第六章 线性空间
1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。
证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因
,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论
哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。
2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。
证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若
)()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此
.L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得
),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ?
于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
若x M N L M N L ∈∈∈U
I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）
。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量
乘法；
3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
2121211211
12
b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）
（）k 。（a ，）=（ka ，kb +
6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： 0k a =o ； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：
k a a =o ；
8） 全体正实数r ，加法与数量乘法定义为：
a b ab ⊕=，k k a a =o ；
解 1）否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如 523n n
x x ++--=（）（）。
2）令V={f （A ）|f （x ）为实数多项式，A 是n ×n 实矩阵} 因为
f （x ）+
g （x ）=
h （x ），kf （x ）=d （x ） 所以
f （A ）+
g （A ）=
h （A ），kf （A ）=d （A ）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v 构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有
'''（A+B ）
=A +B =-A-B=-（A+B ），A+B 仍是反对称矩阵。 KA KA K A KA ''==-=-（）（）（）
，所以kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a ，b ）的负元是（-a ，2
a -
b ）。对于数乘：
2
2222222
1(11)111)(,),2(1)(1)(1)
.(.(,).(,)(,[2]())
222
(1)(1)(1)(1)
(,[]())(,())
2222
(1)(,)().(,),
2(a b a b a a b l l l l k k k l a b k la lb a kla k lb a la l l k k kl kl k k kla k lb a la kla a la kl kl kla a klb kl a b -==
=---=+=++----=++=+-=+=。（，）（。，。2
22
22
22
()(1)).(,)[(),()]
2
(1)(1).(,).(,)(,)(,22
(1)(1)(,)
22(1)(1)[(),()].
2k l k l k l a b k l a a k l b k k l l k a b l a b ka kb a la lb a
k k k k ka la kb a a kla k k l k l a a k l b ++-+=+++--⊕=+⊕+--=++++++-=+++
即),(),(),()(b a l b a k b a l k οοο⊕=+。
),()],(),[(2121212211a a b b a a k b a b a k +++=⊕οο
＝)])(2
)
1((),([221212121a a k k a a b b k a a k +-+
+++， ),()(221,1b a k b a k οο⊕
＝)2)1(,()2)1(,(2
2222111a k k kb ka a k k kb ka -+⊕-+
＝)2
)1(2)1(,(2122
2221121a a k a k k kb a k k kb ka ka +-++-++
＝)2)1(2)1()(),((212122
221212121a a k a a k a k k a k k a a b b k a a k -+-++-++++
＝))(2
)1()(),((2
2221212121a a k k a a b b k a a k +-++++，
即=⊕),(),(2211b a b a k ο),()(221,1b a k b a k οο⊕，所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为.01αα≠=ο。
7）否，因为)()()(,2,)(ααααααααααοοοοοοl k l k l k l k +≠+=+=+=+所以， 所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
1);
)()()()();)111;
1111
):1,1;
)1;
)(())()()();)()()();
)()l l k lk kl k l k l i a b ab ba b a ii a b c ab c abc a bc a b c iii a a a iv a a a a a a a a
v a a a vi k l a k a a a a kl a vii k l a a a a ka la viii k a b +⊕===⊕⊕⊕=⊕==⊕=⊕⊕⊕=?=⊕=?=⊕=⊕=======+==?=⊕⊕o o o o o o 是零元：的负元是且()()()().
k k k k ab ab a b k a k b ====⊕o o o
所以，所给集合+
R 构成线性空间。
4 在线性空间中，证明：1）00=k 2）βαβαk k k -=-)(。
证 1）00))(()1()())((0==-+=-+=-+=-+=ααααααααk k k k k k k k 。
2）因为()(),()k k k k k k k αββαββααβαβ-+=-+=-=-所以。
5 证明：在实函数空间中，1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。
证 因为1cos 22cos 2
-=t t ，所以1，t t 2cos ,cos 2
式线性相关的。
6 如果)(),(),(321x f x f x f 是线性空间][x P 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互
素，那么他们线性无关。
证 若有不全为零的数321,,k k k 使0)()()(332211=++x f k x f k x f k ，
不妨设,01≠k 则)()()(31
3212
1x f k k x f k k x f --
=，这说明)(),(32x f x f 的公因式也是)(1x f 的因式，即)(),(),(321x f x f x f 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以
)(),(),(321x f x f x f 线性无关。
7 在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。设
1）)1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321=--=--=--==ζεεεε；
2）)1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321=--====ζεεεε。
解 1）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则????
???=+--=-+-=--+=+++1
121
d c b a d c b a d c b a d c b a ，
可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为4
1
,41,41,45-=-===
d c b a 。 2）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则????
