第二章一元一次不等式与一元一次不等式组
一、学习目标
1、了解不等式、不等式的解集的概念，会在数轴上表示出不等式的解集。
2、掌握不等式的三条基本性质，并会用它们解一元一次不等式。
3、了解一元一次不等式解集的概念，会利用数轴解一元一次不等式组
4、理解一次函数与一元一次不等式的关系，会利用不等式解决有关函数问题。
二、知识结构脉络
四、知识点梳理
1、不等式（组）有关概念
不等式：不等式的解：不等式的解集：解不等式：一元一次不等式：其标准形式为ax一b>0，或ax一b<0（a≠0）”一元一次不等式组：不等式组的解集：
解不等式组：求出不等式组的解集的过程叫解不等组，
解不等式组的步骤：（i）先求出各个不等式的解集（ii）取各个解集的公共部分
（iii）利用数轴直观显示，并确定其特殊解。四种基本类型（如下表）
（1） 若a>b ，c>d ，则a 十c>b 十d （同向不等式相加） （2） 若a>b ，c
（4） 若a>b>0，0
1<
（6） 若a>b>0，n 为正整数，则n
n
b
a > （7）若a>b>0，n 为不小于2
的整数则n n b a >
4、解不等式的步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）
未知数的系数化为1。要注意把系数化为1时，如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变；解不等式要根据题目的要求和特点合理灵活地选择解题步骤。
5、一元一次不等式（组）的应用
（1） 注意设未知数的方法，找出问题中量与量之间的不等关系，抽象出不等式
（组），求出不等式（组）的解集后，要注意验证解的合理性。
（2） 正确理解列不等式（组）的关键词。如不少于、不超过、大于、小于、至
少、至多、不足、不空、不满等。其中，不少于就是大于或等于表示为≥，不超过、至多都是不大于的意思，不大于就是小于或等于，表示为≤，非负数就是正数和零等。 五、 思想方法总结 1.应用类比的方法：
2.应用数形结合的思想：充分利用数轴的直观性，简捷性，生动形象地理解不等式和一次函授的有关知识，真正掌握基本技能。
3.转化的思想方法：不等与相等之间可以相互转化，有时将不等问题转化为相等问题来解决，有时又可以将相等问题转化为不等问题来解决。
4.构建的思想方法：列不等式（组）解决实际问题，实际上是应用构建的思想方法。所谓构建的思想方法是建立起解决实际问题的数学模型，如方程（组）、不等式（组）等，然后用数学模型解决实际问题，这种思想方法在今后应用广泛。 六、 易错题分析
例1、若a>b ，b ，c 为实数，则下列正确的是（）
A ac>bc ，
B ac C ac 2>bc 2 D ac 2≥bc 2 例2、关于x 的不等式组? ??≤≥m x m x 无解，则m 的取值范围（ ） A m>3 B 3≥m C 3≤m D m<3 例3、x 取何值时，x 的一半与x 的3倍的差至少是4？ 正解：由题意得4321 ≥-x x 即42 5≥-x 系数化为1，得58-≤x 故当58-≤x 时，x 的一半与x 的3倍的差至少是4。 例4、（1）解不等式x x 2852-≥- （2）解不等式()16 1 31+-≤-x x x 并把解集在数轴上表示出来 例5、一辆公共汽车上有（5a 一4）名乘客，在某一车站有（9一2a ）名乘客下车，车上原来有多少名乘客？ 错解：由题意得???≥-≥-1291 45a a 解得41≤≤a 取整数得a=1,2,3,4 把a 的值分别代入5a 一4，得5a 一4=1，6，11，16。 答：车上原来有1人，6人，11人，或16人。 剖析：错解忽视了a a 2945-≥-这一条件 正解：由题意得 ?????≥-≥--≥-0290 452945a a a a 化简得?? ? ? ? ? ???≤≥≥2954713a a a 所以29713≤≤a a 取整数得a=2，3，4 当a=2时，5a 一4=6，当a=3时，5a 一4=11，当a=4时，5a 一4=16。 答：原来车上有乘客6人，11人，或16人。 七、典型考点扫描 考点一：用不等式表示数量关系： 例1、用不等式表示下列数量关系： （1） x 与3的和是非负数 （2） a 与b 的差是非正数 考点二：考查不等式（组）基础知识 例2：不等式x x ->32的解集是（ ） A 、2 B 、2>x C 、1>x D 、1 ( ) 例3：如图1，小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板．三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于（ ） Ａ．49千克 Ｂ．50千克Ｃ．24千克 Ｄ．25千克 图1 例4关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 32232 15 只有4个整数解，则a 的取值范围（ ） A 3145- ≤≤-a B 3145-<≤-a C 3145-≤<-a D 3 14 5-<<-a 考点三、求不等式中字母的值 例4：如果关于的不等式（a+1）x ＞a+1解集为x ＜1，则a 的取值范围是（ ） A. a ＞0 B.a ＜0 C. a ＞-1 D.a ＜-1 例5：关于x 的不等式3x-2a ≤-2的解集如图2,则a 的值是______. 考点四、考查一元一次不等式与一次函数 例6、己知4,221+=+-=x y x y 当x 取何值时21y y >？ 分析：方法一：可将函数或方程转化为不等式，即有42+>+-x x 求得自变量x 的范图为x<一1。 方法二：可作出两个函数的图象如图，所示：两直线相交于点（—1，3）依推上面的图象比下面的图象函数值大，求得自变量的范围。 考点四、考查利用不等式（组）解实际应用问题 例7、(2006深圳市)初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在 每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（ ） Ａ．至多６人 Ｂ．至少６人 Ｃ．至多５人 Ｄ．至少５人 例8:甲,乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次降价20%,在哪家超市购买此种商品更合算( ) A. 甲 B 乙 C.同样 D.