和圆有关的线段成比例题的证明
和圆有关的线段成比例的证明题，是平几中常见而又重要的题型，本文就这类问题的证题思路作些介绍，其中最常用的方法是通过相似三角形来证明．
一、利用相似三角形来证
把欲证的比例式中的线段置于两个三角形中，通过证明这两个三角形相似，求得对应边成比例，从而获证。
例1如图1．P是⊙O外的一点，PA与⊙O相切于点A，PC与⊙O相交于点B和C，弦BD∥PA，AC与BD相交于点E．
由BD∥PA，可知∠P=∠3，且∠4=∠3．所以∠P=∠4，故有△PAB∽△ADE．从而问题获证．
二、利用等量代换来证
有的题目中，比例式里的几条线段都在同一直线上，不可能组成相似三角形，针对这种情况，往往采用先“等量代换”，然后再找相似三角形的方法进行分析．
例2如图2，⊙O与⊙A相交于B、C两点，且⊙O过圆心A，过A的直线交BC于F，交⊙A于D，交⊙0于E．
求证：AD2=AE·AF．
三、利用圆幂定理来证
如果比例式中的四条线段有一个公共端点且相乘的两条线段又都在同一直线上，那么可以设法证明这四条线段中除公共端点外的另四个端点共圆，就能利用相交弦定理或切割线定理及其推论证出比例式．
例3．如图3，PA是△ABC的外接圆O的切线．PD∥AC，与弦AB和BC分别相交于点E和D．求证：EA·EB=ED·EP
分析：要证EA·EB=ED·EP，只要证A、P、B、D四点共圆，因为∠1=∠C，且PD∥AC，又有∠2=∠C，所以∠1=∠2．故有A、P、B、D四点共圆，于是问题获证．(当然有∠1=∠2以后，也可以通过△EAP∽△EDB 获证)
四、利用“中间比”当媒介来证
当欲证的比例式的线段不是两相似三角形的对应线段时，需紧扣已知条件寻找中间比当媒介，从而获证．
例4如图4，两圆内切于A，自外圆圆上一点P引内圆的切线PT，T 为切点，外圆半径为R，内圆半径为r．
分析：
如何证明四条线段成比例 资阳市雁江区第二初级中学葛吉明 证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，多数学生感到困难，现介绍一种易学易懂的方法供大家参考。 口诀：遇等积，换等比；横找竖找定相似 不相似，别生气；等线等比来代替 平行线，转比例，两端各自找联系 举例说明思路 一、遇等积，换等比；横找竖找定相似 由欲证的比例式或等积式转化为比例式．用三点定形法寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似． [例1]已知：如图1，∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD 等式左边的三点A、B、C构成△ABC，等式右边的三点A、D、E构成△ADE．因此，只要证明△ABC∽△ADE，本题即可获证．（竖找定相似） 由已知∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，易证△ABC∽△ADE． 证明：略． 号两边的分母，三个字母A、D、E构成△ADE．(横找定相似) 二、不相似，别生气；等线等比来代替 当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换． [例2]已知：如图2，在Rt△ABC中有正方形H EFG， 点H、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上．求证：EF2=BE·FC．
上，无论如何不能构成相似三角形，因此不能直接应用三点定形法． 此时应联想到正方形H EFG的四条边都相等的隐含条件，用H E代换等式左边的 △H BE∽△FCG使本题获证． 证明：略． 这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件． [例3]已知：如图3，AC是ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于 F，交CD于E． 分析：由B、E、F、G四点共线可知，本题既不能 直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换． 代换是解决本题的关键．证明：略． 这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行线分相等成比例以及相似三角形的对应边成比例 三、平行线，转比例，两端各自找联系． 利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现． [例4]已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F． 分析：观察比例式的右边三点A、B、C可构成△ABC，
教学内容：比例和比例线段 【重点、难点、考点】 重点：应用平行线分线段成比例定理及其推论和比例的性质进行有关的计算和证明。 难点：熟练应用比例的性质进行各种比例变形。 考点：平行线分线段成比例定理及其推论和比例的性质是学习相似形的重要基础，但各地中考试题中单独考核该项内容较少。 【经典范例引路】 例1 如图已知BE AB =ME AM =CE AC 。 求证：BC CA BC AB ++=ME AE 【解题技巧点拨】 本题要通过观察找出已知条件和待证结论之间的内在联系，然后灵活运用等比性质和合比性质达到证题的目的 例2 如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG ∥BE 交AE 于G ，求证GF ＝FB ．
【解题技巧点拨】 本题要善于从较复杂的几何图形中，分离出“平行线分线段成比例定理的推论”的基本图形，“A 型”或“ 型”，得到相应的比例式，并注意由公共线段“ED ” 产生“中间比”，最后使问题得证。 【综合能力训练】 一、填空题 1．）已知a ∶b ＝3∶1且a ＋b ＝8，则a －b ＝ 。 2．）已知n m =q p =32 (n+q ≠0)，则q n p m ++＝ 。 3．一个三角形三边的比为2∶3∶4则这个三角边上的高的比为 。 4．线段a ＝3，b ＝4，c ＝5则b ，a ，c 的第四比例项是 ，b 、c 的比例中项是 ． 5．直角三角形的三边为a ，a+ b ，a+2b 且a ＞0,b ＞0则a ∶b ＝ 。 6．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，若AP ＞BP ，AP=5-1，则AB ＝ 。 7．△ABC 的周长为100cm ，如图若AB AE =AC AF =BC EF =53 ，△AEF 的周长 为 。