???=-+=-=+++=++1
0300
2d b a d b d c b a c b a ，
可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为0,1,0,1=-===d c b a 。
8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P 上的空间P n n ?；2）P n n ?中全体对称（反对
称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A 的全
体实系数多项式组成的空间,其中A=,00000012?
???
? ??ωω231i
+-=ω。
解 1)n n P ?的基是{
),,...,2,1,}(n j i E ij =且2dim()n n
P
n ?=。
2) i)令?????
??
?
?
?
???=...
............1............1.........
...
ij F ，即,1==ji
ij a a 其余元素均为零,则
{}nn n n F F F F F ,...,,...,,...,222,111 是对称矩阵所成线性空间n M 的一组基,所以n M 是
2
)
1(+n n 维的。 ii)令?????
??
?
?
?-???=...
............1............1.........
...
ij G ，即),(,1j i a a ji
ij ≠=-=其余元素均为零,则
{}n n n n G G G G G ,1223,112,...,,...,,...,-是反对称矩阵所成线性空间n S 的一组基, 所以它是
2
)
1(-n n 维的。 iii) {}nn
n n E E E E E ,...,,...,,...,222,111是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是2
)
1(+n n 维的。
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a ,可经2线性表出，即.2)(log 2οa a =,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
4)因为231i +-=ω,13=ω,所以?????+=+===2
3,13,3,12q n q n q
n n
ωωω，
于是E A A =????? ??=????? ?
?=111,132
2ωω
， 而??
???+=+===23,13,3,2q n A q n A q n E A n
。
9.在4
P 中,求由基,1ε，,,,432εεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵,并求向量ξ在所指基下的坐
标。设
)()()()()?????????????
?====1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,114
32
1εεεε，()()
()()?
????
??===-=3,1,6,61,2,3,50,1,3,01,1,1,243
21ηηηη， ()4321,,,x x x x =ξ在4321,,,ηηηη下的坐标； )()()()()??????????????--=-=-=-=1,0,1,11,1,2,11,1,1,110,2,12432
1εεεε，()()()()?
??????=-==-=2,1,3,12,1,1,22,2,1,01,0,1,243
21ηηηη， ()0,0,0,1=ξ在,1ε,,,432εεε下的坐标； )()()()()??????????????--=--=--==1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,13432
1εεεε，()
()()()
???????--====1,1,1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,143
21ηηηη，
()1,0,0,1-=ξ在4321,,,ηηηη下的坐标；
解 )1（4321,,,ηηηη）=（,1ε,,,432εεε）??
?
?
?
?
?
?
?-310112116331
6502
=（,1ε432,,εεε）A
这里A 即为所求由基,1ε,,,432εεε到4321,,,ηηηη的过渡矩阵，将上式两边右乘得1
-A ， 得 （,1ε432,,εεε）=（4321,,,ηηηη）1
-A ，
于是
=ξ（,1ε432,,εεε）??????? ??4321x x x x =（4321,,,ηηηη）1-A ??????
? ??4321x x x x ， 所以在基下的坐标为
1-A ??????
?
??4321x x x x ，
这里1-A =?
?
??
???????
??------
-2726319127
732003
1
272331942719111
3194。
)2令)1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1(4321====e e e e 则 （,1ε432,,εεε）=(43,21,,e e e e )????
??? ??-----1110011112121111
=(43,21,,e e e e )A ，
（4321,,,ηηηη）=(43,21,,e e e e )??
?
?
?
?
?
?
?-222111203111
1202=(43,21,,e e e e )B ，
将(43,21,,e e e e )=（,1ε432,,εεε）1-A 代入上式,得
（4321,,,ηηηη）=（,1ε432,,εεε）1
-A B ，
这里
1-A =?
????
??????
??-----
--138********
3131134133132134133131135135136133133
,1-A B=??
??
?
?
?
??0100111010111001， 且B A 1
-即为所求由基,1ε,,,432εεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵，进而有
()0,0,0,1=ξ=(43,21,,e e e e )??????? ??0001=（,1ε432,,εεε）1-A ????
??
?
??0001
=（,1ε432,,εεε）???
???
????
? ??--133132135133，
所以ξ在,1ε432,,εεε下的坐标为???
??--133,132,13
5,133。
)343,21,,e e e e 同)2，同理可得
A=,1111111111111111???
???? ??------B=????
??
?
??-10111030111
101
2
1 1-A =41,111111*********
1????
??
?
??------ 则所求由,1ε432,,εεε到4321,,,ηηηη的过渡矩阵为
1-A B=??????????
? ??------410
4
14141043414321414141214743
。 再令1ηξa =+b 2η+c 3η+d 4η，即
()()()??
??
?
?
?
??--=?