与商品价格无关 例9:学校计划购买40支钢笔，若干本笔记本（笔记本数超过钢笔数）甲、乙两家文具店的标价都是钢笔10元/支，笔记本2元/支，甲店的优惠方式是钢笔打9折，笔记本打8折，乙店的优惠方式是每买5支送1本笔记本，钢笔不打折，购买的笔记本打7.5折，试问购买笔记本在什么范围内到甲店更合算？ 例10:“中国荷藕之乡”扬州市宝应县有着丰富的荷藕资源，某荷藕加工企业己收购荷藕60吨，根据市场信息，如果对荷藕进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元，如果进行精加工，每天可加工0.5吨，每吨可获利5000 元， 由于受设备条件的限制，两种加工方式不能同时进行。 （1）设精加工的吨数为x吨，则粗加工的吨数为吨，加工这批荷藕需要天，可获利元（用含x的代数式表示） （2）为了保鲜的需要，该企业必须在一个月（30天）内将这批荷藕全部加工完毕。精加工的吨数在什么范围内，该企业加工这批荷藕的获利不低于80000元？ 一元一次不等式组解应用题的一般步骤为： 列不等式组解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤相类似,所不同的是,前者需寻求的不等关系往往不止一个,而后者只需找出一个不等关系即可。 1.审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 2.设：设出适当的未知数； 3.列：根据题中的不等关系列出不等式组； 4.解：解出所列不等式组的解集； 5.答：写出答案，从不等式组的解集中找出符合题意的答 2018八年级数学下册第一章知识点总结 （北师大版） 2018八年级数学下册第一章知识点总结（北师大版） 第一章三角形的证明 1、等腰三角形 （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合（即“三线合一”） （3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个 角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）直角三角形两个锐角之间的关系 定理：直角三角形两个锐角互余。 逆定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。 （3）含30度的直角三角形的边的定理 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30度。 （4）命题与逆命题 命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （5）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 第 2 章知识要点：一、空气1、空气是由几种单质和几种化合物组成的混合物。2、空气的组成：（体积比）氮气：78% 二氧化碳：0.03% 3、空气的利用。（1）氮气的用途氮是构成生命体蛋白质的主要元素。灯泡、食品中作保护气制化肥、炸药、染料等液态氮可作冷冻剂（2）氧气与人类的关系最密切。氧气的用途：提供呼吸、急救病人、登山、潜水等支持燃烧、气焊、气割、炼钢等（3）用途二、氧气和氧化1、氧气的物理性质：通常情况下是一种无色、无味气体密度比空气大不易溶于水（或难溶于水）三态变化，液态氧、固态氧呈淡蓝色。 2、氧气的化学性质：供呼吸、支持燃烧、化学性质较活泼、具有氧化性。（1）硫在氧气中燃烧：在氧气中燃烧时发出明亮的蓝紫色火焰，放出大量的热，生成一种有刺激性气味的（2）S + O2 ===SO2 （3）铁在氧气中燃烧：3Fe+2O2 ==== Fe 3O4 色固体（注意：铁丝燃烧时要绑一燃烧时火星四射，放出大量的热，生成一种黑 3、氧化反应：物质与氧发生的化学反应。燃烧：发光发热的剧烈的氧化反应，可引起爆炸缓慢氧化：速率缓慢的氧化反应，可引起自燃 4、氧气的制取（1）①实验室制取实验室常用分解过氧化氢或加热高锰酸钾或加热氯酸钾和二氧化锰混合的方法来制取，反应的化学方程式分别为：稀有气体：化学性质很稳定，通电时能发出各种有色光。制作保护气制成各种电光源用于激光技术氧气：21% 稀有气体：0.94% 其他气体和杂质0.03% 气体。（在空气中燃烧时发出淡蓝色的火焰）根火柴来引燃，瓶底要放点水或细砂防止炸裂瓶底）2H 2O2 ====2H2O +O2 2KMnO4====K2MnO4 + MnO2 +O2 2KClO3 =======2KCl +3O2 ②③收集方法（2） 5、催化剂。一变：改变其他物质化学反应的速度二不变：本身质量本身化学性质 6、灭火和火灾自救（1）可燃物燃烧条件（2）温度达到着火点以下灭火方法三、化学反应与质量守恒1、化合反应和分解反应（1）化合反应：A+B 2、质量守恒定律（1）（2）定义：参加化学反应的各物质的质量总和等于反应后生成的各物质的质量总和，这个定律叫质量守恒定律。质量守恒定律的解释原子种类没有变化反应前后原子数目没有增减①原子种类④物质总质量3、化学方程式。（1）（2）（3）（4）定义：用化学式来表示化学反应的式子化学方程式的书写原则：书写化学方程式的方法和步骤。化学方程式表示的意义②表示反应的条件④表示反应物、生成物间的质量比②元素种类③原子数目（3）化学反应前后一定不变的量： C （2）分解反应：A B+C 跟氧气隔绝（3）火灾自救 B C A D https://www.doczj.com/doc/b615409495.html, 图2 B C A C 'D https://www.doczj.com/doc/b615409495.html, F 图1 八年级数学下学期第一章测试题 一、填空题。（共30分） 1、直角三角形的一个锐角为500，则另一个锐角为 。 2、在⊿ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点,AB=6，则CD=________。 3、已知三角形的三个内角之比为1：2：3，且最短的边为5，最小的角是 度，最长的边为 ，它的面积是 。 4、在△ABC 中，90C ∠=?，若5,13a c ==，b = 。 5、已知，如图AB ＝AD ＝5，∠B ＝150，CD ⊥AB 于C ，则CD ＝ 。 6、如图，△ABC 中，∠C＝90°，若BC=5，BD=2，则点D 到边AB 的距离为 。 