第1章命题逻辑基本概念
主要内容
1. 命题与真值（或真假值）。
2. 简单命题与复合命题。
3. 联结词：否定联结词┐，合取联结词∧，析取联结词∨，蕴涵联结词→，等价联结
词。
4. 命题公式（简称公式）。
5. 命题公式的层次和公式的赋值。
6. 真值表。
7. 公式的类型（重言式（或永真式），矛盾式（或永假式），可满足式）。
学习要求
1. 在5种联结词中，要特别注意蕴涵联结的应用，要弄清三个问题：
① p→q的逻辑关系
② p→q的真值
③ p→q的灵活的叙述方法
2. 写真值表要特别仔细认真，否则会出错误。
3. 深刻理解各联结词的逻辑含义。
4. 熟练地将复合命题符号化。
6. 会用真值表求公式的成真赋值和成假赋值。
1.1 命题与联结词 (2)
一、命题的概念 (2)
二、复合命题与联结词 (2)
三、复合命题真假值 (5)
1.2 命题公式及其赋值 (6)
一、命题公式的定义 (6)
二、公式的层次 (6)
三、公式的赋值 (6)
四、真值表 (7)
五、公式的真假值分类 (8)
1.1 命题与联结词
一、命题的概念
引言中的例子就是要对“我戴的是黑帽子”进行判断。这样的陈述句称为命题。
作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。任何命题的真值都是唯一的。
判断给定句子是否为命题，应该分两步：首先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的真值。
例1.1 判断下列句子是否为命题。
(1) 4是素数。
(2) 是无理数。
(3) x大于y。
(4) 月球上有冰。
(5) 2100年元旦是晴天。
(6) π大于吗？
(7) 请不要吸烟！
(8) 这朵花真美丽啊！
(9) 我正在说假话。
解:本题的(9)个句子中，(6)是疑问句，(7)是祈使句，(8)是感叹句，因而这3个句子都不是命题。剩下的6个句子都是陈述句，但(3)无确定的真值，根据x,y的不同取值情况它可真可假，即无唯一的真值，因而不是命题。若(9)的真值为真，即“我正在说假话”为真，也就是“我正在说真话”，则又推出(9)的真值应为假；反之，若(9)的真值为假，即“我正在说假话”为假，也就是“我正在说假话”，则又推出(9)的真值应为真。于是(9)既不为真又不为假，因此它不是命题。像(9)这样由真推出假，又由假推出真的陈述句称为悖论。凡是悖论都不是命题。本例中，只有(1)，(2)，(4)，(5)是命题。(1)为假命题，(2)为真命题。虽然今天我们不知道(4)，(5)的真值，但它们的真值客观存在，而且是唯一的，将来总会知道(4)的真值，到2100年元旦(5)的真值就真相大白了。
问：引言中有哪些命题？
二、复合命题与联结词
各种论述和推理中，出现的命题多数比例1.1中的命题更加复杂。
例1.2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。全是命题。
上述命题都是通过诸如“或”，“如果……，则……”等连词联结而成，这样命题，称为复合命题。相对地，构成复合命题的命题称为简单命题。
数理逻辑中，通常通过下列“联结词”来构成复合命题。
方式一：例1.2中“是有理数是不对的”是“是有理数”的否定。
定义1.1设p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式,记作┐p，符号┐称作否定联结词。并规定┐p为真当且仅当p为假。
方式二：例1.2中“2是偶素数”是“2是偶数”且“2是素数”的复合。
定义1.2设p,q为二命题，复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词。并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真。
问题：“既……又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”、“一面……一面……”等联结而成地复合命题是否仍为合取式？还有哪些“合取词”？
方式三：例1.2中“2或4是素数”为“2是素数”与“4是素数”通过“或”复合而成。
定义1.3设p，q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词。并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假。
注意：按定义1.3在析取式p∨q中，若p，q都为真，则p∨q为真。“或”还有另外一种用法：当p，q都为真时，析取起来为假。前者称为相容或，后者称为排斥或(排异或)。
例1.3 将下列命题符号化。
(1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐。
(2) 张晓静是江西人或安徽人。
(3) 张晓静只能挑选202或203房间。
解在解题时，先将原子命题符号化。
(1) p：张晓静爱唱歌。
q：张晓静爱听音乐。
显然(1)中“或”为相容或，即p与q可以同时为真，符号化为p∨q.
(2) r：张晓静是江西人。
s：张晓静是安徽人。
易知，(2)中“或”应为排斥或，但r与s不能同时为真，因而也可以符号化为r∨s.
(3) t：张晓静挑选202房间。
u：张晓静挑选203房间。
由题意可知，(3)中“或”应为排斥或。t，u的联合取值情况有四种：同真，同假，一真一假(两种情况)。如果也符号化为t∨u，张晓静就可能同时得到两个房间，这违背题意。因而不能符号化为t∨u.如何达到只能挑一个房间的要求呢？可以使用多个联结词，符号化为
(t∧┐u)∨(┐t∧u)
此复合命题为真当且仅当t，u中一个为真，一个为假，它准确地表达了(3)的要求。当t 为真u为假时，张晓静得到202房间，t为假u为真时，张晓静得到203房间，其它情况下，她得不到任何房间。
可见，相斥或可由相容或表示出来。
问：相容或能否由相斥或表示出来呢？
方式四：例1.2中“如果2是素数，则3也是素数”为“2是素数”与“3是素数”通过“如果……,则……”复合而成的。
定义1.4设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，→称作蕴涵联结词。并规定p→q为假当且仅当p为真q为假。
p→q的逻辑关系表示q是p的必要条件。
注意：在使用联结词→时，要特别注意以下几点：
1．在自然语言里，特别是在数学中，q是p的必要条件有许多不同的叙述方式。例如，“只要p，就q”，“因为p，所以q”，“p仅当q”，“只有q才p”，“除非q才p”，“除非
q，否则非p”等等。以上各种叙述方式表面看来有所不同，但都表达的是q是p的必要条件，因而所用联结词均应符号化为→，上述各种叙述方式都应符号化为p→q.
2．在自然语言中，“如果p，则q”中的前件p与后件q往往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，p与q可以无任何内在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果p，则q”往往表达的是前件p为真，后件q也为真的推理关系。但在数理逻辑中，作为一种规定，当p为假时，无论q是真是假，p →q均为真。也就是说，只有p为真q为假这一种情况使得复合命题p→q为假。
方式五：例1.2中“2是素数当且仅当3是素数”为“2是素数”与“3是素数”通过“当且仅当”复合而成的。
定义1.5设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q，称作等价联结词。并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。
p q的逻辑关系为p与q互为充分必要条件。
以上定义了五种最基本、最常用、也是最重要的联结词┐，∧，∨，→，，将它们组成一个集合{┐，∧，∨，→，}，称为一个联结词集。其中┐为一元联结词，其余的都是二元联结词。
使用这些联结词有什么好处呢？可以将复杂命题表示成简单的符号公式。
例1.4将下列命题符号化。
(1) 吴颖既用功又聪明。
(2) 吴颖不仅用功而且聪明。
(3) 吴颖虽然聪明，但不用功。
(4) 张辉和王丽都是三好学生。
(5) 张辉与王丽是同学。
解首先将原子命题符号化：
p: 吴颖用功。
q: 吴颖聪明。
r: 张辉是三好学生。
s: 王丽是三好学生。
t: 张辉与王丽是同学。
(1)到(4)都是复合命题，它们使用的联结词表面看来各不相同，但都是合取联结词，都应符号化为∧，(1)到(4)分别符号化为p∧q，p∧q，q∧┐p，r∧s.在(5)中，虽然也使用了联结词“与”，但这个联结词“与”是联结该句主语的，而整个句子仍是简单陈述句，所以(5)是原子命题，符号化为t.
