 的值域为 [5+2b,5?b ]，则只需 {

5+2b ≤?1,5?b ≥3.

解得 b ≤?3．

综上，实数 b 的取值范围是 b ≥6 或 b ≤?3．

新教材必修1每课讲与练 第2讲 集合的关系(训练篇)C 组答案

一、选择题

BC

1. B 【解析】在 M 中任取两个元素的子集有 C 62=15 个．注意到 {1,2}、{2,4}、{3,6}

三选一，{1,3}、{2,6} 二选一，{2,3}、{4,6} 二选一，故符合条件的子集最多共有 C 62?2?1?1=11 个．

2. 设由三个正数123123,,()a a a a a a <<。

若123a a a +=，则这三个数不可能构成三角形的三边。为了使3a 最小，取123a a a +=。 使12312=45=+=9a a a a a =，，，

12i i i a a a --=+ 可得一个非三角形数集

{|1,2,3,}i A a i ==。 显然，A 的任意子集都不是 数集，A 中最小的10个元素组成的子集为 0{4,5,14,23,37,60,97,157,254}A =，所以254m <。

若讲 0A 中任意元素换成4到253中的非0A 中的任一其他正整数，由此得到的 的10元子集都是三角数。故选C 。

二、填空题

1.（1）由已知121,3k k ==，所以1131225k --=+=。

（2） 因为11315171812111+4+16+64+128=22222-----=++++，所以E 的第211个子集是13578{,,,,}a a a a a 。

2.因为 集合 P ={x∣ x =2n ?1 , n ∈N + , n ≤4}，所以，其元素为 1，3，5，7．故含有 3 个元素的全体子集分别为：{1,3,5}，{1,3,7}，{1,5,7}，{3,5,7}．

1i k

p i S =∑=(1+3+5)+(1+3+7)+(1+5+7)+(3+5+7)=48．

3.当 n =4 时，S 4={1,2,3,4}，所以所有的偶子集为：? 、 {2} 、 {4} 、 {1,2} 、 {1,4} 、 {2,3} 、 {2,4} 、 {3,4} 、 {1,2,3} 、 {1,2,4} 、 {1,3,4} 、 {2,3,4} 、 {1,2,3,4}.

所以 S 4 的所有偶子集的容量之和为 0+2+4+2+4+6+8+12+6+8+12+24+24=112．

三、解答题

1.解因,?U 都要选出，且无论选?或U 都满足条件（2），所以还要再选出两个集合，使他们满足条件（2），这些不同的选法即为所求。

单元素有：,,,a b c d ，两个元素有：,,,,,ab ac ad bc bd cd ，三个元素：,,,abc abd acd bcd . 当A 、B 中有一个取单元素，比如a ，则另一个集合可取,,ab ac ad 和,,abc abd acd ，此时共有6个，所以，这类情形共有4×6=24个；当A 、B 中有一个取两个元素，比如取ab ，则另一个集合可取,abc abd ，有2个，共有6×2=12个，所以满足条件的选法有：24+12=36.

2.（1）任取0x A ∈，则00()f x x =，000[()]()f f x f x x ==，那么所以A B ?。

（2）因为A={－1，3}，即－1，3是方程x 2+px+q=x 的根，由韦达定理p=－1,q=－3, f(x)=x 2－x －3,代入 f ［f(x)］=x 得(x 2－x －3) 2－(x 2－x －3) －3=x,即(x 2－x

－3) 2 =x 2，亦即x 2－x －3=x ，或x 2－x －3=－x ，解得x =。所以

B={x =。

3.（1） 当 n =3 时，A 6={1,2,3,4,5,6}，4n +1=13．

① A 6 的含有 5 个元素的所以子集：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,6}，{1,2,,3,5,6}，{1,2,4,5,6}，{1,3,4,5,6}，{2,3,4,5,6}。

对集合{2,3,4,5,6}，因为最小的4个元素之和 2+3+4+5>13，所以 5 不是集合 A 6 的“相关数”．

② A 6 的含有 6 个元素的子集只有 {1,2,3,4,5,6}，因为 1+3+4+5=13，所以 6 是集合 A 6 的“相关数”．

（2） 由（1）知，若把A 中元素从大到小排列：2n,2n-1,2n-1,…n+1,n,n-1,此时最小的三个数之和(n ?1)+n +(n +1)+(n +2)=4n +2>4n +1．

即当B ={n ?1,n,n +1,?,2n }时，B 中有n+2个元素不满足条件，因此，若 m 为集合 A 2n 的“相关数”，必有 m ≥n +3，即m ?n ?3≥0．

4.（1）（i ）方程 x i ?x j =2 的解有：(x i ,x j )=(2007,2005),(2013,2011)． （ii ）以下规定两数的差均为正，则：列出集合 X 的从小到大 8 个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；

中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；

中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；

中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；

中间相隔四数的两数差：12，14，12；

中间相隔五数的两数差：15，15；

中间相隔六数的两数差：16．

这 28 个差数中，只有 4 出现 3 次、 6 出现 4 次，其余都不超过 2 次， 所以 k 的可能取值有 4，6．

（2）不妨设2001≤x1

记a i=x i+1?x i(i=1,2,?,7)，b i=x i+2?x i(i=1,2,?,6)，共13个差数．假设不存在满足条件的k，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而

(a1+a2+?+a7)+(b1+b2+?+b6)≥2(1+2+?+6)+7=49.??①

又

(a1+a2+?+a7)+(b1+b2+?+b6)=(x8?x1)+(x8+x7?x2?x1)

=2(x8?x1)+(x7?x2)

≤2×16+14

=46,

这与①矛盾！

所以结论成立．