如何证比例线段 在我们这个科技高速发展的时代中,初等几何已经是必不可少了。而如何证明比例线段是几何中的重要成分。 1.利用相似或位似来证明比例线段∶证明两个图形相似或位似，那它们的对应边的比例相等。例如 如图所示,AB∥CD,证明∶。 证：∵AB∥CD ∴∠1∠6，∠2∠5 又∵∠3∠4 ∴△ABE∽△CDE ∴ 2.利用中位线定理证明比例线段∶三角形的中位线与底边之比是1比2，梯形的中位线与两底之和的比也是1比2，……
例如：点D、E、F、G和H是AB、AC、EH、EC和BC的中点，如图所示，求证:。 证：∵点D、E、F、G是AB、AC、EH、EC的中点 ∴DE、FG分别是△ABC、△EHC的中位线 ∴,即 又∵H是BC的中点 ∴DE＝HC ∴ 3. 利用重心来证明比例线段∶三角形的三条中线交与一点,这点到顶点的距离与它到对边中点距离之比为2∶1, 如图所示, 。
4.利用面积比来证明比例线段∶ 如图,在△ABC中,DE∥BC,且S△ADE∶S△DEB＝1∶3,求DE∶BC？ 解:∵S△ADE∶S△DEB＝1∶3 ∴AF∶FG＝1∶3 又∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴DE∶BC＝1∶4 5. 利用平行截线段来证明比例线段∶如图，如果直线a∥b∥c,那么
,,。 6. 利用黄金分割来证明比例线段∶如图所示,△ABC∽△ BCD,＝0.618……这就是黄金分割定理。 7.利用角平分线定理来证明比例线段∶如图所示，AD是∠BAC
的平分线，那么。 8. 利用切割线定理来证明比例线段∶如图所示，PT是圆O的切线，直径AB和弦CD的延长线交于点P，则PT 2＝PA·PB=PD·PC,即,,。这就是切割线定理。 9. 利用相交弦定理来证明比例线段∶如图所示，AB、CD都是圆O的弦，它们相交于点P，则PA·PB＝PC·PD，即。
专题复习一 线段比例关系的证明和应用 证明线段成比例，一般先根据比例式确定相似三角形，然后用相似三角形的性质得出线段成比例.若根据比例式不能确定相似三角形，则利用等量代换进行条件转化． 1.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论中，一定正确的是(A ). （第1题）（第2题）（第3题） （第4题） 2.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为(B ). 3.如图所示，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，则下列结论中不一定成立的是(B ). A. PD PA =PB PC B.PA ·PD=PB ·PC C. PD PB =PA PC D.PA ·PB=PC ·PD 4.如图所示，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连结DF 并延长交AC 于点E.若AB=10，BC=16，则线
段EF 的长为(B ). A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，P 是AD 边上一点，连结PB ，PC ，且AB 2=AP ·PD ，则图中有 3 对相似三角形． （第5题） （第6题） （第7题） 6.如图所示，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠ADE=∠B ，若AE=4，AB=5，则AD= 25 . 7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，作DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，若BE=AC ，BD=25，DE+BC=10，则线段AE 的长为 42 ． 8.如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED=∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AC AD =CG DF . （第8题） （1）求证：△ADF ∽△ACG. （2）若AC AD =21，求FG AF 的值. 【答案】(1)∵∠AED=∠B ，∠DAE=∠DAE ，∴∠ADF=∠C.又∵ AC AD =CG DF ，∴△ADF ∽△ACG. (2)∵△ADF ∽△ACG ，∴
证明线段比例式或等积式的方法 （一）比例的性质定理： （二）平行线中的比例线段： ①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。 ②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图 3、4）。 ③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。 （三）三角形中比例线段： ①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。 ②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。 ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。 ④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。 直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。 ⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。即/sinA=b/sinB=c/sinC ⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积
