拉普拉斯变换
拉氏变换的物理意义
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。
时域(t)变量t 是实数，复频域F(s)变量s 是复数。变量s 又称“复频率”。 拉氏变换建立了时域与复频域(s 域）之间的联系。
s=jw ，当中的j 是复数单位，所以使用的是复频域。通俗的解释方法是，因为系统中有电感X=jwL 、电容X=1/jwC ，物理意义是，系统H(s)对不同的频率分量有不同的衰减，即这种衰减是发生在频域的，所以为了与时域区别，引入复数的运算。但是在复频域计算的形式仍然满足欧姆定理、KCL 、KVL 、叠加法
Laplace 变换是工程数学里的重要变换，主要是实现微分积分电路的代数运算，建议参看《积分变换》这书.在一阶和高阶电路中，有一些问题在频域中分析比在时域中分析要方便的多，而拉氏变换就是一个很好的分析工具。它将时域中的信号输入，变换成S 域中的信频输入，再由S 域的输出，转换成时频的输出，很简洁明了，又可以分析出信号的多种变化.工程数学或者积分变换都可以解决你所提的问题.
拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变换成复数域的代数方程。并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。因此，对于那些以时间t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。
在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。
2.1拉氏变换
2.1.1拉氏变换的定义
若()f t 为实变量时间t 的函数,且0t <时，函数()0f t =，则函数()f t 的拉氏变换记作
[()]f t L 或)(s F ，并定义为：
[()]()()e d
L st
f t F s f t t +∞-==?
（2.1） 式中s j σω=+为复变量，()F s 称为()f t 的象函数，称()f t 为()F s 的原函数。原函数是实变量t 的函数，象函数是复变量s 的函数。所以拉氏变换是将原来的实变量函数()
f t
转化为复变量函数()
F s的一种积分运算。在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母所代表的函数的拉氏变换。
必
，
⑵单位脉冲函数
单位脉冲函数如图2.2所示。
其定义为
()
00
t
t
t
δ
∞=
?
=?
≠
?
同时，
()d1
t t
δ
+∞
=
?，即脉冲面积为1。而且有如下特性：
()()d(0)
t f t t f
δ
+∞
-∞
?=
?
(0)
f为()
f t在0
t=时刻的函数值。
⑶ 单位斜坡函数
单位斜坡函数如图2.3所示。 其定义为
0(0)
()(0)
t f t t
t
≥?
由式（2.1）有
022
e e []e d ()d e
11d e L st st st
st
st
t t t t
t
s s
t s
s
s +∞
--+∞+∞-+∞
-+∞-=?=---==-
=
?
??
（2.4)
⑷指数函数e at
()0
1
[e ]e e d e d L at at st s a t t t s a
+∞+∞---=?==
-?
?
(2.5) 同理 1
[e
]L at
s a
-=
+ (2.6) ⑸正弦函数t ωsin 由欧拉公式1sin (e e )2j t j t
t j
ωωω-=
-，可得
022
1[sin ]sin e d (e e )e d 2111
()2L st j t j t st
t t t t j
j s j s j s ωωωωωω
ωω+∞+∞---=?=
-=--+=
+?
? (2.7)
⑹余弦函数t ωcos 由欧拉公式1cos (e e )2
j t j t
t ωωω-=
+，可得
02
21[cos ]cos e d (e e )e d 2
111
()2L st j t j t st
t t t t s j s j s s ωωωωωωω+∞+∞---=?=
+=
+-+=+?
? (2.8)
⑺幂函数n
t
[]e d L n
n st t t t +∞-=??
令u st =，则1,d d u t t u s s
=
= 则有 10
011[]e
d e d e d L n n
n st
u n u
n n u t t t u u u s s s
+∞+∞+∞---+=
?=??=??
?
?
式中
e d (1)n u u u n +∞-=Γ+?