例1.5将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值：
(1) 如果3+3＝6，则雪是白的。
(2) 如果3+3≠6，则雪是白的。
(3) 如果3+3＝6，则雪不是白的。
(4) 如果3+3≠6，则雪不是白的。
以下命题中出现的a是一个给定的正整数：
(5) 只要a能被4整除，则a一定能被2整除。
(6) a能被4整除，仅当a能被2整除。
(7) 除非a能被2整除，a才能被4整除。
(8) 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。
(9) 只有a能被2整除，a才能被4整除。
(10)只有a能被4整除，a才能被2整除。
解令p：3+3＝6，p的真值为1。
q：雪是白色的，q的真值也为1。
(1)到(4)的符号化形式分别为p→q，┐p→q，p→┐q，┐p→┐q.这四个复合命题的真值分别为1，1，0，1。
以上四个蕴涵式的前件p与后件q没有什么内在的联系。
令r：a能被4整除。
s：a能被2整除。
仔细分析可知，(5)到(9)五个命题均叙述的是a能被2整除是a能被4整除的必要条件，只是在叙述上有所不同，因而都符号化为r→s。由于a是给定的正整数，因而r与s的真值是客观存在的，但是我们不知道。可是r与s是有内在联系的，当r为真(a能被4整除)时，s必为真(a能被2整除)，于是r→s不会出现前件真后件假的情况，因而r→s 的真值为1.
而在(10)中，将a能被4整除看成了a能被2整除的必要条件，因而应符号化为s→r。由于a能被2整除不保证a一定能被4整除，所以当我们不知道给定的a为何值时，也不能知道s→r会不会出现前件为假的情况，因而也不知道s→r的真值。
例1.6将下列命题符号化，并讨论它们的真值。
(1) 是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
(2) 2+3＝5的充要条件是是无理数。
(3) 若两圆A，B的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然。
(4) 当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
解令p：是无理数，真值为1，
q：加拿大位于亚洲，真值为0，
则将(1)符号化为p q，其真值为0.
令r：2＋3＝5，其真值为1，则将(2)符号化为r p，真值为1.
令s：两圆A，B面积相等，
t：两圆A，B的半径相等，
则将(3)符号化为s t，虽然不知道s，t的真值，但由s与t的内在联系可知，s
t的真值为1.
令u：王小红心情愉快，
v：王小红唱歌，
则将(4)符号化为u v.其真值要由具体情况而定。
三、复合命题真假值
通常用1表示真，用0表示假，复合命题的真假值如表1.1。
表1.1 基本复合命题的真值
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序：( )，┐，∧，∨，→，，对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。
例1.7令p：北京比天津人口多。
q：2+2＝4. ;
r：乌鸦是白色的。
求下列复合命题的真值：
(1) ((┐p∧q)∨(p∧┐q))→r
(2) (q∨r)→(p→┐r)
(3) (┐p∨r)(p∧┐r)
解p，q，r的真值分别为1，1，0，容易算出(1)，(2)，(3)的真值分别为1，1，0。
1.2 命题公式及其赋值
一、命题公式的定义
上节说明了命题可以表示为符号串，那么符号串是否都代表命题呢？显然不是，如“PV”，“PP→”。哪些符号串代表命题呢？
由于简单命题是真值唯一确定的命题逻辑中最基本的研究单位，所以也称简单命题为命题常项或命题常元。从本节开始对命题进一步抽象，首先称真值可以变化的陈述句为命题变项或命题变元，也用p,q,r,…表示命题变项。当p,q,r,…表示命题变项时，它们就成了取值0或1的变项，因而命题变项已不是命题。这样一来，p,q,r,…既可以表示命题常项，也可以表示命题变项。在使用中，需要由上下文确定它们表示的是常项还是变项。
定义1.6
(1)单个命题变项是合式公式，并称为原子命题公式。
(2)若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。
(3)若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(A B)也是合式公式。
(4)只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才是合式公式。
合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称为公式。
如：(p→q)∧(q r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r，（p→(r →q)等不是合式公式。
注意：定义1.6给出的合式公式的定义方式称为归纳定义方式，下文中还将多次出现这种定义方式。
二、公式的层次
为描述公式构造的复杂性，引入下列“层次”定义。
定义1.7
(1)若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式。
(2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：
(a) A＝┐B，B是n层公式；
(b) A＝B∧C，其中B，C分别为i层和j层公式，且n＝max(i，j)；
(c) A＝B∨C，其中B，C的层次及n同(b)；
(d) A＝B→C，其中B，C的层次及n同(b)；
(e) A＝B C，其中B，C的层次及n同(b)；
(3)若公式A的层次为k，则称A是k层公式。易知，(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式。
三、公式的赋值
公式就代表命题，但代表的命题是真还是假呢？
在命题公式中，由于有命题符号的出现，因而真值是不确定的。当将公式中出现的全部命题符号都解释成具体的命题之后，公式就成了真值确定的命题了。例如，在公式(p ∨q)→r中，若将p解释成：2是素数，q解释成：3是偶数，r解释成：是无理数，则p与r被解释成真命题，q被解释成假命题了，此时公式(p∨q)→r被解释成：若2是素数或3是偶数，则是无理数。这是一个真命题。若p，q的解释不变，r被解释为：是有理数，则(p∨q)→r被解释成：若2是素数或3是偶数，则是有理数。这是个假命题。其实，将命题符号p解释成真命题，相当于指定p的真值为1，解释成假命题，相当于指定p的真值为0。下面的问题是，指定p，q，r的真值为何值时，(p∨q)→r的真值为1；指定p，q，r的真值为何值时，(p∨q)→r的真值为0。
定义1.8设p1,p2,…,p n是出现在公式A中的全部命题符号，给p1,p2,…,p n各指定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的真值为1，则称这组值为A 的成真赋值；若使A的真值为0，则称这组值为A的成假赋值。
在本课件中，对含n个命题变项的公式A的赋值情况做如下规定：
1．若A中出现的命题符号为p1,p2,…,p n，给定A的赋值α1,α2,…,αn是指p1＝α1，p2＝α2,…，p n＝αn。
2．若A中出现的命题符号为p，q，r...,给定A的赋值α1,α2,…,αn是指p＝α1，q ＝α2,…，最后一个字母赋值αn。
上述αi取值为0或1，i＝1,2,…,n。
例如，在公式(┐p1∧┐p2∧┐p3)∨(p1∧p2)中，000(p1＝0，p2＝0，p3＝0)，110(p1＝1，p2＝1，p3＝0)都是成真赋值，而001(p1＝0，p2＝0，p3＝1)，011(p1＝0，p2＝1，p3＝1)都是成假赋值。在(p∧┐q)→r中，011(p1＝0，p2＝1，p3＝1)为成真赋值，100(p1＝1，p2＝0，p3＝0)为成假赋值。
不难看出，含n(n≥1)个命题变项的公式共有2n个不同的赋值。
四、真值表
为看清公式在赋值下的取值，通常构造下面的“真值表”。
定义1.9将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表，称作A的真值表。
构造真值表的具体步骤如下：
(1) 找出公式中所含的全体命题变项p1,p2,…,p n (若无下角标就按字典顺序排列)，列出2n个赋值。本课件规定，赋值从00…0开始，然后按二进制加法依次写出各赋值，直到11…1为止。
(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次。
(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计算出公式的真值。
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(1)(┐p∧q)→┐r
(2)(p∧┐p)(q∧┐q)
(3) ┐(p→q)∧q∧r
解公式(1)是含3个命题变项的3层合式公式。它的真值表如表1.2所示。
表1.2 (┐p∧q)→┐r的真值表
从表1.2可知，公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值。
公式(2)是含2个命题变项的3层合式公式，它的真值表如表1.3所示。从表1.3可以看出，该公式的4个赋值全是成真赋值，即无成假赋值。
表1.3 (p∧┐p)(q∧┐q)的真值表
公式(3)是含3个命题变项的4层合式公式。它的真值表如表1.4所示。不难看出，该公式的8个赋值全是成假赋值，它无成真赋值。
表1.4 ┐(p→q)∧q∧r的真值表
表1.2～表1.4都是按构造真值表的步骤一步一步地构造出来的，这样构造真值表不易出错。如果构造的思路比较清楚，有些层次可以省略。
五、公式的真假值分类
可根据公式的取值情况对公式进行如下分类。
定义1.10设A为任一命题公式。
(1) 若A在它的各种赋值下取值均为真,则称A是重言式或永真式。
(2) 若A在它的各种赋值下取值均为假,则称A是矛盾式或永假式。
(3) 若A不是矛盾式,则称A是可满足式。
从定义不难看出以下几点：
1. A是可满足式的等价定义是：A至少存在一个成真赋值。
2. 重言式一定是可满足式，但反之不真。因而，若公式A是可满足式，且它至少存在一个成假赋值，则称A为非重言式的可满足式。
3. 真值表可用来判断公式的类型:
(1) 若真值表最后一列全为1，则公式为重言式。
(2) 若真值表最后一列全为0，则公式为矛盾式。
(3) 若真值表最后一列中至少有一个1，则公式为可满足式。
从表1.2～1.4可知，例1.8中，公式(1)(┐p∧q)→┐r为非重言式的可满足式，公式(2)(p∧┐p)(q∧┐q)为重言式，而公式(3)┐(p→q)∧q∧r为矛盾式。
注：关于n个命题变元P1,P2,…,P n,可以构造多少个真值表呢? n个命题变元共产生2n 个不同赋值,在每个赋值下,公式的值只有0和1两个值。于是n个命题变元的真值表共有种不同情况。
例1.9 下列各公式均含两个命题变项p与q，它们中哪些具有相同的真值表?