?????
? ??=11100011
1312
10
1
1,,,,,,0,0,0,14321d c b a d c b a ηηηη， 由上式可解得ξ在下的坐标为4321,,,ηηηη下的坐标为 ()=d c b a ,,,??
?
??
---
-23,421,21ηξa =。
10．继第9题1）求一非零向量ξ，它在基,1ε432,,εεε与4321,,,ηηηη下有相同的坐标。
解 设ξ在两基下的坐标为()
4,321,,x x x x ，则
ξ=（,1ε432,,εεε）??????? ??4321x x x x =（4321,,,ηηηη）????
??
? ??4321x x x x 。
又因为
（4321,,,ηηηη）=（,1ε432,,εεε）??
?
?
?
?
?
?
?-310112116331
6502
=（,1ε432,,εεε）A ，
所以
??????? ??4321x x x x =A ??????? ??4321x x x x ?（A - E ）????
??
?
??4321x x x x =0。
又
01
01
111321,02
101
1
11163216501
≠-=-=
-且E A ，
于是只要令就有,4c x -=
??
?
??=+=++-=++c
x x c x x x c x x x 263231321321，
解此方程组得
()
4,321,,x x x x =()c c c c -,,, (c 为任意非零常数)， 取c 为某个非零常数0c ，则所求ξ为
40302010εεεεξc c c c -++=。
11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。
证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。
12.设12,V V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，证明：如果1V 的维数与2V 的维数相
等，那么12V V =。
证 设dim(1V )=r ，则由基的扩充定理，可找到1V 的一组基,,.....,21r a a a ，因21V V ?，且它们的唯数相等，故,,.....,21r a a a ，也是2V 的一组基，所以1V =2V 。
13．n n P A ?∈。
1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C （A ）； 2）当A=E 时，求C （A ）；
3）当A=???
?
?
?
?
??n ..........................21时，求C （A ）的维数和一组基。
证 1）设与A 可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D 属于C(A)，可得
A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A ， 故 B+D ∈C(A)。若k 是一数，B )(A C ∈，可得 A （kB ）=k(AB)=k(BA)=(kB)A ， 所以kB ∈C(A)。故C(A)构成n n P ?子空间。 2）当A=E 时，C （A ）=n
n P
?。
3）设与A 可交换的矩阵为B=（ij b ），则B 只能是对角矩阵，故维数为n,nn
E E E ,...,2211即为它的一组基。
14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。 解 若记
A=S E +=???
?? ??+????? ??113000000100010001，
并设B=???
??
??22
2
111
c b a c b a c b a 与A 可交换，即AB=BA ，则SB=BS 。且由 SB==????? ??????? ??22
2
111
113000000c b a c b a c b a
????
?
??++++++212
12
1333000
00
c c c b b b a a a ，
BS=????? ??22
2
111
c b a c b a c b a ????? ??113000000=????
?
??22
2
111333c c c c c c c c c
， 可是01==c c ，
又 ?
??=++=++2212
21333c b b b c a a a ，
即??
?++=--=+-2
122
12333b b b c a a a c ，
该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a,2c ，并 令b=1，其余为0，得2c =3,a=3; 令1a =1，其余为0，得2c =3,a=3
1-; 令1b =1，其余为0，得2c =1,a=1; 令2a =1，其余为0，得2c =0,a=3
1-; 令2b =1，其余为0，得2c =1,a=1; 则与A 可交换的矩阵为
B=????
?
??22
2
11
00c b a b a b a ， 其中,a,2c 可经b,2121,,,b b a a 表示,所求子空间的一组基为
?????
??300000013, ??????
?
??-0000010031 ,?????
?
?100010001, ??????
?
??-0010000031 , ????
?
??110000001， 且维数为5。
15．如果 ,0321=++γβc c a c 且031≠c c ，证明：L ()β,a =L ()γβ,。 证 由031≠c c ，知,01≠c 所以a 可
γβ,经线性表出，即βα,可经γβ,线性表出，
同理，γβ,也可经βα,线性表出。故L ()β,a =L ()γβ,。
16．在4
P 中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设
1）()???????=--===)1,1,1,1()0,3,1,1()1,0,2,1(1,3,1,24321a a a a ，
()
??????
?-=-=--=-=)
1,3,5,1()1,3,5,4()1,3,1,1(1,3,1,2432
1a a a a 。 解 1）4321,,,a a a a 的一个极大线性无关组421,,a a a ，因此421,,a a a 为L ()4321,,,a a a a 的一组基，且的维数是3。
2）4321,,,a a a a 的一个极大线性无关组为21,a a ，故21,a a 是L ()4321,,,a a a a 的一组基，且维数为2。 17．在4P 中，由齐次方程组
???