的二倍（图6）。 如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA （四）圆中的比例线段： 圆幂定理： ①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。 （推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。图8） ②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。 ③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。 （五）比例线段的运算： ①借助等比或等线段代换。 ②运用比例的性质定理推导。 ③用代数或三角方法进行计算。
证明线段成比例的方法与技巧 安徽李师 证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，常用的方法有以下几种． 1．三点定形法：利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式．寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似． [例1]已知：如图1，∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD 等式左边的三点A、B、C构成△ABC，等式右边的三点A、D、E构成△ADE．因此，只要证明△ABC∽△ADE，本题即可获证． 由已知∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，易证△ABC∽△ADE． 证明：略． 号两边的分母，三个字母A、D、E构成△ADE． 2．等量代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行 等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换． [例2]已知：如图2，在Rt△ABC中有正方形H EFG， 点H、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上．求证：EF2=BE·FC． 上，无论如何不能构成相似三角形，因此不能直接应用三点定形法． 此时应联想到正方形H EFG的四条边都相等的隐含条件，用H E代换等式左边的
△H BE∽△FCG使本题获证． 证明：略． 这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件． [例3]已知：如图3，AC是ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于 F，交CD于E． 分析：由B、E、F、G四点共线可知，本题既不能 直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换． 代换是解决本题的关键．证明：略． 这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行截线定理以及相似三角形的综合应用． 3．辅助平行线法：利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现． [例4]已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F． 分析：观察比例式的右边三点A、B、C可构成△ABC， 而左边的三点D、E、F不能构成三角形，因此不能直接利用相似三角形获证． 证明：略．
教师： 学生：_______ 时间:2013年 月 日 时间 相似三角形知识点整理 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 ☆内容提要☆ 一、本章的两套定理 第一套（比例的有关性质）： 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 龙文教育个性化辅导授课案 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc a d d c b a （比例基本定理） b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++=== :)0(等比性质
一三点定型法：三点定型法即通过所证的比例式确定三角形的相似，例如DF AC DE AB =，则A 、B 、C 三点确定△ABC ，D 、E 、F 三点确定△DEF ，则证明△ABC ∽△DEF 二等线段代换法：等线段代换法即通过将已证比例中的线段换成与之相等的线段，再利用其他相似证明方法确定三角形的相似，例如 DF AC DE AB =且CD=AB ，则=DF AC DE CD ，再证△ACD 与△DEF 的相似 三等比代换法：当没有等量线段的转换时，可以选择用等比例代换找准相似。例如 ，，PQ MN DF AC PQ MN DE AB ==则DF AC DE AB =。则证明△ABC ∽△DEF 四等积代换法： 用射影定理找中间积，再进行等量代换。 【例1】（1）如图所示，AD 是直角三角形ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 交AB 、AC 于E 、F.求证：.AF BE AD BD 知识点睛 典型例题 模块一 比例式的证明方法相似—— 比例线段的证明方法
（2）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AED=∠B=∠C=60°，过点E 作EM ⊥AD 于M 。①求证：AB·DE=BE·AE ；②求BC EM 的值 （3）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 为AC 中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：.AF DF AC AB = （4）如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 且交AC 于F ，过F 作FG ∥AB ，交AE 于G.求证：AG 2=AF FC. 【巩固】（1）梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 相交于O 点，作BE//CD,交CA 的延长线于点E.求证：OC 2=OA.OE