(1) p→q
(2) p q
(3) ┐(p∧┐q)
(4) (p→q)∧(q→p)
(5) ┐q∨p
解构造过程不写,表1.5给出了这5个公式的真值表。从表中可看出,(1),(3)具有相同的真值表,(2),(4)具有相同的真值表。
表1.5 5个公式的真值表
例1.10下列公式中,哪些具有相同的真值表?
(1) p→q
(2) ┐q∨r
(3) (┐p∨q)∧((p∧r)→p)
(4) (q→r)∧(p→p)
解本例中给出的4个公式,共同含有3个命题变项，r在公式(1)中不出现，称为(1)的哑元，p是公式(2)中的哑元，讨论它们是否有相同的真值表时，均按三个命题变项写出它们的真值表。表1.6列出这4个公式的真值表，中间过程省略了。从表中看出，(1)与(3)有相同的真值表，(2)与(4)有相同的真值表。
表1.6 4个公式的真值表
主要内容
1. 命题与真值（或真假值）。
2. 简单命题与复合命题。
3. 联结词：否定联结词┐，合取联结词∧，析取联结词∨，蕴涵联结词→，等价联结
词。
4. 命题公式（简称公式）。
5. 命题公式的层次和公式的赋值。
6. 真值表。
7. 公式的类型（重言式（或永真式），矛盾式（或永假式），可满足式）。
学习要求
1. 在5种联结词中，要特别注意蕴涵联结的应用，要弄清三个问题：
① p→q的逻辑关系
② p→q的真值
③ p→q的灵活的叙述方法
2. 写真值表要特别仔细认真，否则会出错误。
3. 深刻理解各联结词的逻辑含义。
4. 熟练地将复合命题符号化。
6. 会用真值表求公式的成真赋值和成假赋值。
1.判断下列陈述是否是命题？如果是命题，是否是复合命题？
（1）是无理数
A.是命题也是复合命题
B.是命题但不是复合命题
C.不是命题
（2）7能被2整除
A.是命题也是复合命题
B.是命题但不是复合命题
C.不是命题
（3）什么时候开会呀？
A.是命题也是复合命题
B.是命题但不是复合命题
C.不是命题
（4）2x+3<4
A.是命题也是复合命题
B.是命题但不是复合命题
C.不是命题
（5）3是素数当且仅当四边形内角和为360度。
提示参看命题、简单命题、复合命题。
答案（1）B ；（2）B；（3）C；（4）C；（5）A
2.下列语句中哪些是命题？是命题的句子中哪些是简单命题？
（1）请快开门！
A.不是命题
B.是命题但不是简单命题
C.是命题而且是简单命题
（2）你去哪里？
A.不是命题
B.是命题但不是简单命题
C.是命题而且是简单命题
（3）这房间可真热呀！
A.不是命题
B.是命题但不是简单命题
C.是命题而且是简单命题
（4）x+y>10。
A.不是命题
B.是命题但不是简单命题
C.是命题而且是简单命题
（5）苹果树和梨树都是落叶乔木。
A.不是命题
B.是命题但不是简单命题
C.是命题而且是简单命题
（6）2是质数或合数。
A.不是命题
B.是命题但不是简单命题
C.是命题而且是简单命题
（7）豆沙包是由面粉和红小豆做成的。
A.不是命题
B.是命题但不是简单命题
C.是命题而且是简单命题
（8）吃一堑，长一智。
A.不是命题
B.是命题但不是简单命题
C.是命题而且是简单命题
（9）n是偶数当且仅当它能被3整除。（n为一固定的自然数）
A.不是命题
B.是命题但不是简单命题
C.是命题而且是简单命题
提示参看命题、简单命题、复合命题。
答案（1）A；（2）A；（3）A；（4）A；（5）B；（6）B；（7）C；（8）B；（9）B。
3.将上题中的命题符号化，并指出真值。
上题中语句（5）——（9）为命题，如下所示：
（5）苹果树和梨树都是落叶乔木。
（6）2是质数或合数。
（7）豆沙包是由面粉和红小豆做成的。
（8）吃一堑，长一智。
（9）n是偶数当且仅当它能被3整除。（n为一固定的自然数）
提示参看简单命题、复合命题、命题符号化。
答案
（5）设p：苹果树是落叶乔木，q：梨树是落叶乔木。
本命题符号化为p∧q，是真命题。
（6）设p：2是质数（即素数），q：2是合数。
本命题符号化为p∨q，并且为真命题。
（7）设p：豆沙包是由面粉和红小豆做成的。
本命题为真命题，而且为简单命题。
（8）设p：吃一堑，q：长一智。
符号化为p→q，为真命题。
（9）设p：n是偶数，q：n能被3整除。
命题符号化为p q，本命题的真值与n有关，可能为真、也可能为假。
4.设p：星期六天气好，q：我去公园玩。将下列命题符号化。
（1）只要星期六天气好，我就去公园玩。
（2）只有星期六天气好，我才去公园玩。
（3）除非星期六天气好，否则我不去公园玩。
提示参看蕴涵联结词。
答案
（1）p→q
（2）q→p或┐p→┐q
（3）q→p或┐p→┐q
5.设p：是无理数，q：北京比天津人口多，r：美国的首都是旧金山。求下列各公式
的真值：
（1）(p∨q)→r
A.0
B.1
（2）(q∨r)→(p→┐r)
A.0
B.1
（3）(q→r)(p∧┐r)
A.0
B.1
（4）(q→p)→((p→┐r)→(┐r→┐q))
A.0
B.1
提示参看复合命题与联结词。
答案（1）A；（2）B；（3）A；（4）A。
6.用真值表判断下列公式的类型：
（1）p∧┐(q→p)
（2）(p→q)→(┐q→┐p)
（3）(p→q)p
提示参看真值表。
答案
表1 p∧┐(q→p)的真值表
表2 (p→q)→(┐q→┐p)的真值表
表3 (p→q)p的真值表（1）为矛盾式；（2）为重言式；（3）为可满足式；
第二章 命题逻辑 习题．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。 ⑵x 取值不确定，所以不是命题。 ⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑸是命题，真值由具体情况确定。 ⑹是命题，真值由具体情况确定。 ⑺是真命题。 ⑻是悖论，所以不是命题。 ⑼是假命题。 2．解 ⑴是复合命题。设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。 ⑵是疑问句，所以不是命题。 ⑶是悖论，所以不是命题。 ⑷是原子命题。 ⑸是复合命题。设p ：王海在学习；q ：李春在学习。命题符号化为p q 。 ⑹是复合命题。设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。p q 。 ⑺不是命题。 ⑻不是命题 ⑼。是复合命题。设p ：王海是女孩子。命题符号化为：p 。 3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。 ⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。 ⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。 4．解 ⑴p (q r )。⑵p q 。⑶q p 。⑷q p 。 习题 1．解 ⑴是1层公式。 ⑵不是公式。 ⑶一层： p q ，p 二层： p q 所以，)()(q p q p ??→∨是3层公式。 ⑷不是公式。 ⑸(p q )(q ( q r ))是5层公式，这是因为 一层：p q ，q ，r 二层：q r 三层：q ( q r ) 四层： (q ( q r )) 2．解 ⑴A =(p q )q 是2层公式。真值表如表2-1所示： 表2-1 p q q p ∨ A 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 ⑵p q p q A →→∧=)(是3层公式。真值表如表2-2所示：