为Γ函数，
而 !)1(n n =+Γ 故 1
!][+=
n n
s
n t L
上面求取了几个简单函数的拉氏变换式。用类似的方法可求出其他时间函数的拉氏变换式。实际上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表，就能够知道原函数的象函数，或象函数的原函数。常用函数的拉氏变换对照表见表2.1。
表2.1常用函数拉氏变换对照表
续表
2.2 拉氏变换的性质
下面介绍几个以后本书中将直接用到的拉氏变换的重要性质。
2.2.1线性性质
拉氏变换是一个线性变换，若有常数1K 、2K ，函数)(1t f 、)(2t f ，则
11221
1221122
[()()][()][()]
()()L L L K f t K f t K f t K f t K F s K F s +=+=+ (2.10)
上式可由拉氏变换的定义式直接得证。
线性性质表明，时间函数和的拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换之和；原函数乘以常数K 的拉氏变换就等于原函数拉氏变换的K 倍。 例2.1已知()12cos f t t ω=-，求()F s
解：
222222()[()][12cos ]
12()
L L F s f t t s s s s s s ωωωω==--+=-=
++
2.2.2实数域的位移定理（延时定理）
若有一函数1()f t 相当于()f t 从坐标轴右移一段时间τ,即1()()f t f t τ=-,称函数
1()f t 为()f t 的延迟函数，如图2.4所示。
那么，1()f t 和()f t 的象函数之间具有下列关系：
1[()][()]e ()L L s f t f t F s ττ-=-= （2.11）
证明： 0
[()]()e d L st f t f t t ττ+∞--=-?
令u t τ=-，则,d d t u t u τ=+= 代入上式有
0()[()]()e d L st s u f t f t t τττ+∞-+∞-+-=-?
解：方波可表达为
)(11
)(11)(τ-?-?=
t T t T t f 111
[()]e (1e )L sT sT f t Ts Ts Ts
--=-=-
2.2.3复数域的位移性质(平移定理)
若[()]()L f t F s =，对任一常数a ，有
[e ()]()L at f t F s a -=+ （2.12） 证明：由定义出发
0()0
[e
()]e ()e d ()e d ()
L at
at st s a t f t f t t f t t F s a +∞---+∞-+=?=?=+??
可见，原函数()f t 乘以at
e
-时，它的象函数只需将()F s 中的s 用()s a +代替即可。
例2.3 求sin at
e t ω-的拉氏变换。 解：直接运用复数域的位移定理可得
22
[e sin ]()L at t s a ω
ωω-=
++
同理，可求得
22
[e cos ]()L at s a
t s a ωω
-+=
++ 1
!
[e
]()L at n
n n t s a -+?=+ (1,2,3,,n =
2.2.4相似性质
若[()]()L f t F s =，如将()f t 波形相对于时间轴t 进行压缩（或伸长）a 倍，成为
()f t a ，
则 [()]()L f t a aF as = （2.13）
证明：
[()]()e d L st f t a f t a t +∞-=?
令t
a
τ=,则,d d t a t a ττ==
[()]()e d ()e d ()
L st sa f t a f t a t a f aF as τττ+∞-+∞-===?
?
上式表明，当原函数()f t 的自变量t 变化1a 时，则它对应的象函数()F s 及变量s 按比例变化a 倍。
2.2.5原函数导数的象函数(微分定理)
若[()]()L f t F s =，则导数d
()d f t t
的象函数为： [()]()(0)L d
f t s F s f dt
=- （2.14）
式中(0)f 是当0t =时函数()f t 的值，即原函数的初始条件。
证明：
0d ()[()]e d d L st d
f t f t t dt t
+∞-=?
利用分部积分公式d d u v uv v u =-??
令e ,(),st u v f t -==有
00d
[
()]e ()e ()d d ()(0)
L st st f t f t s f t t
t
sF s f ∞+∞--=+=-? 同理可得：
2
2(1)2d [()]()(0)(0)d L f t s F s sf f t =-- 3
32(1)(2)3d [()]()(0)(0)(0)d L f t s F s s f sf f t
=--- 1
2
(1)
(
1)d [()]()(0)(0)(0)d L n n n n n n f t s F s s f s
f f t
---=
----
（2.15）
式中(1)
(2)(1)
(0),(0),(0),,(0)
n f f
f f -
分别为函数()f t 及其各阶导数在0t =时的值。(2.14)和式2.15)可知，在求导数的拉氏变换中，已引入了各个初始条件。如果这些初始条件均为零，则有
d [()]()d L n
n n f t s F s t
= (1,2,)n = （2.16）
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数n 阶导数的拉氏变换就等于其象函数乘以
n s 。
2.2.6原函数积分的象函数（积分定理）
若[()]()L f t F s =，则()f t 的积分
()d f t t ?的象函数为
(1)()(0)
[()d ]L F s f f t t s s
-=+? (2.17)
式中(1)0
(0)()d t f f t t
-==
?