??=+-+=-+-=+-+0
11135303330
45234321
43214321x x x x x x x x x x x x 确定的解空间的基与维数。
解 对系数矩阵作行初等变换，有
???
?
? ??---→????? ??----→????? ??----000078304523783078304523111353331
34523 所以解空间的维数是2，它的一组基为 ??? ??-
=0,1,38,911a ，??
?
??=1,0,37,922a 。 18.求由向量12,αα生成的子空间与由向量12,ββ生成的子空间的交的基与维数，设 1）()
()??
?-==1,1,1,10,1,2,12
1a a
()
()??
?-=-=7,3,1,11,0,1,22
1ββ； 2）()
()
??
?==1,1,0,10,0,1,121a a
()
()??
?==0,1,1,01,1,0,021ββ； 3）()
???
??--==--=)1,1,0,1()1,1,1,3(2,1,2,13
21a a a
()
()??
?--=--=3,7,2,15,6,5,22
1ββ。 解 1）设所求交向量 1k =γ1α2k +2α1l =1β2l +2β， 则有 1k 1α2k +2α1l -1β2l +2β0=，
即 ??????
?=--=-+=+++=---0
70302022122212
1212121l l k l k k l l k k l l k k ，
可算得7
11
3
0111
1
1212
11------=
D 0=， 且0
1
1
1122
11--0≠ ， 因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。任取一非零解(,,21k k ,1l )2l ＝
)1,3.,4,1(--，得一组基 )4,3,2,5(421-=+-=ααγ，
所以它们的交L )(γ是一维的，γ就是其一组基。 2）设所求交向量 1k =γ1α2k +2α1l =1β2l +2β，
则有 ???????=-=--=-=+0
000122122
121l k l l k l k k k ，
因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即,02121====l l k k 从而 交的维数为0。
3）设所求交向量为 1k =γ1α2k +2α1l =1β2l +2β，
即 ???????=-+-+-=++++-=--+=+--+0
352076025202321321213212
12121321l l k k k l l k k k l l k k l l k k k ，
由
03
1127
1
1
1201
2
1131
≠------ 知解空间是一维的，因此交的维数是1。令,11=l ，可
得02=l ，因此交向量12211βββγ=+=l l 就是一组基。
19． 设1V 与2V 分别是齐次方程组n n n x x x x x x x =====+++-12121...,0...的解空间，
证明：.21V V P n
⊕=
证 由于0...21=+++n x x x 的解空间是你
n －1维的，其基为
)1,...,0,0,1(),...,0,...,1,0,1(),0,...,0,1,1(121-=-=-=-n ααα而由 n n x x x x ====-121...
知其解空间是1维的，令,1=n x 则其基为).1,...,1,1(=β且βααα,,...,,121-n 即为n P 的一组
基，从而.21V V P n +=又)dim ()dim ()dim (21V V P n
+=，故 .21V V P n ⊕=。
20． 证明：如果,,1211121V V V V V V ⊕=+=那么 21211V V V V ⊕⊕=。 证 由题设知,21211V V V V ++= 因为 ,21V V V ⊕=所以
)dim ()dim ()dim (21V V V +=， 又因为,12111V V V ⊕= 所以 ),dim ()dim ()dim (12111V V V += 故)dim ()dim ()dim ()dim (21211V V V V ++=，
即证21211V V V V ⊕⊕=。
21. 证明：每一个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的直和。
证 设n ααα,...,,21是n 维线性空间V 的一组基。显然)(),...,(),(21n L L L ααα都是V
的一维子空间，且 ),...,,()(...)()(2121n n L L L L αααααα=+++＝V ，又因为 )dim ())(dim (...))(dim ())(dim (21V L L L n =+++ααα， 故 )(...)()(21n L L L V ααα⊕⊕⊕=。 22．证明：和
∑=s
i i
V
1
是直和的充分必要条件是∑-=1
1
i j j
i V
V I
{0}(2,...,)i s ==。
证 必要性是显然的。这是因为}0{1
1
1
=?∑∑≠-=j j
i i j j
i V
V V
V I
I
，所以
∑-=1
1
i j j
i V
V I
}0{=。
充分性 设
∑=s
i i
V
1
不是直和，那么0向量还有一个分解s ααα+++=...021，
其中(1,2,...,)j j V j s α∈=。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是),(s k k ≤α 则k k αααα++++=-121...0 ，即 k k αααα-=+++-121...，
因此,1
1
,k k k j j
k V V
∈∈
∑-=αα，这与}0{1
1
=∑-=k j j
k V
V I
矛盾，充分性得证。
23. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成
一个三维线性空间R 3。
1） 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？
2） 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间,,,321L L L
问32121,L L L L L +++能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;
3）就用该三维空间的例子来说明，若U,V ,X,Y 是子空间，满足U+V ＝X ，X ?Y ，是否一定有Y Y U Y V =+I I 。 解 1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在
不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。
2)21L L + ；
（1）直线1l 与2l 重合时，是21L L +一维子空间； （2）1l 与2l 不重合时，时21L L +二维子空间。
321L L L ++ ：
（1） ,1l 32,l l 重合时，321L L L ++构成一维子空间； （2） ,1l 32,l l 在同一平面上时，321L L L ++构成二维子空间； （3） ,1l 32,l l 不在同一平面上时，321L L L ++构成三维子空间。
3） 令过原点的两条不同直线1l ，2l 分别构成一维子空间U 和V ，X ＝U ＋V 是二维子
空间，在1l ，2l 决定的平面上，过原点的另一条不与1l ，2l 相同的直线3l 构成一维子空间Y ，显然},0{},0{,==?V Y U Y X Y I I 因此}0{)()(=⊕V Y U Y I I ， 故)()(V Y U Y Y I I ⊕= 并不成立。
二．补充题参考解答
1．1）证明：在P[x]n 中，多项式))...()()...((111n i i i x x x x f αααα----=+- （i ＝1，2，…，n ）是一组基，其中n ααα,...,,21是互不相同的数；
2)在1）中，取n ααα,...,,21是全体n 次单位根，求由基1，1
,...,-n x
x 到基n
f f f ,...,,21
的过渡矩阵。
证 1）设 0...2211=+++n n f k f k f k ，将1α=x 代入上式 ，得 0)(,0)(...)()(1111312≠====ααααf f f f n ， 于是1k ＝0。同理，将n x x αα==,...,2分别代入，可得
0...32====n k k k ，
所以n f f f ,...,,21线性无关。而P[x]n 是n 维的，故n f f f ,...,,21是P[x]n 的一组基。
2）取n ααα,...,,21为全体单位根,,...,.,11
2
-n ε
εε则
121 (11)
1
-++++=--=
n n x x x x x f ， 1223212 (1)
-----+++++=--=
n n n n n n x x x x x x f εεεεε
， ...........................................................
1
2121
...1----++++=--=n n n n n n x x x x x f εεεε
， 故所求过渡矩阵为?
?
??
?
??
?
??------1 (1)
11
...1.........
...
......1 (112)
2
42
21n n n n n n εεεεεεεεε。 2．设n ααα,...,,21是n 维线性空间V 的一组基，A 是一个n ×s 矩阵，且
A n s ),...,,(),...,,(2121αααβββ=，
证明：),...,,(21s L βββ的维数等于A 的秩。
证 只需证s βββ,...,,21的极大线性无关组所含向量的个数等于A 的秩。设
???????
?
??=ns nr n s r a a a
a a a A ..............
.......
......11111，
且≤=r r A rank ,)(min(,)n s 。不失一般性，可设A 的前r 列是极大线性无关组，由条
件得?????
????+++=+++=+++=n
ns s s s n nr r r r n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ.....................................................................................................2211221112211111，
可证r βββ,...,,21构成r βββ,...,,21，s r ββ,...,1+的一个极大线性方程组。事实上，设
0...2211=+++r r k k k βββ，
于是得0)...(...)...()...(1112221111111=+++++++++n r r n r r r r a k a k a k a k a k a k ααα，
因为n ααα,...,,21线性无关，所以???
??=+++=+++0
.............................................
(221)
11212111r nr n n r r k a k a k a k a k a k a ， 该方程组的系数矩阵秩为,r 故方程组只有零解0...21====r k k k ，于是r βββ,...,,21 线性无关。
其次可证：任意添一个向量j β后，向量组r βββ,...,,21，j β一定线性相关。事实上，
设0...2211=++++j j r r k k k k ββββ，于是???