7、直角三角形一条直角边与斜边分别长为8cm 和10cm ，则斜边上的高等于 cm 。 8、在△ABC 中，若222AC BC AB =-,则∠ =90°. 9、矩形纸片ABCD 中，AD =4c m ，AB =10c m ，按如图1方式折叠，使点B 与点D 重合，折 痕为EF ，则DE =_______c m 10、如图2，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，若AD =2BD ，AC =52，BC =5，则BD 的长为__________． 二、选择题。（共30分） 11、下列三边的长不能成为直角三角形三边的是（ ） A 、3,4，5 B 、5，12,13 C 、6,8，10 D 、3,3，5 12、已知在直角三角形中，最长边为10，最短边为5，则最小的角是（ ）度 A 、500 B 、300 C 、400 D 、900 13、一个三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、等腰三角形 C 、等边三角形 D 、直角三角形 14、一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ） B 最新八年级下册数学知识点整理 八年级下册数学知识点整理：第一章分式 1 分式及其基本性质 分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变2 分式的运算 (1)分式的乘除 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 (2) 分式的加减 加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减; 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3 整数指数幂的加减乘除法 4 分式方程及其解法 八年级下册数学知识点整理：第二章反比例函数 1 反比例函数的表达式、图像、性质 图像：双曲线 表达式：y=k/x(k不为0) 性质：两支的增减性相同; 2 反比例函数在实际问题中的应用 八年级下册数学知识点整理：第三章勾股定理 1 勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方 2 勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 八年级下册数学知识点整理：第四章四边形 1 平行四边形 性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。 判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线互相平分的四边形是平行四边形; 一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。 推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。 2 特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 (1) 矩形 性质：矩形的四个角都是直角; 矩形的对角线相等; 矩形具有平行四边形的所有性质 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形; 推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 (2) 菱形 性质：菱形的四条边都相等; 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角; 菱形具有平行四边形的一切性质 判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 四边相等的四边形是菱形。 八年级数学上册第二章复习要点 重点、难点: 重点：一次函数图象及性质，一次函数模型的建立。 难点：函数的概念，数学建模的方法（待定系数法）。 一、知识框架图： 二、重要知识点 一）、知识点提示： 1、函数的概念及三种表示方法，例举函数的实例。 2、一次函数的定义、图象、性质，及与正比例函数的联系与区别。 3、建立一次函数模型的方法（待定系数法）及用图象法求二元一次方程组的解。 4、求函数解析式的一般步骤：实际问题——建立一次函数模型——用待定系数法 求出方程（组）的解，得到一次函数的解析式。 二）知识点 函数及它的表示法： 1、函数是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型。 2、概念：如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一 个值与它对应，那么称y是x的函数。记作y＝f（x）。X叫作自变量，y叫因变量。 对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值就叫函数值，记作f（a） 3、函数的表示方法： ①、图像法（可直观地看出因变量如何随自变量的变化而变化） ②、列表法（自变量取的值与因变量的对应值看得很清楚） ③、公式法（即函数解析式（方便计算函数值） 一次函数及它的图像： 1、概念：如果函数的解析式中自变量的次数为1，那么这样的函数称为一次函数。 它的一般形式是y＝kx+b（k≠0） 特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）也叫正比例函数。 它的一般形式是y＝kx（k≠0） 2、一次函数的图象是一条直线。（正比例函数的图象是一条经过原点的直线） 注：①、自变量的取值范围应视具体的环境而定； ②、根据自变量的取值范围一次函数的图象也可能是一条线段或射线。 3、一次函数与x轴的交点坐标为（ k b ，0）与y轴的交点坐标为（0，b） 4、一次函数中k与b决定图象的位置和趋势：k的符号决定函数图象是上升还是下降， b的符号决定函数图象是交y轴于正半轴还是负半轴。 ①k＞0 ②k＞0 b＞0 b＜0 一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，函数值随着自变量的增加而增大，图象上升； ③k＜0④k＜0 b＜0 b＞0 一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＜0时，函数值随着自变量的增加而减小，图象下降。