司法推理的概念分析 学者们对于法律推理的涵义，至今未能统一，总体可归纳为以下三种观点： 一是法律推理即法律逻辑。这种观点在国内外有一定的代表性。认为法律推理是形式逻辑在法律中的应用，是一种逻辑学理论在法学领域中的应用活动。《牛津法律大辞典》解释为："法律推理大体上是对法律命题运用一般逻辑推理的过程"。国内出版的法律逻辑学著作中，对法律逻辑的定义大都使用与这一定义类似，如吴家麟主编的《法律逻辑学》一书中认为："法律逻辑学是一门应用性质的形式逻辑分支学科，它的任务在于把形式逻辑一般原理应用于法学和法律工作的实际，探索在法律领域应用形式逻辑的具体特点，因此，法律逻辑学并没有与传统形式逻辑不同的特殊对象，研究的还是属于思维领域的现象。"这种将法律推理定义为运用形式逻辑规则去解析司法实例的法律推理观，有它的不妥之处，主要表现在：一方面，从逻辑理论和实践的产生关系来看，"亚里士多德的逻辑，在古希腊丰富的论辩材料和几何证明材料的基础上，对正确论辩和有效证明的思维经验的总结"①，这说明就在亚里士多德概括总结逻辑思维方式的理论之前，就已经存在了运用逻辑思维规律的实践，就司法三段论来
说，"早在亚里士多德从逻辑学上提出三段论的理论之前，三段论包括司法三段论的思维实践就已经存在并为亚里士多 德逻辑理论的提出提供了不可或缺的材料"。②因此将法律推理说成是逻辑思维方式在法律活动中的应用，不是十分恰当。况且，在缺少像西方那样的完整逻辑体系的中国古代，司法官所用到的法律推理多是一种实践理性。另一方面，法律推理的研究有其自身的特殊性。在法律中运用逻辑当然要考虑到逻辑规则的要求，而且法律推理还要关注法律原则以及推理所得结论的合理与正义性，这是形式逻辑所不能完成的任务，正如雍琦学者所言：我们现有的逻辑教材提供的知识却难称其"职"。就以传统的形式逻辑（或普通逻辑）来说，尽管它与人们的日常思维联系比较密切，至今也不失为其普遍适用的意义，但它终究是适用于各个领域的一般性知识；它没有、也不可能对法律适用活动这一特定领域中具有特殊性意义的思维形式和方法，给以科学的概括和说明。"③实际上，法律推理不仅需要形式推理，也要用到形式推理之外的辩证推理。 二是法律推理即规范推理。该观点认为，法律推理是规范到规范的推理，是关于法律规范的推理，将包括模态命题和规范逻辑的现代逻辑理论应用于法律领域中，是以规范逻辑推导关系为基础，例如，《中华人民共和国刑事诉讼法》第6条规定："人民法院、人民检察院和公文机关进行刑事诉
一，简答定义的规则，以及违反规则所犯的逻辑错误． 1义必须相应相称．，违反这条规则就会犯定义过宽，或定义过窄你的逻辑错误。 2定义中不能直接或间接地包含被定义项，违反这条规则就会犯同语反复或循环定义的逻辑错误。 3不能用负概念去定义正概念．违反这条规则就会犯-定义否定一的逻辑错误． 4定义必须清楚确切．违反这条规则就会犯“定义含混的逻辑错误．- 二，简答演绎推理与归纳推理的区别． 1．思维进程的方向不同．演绎推理是从一般到特殊，而归纳推理则是从特殊到.-般． 2．前提与结论的联系性质不同，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，因而其结论是必然的．而归纳推理的结论则一般超出前提所断定的范围，因而其结论一般是或然的．_ 三、简答直言命题的种类，写出其逻辑形式公式，并分别描述其主、谓项的周延性情况． 1．全称肯定命题．SAP．主项周延，谓项不周延． 2．全称否定命题．SEP．主项周延，谓项周延． 3．特称肯定命题．SIP．主项不周延，谓项不周延． 4，特称否定命题．SOP，主项不周延，谓项周延． 5．单称肯定命题．SAP．主项周延，谓项不周延． 6．单称否定命题。SEP．主项周延，谓项周延。- 四、简答三段论的基本规则。 1．一个三段论有且只有三个不同的项。 2．中项在两前提中至少周延一次． 3．前提中不周延的项在结论中也不得周延。 4．两否定前提推不出任何必然性结论。 5．如果前提之一是否定的，则结论也是否定的l如果结论是否定的，那么必有一个前提是否定的， 五、简答充分条件假言推理的规则，并写出其有效的推理形式．规则： 1．肯定前件就要肯定后件．但否定前件不能否定后件． 2．否定后件就要否定前件．但肯定后件不能肯定前件， 有效的推理形式．1．肯定前件式 2．否定后件式． 六、简答充分条件假言推理的规则．并举例说明它的一个有效的推理形式”规则： 1．肯定前件就要肯定后件，但否定前件不能否定后件 2．否定后件就要肯定前件，但肯定后件不能肯定前件。 举例说明:如果物体不受外力作用，那么它将保持静止或匀速直线运动 七、简答必要条件假言推理的规则，并写出其有效的推理形式。
离散数学（课件上习题） 第一章 例1-1.1 判定下面这些句子哪些是命题。 ⑴2是个素数。 ⑵雪是黑色的。 ⑶2013年人类将到达火星。 ⑷如果a>b且b>c，则a>c 。（其中a,b,c都是 确定的实数） ⑸x+y<5 ⑹请打开书！ ⑺您去吗？ ⑴⑵⑶⑷是命题 例1-2.1 P：2是素数。 ?P：2不是素数。 例1-2.2 P：小王能唱歌。 Q：小王能跳舞。 P∧Q：小王能歌善舞。 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。（析取“∨”） 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。（异或、排斥或。即“?”） 注意：P ?Q 与(P∧?Q)∨(Q∧?P ) 是一样的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词，分别是：（1）否定“?”(2) 合取“∧”(3) 析取“∨”(4) 异或“?”(5) 蕴涵“→”(6) 等价“?” 例1-2.5：P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 P→Q：如果缺少水分，植物就会死亡。 P→Q：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”，“如果P则Q”。 也说成P是P→Q 的前件，Q是P→Q的后件。 还可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。 以下是关于蕴含式的一个例子 P：天气好。Q：我去公园。 1.如果天气好，我就去公园。 2.只要天气好，我就去公园。 3.天气好，我就去公园。 4.仅当天气好，我才去公园。 5.只有天气好，我才去公园。 6.我去公园，仅当天气好。 命题1.、2.、3.写成：P→Q 命题4.、5.、6.写成：Q→P 例1-2.6：P：△ABC 是等边三角形。Q ：△ABC是等角三角形。 P?Q ：△ABC 是等边三角形当且仅当它是等角三角形。
