章末检测
一、选择题
1.已知曲线y=x2+2x-2在点M处的切线与x轴平行,则点M的坐标是( ) A.(-1,3) B.(-1,-3)
C.(-2,-3) D.(-2,3)
答案 B
解析∵f′(x)=2x+2=0,∴x=-1.
f(-1)=(-1)2+2×(-1)-2=-3.∴M(-1,-3).
2.函数y=x4-2x2+5的单调减区间为( )
A.(-∞,-1)及(0,1)
B.(-1,0)及(1,+∞)
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)及(1,+∞)
答案 A
解析y′=4x3-4x=4x(x2-1),令y′<0得x的围为(-∞,-1)∪(0,1),故选A. 3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,在x=-3时取得极值,则a等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 D
解析f′(x)=3x2+2ax+3.由f(x)在x=-3时取得极值,
即f′(-3)=0,即27-6a+3=0,∴a=5.
4.函数y=ln 1
|x+1|
的大致图象为( )
解析 函数的图象关于x =-1对称,排除A 、C ,当x >-1时,y =-ln(x +1)为减函数,故选D.
5.二次函数y =f (x )的图象过原点,且它的导函数y =f ′(x )的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数y =f (x )的图象的顶点所在象限是( )
A .第一
B .第二
C .第三
D .第四
答案 C
解析 ∵y =f ′(x )的图象过第一、二、三象限,故二次函数y =f (x )的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧,又因为其图象过原点,故顶点在第三象限.
6.已知函数f (x )=-x 3+ax 2
-x -1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a 的取值围是
( )
A .(-∞,-3)
B .[-3,3]
C .(3,+∞) D.(-3,3)
答案 B
解析 f ′(x )=-3x 2+2ax -1≤0在(-∞,+∞)恒成立,Δ=4a 2-12≤0?-3≤a ≤ 3.
7.设f (x )=x ln x ,若f ′(x 0)=2,则x 0等于( )
A .e 2
B .ln 2
C.ln 22
D .e 答案 D
解析 f ′(x )=x ·(ln x )′+(x )′·ln x =1+ln x .
∴f ′(x 0)=1+ln x 0=2,
∴ln x 0=1,
∴x 0=e.
8.设函数f (x )=13
x -ln x (x >0),则y =f (x )( ) A .在区间(1e
,1)(1,e)均有零点 B .在区间(1e
,1),(1,e)均无零点 C .在区间(1e
,1)无零点,在区间(1,e)有零点 D .在区间(1e ,1)有零点,在区间(1,e)无零点
解析 由题意得f ′(x )=x -33x
,令f ′(x )>0得x >3;令f ′(x )<0得0<x <3;f ′(x )=0得x =3,故知函数f (x )在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+∞)为增函数,在点x
=3处有极小值1-ln 3<0;又f (1)=13>0,f (e)=e 3-1<0,f (1e )=13e
+1>0. 9.设函数f (x )=sin θ3x 3+3cos θ2x 2+tan θ,其中θ∈[0,5π12
],则导数f ′(1)的取值围是( )
A .[-2,2]
B .[2,3]
C .[3,2]
D .[2,2]
答案 D
解析 ∵f ′(x )=x 2sin θ+x ·3cos θ,
∴f ′(1)=sin θ+3cos θ=2(12sin θ+32
cos θ) =2sin(θ+π3
). ∵0≤θ≤5π12,∴π3≤θ+π3≤3π4
, ∴22≤sin(θ+π3)≤1.∴2≤2sin(θ+π3
)≤2. 10.方程2x 3-6x 2+7=0在(0,2)根的个数有( )
A .0
B .1
C .2
D .3
答案 B
解析 令f (x )=2x 3-6x 2
+7,
∴f ′(x )=6x 2-12x =6x (x -2),
由f ′(x )>0得x >2或x <0;由f ′(x )<0得0<x <2;又f (0)=7>0, f (2)=-1<0,∴方程在(0,2)只有一实根.
二、填空题
11.若曲线y =kx +ln x 在点(1,k )处的切线平行于x 轴,则k =______.
答案 -1
解析 求导得y ′=k +1x
,依题意k +1=0, 所以k =-1.
12.已知函数f (x )=-x 3
+ax 在区间(-1,1)上是增函数,则实数a 的取值围是________.
答案 a ≥3
解析 由题意应有f ′(x )=-3x 2+a ≥0,在区间(-1,1)上恒成立,则a ≥3x 2
,x ∈(-1,1)恒成立,故a ≥3.
13.在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C :y =x 3-10x +3上,且在第二象限,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为________.
答案 (2,15)
解析 y ′=3x 2-10=2?x =±2,又点P 在第二象限,∴x =-2,得点P 的坐标为(-2,15)
14.函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2,在x =1时有极值10,那么a ,b 的值分别为________. 答案 4,-11
解析 f ′(x )=3x 2+2ax +b ,f ′(1)=2a +b +3=0, f (1)=a 2+a +b +1=10,
????? 2a +b =-3a 2+a +b =9,????? a =-3b =3,或????? a =4b =-11,当a =-3时,x =1不是极值点,a ,b 的值分别为4,-11.