常见计算题型有： 1、用待定系数法求函数解析式（见教科书第49页例题） 2、用图象法求二元一次方程组的解（见教科书第53页例题） 3、画函数图象的一般步骤（见教科书第41页例题） 二次根式的知识点汇总 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根 式，而 ， 等都不是二次根式。 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 x 、x （x>0）、0、42、-2、 1 x y +、x y +（x ≥0，y?≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所 以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 例3．当x 是多少时，23x ++1 1 x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式 （ ）的非负性 （ ）表示a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（）。 注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术平 方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0； 若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求 x y 的值．(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过 来应用：若，则，如：，. 例1 计算 1．（ 32）2 2．（35）2 3．（56 ）2 4．（7）2 例2在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身， 即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即； 2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 （19 （22(4)- （325 （42(3)-例2 填空：当a ≥02a ；当a<02a ，?并根据这一性质回答下列问题． 八年级数学下知识点总结 函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x就是自变量,y就是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值与函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 (3)图像法:用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 正比例函数与一次函数 1、正比例函数与一次函数的概念 一般地,如果(k,b就是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。特别地,当一次函数中的b为0时,(k为常数,k0)这时,y叫做x的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都就是一条直线。 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征: 一次函数的图像就是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图像就是经过原点 (0,0)的直线。(如下图) 4、正比例函数的性质 一般地,正比例函数有下列性质: (1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大; (2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质 一般地,一次函数有下列性质: (1)当k>0时,y随x的增大而增大 (2)当k<0时,y随x的增大而减小 6、正比例函数与一次函数解析式的确定 八年级数学下册第一章《三角形的证明》 知识点归纳 八年级数学下册第一《三角形的证明》知识点归纳（北师大版） 第一节. 等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（即“三线合一”）． 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形． 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”． 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节. 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线： 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点、N；作直线N就是线段AB的垂 初二数学（下）应知应会的知识点 二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）? ??<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ； 注意使用)0a ()a (a 2≥=. 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根：)0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1） )0b ,0a (b a b a >≥= ； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的 有理化因式，使分母变为整式. 8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它 们也叫互为有理化因式. 