??=++++=++++0
.............................................0 (221)
111212111j nj r nr n n j j r r k a k a k a k a k a k a k a k a ， 其系数矩阵的秩为r 3. 设f ),...,,(21n x x x 是一秩为n 的二次型，证明：有n R 的一个 )(2 1 s n -维子空间1V （其中为符号差），使对任一),...,,(21n x x x 1V ∈，有f ),...,,(21n x x x ＝0。 证 设f ),...,,(21n x x x 的正惯性指数为p ，负惯性指数为q ，则p+q=n 。于是存在可逆矩阵， C ，Y ＝CX ，使f ),...,,(21n x x x 2 21221......q p p p y y y y ++---++＝， 由)(21s n -＝)(21 q p n --＝? ??≥<时当时当q p q q p p ,,。 下面仅对 p 将Y=CX 展开，有方程组???????????=++=++=++=++++++++q p n n q p q p p n n p p p n pn p n n y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c ,11,1,11 1,11111111...............................................................................， 任取???????===''21)0,...,0,1,..., 0,1,0,...,0(.................................)0,...,1,0,0,...,1,0()' 0,...,0,1,0,...,0,1(p εεε， 则p εεε,...,,21线性无关，将p εεε,...,,21分别代入方程组，可解得p ααα,...,,21，使得 211,αεαC C =p p C εαε==,...,2，且p ααα,...,,21线性无关。 下面证明p 维子空间L （p ααα,...,,21）即为所要求得1V 。事实上，对任意 L X ∈0（p ααα,...,,21），设p p k k k X ααα+++=...22110，代入Y CX =得 ' 21212211221100)0,...,0,,...,,,,...,(......p p p p p p k k k k k k k k k C k C k C k CX Y =+++=+++==εεεααα故 0 (2) 2 12 2 1' 00=---++==p p k k k k AX X f 即证1V =L （p ααα,...,,21）。 4. 设1V ，2V 是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：在V 中存在α，使 21,V V ∈∈ αα同时成立。 证 因为1V ，2V 非平凡的子空间，故存在1V ∈ α，如果2V ∈α，则命题已证。设2V ∈α 则一定存在2V ∈ β，若1V ∈β，则命题也得证。下设1V ∈β，于是有21,V V ∈∈αα及 1V ∈β，2V ∈ β， 因而必有21,V V ∈+∈+βαβα。事实上，若1V ∈+βα，又 1V ∈β，则由1V 是子空间，必有1V ∈α，这与假设矛盾，即证∈+βα1V ，同理可证 2V ∈+βα，证毕。 5． 设s V V V ,...,,21是线性空间V 的s 个非平凡的子空间，证明V 中至少有一向量α不属 于s V V V ,...,,21中的任何一个。 证 采用数学归纳法。当n=2时，由上题已证命题成立。 现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立，即在V 中至少存在一个向量不属于 121,...,,-s V V V 中任意一个，如果s V ∈α，则命题已证。 若s V ∈α，对,P ∈?向量s V k ∈+βα，且对P 中s 不同的数,,...,,21s k k k 对应的s 个 向量)....2.1(s i k =+βα中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间 ).1....2.1(-=s i V i 换句话说，上述S 个向量)....2.1(s i k =+βα中至少有一个向量不 属于任意一个非平凡子空间( 1.2....1)i V i s =-，记为00i k γαβ=+，易见0γ也不属于 s V 。即证命题对s 个非平凡的子空间也成立。即证。 第七章 线性变换 1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）? 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）? 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）? 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）? 在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）? 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）? 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）? 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ， A (k X )=k BXC k kX B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。 高等代数北大版第章习 题参考答案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 第 七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb + 第七章 线性变换 1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！ 第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β== 第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212 2216223x x x x x x x x -+--； 4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++； 6）4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换 ??? ??=-=+=33 212211y x y y x y y x （1） 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 2 233 3142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换 ??? ? ??? ==+=3 3223112121z y z y z z y （2） 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为 ??? ? ? ? ???=+-=++=333212321 121212 121z x z z z x z z z x （3） 于是相应的替换矩阵为 ?? ?????? ? ?-=? ?????? ??????? ??-=1002112 1 210 2110001021021100011011T ， 且有 ??? ? ? ??-='100040001AT T 。 2）已知()=321,,x x x f 2 3322221214422x x x x x x x ++++， 由配方法可得 ()()() 2 33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322 212x x x x +++=， 于是可令 ??? ??=+=+=33 3222112x y x x y x x y ， 则原二次型的标准形为 ()2 221321,,y y x x x f +=， 且非退化线性替换为 ??? ??=-=+-=33 322321122y x y y x y y y x ， 相应的替换矩阵为 ??? ? ? ??--=100210211T ， 第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb + 第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ， 第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212 2216223x x x x x x x x -+--； 4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++； 6）4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换 ??? ??