三、解答题
15.设23 ,求常数a ,b . 解 令f ′(x )=3x 2 -3ax =0, 得x 1=0,x 2=a . f (0)=b ,f (a )=-a 32+b ,f (-1)=-1-32 a + b , f (1)=1-32 a + b 因为23 a <0, 故最大值为f (0)= b =1, 所以f (x )的最小值为f (-1)=-1-32a +b =-32 a , 所以-32a =-62,所以a =63 . 故a =63,b =1. 16.若函数f (x )=4x 3-ax +3在[-12,12 ]上是单调函数,则实数a 的取值围为多少? 解 f ′(x )=12x 2-a ,若f (x )在[-12,12]上为单调增函数,则f ′(x )≥0在 [-12,12 ]上恒成立, 即12x 2-a ≥0在[-12,12 ]上恒成立, ∴a ≤12x 2在[-12,12 ]上恒成立,∴a ≤(12x 2)min =0. 当a =0时,f ′(x )=12x 2 ≥0恒成立(只有x =0时f ′(x )=0). ∴a =0符合题意. 若f (x )在[-12,12 ]上为单调减函数, 则f ′(x )≤0,在[-12,12 ]上恒成立, 即12x 2-a ≤0在[-12,12 ]上恒成立, ∴a ≥12x 2在[-12,12 ]上恒成立, ∴a ≥(12x 2)max =3. 当a =3时,f ′(x )=12x 2-3=3(4x 2-1)≤0恒成立(且只有x =±12 时f ′(x )=0). 因此,a 的取值围为a ≤0或a ≥3. 17.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米,高为h 米,体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V 表示成r 的函数V (r ),并求该函数的定义域; (2)讨论函数V (r )的单调性,并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh =200πrh (元),底面的总成本为160πr 2元, 所以蓄水池的总成本为(200πrh +160πr 2)元. 又根据题意200πrh +160πr 2=12 000π, 所以h =15r (300-4r 2), 从而V (r )=πr 2h =π5 (300r -4r 3). 因为r >0,又由h >0可得r <53, 故函数V (r )的定义域为(0,53). (2)因为V (r )=π5 (300r -4r 3), 故V ′(r )=π5 (300-12r 2). 令V ′(r )=0,解得r 1=5,r 2=-5(因为r 2=-5不在定义域,舍去). 当r ∈(0,5)时,V ′(r )>0,故V (r )在(0,5)上为增函数; 当r ∈(5,53)时,V ′(r )<0,故V (r )在(5,53)上为减函数. 由此可知,V (r )在r =5处取得最大值,此时h =8. 即当r =5,h =8时,该蓄水池的体积最大. 17.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为:y = 1128 000x 3-380x +8(0<x ≤120).已知甲、乙两地相距100千米. (1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解 (1)当x =40时,汽车从甲地到乙地行驶了10040 =2.5小时, 要耗油(1128 000×403-380 ×40+8)×2.5=17.5(升). (2)当速度为x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时,设耗油量为h (x )升, 依题意得h (x )=(1128 000x 3-380x +8).100x =11280x 2+800x -154 (0<x ≤120), h ′(x )=x 640-800x 2=x 3-803640x 2(0<x ≤120). 令h ′(x )=0,得x =80. 当x ∈(0,80)时,h ′(x )<0,h (x )是减函数; 当x ∈(80,120)时,h ′(x )>0,h (x )是增函数. ∴当x =80时,h (x )取到极小值h (80)=11.25. 因为h (x )在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值. 答 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升. 18.已知函数f (x )=13x 3-a ln x -13 (a ∈R ,a ≠0). (1)当a =3时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求函数f (x )的单调区间; 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( ) 3 B 10 3 C 16 3 D 13 = 2 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题: 1 已知 f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + 2 ,若 f '(-1) = 4 ,则 a 的值等于 A 19 3 2 已知直线 y = kx + 1 与曲线 y = x 3 + ax + b 切于点(1,3),则 b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数 y (x + 2a )(x-a ) 的导数为 A 2( x 2 - a 2 ) B 3(x 2 + a 2 ) C 3(x 2 - a 2 ) D 2( x 2 + a 2 ) 1 4 4 曲线 y = x 3 + x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 3 3 A 1 2 1 2 B C D 9 9 3 3 5 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的导数为 f '( x ), f '(0) > 0 ,对于任意实数 x ,有 f ( x ) ≥ 0 ,则 最小值为 f (1) f '(0) 的 A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 6 已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处的导数为 3,则 f ( x ) 的解析式可能为 A C f ( x ) = ( x -1)2 + 3(x - 1) f ( x ) = 2( x - 1)2 B f ( x ) = 2( x - 1) D f ( x ) = x - 1 7 下列求导数运算正确的是 A 1 1 ( x + )' = 1 + x x 2 B (log x )' = 2 1 x ln 2 C (3x )' = 3x ? log e D ( x 2 cos x )' = -2 x sin x 3 8 曲线 y = A π 6 1 3 x 3 - x 2 + 5 在 x = 1 处的切线的倾斜角为 3π π π B C D 4 4 3 9 曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点 (1,-1) 处的切线方程为 A y = 3x - 4 B y = -3x + 2 C y = -4 x + 3 D y = 4 x - 5 10 设函数 y = x sin x + cos x 的图像上的点 ( x , y ) 处的切线斜率为 k ,若 k = g ( x ) ,则函数 k = g ( x ) 的图导数练习题 含答案
导数练习题(含答案).
(完整word版)导数单元测试(含答案)