9．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式， ② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 第二章一元一次不等式与一元一次不等式组 一、学习目标 1、了解不等式、不等式的解集的概念，会在数轴上表示出不等式的解集。 2、掌握不等式的三条基本性质，并会用它们解一元一次不等式。 3、了解一元一次不等式解集的概念，会利用数轴解一元一次不等式组 4、理解一次函数与一元一次不等式的关系，会利用不等式解决有关函数问题。 二、知识结构脉络 四、知识点梳理 1、不等式（组）有关概念 不等式：不等式的解：不等式的解集：解不等式：一元一次不等式：其标准形式为ax一b>0，或ax一b<0（a≠0）”一元一次不等式组：不等式组的解集： 解不等式组：求出不等式组的解集的过程叫解不等组， 解不等式组的步骤：（i）先求出各个不等式的解集（ii）取各个解集的公共部分（iii）利用数轴直观显示，并确定其特殊解。四种基本类型（如下表） （1） 若a>b ，c>d ，则a 十c>b 十d （同向不等式相加） （2） 若a>b ，c 最新修正版 C B A C B A D C B A c b a C B A 八年级下册数学复习资料 姓名 第一章 直角三角形 1、直角三角形的性质： ①直角三角形的两锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 如图，在Rt ?ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴1 2 CD AB = 。 例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 . ③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角 边等于斜边的一半。 如图，在Rt ?ABC 中，∵∠A=30°，∴1 2 BC AB = 。 例·在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（ ）。 A ．AB=2BC B ．AB=2AC C ．AC 2+AB 2=BC 2 D ．AC 2+BC 2=AB 2 ④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°。 如图，在Rt ?ABC 中，∵1 2 BC AB = ，∴∠A=30°。 例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是 。 ⑤勾股定理及其逆定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方，即2 2 2 a b c +=。 求斜边，则22c a b =+；求直角边，则22a c b =-或22 b c a =-。 例·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ，，∠CAD=60°， 则拉线AC 的长是________m 。 例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。 （2）逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。 分别计算“2 2 a b +”和“2 c ”，相等就是Rt ?，不相等就不是Rt ?。 例·在Rt △ABC 中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。 A ．∠C=90° B ．∠B=90° C ．△ABC 是锐角三角形 D ．△ABC 是钝角三角形 第2章知识要点： 一、空气 1、空气是由几种单质和几种化合物组成的混合物。 2、空气的组成：（体积比） 氮气：78% 氧气：21% 稀有气体：0.94% 二氧化碳：0.03% 其他气体和杂质0.03% 3、空气的利用。 （1）氮是构成生命体蛋白质的主要元素。 灯泡、食品中作保护气 氮气的用途制化肥、炸药、染料等 液态氮可作冷冻剂 （2）氧气与人类的关系最密切。 氧气的用途： 提供呼吸、急救病人、登山、潜水等 支持燃烧、气焊、气割、炼钢等 （3）稀有气体：化学性质很稳定，通电时能发出各种有色光。 制作保护气 用途制成各种电光源 用于激光技术 二、氧气和氧化 1、氧气的物理性质： 通常情况下是一种无色、无味气体 密度比空气大 不易溶于水（或难溶于水） 三态变化，液态氧、固态氧呈淡蓝色。 2、氧气的化学性质：供呼吸、支持燃烧、化学性质较活泼、具有氧化性。 （1）硫在氧气中燃烧： （2）S + O2 ===SO2 在氧气中燃烧时发出明亮的蓝紫色火焰，放出大量的热，生成一种有刺激性气味的气体。（在空气中燃烧时发出淡蓝色的火焰） （3）铁在氧气中燃烧： 3Fe+2O2 ==== Fe 3O4 燃烧时火星四射，放出大量的热，生成一种黑色固体（注意：铁丝燃烧时要绑一 根火柴来引燃，瓶底要放点水或细砂防止炸裂瓶底） 3、氧化反应：物质与氧发生的化学反应。 燃烧：发光发热的剧烈的氧化反应，可引起爆炸 缓慢氧化：速率缓慢的氧化反应，可引起自燃 4、氧气的制取 （1）实验室制取 ①实验室常用分解过氧化氢或加热高锰酸钾或加热氯酸钾和二氧化锰混合的方法来制取，反应的化学 方程式分别为： 2H 2O2 ====2H2O +O2 八年级数学下册第一章测试题 班级 姓名 .得分 . 一、选择题(30分) 1、下列说法正确的有（ ） （1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。 （2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 （3）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。 （4）有两条边分别相等的两个直角三角形全等。 （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 A 、 2个 B 、3个 C 、 4个 D 、 5个 2．以下命题的逆命题属于假命题的是（ ） A 、两个角相等的三角形是等腰三角形。 B 、全等三角形的对应角相等。 