高中数学-不等式的基本性质(一)练习 课后导练 基础达标 1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1. ∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0, ∴-2<α-β<0. 答案:A 2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( ) A.a>c,或b>c B.a>c 且b
环球雅思教育学科教师讲义 年级:上课次数: 学员姓名:辅导科目:学科教师: 课题 课型□预习课□同步课复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容? 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念:用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。 注意:常见的不等号有五种:“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”. 例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x+y=y+x②4+x>5③-3<0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式:(1)a是正数;(2)y与2的差是非负数;(3)a与6的和大于7;(4)y的一半不小于3;(5)8与x的3倍的和不大于1。 提示:注意一个数的"和","差","倍","分"的表示法以及"大于","不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示,另外。正数都大于0,负数都小于0,所以"是正数"可表示为">0","是负数"可表示为"<0","非负数"可表示为"≥0"。?参考答案: (1)a>0 (2)y-2≥0 (3)a+6>7 (4)≥3(5)8+3x≤1
,+ 4,-4,4.5?提示:把下列各值分别代入不等式的左边计算2x+1 2.5 ,- - 1,0,3 立?? 的值,若小于5则不等式成立;若不小于5则不等式不成立。 参考答案:当x=-1,0,-2.5,-4时,不等式2x+1<5成立。 说明:因为当x=1,0,-2.5,-4时,不等式2x+1<5成立,当x=2,+4,4.5时,不等式2x+1<5不成立,所以同方程类似,我们可以说-1,0,-2.5-4是不等式2x+1<5的解,而2,+4,4.5不是不等式2x+1<5的解。 例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。? (1)由2a>5,得a>(2)由a-7>,得a>7 (3)由- a>0,得a<0 (4)由3a>2a-1,得a>-1。 例5.设a>b;用">"或"<"号填空: (1) (2)a-5 b-5 (3)- a- b (4)6a6b (5)-(6)- a -b 参考答案:(1)>(2)> (3)< (4)> (5)<(6)< 例5.试比较下列两个代数式值的大小: (1)5a+2与4a+2 (2)x3+3x2-7与x3+2x2-7 提示:我们知道,若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b,所以要比较a与b的大小,可以先求出a与b的差,再看这个差是正数、负数还是零。 参考答案:(1)(5a+2)-(4a+2)=5a+2-4a-2=a ∵a可取正数,负数或零,∴5a+2和4a+2间的大小关系有三种可能:?①当a>0时,5a+2>4a+2 ②当a=0时,5a+2=4a+2?③当a<0时,5a+ 2<4a+2。?(2)(x3+3x2-7)-(x3+2x2-7)=x3+3x2-2x2+7=x2∵x2≥0(对任意x) ∴x3+3x2-7≥x3+2x2-7 例6.已知二数a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小。
9.1.2 不等式的基本性质 内容解析:它承接了等式的性质,让学生第一次经历不等式的等价变形,也经历了从“数”的大小关系到“式”的大小关系的转折,不等式的性质是解不等式的重要依据,因此它是不等式解法的核心内容之一,是本章的基础。 生活中的数量关系不外乎两种:相等关系与不等关系,通过这堂课的学习,让学生对数量关系的变形有一个完整的认识,形成一个知识体系。 教学目标 知识与能力:1.探索并掌握不等式的基本性质; 2. 运用不等式的基本性质将不等式变形。 方法与过程:通过对比不等式的性质和等式的性质,培养学生的求异思维,提 高学生的辨别能力. 情感态度与价值观:通过大家对不等式性质的探索,培养学生的钻研精神,同时还加强了同学间的合作与交流. 教学重点:掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形 教学难点:不等式基本性质3的运用 教学方法:类推探究法 学法:自主探索与合作交流 学情分析: 学生的认知基础有:第一,会比较数的大小;第二,理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据;第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会,有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力。 不等式性质3缺少生活经验的依据,已有知识经验对性质3造成负迁移,导致学生不理解运用性质3时“为什么要改变不等号的方向”;在不等式的等价变形时不知道“什么时候要改变不等号的方向”。本设计运用分组讨论合作交流的方式,使学生对不等式性质2、3经历猜测、验证、纠错、归纳、完善的充分的思考过程,自发生成。 教学过程 复习回顾,导入新课 等式的基本性质 等式的基本性质1:等式两边同时加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式. 等式的基本性质2:等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式. 不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将加以验证. 新课讲授 探究1: (1)提问1:类比等式的性质,你发现不等式有哪些性质么? 如果5> 3 那么5+2 ____3+2 , 5 -2____3-2 如果-1< 3, 那么-1+3____3+3, -1- 3____3 - 3 你能总结一下规律吗?