证明： 0
[()d ][()d ]e d L st f t t f t t t +∞-=??
?
利用分部积分法，取()d ,d e d st u f t t v t -=
=?
则有 e d ()d ,st
u f t t v s
-==-
因此
00
(1)[()][()d ]e d 1
1()d ()e d 1(0)()L st st t f t dt f t t t
f t t f t t s
s f F s s s
+∞-+∞
-=-==+=+??
??? 同理可得n 重积分的拉氏变换：
(1)(2)()1
()(0)(0)(0)
[()(d )]L n n
n n n F s f f f f t t s s s s
----=++++?? （2.18） 式中(1)
(0)f
-，(2)(0),,f - ()(0)n f -分别为()f t 的各重积分在0t =的值。如果这些积分
的初始值均为零，则有：
22()[()d ]()[()(d )]()[()(d )]L L L n n F s f t t s
F s f t t s F s f t t s ?
=
???
=???
=?
?
????? （2.19）
上式表明，在零初始条件下，原函数的n 重积分的拉氏变换等于其象函数除以n
s 。
2.2.7终值定理
若[()]()L f t F s =，则原函数()f t 的终值为
l i m ()l i m (t s f t sF s →+∞
→=
（2.20）
证明：由式(2.14) 0d
d ()[()]
e d ()(0)d d L st
f t f t t sF s f t t
+∞-==-?
当0s →，则 e
1st
-→，于是由上式左边得
00
d ()lim
e d ()lim ()(0)d st s t
f t t f t f t f t +∞+∞-→→+∞
??
==-?
???
?
由上式右边得
lim[()(0)]lim ()(0)s s sF s f sF s f →→-=-
因此得
l i m ()l i m ()
t s f t sF s →+∞
→=
上式表明，原函数()f t 在t →+∞的数值（稳态值），可以通过将象函数()F s 乘以s 后，再求0s →的极限来求得。条件是当t →+∞和0s →时，等式两边各个极限存在。
2.2.8初值定理
若[()]()L f t F s =，则原函数)(t f 的初值为
l i m ()l i m ()s t f t s F s →+∞
→=
（2.21）
证明： 由式(2.14)
0d d ()[(
)]e d ()(0)
d d L st
f t f t t sF s f t t
+∞-==-? 当s →∞，则e
0st
-→，因此
0d ()lim e d lim[()(0)]()(0)lim ()(0)0d st s s s f t t sF s f f t f sF s f t +∞-→+∞→+∞
→+∞??=--=-=????? 即0
lim ()lim ()t s f t sF s →→+∞
=
上式表明，原函数)(t f 在0t =时的数值（初始值），可以通过将象函数()F s 乘以s 后，再求s →+∞的极限来求得。条件是在0t →和s →+∞时等式两边各有极限存在。
2.2.9卷积定理
若[()]()L f t F s =，[()]()L g t G s =，则有
[()()d ]()()L t
f t
g F s G s τττ-=?? （2.22）
式中积分
()()d()()()t f t g f t g t τττ-=*?
，称作()f t 和()g t 的卷积。
证明：
在式（2.22）中，当t τ>，()1()0f t t ττ-?-=，因此
()()d ()1()()d t f t g f t t g τττττττ+∞-=-?-??
?
于是 0
[
()()d ][()1()()d ]e d L t st f t g f t t g t τττττττ+∞--=-?-?
?
令t τλ-=，代入上式，又由于()f t 和()g t 是可进行拉氏变换的，所以可改变上式的积分次序，可得：
()
00
[()()d ][()e
d ()d [()
e d ()e d ()()
L t
s s s f t g f g f g F s G s λτλττττλλττ
λλττ+∞+∞-++∞+∞---=?=?=??
?
??