如图，在□ABCD中，过B做直线交AC于F，交DC于G，交AD的延长线于E.试说明:BF2＝FE?FG. 如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长. 如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形. (1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPCB； (2)当ΔPCB∽ΔACP时，试求∠APB的度数. 如下图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.求证:DE2=BE·CE. 已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC. 求证:AB·BC=AC·CD. F G E D C B A
如图，点C 、D 在线段AB 上，且△PCD 是等边三角形． (1)当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时，△ACP ∽△PDB ． (2)当△PDB ∽△ACP 时，试求∠APB 的度数． 如图，已知在△ABC 中，BE 平分ABC ∠交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BE BD BC BA ?=?． (1)求证:△ABD ∽△EBC ； (2)求证:DE BD AD ?=2． 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上 一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． (1)求证:△DBE ∽△ECF ； (2)当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； (3)联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长． E D A B F B A C D B A C D (备用图)
例说比例线段的证明方法 湖北省郧西县马鞍镇初级中学 杨耀军 442633 题目：如图,ΔABC 中,AD 是角平分线. 求证： AC AB = CD BD 一、 作平行线法 平行线分线段成比例定理是证明比例线段的主要依据。如果没有平行 线，那么可利用已知条件作平行线进行证明。平行线的作法看起来有多种.但最根本的一点就是要把待证比例式中的四条线段集中到“三条平行线截两条直线”所截得的对应线段上来。辅助线就是要根据这一需要构造出定理的模型图。更多的时候还要用相等的线段去替换 证明： ①过D 点作DE ∥AB 交AC 于E.(如图1) 则∠1=∠3 ∵∠1=∠2 ∴∠2=∠3 ∴AE=DE ∵DE ∥AB ∴CE AE =CD BD , AC AB = CE DE ∴ AC AB = CD BD ②过D 作DF ∥AC 交AB 于F(如图2)不难证明. 证明：③过B 作BE ∥AD 交CA 的延长线于E (如图3) 则∠2 =∠E,∠1＝∠3 ∵∠1＝∠2 ∴∠E ＝∠3 ∴AE ＝AB ∵BE ∥AD ∴AC AE =CD BD ∴ AC AB = CD BD 证明：④过B 作BF ∥AC 交AD 的延长线于F(如图4) 则∠F ＝∠2 ∵∠1＝∠2 ∴∠1＝∠F ∴AB = BF ∵BF ∥AC ∴AC BF =CD BD ∴ AC AB = CD BD ⑤过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E(如图5)不难证明
⑥过C作CF∥AB交AD的延长线于F(如图6)也不难证明二、面积比较法 利用三角形的面积公式与 边长的关系,结合角平分线的性 质,化简面积比为线段的比,从 而完成比例线段的证明.这种方 法证明比例线段比较巧妙.当然 这需要特定的题设. 证明：作DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为E、F。过A作AG⊥ BC, 垂足为G.(如图7) ∵∠1=∠2, ∴DE=DF ∵S △ABD = 2 1 AB×DE, S △ACD = 2 1 AC×DF 另一方面S △ABD ＝ 2 1 BD×AG 、S △ACD = 2 1 CD×AG ∴ ACD ABD S S ? ?= AC AB ， ACD ABD S S ? ?= CD BD ∴ AC AB = CD BD 三、相似三角形法 利用相似三角形的性质可以证明比例线段,或者作包含其中三条线段 的两个三角形相似得到比例线段,再利用等线段替换即可.这种方法也是很 常规的. 证明: 以B为端点作射线BE,使∠ABE=∠C, BE交AD于E,(如图8) ∵∠1=∠2,∠ABE=∠C ∴△ABE∽△ACD ∴ AC AB = CD BE ∵∠4=∠2 +∠C, ∠3=∠1 +∠ABE 又∠1=∠2,∠C=∠ABE ∴∠3=∠4 ∴BE=BD ∴ AC AB = CD BD