=-=+=33 212211y x y y x y y x （1） 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 2 233 3142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换 ??? ? ??? ==+=3 3223112121z y z y z z y （2） 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为 ??? ? ? ? ???=+-=++=333212321 121212 121z x z z z x z z z x （3） 于是相应的替换矩阵为 ?? ?????? ? ?-=? ?????? ??????? ??-=1002112 1 210 2110001021021100011011T ， 且有 ??? ? ? ??-='100040001AT T 。 2）已知()=321,,x x x f 2 3322221214422x x x x x x x ++++， 由配方法可得 ()()() 2 33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322 212x x x x +++=， 于是可令 ??? ??=+=+=33 3222112x y x x y x x y ， 则原二次型的标准形为 ()2 221321,,y y x x x f +=， 且非退化线性替换为 ??? ??=-=+-=33 322321122y x y y x y y y x ， 相应的替换矩阵为 ??? ? ? ??--=100210211T ， 第四章 矩阵 1.设1）311212123A ?? ?= ? ???，111210101B -?? ?=- ? ???2）111a b c A c b a ?? ?= ? ???，111a c B b b c a ?? ? = ? ??? 计算AB ，AB BA -。 解 1）622610812AB -?? ?= ? ? -?? ，400410434BA ?? ?= ? ???222200442AB BA -?? ? -= ? ?--?? 2）222 22222223a b c a b c ac b AB a b c ac b a b c a b c a b c ?? +++++ ?=+++++ ? ?++++? ?222222a ac c b ab c c a BA a ac c b b c ab b a c b bc c c ac a ??+++++ ? =+++++ ? ?+++++?? 33()ij AB BA a ?-=， 其中 11a b ac =-， 22212a a b c b ab c =++---， 221322a b ac a c =+-- 21a c bc =-， 2222a ac b =-， 32223a a b c ab b c =++--- 23132a c a =--， 32a c bc =-， 33a b ab =- 2.计算 2 2111)310012?? ? ? ? ?? 5322)42?? ?--?? 113)01n ?? ??? cos sin 4)sin cos n ? ?? ?-?? ??? ()15)2,3,111?? ?-- ? ?-??，()112,3,11?? ? -- ? ?-?? ()11121321 223131 32 336), ,11a a a x x y a a a y a a a ???? ??? ??? ??????? 2111111117)11111111---?? ?--- ? ?--- ? ?---??，1111111111111111n ---?? ?--- ? ?--- ? ?---?? 第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ) = X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) =-X 1+2 X 2 + X 3 3、设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V的一组基，并求它的对偶基。 证：设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2，ε3）A 由已知，得 A＝ 110 011 111????????-?? 因为A≠0，所以α1，α2，α3是V的一组基。设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）1- ＝（f1,f2,f3） 011 112 111 -???? - ????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V*中非零向量，试证：?α∈V，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s采用数学归纳法。 当s＝1时，f1≠0,所以?α∈V，使fi(α)≠0，即当s＝1时命题成立。 假设当s=k时命题成立，即?α∈V，使fi(α)=αi≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1 k+(α)≠0,则命题成立，若f 1 k+ (α)＝0，则由f 1 k+ ≠0知，一定?β∈V 使f 1 k+ (β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0，使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ =+，则γ∈V，且 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算, 这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、 四则运算 是封闭的，即对K 内任 两个数a 、 b ( a 可 以等于b )， 必有 b K ， ab K ，且当b 0时，a/b K ，则称 K 为一个数域。 1.1典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ;有理数域 Q ; Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a, b € Q}，其中 i = ?. 1 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素 K ，且 a 0。于是 进而 最后， m, n Z 巴K 。这就证明了 n K 。证毕。 1.1.3 集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集， 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则 f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定 若a a'代都有f (a) 第一章代数学的经典课题 § 1若干准备知识 1.1.1代数系统的概念 个代数系统。 1.1.2数域的定义 定义(集合的交、并、差)设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集，记作A B ;把A 下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集，记做A B 。 的元素(记做f(a))，则称f 是A 到B 的一个映射，记为 B, f (a). 如果f(a) b B ，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的 子集称为A 在f 下的像，记做 f (A)，即 f (A) f(a)| a A 。 f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ，使得f(a) b ，则称f 为满射。 1.1.4 求和号与求积号 1 ?求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ，我们使用如下记号： 第一学期第一次课 如果f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。 第六章线性空间 1?设 MuN,证明：MRN = M、MUN = N。 证任取a eM，由MuN,得awN,所以awMDN,即证又因 MflNuM,故Mp|N = M。再证第二式，任取a^M或a已N,但MuN,因此无论哪一种情形，都有aeN,此即。