高考化学基本概念基本理论命题特点和复习策略 一、基本概念、化学基本理论知识体系及考点 化学基本概念与基本理论是化学的最基本内容与最基础的知识,是学习的难点,学生的分化点,更是高考的重点。基本概念＂块":包括物质组成和分类线、性质变化线、化学用语线、分散系统、化学量线等五条知识线(或小系统）。基础理论＂块":包括结构理论(原子结构，分子即化学键理论,晶体结构理论）和元素周用律、周期表线，电解质溶液（含氧化-还原理论）线，化学反应速度和化学平衡理论线。理论块是化学的灵魂。主要考点有：紧密联系生产、生活实际，理解酸、碱、盐、氧化物的概念及其相互联系,掌握电子式、原子结构示意图、分子式、结构式和结构简式的表示方法,理解质量守恒定律的含义，能正确书写化学方程式、热化学方程式、离子方程式、电离方程式、电极方程式,理解物质的量浓度、阿伏加德罗常数的含义,掌握物质的量与微粒数目、气体体积之间的相互关系,能够判断氧化还原反应中电子转移的方向、数目，并能配平反应方程式，了解原子的组成及同位素的概念,掌握元素周期律的实质，了解元素周期表的结构,掌握同一周期内元素性质的递变规律与原子结构的关系,掌握同一主族内元素性质递变规律与原子结构的关系,了解化学反应速率的概念，反应速率的表示方法,理解外界条件对反应速率的影响,理解离子反应的概念及离子共存、离子浓度问题，掌握有关相对原子质量、相对分子质量及确定分子式的计算，掌握有关物质的量为核心的计算(含溶液PＨ的计算、溶液浓度、质量分数、溶解度有关计算），掌握利用化学反应方程 式的计算等。 二、高考化学命题特点和趋势 1.注重基础：化学基本概念与基本理论题的挥毫泼墨 随着高考试卷整体难度的调整和试卷长度的缩短，高考化学化学基本概念、基本理论试题也越来越注重考查基础知识和主干知识。题目涉及的内容和背景资料基本上为考生所熟知，例如高考常考不懈的“五同”的概念、原子的构成、化学键的类型、离子反应、平衡体系中反应物的转化率、勒夏特列原理的应用等都是化学化学基本概念、基本理论中的重点、也是基点。 2．突出迁移：概念、理论试题的神来之笔 高考化学概念与理论试题重视基础，但不是就基础考基础,而是注重化学概念与理论基础的延伸和拓展,注重将课本理论知识的综合和应用。例如“氢镍电池”、“熔融盐燃料电池”、“镍镉可充电电池”、“甲醇燃料电池”等，都是课本原电池知识的
1.7 推 理 理 论 从假设前提利用推理规则得到其他命题，即形成结论的过程就是推理，这是研究逻辑的主要目标。 1.7.1 蕴含与论证 1．推理的含义与形式 [定义1-22] 当且仅当p →q 为永真式时，称为p 蕴含q （logical implication ），记作p q ?，或p q 。此时，称p 为前提，q 为p 的有效结论或逻辑结论，也称为q 可由p 逻辑推出。得出此逻辑关系的过程称为论证。 [辨析] 由于仅在p 为1而q 为0时公式p q →为0，可见，p q →永真意味着不可能存在前件p 为1而后件q 为0的情况，或者说，若p q ?，则只要前件p 为1，后件q 也一定为1。因此，p q ?也称为“永真蕴含” ，即p 永真蕴含q 。 [延伸] 通常，定理（theorem ）被解释为“经过受逻辑限制的证明为真的陈述”，就是指对“在一定条件成立的情况下必然产生某个（些）结论”的陈述。因此，定理证明也就是对蕴含关系的论证。当然，通常只有重要或有趣的陈述才被视为定理。 所有逻辑推理的实质就是证明p q ?，也就是证明p q →为永真式。例如，以下是一个简单的初等数学证明题目： 已知a 、b 、c 为实数，且22a b bc -=，0c ≠，则有2/(/1)a c b b c =+。 如果记 p ：22a b bc -=，q ：0c ≠，r ：2/(/1)a c b b c =+ 则上述论证要求可描述为： p q r ∧? 证明的目的就是说明：若前提p q ∧正确，则结论r 也正确，即证明p q r ∧→为永真式。 通常的逻辑推理问题都会由一组前提来推断一个逻辑结论，此时的多个前提可写成合取式12n H H H ∧∧∧ ，或写成用逗号分隔的命题序列H 1, H 2, ..., H n ，即论证要求可写作： 12n H H H C ∧∧∧? ，或12,...,n H H H C ?，，或 12n H H H C ∧∧∧ ，或12,...,,n H H H C 可见，论证A C 、A C ?或A C →是永真式都是同义的，且前提也可以用集合表示，如： 12{,..,},.n H H H C 在数学上，总是要求前提为真，从而推导出有效的结论，并不需要研究从假的前提能得到什么结论，且推理形式与前提的排列次序无关。尽管由前提A 到结论C 的推理一般记作A C ，如
精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：八年级课时数： 3课时学员姓名：杨宇智辅导科目：数学学科教师：高银波授课类型T-知识梳理T-巩固训练T-达标检测 授课主题推理定义和命题 授课日期及时段2013 教学内容 1.推理证明的必要性 我们认识事物，可能有偏差，有时是“想当然”，过于草率，有时是乱花渐欲迷人眼,观察产生了错觉，但无论哪一种情况，没有严格的证明都是不能令人放心和信服的。 2.检验数学结论是否正确的常用方法 实验验证法、举出反例、推理论证等。 3.定义的概念 对一些术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。例如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义”；“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义；“对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形”的定义。 4.命题的概念 命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句；（2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断。
5.命题的结构 每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出来的事项。一般地，命题都可以写成“如果......那么......”的形式，其中,如果引出的部分的部分是条件，那么引出的部分是结论。有些命题的题设和结论不够明显，这是要认真分析，先把命题改写成如果......那么......再找条件和结论。在改写时应适当地补充一些修饰成分，但内容要保持不变。 6.真命题、假命题、反例的概念 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，若具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例。 7.公理、定理、证明的概念 公认的真命题称为公理。 有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理。 推理的过程称为证明 对于公理，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判定其他命题真假的依据，对于定理，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为判定其它命题真假的依据。 1．写出下列命题的题设和结论. （1）对顶角相等.