上式表明，两个时间函数()f t 和()g t 卷积的拉氏变换等于两个时间函数拉氏变换的乘积。这个关系式在拉氏反变换中可简化计算。
2.3拉氏反变换
2.3.1拉氏反变换的概念
拉氏反变换是指将象函数()F s 变换成与其对应的原函数()f t 的过程。采用拉氏反变换符号1
L -，可以表示为：
1
[()]()L F s f t -= （2.23） 拉氏反变换的求算有多种方法，其中比较简单的方法是由()F s 查拉氏变换表得出相应的()f t ，及部分分式展开法。
如果把()f t 的拉氏变换()F s 分成若干分量的和，即
12()()()()n F s F s F s F s =+++
并且12(),(),,()n F s F s F s 的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么即得：
111212()[()][()()()]()()()L L n n f t F s F s F s F s f t f t f t --==++=++ （2.24）
可见，应用迭加原理即可求得原函数()f t 。
但是()F s 有时比较复杂，当不能很简便地分成若干分量之和时，可采用部分分式展开法对()F s 进行分解，也就是说，部分分式展开法是一种将较复杂的象函数分解成若干简单的很容易从拉氏变换表中查到其原函数的求算方法。
2.3.2部分分式展开法
在控制理论中，常遇到的象函数()F s 具有如下形式：
()
()()
B s F s A s =
式中()A s 和()B s 均为变量s 的多项式，且()A s 的阶次n 较()B s 的阶次m 要高，即n ≥m 。
在应用部分分式展开法来求)()()(s A s B s F =的拉氏反变换时，必须预先知道分母多项式()A s 等于零时的根。换句话说，这个方法在分母多项式被分解成因式后才能应用。
将()F s 分母()A s 进行因子分解，可写成
12()()
()()()()()
n B s B s F s A s s p s p s p =
=
+++ 式中，12,,,n p p p 称为()0A s =的根，或()F s 的极点，它们可以是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定是成对共轭的。
如果()B s 的阶次高于()A s 的阶次，则应首先用分母()A s 去除分子()B s ，由此得到一个s 的多项式，再加上一项具有分式形式的余项，其分子s 多项式的阶次就化为低于分母s 多项式的阶次了。
下面分两种情况分别介绍部分分式展开法。
⑴分母()0A s =无重根
在这种情况下，()F s 总是可以展开成下面的简单的部分分式之和。即
1212
121()()
()()()()()n n n n
k k k
B s B s F s A s s p s p s p a a a s p s p s p a s p ==
=
+++=
++++++=+∑
（2.25）
式中，k a 为常值。k a 称为在极点k s p =-处的留数。k a 的值可用()k s p +乘以式（2.25）的两边，并令k s p =-的方法求出。即： 1212()()()()()
[
][]()k k
k k k n k k k n
s p s p
B s s p a s p a s p a s p a a A s s p s p s p =-=-++++=+++++=+++
可以看出，在所有展开项中除k a 项外，其余各项全为零了，因此留数k a 可由下式求出。
()
[
()]()k
k k s p B s a s p A s =-=+ (1,2,)k n = （2.26）
因为1
1
[
]e L k p t k
s p --=+ ，从而可求得)(s F 的原函数为 1
1
()[()]e L k n
p t k k f t F s a --===∑ （2.27）
需要指出，因为()f t 是一个时间的实函数，如果1p 和2p 是一对共轭复数时，则留数1
a 和2a 也必然是共轭复数。这种情况下，式（2.26）照样可应用，且只需对复留数1a 和2a 中的任意一个求值，另一个自然也就知道了。
例2.4 求2
3
()32
s F s s s +=
++的拉氏反变换。 解： 122
33
()32(1)(2)12
a a s s F s s s s s s s ++===+++++++ 由式(2.26)可得
1122
3
(1)2
(1)(2)3
(2)1
(1)(2)s s s a s s s s a s s s =-=-+=
+=+++=
+=-++
因此
11
1221
()[()][][]2e e 12
L L L t t f t F s s s ------==+=-++ （t ≥0） 例2.5求2212
()25
s F s s s +=
++的拉氏反变换。
解：分母多项式可以因式分解为
225(12)(12)
s s s j s j ++=+++- ()F s 可展开如下
122
212
()251212a a s F s s s s j s j
+=
=++++++- 由式（2.26）可得
12
122125
(12)1252s j
s a s j j s s =--+=
++=+++ 由于1a 与2a 共轭，由此
25
12
a j =-
所以
11(12)(12)2222551122()[()][
]121255
(1)(1)e 22
5
e (e e )e (e e )
2
2e cos 25e sin 2L L j t j t
t j t j t t j t j t t t j j f t F s s j s j
j e j j t t
---+--------+
-==++++-=++-=++-=+ ⑵分母()0A s =有重根
假设()F s 有r 个重极点1p -，其余极点均不相同，则
11111211
11111()()
()()()()()
()()r r n n r r r r r n
B s B s F s A s s p s p s p a a a a a s p s p s p s p s p ++-+=
=
+++=
++++++
+++++
式中11121,,,r a a a 的求法如下：
1
1
1
1
111
12121312
(1)
11(1)
()()d [()()]d 1d [()()]2!d 1d [()()](1)!d r
s p r
s p r
s p
r r r r s p
a F s s p a F s s p s a F s s p s a F s s p r s =-=-=---=-=+=
+=+=+-
（2.28）
其余留数12,,,r r n a a a ++ 的求法与第一种情况所述的方法相同，即
()()k
k k s p a F s s p =-=+ (1,2,,)k r r n =++
求得所有的留数后，()F s 的反变换为：
1121121112112()[()]
[
](1)!(2)!
L n r r p t
p t p t p t r r r r r n f t F s a a
t t a e a e a e a e r r ++-------++==+++++++-- （2.29）
例2.6 求3
1
()(2)(3)
F s s s s =
++的拉氏反变换。
解：
13511124
32()(2)(2)23a a a a a F s s s s s s
=
++++
++++ 3
112
211
()(2)(3)2
s s a F s s s s =-=-=+=
=-+