比例线段及比例的基本性质 [内容] 教学目标 1．理解比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项. 2．掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例. 3．培养学生将比例式看成是关于末知数的方程的观点，利用方程思想来解决问题. 教学重点和难点 重点是比例线段的概念及基本性质的应用；难点是应用比例的基本性质进行比例变形. 教学过程设计 一、复习四个数成比例的有关知识 1.四个数a ，b ，c ，d 成比例的定义，比例的项、内项及外项的含义. 2.比例的基本性质的内容. 二、类比联想、定义比例线段的有关概念 1.复习两条线段的比的有关知识. 投影：如图5-4，矩形ABCD 与矩形A 'B 'C 'D '中，AB=50，CD=25，A 'B '=20，C 'D '=10.求出''''C B B A BC AB 及的值，并回答它们的大小关系. 答： 12''''==C B B A BC AB 由此引出比例线段的概念. 2.用类比的方法学习比例线段的概念. （1）比例线段的概念. 在四条线段中，如果其中两条线段比等于另外两条线段比，那么这两条线段叫做成比例线段，简称比例线段. （2）比例线段的符号表示及有关名称. ① ① 四条线段 a ，b ，c ，d 成比例，记作a :b=c :d .组成比例的项是a ，b ，cd ，其中比 例外项为a ，b ，比例内项为b ，c ，d 称为a ，b ，c 的第四比例项. ② ② 特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同，即a :b=c :d .则线段b 叫a ，c 的比 例中项. ③ ③ （3）教师应强调四条线段才能成比例，而且有顺序关系. 如图5-4中， ''' 'B A C B BC AB ≠，即AB ，BC ，B 'C '，A 'B '四条线段不成线段，而AB ，BC ，
三、比例线段的证明 常用的证明思路有： 1、利用有关定理 与比例有关的定理甚多，常用的有如下几个方面： 平行线截割比例线段．为此，有时需要引出适当的平行线，使欲证的比例线段相应于截割部分． 相似形的利用．造就相似形，使比处于对应边或对应元素(如对应的中线、高……)． 其它如内、外角平分线造成的比，直角三角形中几个比例中项……，都可直接利用或作过渡之用． 2、转化 比例也可转化成乘积形式，因而可利用圆的相交弦定理、切割线定理……． 线段的比也可转化成面积比，然后利用面积公式促使问题易于解决．有时也可设法转化成学过的例题或做过的习题． 3、计算 利用正、余弦定理或其它有关计算公式，分别计算两端的比，从而来判断它们是否相等． 例3.7 在△ABC中，D为BC之中点，过D作一直线分别与AB、AC的延长线交于E、F，如图3-60． 求证：AE AF EB CF =． 证法1：造就平行线(1) 为使AE∶EB处于平行线截割部位，过B引EF的平行线交AC的延长线于G，如图3-61．则有： EF∥BG?AE AF EB FG =， CF CD FG DB =． 又CD DB =，∴CF FG =． ∴AE AF EB CF =． 证法2：造就平行线(2) 为使AF∶CF处于平行线截割部位，过C引EF的平行线交AB于G，如图3-62．则有： GC∥EF?AE AF GE CF =， GE CD EB DB =． 又CD DB =，∴GE EB =． ∴AE AF EB CF =． 证法3：构造相似形(1) 如图3-63，作CG∥AB交EF于G，则： △AEF∽△CGF?AE AF CG CF =， △BDE≌△CDG?EB GC =． F 图 3-60 图 3-61 F 图 3-62 F 图 3-63
证明线段成比例的方法与技巧 证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，常用的方法有以下几种． 1．三点定形法：利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式．寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似． [例1]已知：如图1，∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD 等式左边的三点A、B、C构成△ABC，等式右边的三点A、D、E构成△ADE．因此，只要证明△ABC∽△ADE，本题即可获证． 由已知∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，易证△ABC∽△ADE． 证明：略． 号两边的分母，三个字母A、D、E构成△ADE． 2．等量代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换． [例2]已知：如图2，在Rt△ABC中有正方形H EFG， 点H、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上．求证：EF2=BE·FC． 上，无论如何不能构成相似三角形，因此不能直接应用三点定形法．此时应联想到正方形H EFG的四条边都相等的隐含条件，用H E代换等式左边的 △H BE∽△FCG使本题获证．
证明：略． 这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件． [例3]已知：如图3，AC是ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E． 分析：由B、E、F、G四点共线可知，本题既不能 直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换． 代换是解决本题的关键．证明：略． 这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行截线定理以及相似三角形的综合应用． 3．辅助平行线法：利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现． [例4]已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F． 分析：观察比例式的右边三点A、B、C可构成△ABC， 而左边的三点D、E、F不能构成三角形，因此不能直接利用相似三角形获证． 证明：略．