第3章 一元一次不等式 3.2 不等式的基本性质 知识提要 1.不等式的基本性质1:若ab+5 B .3a>3b C .-5a>-5b D .> 2. 如果1-x是负数,那么x的取值范围是( ) A .x >0 B .x <0 C .x >1 D .x <1 3.已知a 1;①a +b <ab ;①1a <1b .其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 若-a>a ,则a 必是( ) A . 正整数 B . 负整数 C . 正数 D . 负数 5.(乐山中考)下列说法中,不一定成立的是( ) A. 若a >b ,则a +c >b +c B. 若a +c >b +c ,则a >b C. 若a >b ,则ac 2>bc 2 D. 若ac 2>bc 2,则a >b 6.若a <4,则关于x 的不等式(a -4)x >4-a 的解是( ) A. x >-1 B. x <-1 C. x >1 D. x <1 二、填空题 1. 由x <y 得到ax >ay ,则a 的取值范围是_________ 2. 若a <b <0,把1,1-a ,1-b 这三个数按由小到大的顺序用“<”连接起来:______ 3.满足不等式12 x <1的非负整数是 . 4.填空 ①如果a -b<0,那么a____________b ; ①如果a -b =0,那么a____________b ; ①如果a -b>0,那么a___________b ; 三、解答题
不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1.不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数, 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2, f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2.不等式的性质: ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有: (1) a>bb<a (对称性)
(2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时,a>bac>bc c<0时,a>bac<bc。 运算性质有: (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题: (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式:
环球雅思教育学科教师讲义年级:上课次数: 学员姓名:辅导科目:学科教师: 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念:用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。 注意:常见的不等号有五种:“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”. 例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x+y=y+x②4+x>5③-3<0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式:(1)a是正数;(2)y与2的差是非负数;(3)a与6的和大于7;(4)y的一半不小于3;(5)8与x的3倍的和不大于1。 提示:注意一个数的"和","差","倍","分"的表示法以及"大于","不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示,另外。正数都大于0,负数都小于0,所以"是正数"可表示为">0","是负数"可表示为"<0","非负数"可表示为"≥0"。 参考答案:
(1)a >0 (2)y-2≥0 (3)a+6>7 (4) ≥3 (5)8+3x ≤1 注意:列不等式时应注意两点: ①"是正数"表示为>0","是负数"表示为<0";"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示,"不小于"用"≥"表示。 2.不等式的基本性质 (1)不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 用式子表示:如果a>b ,那a+c>b+c (或a –c>b –c ) (2)不等式的基本性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 用式子表示:如果a>b ,且c>0,那么ac>bc , c b c a >。 (3)不等式的基本性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 用式子表示:如果a>b ,且c<0,那么ac 【新教材】等式性质与不等式性质 教学设计(人教A版) 等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一,在高中数学中占有重要地位,它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型,在现实生活中有着广泛的应,有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. 课程目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论,能够运用其解决简单的问题. 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小. 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 数学学科素养 1.数学抽象:不等式的基本性质; 2.逻辑推理:不等式的证明; 3.数学运算:比较多项式的大小及重要不等式的应用; 4.数据分析:多项式的取值范围,许将单项式的范围之一求出,然后相加或相乘.(将减法转化为加法,将除法转化为乘法); 5.数学建模:运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。 重点:掌握不等式性质及其应用.《2.1-等式性质与不等式性质》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)