C 、两直线平行，内错角相等。 D 、直角三角形两锐角互 3.已知等边三角形的高为23，则它的边长为（ ） A.4 B.3 C.2 D.5 4.在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最短边 cm ，则最长边AB 的长是（ ） A.5 cm B.6 cm C.5cm D.8 cm 5.等腰三角形的底边长为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ） A. 23a B.33a C.63a D. 2 1a 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知A （2，–2），在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等到腰三角形，则符合 条件的点P 共有（ ） A.2个 B.3个 C. 4个 D.5个 7、角平分线的尺规作图，其根据是构造两个全等三角形，由作图可知：判断所构造的两个三角形全等的 依据是（ ） A 、HL B 、AAS C 、ASA D 、SAS 8．如图，由∠1=∠2，BC=DC ，AC=EC ，得△ABC ≌△EDC 的根据是（ ） A 、SAS B 、ASA C 、AAS D 、SSS 第8题 新人教版八年级下册数学知识点总结归纳期末总复习 一、 第十六章 二次根式 【知识回顾】 ： 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含 开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） ==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中 有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的=（a ≥0，b ≥0）；（b ≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，=a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 都适用于二次根式的运算 二、第十七章 勾股定理 归纳总结 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边 长为c ，那么c b a 222=+ 应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=?，则 c =，b =，a =） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。 2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足c b a 222=+那么 这个三角形是直角三角形。 应用： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。 （定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一 的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边） 3、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10； 5,12,13；7,24,25等 4.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° ?BC=2 1AB ∠C=90° 新北师大版八年级数学下册第一章证明（二）辅导资料 第一节等腰三角形 知识回顾： 复习证明全等三角形的判定方法 等腰三角形的性质： （1）、等腰三角形的两个底角，也就是说，在同一个三角形中，； （2）、等腰三角形的顶角、底边上的和互相重合，简称等腰三角形。 等腰三角形有下面的判定方法： （1）、依据三角形定义：如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。 （2）、依据定理：如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。简单地说：在同一个三角形中，； 3、有边相等的三角形叫做等腰三角形。 有三边相等的三角形叫做三角形，也叫三角形。 4、等边三角形的内角都，且等于；等边三角形是 图形 5、等边三角形的判定方法： （1）有边相等的三角形叫做等边三角形； （2）有角相等的三角形叫做等边三角形； （3）有个内角都等于600的三角形叫做等边三角形；（4）有个内角等于600的三角形叫做等边三角形。典型例题： 1、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周 长为 。 2、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周 长为。 3、等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 .则腰长为 3、如果等腰三角形的顶角等于36°，则底角等于_________度；如果 底角等于36°，那么顶角的度数为_________． 4、有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三 角形． 5、等边三角形的三个内角的度数分别为_______. 6、有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为______. 7、有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为________. 8、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度. 9、如图，，交BC于点D，，那么BC的长为_________. 10、如图，在中，D是AC上的一点，且， ，则 _______， ______， ________. 11、如图，已知：在中，，，BD是的角平分线，求的度数. 第2章 知识要点： 一、空气 1、空气是由几种单质和几种化合物组成的混合物。 