但N uMU N,所以MUN = N ° 2.证明 Mp|(NUD = (MriN)U(MrU), MU(NfU) = (MUN)n(MUD。 证 VxwMCl(NUD，则在后一情形，于是 xeMflN佥 所以xe(MC\N)\J(MC\L),由此得 MCl(NUD = (MnN)U(Mri 厶)。反之，若 xw(MnN)U(MfU)，则XW MCIN或iwMCl L.在前一情形，x 已M、x已 N、因此X^N\JL.故得 xeMCl(NUE),在后一情形，因而 xeM,xeL, x^N\jL ,得 xwMCl(NU 厶)，故(MnN)U(MClDuMri(N U 厶)， 于是 Mn(NUD=(MriN)u(Mru)。 若xwMU（NDZJ ,贝ijxe M, xeNf）厶。 在前一情形 XxwMUN,且X wMU厶,因而xw（MUN）n（MUL）。 在后一情形，xwN,xwL,因而xiWUN,且XwMU厶，即Xw（MUN）n（MUL）所以（MUN）n（MUL）uMU（NUL） 故MU（Np|L） = （MUN）pl（MUL） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n>l）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A是一个nXn实数矩阵，A的实系数多项式f （A）的全体，对于矩阵的加法和数呈乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向疑的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： （?,勺2（。+ "（4+9,9+2+吧） ko （a ,勺）=（ka P込+ °： 6)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： ￡。= 0 ； 7)集合与加法同6),数量乘法定义为： k。a = a ； 高等代数北大版第四章矩阵知 识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第四章 矩阵（ * * * ） 一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。 二、考点精讲： （一） 基本概念及其运算 1.基本概念 矩阵—形如????? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。 （1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。 （2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。 （3）称??? ? ? ??=11 E 为单位矩阵。 （4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。 （5）转置矩阵—设??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 122221 11211 ，记?? ? ? ? ? ? ??=mn n n m m T a a a a a a a a a A 212221212111 ， 称T A 为矩阵A 的转置矩阵。 （6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型 矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。 （7）伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每 第 九章欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α,),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下,n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε,)0,,1,0(2Λ=ε,…,)1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1)),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2)),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3)),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε,)0,,1,0(2Λ=ε,…,)1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑ =j i j i ij y x a ,),(βα， α== β== 故柯西—布湿柯夫斯基不等式为 2.在4 R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1))2,3,1,2(=α,)1,2,2,1(-=β， 2))3,2,2,1(=α,)1,5,1,3(-=β， 3))2,1,1,1(=α,)0,1,2,3(-=β。 解1)由定义,得 012)1(32112),(=?+-+?+?=βα， 所以 2,π βα>= <。 2)因为 1813521231),(=?+?+?+?=βα， 1833222211),(=?+?+?+?=βα， 3633221133),(=?+?+?+?=βα， 22 36 1818,cos = >= <βα， 所以 4,π βα>= <。 3)同理可得 3),(=βα,17),(=αα,3),(=ββ,773,cos >= <βα， 所以 773cos ,1 ->=<βα。 3.β αβα-=) ,(d 通常为 βα,的距离，证明； 第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于 A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A = 。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β== 第八章 λ—矩阵 1. 化下列矩阵成标准形 1）??? ? ??+-λλ λλλ λ3522 2 3 2）???? ? ? ?-+--22 2211λλλλλλλλλ 3）??? ?? ??++22)1(000 λλλ λ 4）????? ? ? ? ?---00 000)1(0000 0022 2 2λλλλ λλ 5）???? ? ??---+-+--+-+--+1244323534321232322 222λλλλλλλλλλλλλλ 6）??? ????? ??-----++002213300101 02602206341032λλλλλλλλλλλλλλ 解 1）对-λ矩阵作初等变换,有 A =)(λ ???? ??+-λλλλλλ352223→ ???? ? ?-+λλλ λλλ 322253→ ??? ? ??+λλλλλλ3-10-053232 → ? ?? ? ??--λλλλ3100023= B )(λ， B )(λ即为所求。 2）对-λ矩阵作初等变换,有 A =)(λ ????? ? ?-+--22 2211λλλλλλ λλλ→ ???? ? ??--22 2101λλλλ λλ→ ??? ?? ??+--)1(000001λλλλ → ??? ? ? ??+λλλ 2000000 1= B )(λ， B )(λ即为所求。 3）因为??? ?? ??++22)1(000 λλλλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(+λλ, D 3 = 3 2 )1(+λλ， 所以 d 1 = 1, d 2 = 12 D D = )1(+λλ, d 3 = 2 3D D = 2)1(+λλ， 从而 A =)(λ????? ? ?++22)1(000 00 λλλ λ→ ??? ?? ??+λλ+λλ2)1(000)1(0001= B )(λ， B )(λ即为所求。 4）因为???? ? ? ? ? ?---00 000)1(0000 0022 2 2λλλλ λλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(-λλ, D 3 = 22)1(-λλ, D 4 = 44)1(-λλ， 所以 d 1 = 1,d 2 = 1 2 D D = )1(-λλ,d 3 = 2 3 D D = )1(-λλ,d 4 = 3 4 D D = 22)1(-λλ， 从而 A =)(λ????? ? ? ? ?---00 000)1(0000 0022 2 2λλλλ λλ高等代数北大版第章习题参考答案
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