312222
2
d (23)
1
[()(2)]d (3)4
s s s a F s s s s s =-=--+=
+==
+ 223
1322
22
1d 1d 13[()(2)][]2!d 2d (3)8s s a F s s s s s s =-=-=+==-+ 43
33
1
1()(3)(2)3s s a F s s s s =-=-=+=
=+ 53
0011()(2)(3)24
s s a F s s s s ===?=
=++ 所以 3211311
()2(2)4(2)8(2)3(3)24F s s s s s s
-=
+-++++++
122223223()[()]
11311e e e e 2248324111(223)e e 8324
L t t t t t t f t F s t t t t -------==-?+-++=-+-++
2.4用拉氏变换解线性定常微分方程
在2.1至2.3节中我们已经介绍了拉氏变换的一些有关概念和方法。本节将介绍应用拉氏变换解线性定常微分方程的方法。
应用拉氏变换法得到的解是线性定常微分方程的全解（特解加上补解）。求线性定常微分方程的经典方法需要利用初始条件求积分常数的值。然而，在应用拉氏变换法的情况下，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，就不需要根据初始条件求积分常数的值了。
用拉氏变换法解线性定常微分方程，首先通过拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得线性定常微分方程的解。以下面的例子说明求解过程。
例2.7图2.6所示机械系统，在不计阻尼情况下，求质量块m 在外施作用力()f t 作用下
)]分方程的时间解是由()
X s进行拉氏反变换求得：
1
11
22
()[()]
()(0)(0)
[][]
L
L
x t X s
F s msx mx
L
ms k ms k
-
--
=
+
=+
++
（2.33）假若()
f t是一个单位阶跃函数，那么()1
F s s
=，式（2.33）变为
11
22
1(0)(0)
()[][]
()
11
()[]
L L
msx mx
x t
s ms k ms k
x x
k k
--
+
=+
++
=-++
假若()
f t是一个单位脉冲函数，那么()1
F s=，又若初始条件(0)(0)0
x x
==
，则有
11
2
1
()[]
L L
x t
ms k
--
==
+
=
质量块m
2.5 习题
1.求下列函数的拉氏变换。假设当0
t<时，()0
f t=。
⑴()5(1cos3)f t t =- ⑵0.4()e cos12t f t t -= ⑶π()sin()f t t =+53
⑷()e n at f t t = 2.10
()(1)
F s s s =
+
⑴利用终值定理，求t →+∞时的()f t 的值。
⑵通过取()F s 的拉氏反变换，求t →+∞时的()f t 的值。 3.已知21()(2)
F s s =
+，应用初值定理求(0)f +和(0)f + 的值。 4.试求下列象函数的拉氏反变换： ⑴1
()(1)F s s s =
+
⑵1
()(2)(3)
s F s s s +=
++
⑶e ()1
s
F s s -=-
⑷2
4(3)
()(2)(1)
s F s s s +=
++ ⑸22
52
()(2)(22)
s s F s s s s ++=+++ 5.应用拉氏变换法解下列微分方程： ⑴220,(0)0,(0)1x x x x x ++===
⑵02730,(0),(0)0x
x x x x x ++===
附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 1()([n n k f t dt s s -+= +∑?个
2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,, ,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理 可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3）
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝1 i n s t i i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ 11lim [()()]i r r s s d c s s F s ds -→=- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1 s F L t f -= ??????-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11 111 1111)()() ( t s n r i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+?? ????+++-+-=112211 1 )!2()!1( （F-6）
时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为 (2-45) 式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为 (2-46) 因为是复自变量的函数，所以是复变函数。 有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48)
上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。 二、常用信号的拉氏变换 系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号 理想单位脉冲信号的数学表达式为 (2-49) 且 (2-50) 所以 (2-51) 说明： 单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋
于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数 表示成单位高度的带有箭头的线段。 由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。 (2)单位阶跃信号 单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53)
由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为 (2-54) 因为 阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。 (3)单位斜坡信号 单位斜坡信号的数学表示为 (2-55) 图2-15单位斜坡信号
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域
若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3．用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项
查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ （F-1） 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得