证明线段成比例问题的常用方法（1） 方法一、三点定形法 利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式．寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似． 每一个三角形都是由三个不同的点所组成的，并且用三个不同的字母表示。反过来想，由三个不同的字母必定可以确定一个三角形，如果四条成比例线段出自于一对相似三角形，我们必能从其比例式中看出是哪两个三角形相似。 【例1】如图，CD 、BE 是△ABC 的两条高，求证： ①AC AE AB AD ?=? ②∠AED ＝∠ABC ③FE FB FC FD ?=? 分析：①欲证AC AE AB AD ?=?即证AB AC AE AD = I ．横看法： II ．竖找法： F ⑩ D E A B C ~AEB ???ADC ??AEB ADC ?? ADE ??? ACB ~ADE ???? ADE
试验：（射影定理）如图Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高， 求证： ①AB AD AC ?=2 ②BA BD BC ?=2 ③DB DA CD ?=2 请用“三点定形法”尝试下面问题的可行性，看有何发现？ 1、已知：如图，△ABC 中，EF ∥BC ，AD 交EF 于G.求证： CD FG BD EG =； 2、R t △ABC 中，∠C =90°，四边形DENM 为正方形， 求证：NB AM MN ?=2 D C B A G A B C F E D B C D E M N D C B A D C B A
证明线段成比例问题的常用方法（2） 方法二、等量代换法 当需要证明的比例式不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括： 1.等比代换； 2.等线段代换； 3.等积代换． 【例1】]已知：如图，AC 是□ABCD 的对角线，G 是AD 延长线上的一点，BG 交AC 于F ，交CD 于E ． 求证： BF FE FG BF = 。 归纳：这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行截比定理以及相似三角形的综合应用． 【例2】R t △ABC 中，∠C =90°，四边形DENM 为正方形， 求证：NB AM MN ?=2 归纳：这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等 A B C D E M N
八年级数学下册证明比例线段练习题 如图，在□ABCD 中，过B 做直线交AC 于F ，交DC 于G ，交AD 的延长线于E .试说明：BF 2＝FE ?FG . 如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长. 如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形. (1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPCB ； (2)当ΔPCB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数. 如下图，已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC,EM 是AD 的中垂线，交BC 延长线于E. 求证：DE 2=BE·CE. 已知:如图,ΔABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC. 求证:AB ·BC=AC ·CD.
如图，点C 、D 在线段AB 上，且△PCD 是等边三角形． （1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时，△ACP ∽△PDB ． （2）当△PDB ∽△ACP 时，试求∠APB 的度数． 如图，已知在△ABC 中，BE 平分ABC ∠交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BE BD BC BA ?=?． （1）求证：△ABD ∽△EBC ； （2）求证：DE BD AD ?=2 ． 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上 一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长． B B C B C (备用图)
试论线段比例式证明教法 概要：通过三角形相似证明比例线段，只是其中的方法之一，其思维过程虽具 有一般性，但在论证有关证题时，还应注意证明过程的灵活性，要同时考虑其他有关的方面，以达到论证成功。 如何引导学生以正确的途径思考问题、培养学生思维能力，是教好平面幾何线 段比例式证明的关键。 比例式的证明题主要有两大类。一类是能直接应用证明比例线段的定理。如平 行线分线段成比例定理，三角形内、外角平分线性质定理，通过证明三角形相似直接获得比例线段。另一类是要建立中间比而获得证明的。这一类也离不开第一类提出的有关定理。而通过证明三角形相似而获得线段比例式的证明题。 先来看；当△ABC∽△A’B’C’时，则有 从第一个比例式的排列来看，每个比的前项（即分子）是同一个三角形的两边，而每个比的后项（即分母）是另一个三角形的两边。从第二个比例式的排列来看，第一个比的前、后项是同一个三角形的两边，而第二个比的前、后项是另一个三角形的两边。由此，反过来我们可以想到，由比例式找四条线段所在的两个三角形时，就可以通过两个途径： 第一个途径是从横线寻找，第一个途径是从竖线寻找，但就是不能交叉寻找。 现举数例。各题只作分析，证明略。 例1：如图①，AD，BE是△ABC的高，H是AD、BE的交点。求证：AH·HD = BH·HE 例2：如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，M是斜边BC的中点，DM⊥BC交BA 的延长线于D，交AC于E， 例3：如图③，由 ABCD的顶点B任引一直线与AC、DC及AD的延长线交于F、G、E。 应该指出的是，例1、2能直接从要证的比例式或等积式中找出四条线段所在 的两个三角形。对于较为复杂的证题，如例3，从要证的比例式中根本找不到四条 线段所在的两个三角形，有的证题虽然能从比例式中找到两个三角形，但不存在相似的条件的。在这种情况下，一般都要像例3那样建立中间比，起到过渡作用，进行证明。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧 证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。下面以一些例题来说明解答策略及规律。 一三点定形法 利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能