命题、充分与必要条件 命题的基本概念： 原命题：若p,则q; 否命题：若非p ，则非q ； 逆命题：若q 则p; 逆否命题：若非q ，则非p; 1、下列四个命题其中真命题为： （1）“若xy=1,则x,y 互为倒数”的逆命题； （2）“面积相等的三角形全等”的否命题； （3）“若02,12=+-≤m x x m 则有实数解”的逆否命题； （4）“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题； 2、命题“若4 π α= ，则1tan =α”的逆否命题是: 3、命题“若x 、y 都是偶数，则x+y 也是偶数”的逆命题是： 4、下列三个命题其中真命题为： （1）“若x+y=0,则x,y 互为相反数”的逆命题； （2）“若1≤q ,则022=++q x x 有实根”的逆否命题； （3）“直角三角形有两个锐角”的逆命题； 5、在原名题及逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以使
6、判断哪些命题中的p 是q 的充分条件、必要条件、充要条件 （1）若x>1,则-3x<-3 ； （2）若x=1,x 2-3x+2=0； （2）若()3 x f x -=则()x f 为单调递减； （4）若2121,k k l l =则平行； （4）若02,12-x 2>-+
逻辑学 第二章性质命题 一性质命题的四种形式 1 全称肯定判断 形式：所有S是P，写作SAP,简称A判断 2 全称否定判断 形式：所有S不是P，写作SEP 简称E判断 3 特称肯定判断 形式:有些S是P，写作SIP，简称I判断。 4 特称否定判断 形式：有些S不是P,写作SOP ,简称O判断 三词项的周延性：主谓项概念外延数量的断定情况 1、周延性是对主谓项外延情况的形式断定，而非实际存在情况的断定。单称命题的 周延性与全称命题同。 2 、“是”P 则P不周延，“不是P”，则P周延 主词相同和谓词相同称同素材性质命题。 同素材性质命题的全称肯定命题、全称否定命题、特称肯定命题和特称否定命题之间存在着某种真假关系，这种关系亦称对当关系。 二同素材性质命题的逻辑方阵 刻画“对当关系”的图示，俗称“逻辑方阵”，逻辑方阵假词主词对象是存在的。 四性质命题的变形推理 1 换质法：换质不换位，谓项正负反 换位法：换位不换质，主谓莫扩展 是通过调换主谓词项的位置得到一新命题。换位不改变命题的质。 根据源命题和换位命题的量项是否相同可把换位法区分为单纯换位和限量换位两种。 1 单纯换位：换位命题和原命题的量项相同的换位法，为单纯换位 (1)所有S不是P 换位所有P不是S SEP PES (2)有的S是P, 换位：有的P是S SIP PIS 2 限量换位：改变原命题的量的换位法 (1)所有S是P,换位：有的P是S SAP PIS (2)SAP PAS (3)SOP命题不能换位 SOP POS 3 换质位法：先换质后换位，也可先换位后换质 有的S是P,换质为有的S不是非P ,这SOP 不能换位 换位法是演绎推理，演绎推理的特点是若前提是真的，推出的结论也应该是真的。
逻辑判断推理中常用的 逻辑公式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
逻辑命题与推理 必然性推理（演绎推理）：对当关系推理、三段论、复合命题推理、关系推理和模态推理 可能性推理：归纳推理（枚举归纳、科学归纳）、类比推理 命题 直言命题的种类：（AEIOae） ⑴全称肯定命题：所有S是P（SAP） ⑵全称否定命题：所有S不是P（SEP） ⑶特称肯定命题：有的S是P（SIP） ⑷特称否定命题：有的S不是P（SOP） ⑸单称肯定命题：某个S是P（SaP） ⑹单称否定命题：某个S不是P（SeP） 直言命题间的真假对当关系： 矛盾关系、（上）反对关系、（下）反对关系、从属关系 矛盾关系：具有矛盾关系的两个命题之间不能同真同假。主要有三组： SAP与SOP之间。“所有同学考试都及格了”与“有些同学考试不及格” SEP与SIP之间。“所有同学考试不及格”与“有些同学考试及格” SaP与SeP之间。“张三考试及格”与“张三考试不及格” 上反对关系：具有上反对关系的两个命题不能同真（必有一假），但是可以同假。即要么一个是假的，要么都是假的。存在于SAP与SEP、SAP与SeP、SEP与SaP之间。 下反对关系：具有下反对关系的两个命题不能同假（必有一真），但是可以同真。即要么一个是真的，要么两个都是真的。存在于SIP与SOP、SeP与SIP、SaP与SOP之间。 从属关系（可推出关系）：存在于SAP与SIP、SEP与SOP、SAP与SaP、SEP与SeP、SaP与SIP、SeP与SOP
六种直言命题之间存在的对当关系可以用一个六角图形来表示，“逻辑方阵图” SAP SEP SaP SeP SIP SOP 直言命题的真假包含关系 全同关系、真包含于关系、真包含关系、交叉关系、全异关系 复合命题：负命题、联言命题、选言命题、假言命题 负命题的一般公式：并非P 联言命题公式：p并且q “并且、…和…、既…又…、不但…而且、虽然…但是…” 选言命题：相容的选言命题、不相容的选言命题 相容的选言命题公式：p或者q“或、或者…或者…、也许…也许…、可能…可能…” 【一个相容的选言命题是真的，只有一个选言支是真的即可。只有当全部选言支都假时，相容的选言命题才是假的】 不相容选言命题公式：要么p要么q
离散数学命题逻辑练习 题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
一、选择题 1. 设命题公式) ?，记作G，使G的真值指派为1的P，Q，R的真值是( ) P∧ → (R Q 2. 与命题公式P（QR）等价的公式是( ) A () →→ D () P Q R P Q R →∨ P Q R ∨→ B () P Q R ∧→ C () 3. 下列各组公式中，哪组是互为对偶的 ( ) A ,P P B ,P P A A** D ,A A ? C ,() (其中P为单独的命题变元，A为含有联结词的公式) 4. 命题公式(P∧(P→Q))→Q是_____式。 A 重言 B 矛盾 C 可满足 D 非永真的可满足 5. 下面命题联结词集合中，哪个是最小联结词 ( ) A {,} ∧→ ?∧∨ C {}↑ D {,} ? B {,,} 6. 命题公式() ?∧→的主析取范式种含小项的个数为 ( ) P Q R A 8 B 3 C 5 D 0 7. 如果A B ?成立，则以下各种蕴含关系哪一个成立 ( ) A B A ?? ??? D A B ??? C B A ? B A B 8. 命题公式()() →∧→的主析取范式中包含小项 ( ) P Q P R A P Q R ∧?∧? ∧?∧ D P Q R ∧∧? C P Q R ∧∧ B P Q R 9. ,, A B C为任意命题公式，当（）成立时，有A B ?。 A A B ∧?∧ D C A C B →?→??? B A C B C ∨?∨ C A C B C 10. 下面4个推理定律中，不正确的是 ( ) A () ∨∧?? A B A B A A B ?∧ B () C () →∧??? A B B A A B A B →∧? D ()
概念、命题、推理与问题解决教学 [单项选择题] 1、底面为平行四边形的四棱柱与平行六面体这两个概念的外延之间具有（）关系。 A.交叉 B.从属 C.矛盾 D.同一 参考答案：D 参考解析：底面为平行四边形的四棱柱是平行六面体，故选D。 [单项选择题] 2、“大于”与“小于”这两个概念属于（）关系。 A.矛盾关系 B.对立关系 C.从属关系 D.同一关系 参考答案：B 参考解析：“大于”和“小于”是对立关系的两个概念，故选B。 [单项选择题] 3、高中数学课程中关于椭圆的定义方式是（）。 A.关系定义法t B.描述性定义法 C.解释外延定义法 D.发生式定义法 参考答案：D 参考解析：高中数学课程中关于椭圆的定义方式是发生式定义法。 [单项选择题] 4、教师为了引导学生注意，激发学生学习动机，调动学生积极情感而采用的教学策略是（）。 A.整体性策略 B.问题性策略 C.情境性策略 D.过程性策略
参考答案：B 参考解析：题干所描述的是问题性策略的定义，故选B。 [单项选择题] 5、下列关于概念教学的说法不正确的是（）。 A.概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相制约的 B.根据概念外延间的同异关系，概念间的关系分为全同关系和交叉关系 C.数学概念的获得有两种方式，概念形成与概念同化 D.高中数学概念下定义的常见方式主要包括属概念加种差、揭示外延、描述性定义等方式 参考答案：B 参考解析：根据概念外延间的同异关系，概念间的关系分为全相容关系和不相容关系，故选B。 [单项选择题] 6、下列哪一项不属于建构数学模型的步骤？（） A.模型建立 B.模型求解 C.模型检验 D.模型预设 参考答案：D 参考解析：建构数学模型解决实际问题的步骤不包括模型预设，故选D。 [单项选择题] 7、旨在加强命题知识的纵向联系和横向联系，构建命题的知识体系，使得学生在命题学习过程中，在“林”中见“树”，在“树”中见“林”的命题教学策略是（）。 A.准备性策略 B.产生式策略 C.过程性策略 D.整体性策略 参考答案：D 参考解析：题干描述的是整体性策略的教学目的，故选D。 [填空题] 8请以四边形为属概念，选择不同的概念种差，给出平行四边形的几组定义。参考答案：（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形； （3）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形。