原函数 []? ?? ?? ?-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝ t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ )]()([lim 111 s F s s ds d c r s s r -=→- M )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5)
常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 00)(≥
? ? ∞ -∞ -∞ ----==0 d d ][t s e s e t t te t L st st st 2 01d 1s t e s st == ?∞- 6、正弦函数 0sin 0 )(≥
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间为自变量的实变函数，它的定义域是，那么的拉普拉斯变换定义为 式中，是复变数，（σ、ω均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称为的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。 几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为 单位阶跃函数如图所示，它表示在时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。单位阶跃函数的拉氏变换式为 当，则。 所以 （） 图单位阶跃函数 2.指数函数的拉氏变换 指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中是常数。 令
则与求单位阶跃函数同理，就可求得 （） 3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设，，则 由欧拉公式，有 所以 ）同理 ）4.单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换 单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。其幅值和作用时间的乘积等于1，即。如图所示。 图单位脉冲函数 单位脉冲函数的数学表达式为 其拉氏变换式为 此处因为时，，故积分限变为。 5.单位速度函数的拉氏变换 单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为 见图所示。 图单位速度函数 单位速度函数的拉氏变换式为 利用分部积分法 令 则
附录A 拉普拉斯变换及反变换
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ （F-1） 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可 按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111111)()()(
拉氏变换与反变换 机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。 2.5.1 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为 ()()()0 e d st F s L f t f t t ∞ -=?????? s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ?∞ -0 e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是 函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。 1.单位阶跃函数 )(1t 的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为 ?? ?≥s ，则 0 e lim →-∞ →st t 。
1 最全拉氏变换计算公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
1 拉氏变换及反变换公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑ 1 1 ) 1() 1(1 2 2 2 ) ()() 0()() (0)0()(]) ([) 0()(])([k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ） （ 初始条件为0时 )(]) ([ s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑ ???????????==+-===+=+ + = + = n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 1 1 2 2 2 2 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L )(]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
拉普拉斯变换及其反变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -，m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
2.5 拉氏变换与反变换 机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。 2.5.1 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为 ()()()0 e d st F s L f t f t t ∞ -=?????? (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ?∞ -0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。 1.单位阶跃函数 )(1t 的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能 的标准输入，这一函数定义为 ?? ?≥s ，则 0 e lim →-∞ →st t 。 所以：
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质
表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
****拉普拉斯变换及反变换**** 定义：如果定义： ? 是一个关于的函数，使得当时候， ； ? 是一个复变量； ? 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分；是 的拉普拉斯变换结果。 则的拉普拉斯变换由下列式子给出：
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1）