否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 例1：如图1，abcd是⊙o的内接四边形，过c作db的平行线，交ab的延长线于e。求证be·ad＝bc·cd。 分析：要证be·ad＝bc·cd，即＝。 横定：这个比例式的前项中的线段be、cd共有四个不 同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比 中的线段be、bc它们有三个不同的端点，可以确定一个 △bec，另一个比中的线段cd、ad的三个不同的端点 也可以确定一个△acd，于是只要证明△bec∽△dca，这样，证明所需添加的辅助线ac也就显示在眼前了。解决△bec∽△dca，这个过程成了整个问题的关键。 证明：连接ac。∵ce∥db，∴∠bce＝∠dbc。 ∵∠dbc＝∠dac，∴∠bce＝∠dac。 ∵∠cbe＝∠adc，∴△bec∽△dca。 ∴＝，即be·ad＝bc·cd。 例2：如图2，设点d、e分别为△abc的外接圆、的中点，弦de交ab于点f，交ac于点g。求证：af·ag＝df·eg。 分析：要证af·ag＝df·eg，即＝。 横定：这个比例式的前项中的线段af、df它们有三个不同的端点，可以确定一个△adf；竖定：这个比例式的后项中的线段eg、
1、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，底面ABCD 是菱形，且ABC ∠=60°，点M 是AB 的中点，点E 在棱PD 上，满足DE =2PE ,求证： （1） 平面PAB PMC ⊥平面 （2） 直线//EMC PB 平面 2、如图，ABD ?和BCD ?都是等边三角形，E F O 、、分别是AD BD AC 、、的中点，G 是OC 的中 点；（1）求证：BD FG ⊥； （2）求证：//FG 平面BOE 。 3、如图所示，正四棱锥P —ABCD 的各棱长均为13，M ，N 分别为PA ，BD 上的点，且PM ∶MA=BN ∶ND=5∶8.求证：直线MN ∥平面PBC ； A C D E F G O
4、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ. 求证：PQ ∥平面BCE. 变式．如图，ABCD 与ABEF 是两个全等矩形，且不在同一平面内，点P 、Q 分别是对角线AE 、BD 上的点，当P ，Q 满足什么条件时，PQ ∥平面CBE ？说明理由。 5、已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心. （1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ；（2）求S △321G G G ∶S △ABC . 8、（2009通州第四次调研）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是AB 、A 1D 1、C 1D 1的中点（如图）。 （1）求证：B 1G ⊥CF ；（2）若P 是A 1B 1上的一点，BP ∥平面ECF ，求A 1P ∶A 1B 1的值。 A B C D E F P Q A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D E F G
专题复习一 线段比例关系的证明和应用 证明线段成比例，一般先根据比例式确定相似三角形，然后用相似三角形的性质得出线段成比例.若根据比例式不能确定相似三角形，则利用等量代换进行条件转化． 1.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE∥BC，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论中，一定正确的是(A ). （第1题）（第2题）（第3题） （第4 题） 2.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB∥DE，CF 为中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为(B ). 3.如图所示，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，则下列结论中不一定成立的是(B ). A. PD PA =PB PC B.PA·PD=PB·PC C. PD PB =PA PC D.PA·PB=PC·PD 4.如图所示，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连结DF 并延长交AC 于点E.若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为(B ). A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC ，P 是AD 边上一点，连结PB ，PC ，且AB 2 =AP·PD，则图中有 3 对相似三角形． （第5题）（第6题） （第7题） 6.如图所示，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD= 25 . 7.如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，作DE⊥BC 于点E ，连结AE ，若BE=AC ，BD=25，DE+BC=10，则线段AE 的长为 42 ． 8.如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED=∠B，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且 AC AD =CG DF . （第8题） （1）求证：△ADF ∽△ACG.