第三节法律概念 一、概念的外延与归类活动 概念的外延就是概念所指的各个对象，法律上通常称为使用范围。例如，笔的外延，就是各式各样的笔，如毛笔、钢笔、圆珠笔、粉笔、粉笔等。 二、归类与概念外延边缘的模糊性 （一）归类与司法归类。归类，确定某一对象是否属于某一概念外延的思维活动。比如，乌鸦，白色的乌鸦是不是乌鸦；换妻是否属于聚众淫乱。归类活动在司法中的应用，就是司法归类。司法归类：将确认的案件事实归属于某一特殊的法律构成要件，以确定某一行为或或事件是否属于某个法律概念的外延范围。法学方法论中统称为涵摄或归摄。比如，对某甲的行为致某乙死亡这一法律事实进行归类，它可能属于意外事故（交通事故），也可能属于犯罪行为（故意杀人、故意伤害等），也可能属于合法行为。（正当防卫，紧急避险、合法的职务行为等）这一概念的外延。 （二）概念外延边缘的模糊性。就是一个概念的外延与另一个概念的外延之间的灰色地带，其实质在于，客观对象中存在着有难以界定的是否属于某个概念外延的两个情形的对象。一个概念的中心也许是清楚的，明确的，但当我们离开这个中心地带是就开始变得模糊起来，而这正是概念的这一性质所在。 假设有ABC三个概念，在其外延的中心区域，某个对象X是否属于某一概念的外延很清楚，若X出于ABC的边缘地带，则很难分清X属于哪个概念的外延。由于概念外延的模糊性，就导致司法归类时的复杂性和困难性。例如，某甲拾得某乙的遗忘物，数额巨大，拒不返还的行为，在司法归类，可能是不当得利，或者是侵占罪。 三、概念的分类 1．实概念与虚概念：实概念就是指在现实世界中外延有所指的概念，也就是说，在现实世界中，外延非空的概念，例如，山脉、水果、河流、动物等。虚概念就是指空概念，在现实世界中外延无所指的概念，也就是在现实世界中外延没有任何对象的概念，其外延是一个空集或空类。例如，孙悟空、上帝、永动机，等。
第二节三角形的基本概念及全等三角形 ,贵阳五年中考命题规律) 年份题型题号考查点考查内容分值总分2016 解答18(1)全等三角 形的判定 以正方形 为背景考 查全等三 角形的判 定 5 解答24全等三角 形 性质的应 用利用全等 三角形的 性质探索 线段之间 的数量关 系 1217 2015选择8三角形全 等的判定 添加条件 判断三角 形全等 33 2014未考2013未考 2012选择4三角形全 等的判定 添加条件 判断三角 形全等 33 命题 规律纵观贵阳市5年中考，考查本节内容共4次，2016年两次考查了三角形全等的判定及应用，都是综合命题，其中18题第
11问判 定三角形 全等难度 不大，第 24题阅 读理解题 利用三角 形全等的 性质探索 线段之间 的数量关 系难度较 大． 命题 预测 预计 2017年 贵阳市中 考，三角 形全等的 判定仍是 考查内 容，重点 训练及等 腰三角 形、直角 三角形相 结合的内 容. ,贵阳五年中考真题及模拟) 三角形全等的判定(4次) 1．(2012贵阳4题3分)如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( B ) A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF (第1题图) (第2题图)
2．(2015贵阳8题3分)如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是( B ) A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 3．(2015贵阳适应性考试)在边长为1的正方形网格中标有A，B，C，D，E，F六个格点，根据图中标示的各点位置，及△ABC全等的是( C ) A．△ACF B．△ACE C．△ABD D．△CEF 4．(2016贵阳模拟卷)如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.求证： (1)△AEH≌△CGF； (2)四边形EFGH是菱形． 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，在△AEH及△CGF中，AH＝CF， ∠A＝∠C，∴△AEH≌△CGF(SAS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.又∵AE＝CG，AH＝CF，∴BE＝DG，BF＝DH，△BEF及△DGH中，BF＝DH， ∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴EF＝GH，又由(1)知，△AEH≌△CGF，∴EH＝GF，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴HG∥EF，∴∠HGE＝∠FEG.∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠HEG＝∠HGE，∴HE＝HG，∴四边形EFGH是菱形． ,中考考点清单) 三角形分类及三边关系 1．三角形分类 (1)按角分类 锐角三角形直角三角形钝角三角形 (2)按边分类 两条边相等的三角形三边相等的三角形三边互不相等的三 角形 __等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形 2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__． 三角形内角和定理及内外角关系 3．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__． 4．内外角关系：三角形的一个外角__等于__及它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形中的四条重要线段 5.
ljlj 逻 辑 学 论 文 数学科学学院 09级3班 吴洁琼 学号2009040288
命题逻辑中几种常见的推理证明方法 吴洁琼 哈尔滨师范大学 （黑龙江·哈尔滨 150025） 【摘 要】：命题逻辑的推理证明是《离散数学》课程的重点难点内容，其主要原因有两个： 一是内容比较抽象且方法较独特，其灵活性很大, 故很难掌握；二是题型以证明题居多, 大多数题的知识面涉及较广, 故习题较难。而命题逻辑又是数理逻辑的基础, 熟练而灵活地掌握好命题逻辑中推理证明的方法既是学习命题逻辑的重点, 又会为进一步学习谓词逻辑打下良好的基础。本文结合适当的例题讲解，总结了命题逻辑中几种常见的推理证明方法，并进行了分析和探讨,以加深学生的理解，以及知识的灵活使用。 以期在帮助学生掌握命题逻辑的推理证明方法的同时, 又能对学生进行逻辑思维能力的训练,培养学生分析问题和解决问题的能力。 【关键词】：命题逻辑；推理；证明方法 数理逻辑是《离散数学》课程的主要内容之一，它主要包括命题逻辑和谓词逻辑两大部分, 而命题逻辑又是谓词逻辑的基础,其中的内容也比较抽象，所以学好命题逻辑又是学好数理逻辑的关键。学好数理逻辑既能加强学生的逻辑思维能力，又同时能够帮助同学学习数字电路和人工智能等其它课程。数理逻辑中关于命题逻辑证明题比较多，学好数理逻辑的关键是能不能很好的掌握这些证明题。 一、命题逻辑中推理的相关概念 定义1：一个命题公式序列1α，2α， ，n α；β，即βααα→ΛΛΛ)(21n 称为推理形式，其中序列最后一项β称为推理的结论，1α，2α， ，n α称为推理的条件。 定义2：对于命题公式序列1α，2α， ，n α；β的命题变元组);,,,(21p p p p n 的任意指派);,,,(21t t t t n 存在使n αααΛΛΛ 21为真，而β为假，则称此推理为无效推理，否则是有效推理。 证明命题公式β为有效结论的过程就是命题逻辑推理证明的过程。而证明推理形式1α， 2α， ，n α；β是有效的充要条件是βααα→ΛΛΛ)(21n 为重言式。 二、常见证明方法 命题逻辑的推理证明有六种常用证明方法，分别是直接证明法，真值表法,范式法，间接证明法。其中间接证明法里面常见的是CP 规则证明法和反证法，本文就这几种方法进行论述。