2、空气的组成：（体积比） 氮气：78% 氧气：21% 稀有气体：0.94% 二氧化碳：0.03% 其他气体和杂质0.03% 3、空气的利用。 （1）氮是构成生命体蛋白质的主要元素。 灯泡、食品中作保护气 氮气的用途制化肥、炸药、染料等 液态氮可作冷冻剂 （2）氧气与人类的关系最密切。 氧气的用途： 提供呼吸、急救病人、登山、潜水等 支持燃烧、气焊、气割、炼钢等 （3）稀有气体：化学性质很稳定，通电时能发出各种有色光。 制作保护气 用途制成各种电光源 用于激光技术 二、氧气和氧化 1、氧气的物理性质： 通常情况下是一种无色、无味气体 密度比空气大 不易溶于水（或难溶于水） 三态变化，液态氧、固态氧呈淡蓝色。 2、氧气的化学性质：供呼吸、支持燃烧、化学性质较活泼、具有氧化性。 （1）硫在氧气中燃烧： （2）S+O2===SO2 在氧气中燃烧时发出明亮的蓝紫色火焰，放出大量的热， 生成一种有刺激性气味的气体。（在空气中燃烧时发出淡蓝色的火 焰） （2）铁在氧气中燃烧： （3）3Fe+2O2 ==== Fe 3O4 燃烧时火星四射，放出大量的热，生成一种黑色 固体（注意：铁丝燃烧时要绑一根火柴来引燃，瓶底要放点 水或细砂防止炸裂瓶底） 3、氧化反应：物质与氧发生的化学反应。 燃烧：发光发热的剧烈的氧化反应，可引起爆炸 缓慢氧化：速率缓慢的氧化反应，可引起自燃 4、氧气的制取 （1）实验室制取 ①实验室常用分解过氧化氢或加热高锰酸钾或加热氯酸钾和二氧化锰混合 的方法来制取，反应的化学方程式分别为： 2H 2O2 ====2H2O +O2 2KMnO4====K2MnO4 + MnO2 +O2 2KClO3 =======2KCl +3O2 ②实验室装置图课本45和46页 ③排水法（因为氧气不易溶于水或难溶于水） 收集方法向上排空气法（因为氧气密度比空气大） （2）工业制法：分离空气发（属于物理变化的过程） 5、催化剂。 一变：改变其他物质化学反应的速度 二不变：本身质量化学反应前后不变 本身化学性质 6、灭火和火灾自救 （1）温度达到着火点以下 可燃物燃烧条件跟氧气充分接触 （2） 温度达到着火点以下 灭火方法跟氧气隔绝 （3）火灾自救及措施（看课本） 三、化学反应与质量守恒 1、化合反应和分解反应 （1）化合反应：A+B C （2）分解反应：AB+C 2、质量守恒定律 （1）定义：参加化学反应的各物质的质量总和等于反应后生成的各物质的质量总和，这个定律叫质量守恒定律。 （2）质量守恒定律的解释 原子种类没有变化 反应前后原子数目没有增减 （3）化学反应前后一定不变的量：①原子种类②元素种类③原子数目 ④物质总质量 3、化学方程式。 （1）定义：用化学式来表示化学反应的式子 （2）化学方程式的书写原则： 一是以客观事实为依据；二是要遵守质量守恒定律 第一章 直角三角形 1、直角三角形的性质： ①直角三角形的两锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 如图，在Rt ?ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴1 2 CD AB = 。 例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 . ③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角 边等于斜边的一半。 如图，在Rt ?ABC 中，∵∠A=30°，∴1 2 BC AB = 。 例·在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（ ）。 A ．AB=2BC B ．AB=2A C C ．AC 2+AB 2=BC 2 D ．AC 2+BC 2=AB 2 ④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°。 如图，在Rt ?ABC 中，∵1 2 BC AB = ，∴∠A=30°。 例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是 。 ⑤勾股定理及其逆定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方，即2 2 2 a b c +=。 求斜边，则c =求直角边，则a =b 例·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ，，∠CAD=60°，则拉线AC 的长是________m 。 例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。 （2）逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。 分别计算“2 2 a b +”和“2 c ”，相等就是Rt ?，不相等就不是Rt ?。 例·在Rt△ABC 中，若，，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。 A ．∠C=90° B．∠B=90° C ．△ABC 是锐角三角形 D ．△ABC 是钝角三角形 例·一块木板如右图所示，已知AB =4，BC =3，DC =12，AD =13，，木板的面积为 。 例·某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，?已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？ 八年级数学上册第一章复习要点 重点、难点: 重点：有平方根、立方根的概念及意义和点的坐标。 难点：平方根、立方根等概念的理解、简单实数运算及无理数大小的比较。 一、知识框架图: 二、重要知识点 一)、知识点提示： 1、平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数等概念的理解，举例说明。 2、实数怎样分类？ 3、如何在产面直角坐标系中，说出点的坐标及根据坐标找点。 4、在实数范围内找一个数的绝对值、倒数、相反数、及各种运算的运算顺序。 二)知识点 平方根: １、概念:如果有一个数r，使得a r=2，那么我们把ｒ叫作a的一个平方根。 ①、一个正数的平方根有两个,它们互为相反数; ②、负数没有平方根; ③、０的平方根有且只有一个（它就是0） ④、ａ的正平方根叫作ａ的算术平方根,记作a 2、求一个非负数的平方根，叫作开平方。一个正．数先开平方再2次方等于它本身; 一个正．数先2次方再开平方也等于它本身。立方根 1、概念：如果有一个数b，使得a b=2,那么我们把b叫作a的一个立方根。 ①、一个正数有一个立方根，它是正数;②、负数有一个负的立方根； ③、0的平方根有且只有一个（它就是0) ④、ａ的立方根记作3a。 2、求立方根号a,叫作开立方。一个数先开立方再3次方等于它本身; 一个数先3次方再开立方也等于它本身。 实数: 1、有理数和无理数统称为实数。 2、实数的分类 3、数轴上的点与实数一一对应。 4、实数大小的比较。 无理数:无限不循环小数。 有效数字:从左边第一个不为0的数字起,到时精确到的数位止共有几个数 字则这个数的有效数字就是几位。 平而直角坐标系： 1、能写出点的坐标和根据点的坐标描点。 八年级数学下册知识点总结 第十六章 二次根式 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。 3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a 4.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 5.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 6.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 7.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =·（a ≥0，b ≥0）； （b ≥0，a>0）． （3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式1） ， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 ab a b b b a a = 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+（＞0） （＜0） 0 （=0）； （1） x x -- +31 5； （2） 2 2)-(x 例3、 在根式，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知： 的值。求代数式22,211881-+-+++ -+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b =b －a ，则 ( ) A. a>b B. a>时，①如果a b >a b >a b >时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。 22 2;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-2 ()a b -11()b a b b a a b ++++51+51- 八年级数学下第一章检测题-----（专用） 一 选择题 1已知等腰三角形的两条边长是7和3，那么第三条边长是 （ ） A 8 B 7 C 4 D 3 2、如图，由∠1=∠2，BC=DC ，AC=EC ，得△ABC ≌△EDC 的根据是（ ） A 、SAS B 、ASA C 、AAS D 、SSS 3、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ） A 、4 B 、10 C 、4或10 D 、以上答案都不对 4、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交CB 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于 60°的角的个数为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 (第2题图) 5．如图1，AB ＝AC ，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，则图中全等 三角形的对数为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．在△ABC 和△DEF 中，已知∠C =∠D ，∠B =∠E ，要判定这两个三角形 全等，还需要条件（ ） A ．A B =ED B ．AB =FD C ．AC =F D D ．∠A =∠F 7．一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且()()()0a b b c c a ---=，则该三角形必为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 8．如图2所示， △ABC 为直角三角形，BC 为斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与 △ACP ′重合．如果AP =3，那么PP ′的长等于（ ） A ．3 B ． C ． D ．4 二、填空题 1．如图3，等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD = ． 2．已知等腰三角形的一个内角是100°，则其余两个角的度数分别为 ． 3．如图5，△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 边上，且BD =BC =AD ，则∠A 等于 ． 4.如图,D,E 分别为AB,AC 的中点,将△ABC 沿线段DE 折叠,使点A 落在点F 处,若∠B=50°, 则∠BDF= . 5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为a,则其腰上的高是 . 6.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 的长为2018八年级数学下册第一章知识点总结北师大版
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