式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []? ?????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ )]()([lim 111 s F s s ds d c r s s r -=→- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→
附录A拉普拉斯变换及反变换 419
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421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(l i m s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
拉氏变换和傅里叶变换的关系 一、拉氏变换 1、拉氏变换的定义： 如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为 ()()()0e d st F s L f t f t t ∞ -=?????? s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ?∞ -0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。 s 式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。 2、拉氏变换的意义 工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。 在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用 二、傅里叶变换 1、傅里叶变换的定义：
f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ① 傅里叶变换 ② 傅里叶逆变换 2、傅里叶变换的意义 傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。 二、拉氏变换和傅里叶变换的关系 傅里叶变换：的物理意义非常清晰：将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。对一个信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢因为有的信号主要在时域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。若信号的特征主要在频域表
拉氏变换重要公式 1 拉氏变换定义 ()()[]()dt e t f t f L s F st 0-∞ ?==? 2 常用公式 ()[]1t L =δ/()[]s 1t 1L = /a s 1]e [L at -= /2 at a) (s 1]e [L -= t /[]2 2 s t sin L ω ω ω+= []2 2 s s t cos L ω ω+= /[]2 s 1t L = /[]1 n n s n!t L += /[]2 2at -a)(s t sin e L ω ω ω++= /[] 2 2 at -a)(s a s t cos e L ω ω+++= 3 拉氏变换的几个重要定理 （1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L -?=' （3）积分定理：()[]()() ()0f s 1s F s 1dt t f L 1-+?= ? 零初始条件下有：()[]()s F s 1dt t f L ?= ? 进一步有： ()()()()()()()()0f s 10f s 10f s 1s F s 1dt t f L n 21n 1n n n n ----++++=??? ? ??????? （4）位移定理 实位移定理：()[]()s F e -t f L s ?=-ττ 虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =? （5）终值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim f t f lim 0s t ?=∞=→∞→ （6）初值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim 0f t f lim s 0t ?==∞ →→ 4 拉氏反变换 (1) 反变换公式：?∞ +∞ -= j j st ds e ).s (F j 21 )t (f σσ π (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 设 )m n (a s a s a s a s b s b s b s b ) s (A )s (B )s (F n 1-n 2 -n 21 -n 1n m 1-m 1 m 1m 0>+++++++++= = - 其中分母多项式可以分解因式为： )p s ()p s )(p s ()s (A n 21---= )s (A p i 为的根(特征根)，分两种情形讨论：
拉普拉斯变换 拉氏变换的物理意义 拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。 时域(t)变量t 是实数，复频域F(s)变量s 是复数。变量s 又称“复频率”。 拉氏变换建立了时域与复频域(s 域）之间的联系。 s=jw ，当中的j 是复数单位，所以使用的是复频域。通俗的解释方法是，因为系统中有电感X=jwL 、电容X=1/jwC ，物理意义是，系统H(s)对不同的频率分量有不同的衰减，即这种衰减是发生在频域的，所以为了与时域区别，引入复数的运算。但是在复频域计算的形式仍然满足欧姆定理、KCL 、KVL 、叠加法 Laplace 变换是工程数学里的重要变换，主要是实现微分积分电路的代数运算，建议参看《积分变换》这书.在一阶和高阶电路中，有一些问题在频域中分析比在时域中分析要方便的多，而拉氏变换就是一个很好的分析工具。它将时域中的信号输入，变换成S 域中的信频输入，再由S 域的输出，转换成时频的输出，很简洁明了，又可以分析出信号的多种变化.工程数学或者积分变换都可以解决你所提的问题. 拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变换成复数域的代数方程。并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。因此，对于那些以时间t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。 在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。 2.1拉氏变换 2.1.1拉氏变换的定义 若()f t 为实变量时间t 的函数,且0t <时，函数()0f t =，则函数()f t 的拉氏变换记作 [()]f t L 或)(s F ，并定义为： [()]()()e d L st f t F s f t t +∞-==? （2.1） 式中s j σω=+为复变量，()F s 称为()f t 的象函数，称()f t 为()F s 的原函数。原函数是实变量t 的函数，象函数是复变量s 的函数。所以拉氏变换是将原来的实变量函数() f t