哲学的逻辑表达与逻辑的哲学分析一一从概念、定 义与命题理论看莱布尼兹的逻辑哲学观 ［摘要］本文重点阐述了莱布 尼兹 的逻辑思想，了他的逻辑学对 他的 形而上学的意义，指出了泛逻 辑主 义解释的局限，探讨了他的概 念、 定义理论和命题理论的基本 及其对 逻辑哲学的贡献。 莱布尼兹是近代普遍语言计划的真正实施者 辑的三大，而且提出了逻辑演算的七条公理 S .205］他继亚里斯多德之后对逻辑与形而上学的关系进行了全面的考察 了二者在根本上一致的思想。他对概念、定义、命题的论述 对分析命题与综合命题的区分成了康德哲学和胡塞 尔现象学的重要思想资源。下面 将从三个方面来论述莱布尼兹的逻辑哲学观。 逻辑学对形而上学的意义 自亚里斯多德以来，逻辑学便与形而上学、认识论有着密切的关系。形而上学一直被视 为“关于存在之为存在”的学问，被视为追求世界的第一原理和最终根据的学问 ，而逻 辑学一向被看作思维形式和规律的学问。近代哲学所实现的认识论转折不仅为逻辑学 与形而上学的内在联系的重构提供了新的机会 ，而且扩大了两者的论域和视野。在十七 世纪哲学家中，莱布尼兹最为明确，最为完整地表述了逻辑哲学的基本思想。在他那里 ， 逻辑既是理智的伟大工具，又是表达哲学真理 的根本，也是哲学研究的基本原则，因为在 他看来，“通过理智创造的一切可以通过完善 的逻辑规则创造出来”。 布尼兹试图通过确立逻辑理性的价值把传统意 义上的哲学建立在牢固的基础上 发现哲学缺乏一种明晰性和确实性。因此 念、命题和推理具有确实性。在《人类理智新论》中他赞同这样一种观点 用，就是造成一些语词 理。” ［3 — p 375］ 按莱布尼兹的分类观念 重,各有其价值和意义 ［关键词］主谓项逻辑学 泛逻辑主义 定义理论命题理论 ,他不但用符号化的方式重新表述了形式逻 ,从而开始了逻辑数学化的工作。［1 — ,并首次提出 ,对逻辑的有激励作用，他 ,我 ［2 — S .523］莱 ,因为他 ,他希望对哲学进行逻辑化改造从而使哲学概 :“哲学的功 ,以求给人确切的概念，并求其在一般命题中表达确定的真 ,对所有学说的真理有两种主要处理方法 ，每种处理方法各有所 ,但最好的方法是把它们结合起来，因为它们相互补充，相得益
数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题. 说明:
、必然性推理 概念间关系 直言命题的对当关系 直言命题的变形推理 三段论推理 联言命题与选言命题 假言命题 模态命题 智力推理 ? 概念间关系（概念，是构成命题与推理的基础，只有表达了一类事物的词语才是概念） 直言命题（简单命题），是断定对象是否具有某种性质的单句 ? 直言命题的对当关系（不同直言命题之间在真假方面所存在的制约关系） 所有 A 是 B 反对 ........... 所有 A 不是 B 推出 推出 有的 A 是 B. “所有A 是B ” 与“有的A 不是B ”、“.所有A 不是B ”与“有的A 是 B ”必有一真一假 “所有A 是B ”与“.所有A 不是 B ” 必有一假（可以同假） “有的 A 不是B ”与“有的 A 是 B ” 必有一真（可以同真） 一个命题前面+“并非”=这个命题的矛盾命题 所有与有的互换，有“不”的去掉，没“不”的加上 ? 直言命题的变形推理（通过改变前提中直言命题的联项或主项与谓项的关系 结论） ①换质推理 双重否定表示肯定 将“不是”改为“是”或将“是”改为“不是” ②换位推理（倒过来说） 所有A 是B 有些B 是 A 所有 A 不是 B 所有 B 不是 A 有些 A 是 B 有些 B 是 A 有些 A 不是 B 特殊词量（少数，大部分，一半）作为量项引导命题，不能换位 ? 三段论推理（两个直言命题作为前提/ 一个直言命题作为结论） （两个前提包含三个概念/ 前提和结论中，每个概念都出现两次） 两条常用规则 一特得特：两个前提不能都是特称命题（含有“有的”命题） 只有一个前提是特称，结论也是特称 一否得否：两个前反对 矛盾 . 有的A 不是 B 下反对
文章编号:167126914(2005)04200292(09) 收稿日期:2004211203 作者简介:邱昭继(1978— ),男,湖南浏阳人,西北政法学院法理学教研室教师。 3在第三届“法律方法与法律思维”研讨会期间,於兴中先生建议我写作本文,他后来还提供了本文写作的所有英文资料,在此谨致谢意。 法律中的可辩驳推理3 邱昭继 (西北政法学院,陕西西安 710063) [摘 要] 法律中的可辩驳推理是法律方法研究中的一个新课题。可辩驳推理作为一种独立的推理模式而 在各个领域发生影响主要有以下三种理论的支持:其一,哲学的“语用学转向”;其二,人工智能研究的深入;其三,单一性法律推理向非单一性法律推理的转向。法律中的可辩驳推理可以分为三个维度:推定的可辩驳性;过程的可辩驳性和理论的可辩驳性。可辩驳推理对法律方法、法律论证与民主法治等重大的法律理论问题都产生了深远的影响。 [关键词] 可辩驳;可辩驳推理;非单一性推理;法律论证;协商民主 Abstract :Defeasible reasoning is a new subject in legal method.Defeasible reasonings which have influence in many fields as an independent reasoning mode is supported by three theory to happen.First ,’linguistic turn ’of philosophy ;Second ,Deepening studying in artificial intelligence ;Third ,monotonic legal reasoning turn to non -monotonic legal rea 2soning.Defeasible reasoning is widely used in legal reasoning.According to the different levels of legal reasoning ,Defeasi 2ble reasoning can be divided into three faces :inference -based defeasibility ;process -based defeasibility ;theory -based defeasibility. K eyWords :defeasible ;defeasible reasoning ;non -monotonic reasoning ;legal argument ;deliberative democracy 中图分类号:DF0-051 文献标识码:A 法律中的可辩驳推理是法律方法研究中一个新的课题。国人谈到法律推理时,想到的往往是演绎推理、归纳推理和类比推理,而很少有人涉及可辩驳推理。事实上,西方学界早在二十世纪中期就已经开始研究可辩驳推理而且成果斐然。本文试图对可辩驳推理及其在法律中的运用与意义作一番初步的探讨,希望能抛砖引玉,引起国内学者对可辩驳推理的重视。 一、“可辩驳”与“可辩驳推理”(一)“Defeasible ”一词的翻译 “可辩驳”一词译自英文单词“Defeasible ”。国内的法学词典一般把这个词翻译为“可作废的;可取消 的;可解除的;可宣告无效的”① 。哲学词典将其翻译 为“可破例的;可废弃的”②。这些翻译都不妥当。 《元照英美法词典》对“Defeasible ”一词解释是:“指行 为,权利、合同等可以被撤消或归于无效。”如果把“Defeasible ”翻译为“可作废的;可取消的;可解除的;可宣告无效的”,那就意味着权利、合同一定被撤消或归于无效,而不是可以被撤消或归于无效。如抵押财产因为抵押人在衡平法上享有的回赎权而可以被撤消或归于无效,但这并不意味着抵押财产就一定被撤消。把“Defeasible ”翻译为“可破例的”似乎更能表达该词的意义,但“可破例的”说的是一种例外情况,它不表达进一步辩论的含义,所以这样翻译也不确切。於兴中先生在“人工智能、话语理论与可辩驳推理”一文中将“Defeasible ”译为“可辩驳”,笔者认为“可辩 ①②《新哲学词典》将其翻译为:“可破例的,允许有异议的。”见〔英〕安东尼?弗卢主编:《新哲学词典》,黄颂杰等译,上海译文出版社1992年版,第123页。《西方哲学英汉对照词典》将其翻译为:“可废弃的”,见〔英〕尼古拉斯?布宁、余纪元编著,《西方哲学英汉对照辞典》,人民出版社2001年版。 《元照英美法词典》将“Defeasible ”翻译为:“可作废的;可取消 的;可解除的;可宣告无效的。”参见薛波主编:《元照英美法词典》,法律出版社2003年版,第386页。《英汉法律词典》将其翻译为:“可使无效的;可取消的;可废除的。”见彭金瑞编:《英汉法律词典》,中国法制出版社2001年版。《法律名词辞典》将其翻译为:“可作无效;可取消的。”见李启鹏编译:《法律名词辞典》,五洲出版社1986年印行。《英汉法律词汇》将其翻译为:“可废除”。见律政司编:《英汉法律词汇》,第三版,香港印务局1998年印。