基本初等函数【整体感知】：
函
数
第1讲指数函数
【基础梳理】
1.根式
（1）根式的概念
如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若x n=a，则x叫做__a
的n次方根_,其中n＞1且n∈N*.__根式__, 这里n叫做____根指数___，a叫做__被开方数____. （2）根式的性质
①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号
表示. ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号
表示, 负的n次方根用符号___表示.正负两个n次方根可以合写为___（a＞0）. ③n =___a___. ④当n为奇数时，a__;当n||a
= =___
(0)
(0)
a a
a a
≥
?
?
-<
?
_____.
⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念
①正整数指数幂：n
n a a a a =???
个
（n ∈N*）；②零指数幂：a 0
=__1__（a ≠0）； ③负整数指数幂：a -p
=__
1
p
a ___（a ≠0，p ∈N*）； ④正分数指数幂：m
n
a
（a>0，m 、n ∈N*， 且n>1）； ⑤负分数指数幂：m n
a
- =
1m n
a
(a>0,m 、n ∈N*,且n>1).
⑥0的正分数指数幂等于__0____，0的负分数指数幂____没有意义______. （2）有理数指数幂的性质
①a r a s
= a r+s
(a>0,r 、s ∈Q); ②(ar)s
= a rs
(a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r
= a r b r
(a>0,b>0,r ∈Q). 3.指数函数的图象与性质
(0,1)减函数【要点解读】 要点一 指数运算
【例1】210.503
3277(1)(0.027)()(2)1)1259-+--
14
2115
1133
3366
22
22
33
8
(3)(2)(6)(3);(4)1)
4
ab b
a b a b a b
a b
-
-÷-÷
+
111
222
(5)(1),.
a a x a
-
+=>
若
【标准解析】根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留。
【误区警示】一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序，否则容易发生运算的错误。
【答案】
1
23
1259559
(1)(0.3)().
2710033100
=++-=
原式
(2)212)12) 1.
=---=-
原式
211115
326236
(3)[2(6)(3)]44.
a b ab a
+-+-
=?-÷-==
原式
11111121121
11
33333333333
33
21121211211
33333333333
1111
3
3333
(8)2(2)(42)
(4)
42422
().
b a b a b b a b a a b b b
b b
a a
b b b a a b b a b
b b b b b
---++
=÷?=??
++++-
=??==
原式
111
2
222
22222
111
(5),2,4(4)(2)(2)
111
()4()2(),.
x a a x a x x x x a a
a a a
a a a a
a a a
-
=+=++∴-=-=+++-
=+-=+-=-∴==
由得
原式
【变式训练】
11
20
32
17
(1)(0.027)()(2)1);
79
-
-
-+-
化简：
41
2
33
3
22
33
8
(2)(
4
a a b
a
b a
-
-
÷-
+
（3）已知
11
223
x x-
+=，求
22
33
22
2
3
x x
x x
-
-
+-
+-
的值。
【标准解析】
11
2
32
2725105
(1)()7()149145.
1000933
-
=-+-=-+-=-
原式
（2）原式=
5
131212
13231312
313
13
12
313
3133131)()
(2)
2()2()(])2()[(a a a a a
b a b b a a b a a ???-÷
+?+- 23
23
16
1653
13
13
131312)2(a a a a a
a b
a a
b a a =??=?
-?
-=。
（3）∵112
2
3x x
-
+=，∴112
2
2()9x x -
+=，∴129x x -++=，
∴1
7x x
-+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=，
又∵33111
22
2
2
()(1)3(71)18x x x x x x --
-+=+?-+=?-=，∴
22332
2
2472
3183
3
x x x x
--+--=
=-+-。
【技巧点拨】根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 要点二 指数函数的概念与性质
【例2】已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围．
【例3】设函数()f x =22
21
x x
a a ?+-+为奇函数. 求：（1）实数a 的值；（2）用定义法判断()f x 在其定义域上的单调性.
【标准解析】解决含指数式的各种问题，要熟练运用指数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识。
【误区警示】证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。
【答案】(1)方法一 依题意，函数()f x 的定义域为R ， ∵()f x 是奇函数，
∴()f x -=-()f x ，2分2222
,2121
x x x x a a a a --?+-?+-∴
=-++∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1. 6分 方法二 ∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)=0，即
22
0,2
a -= ∴a=1. 6分 （2）由(1)知21(),21x x f x -=+设12x x <且12,x x ∈R ， 8分2121212121
()()2121
x x x x f x f x ---=-++则 212121
222(22)
(1)(1)0,2121(21)(21)
x x x x x x -=---=>++++∴12()()f x f x <,∴()f x 在R 上是增函数.【变式训练】设 e ()e
x x a
f x a --=
+是定义在R 上的函数.（1）()f x 可能是奇函数吗？（2）若()f x 是偶函数，试研究其单调性.
【标准解析】(1)方法一 假设()f x 是奇函数,由于定义域为R, ∴()f x -=-()f x ，,即
e e (),e e
x x x x a a
a a --+=-+ 整理得 1()(e e )0,x x a a -++= 即10,a a +=即2a +1=0,显然无解.
∴()f x 不可能是奇函数.
方法二 若()f x 是R 上的奇函数，则f(0)=0,即
1
0,,a a
+=无解∴()f x 不可能是奇函数. (2)因为()f x 是偶函数，所以()f x -=()f x ,即
e e ,e e
x x x x a a a a --+=+ 整理得 1
()(e e )0,x x
a a
---=又∵对任意x ∈R 都成立，∴有1
0,a a
-=得a=±1. 当a=1时，()f x =x
x e
e -+,以下讨论其单调性，
任取12,x x ∈R 且12x x <, 12121
1
22
12
12(e e )(e 1)()()e e
e e
,e e
x x x x x x x x x x f x f x +-----=+--=?则 1212e e 0,e e 0,x x x x ?>-<其中当12e 10,x x +-> 12()()f x f x <,()f x 为增函数,
此时需要120x x +>，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0]为减区间.
当a=-1时，同理可得()f x 在（-∞，0］上是增函数，在［0，+∞）上是减函数.
【技巧点拨】解决含指数式的各种问题，关键是熟练运用指数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识。 要点三 指数函数的图像与应用
【例4】若函数y=g(x)的图象与函数f(x )=(x －1)2
(x ≤1)的图象关于直线y=x 对称,则g(x)的表达式是 （ ）
【命题立意】函数的图象经常和函数的性质联系在一起，把握函数图象之间的特点和联系。在解题的过程中也常常需要结合指数函数的图象。
【标准解析】利用函数的图象关于直线y=x 对称的实质是求函数的反函数
【误区警示】此题还要特别注意反函数的定义域，不要忘记书写，也不要出现表达错误的情况。 【答案】
因为1x -
1x =所以在x ≤1时，f(x)
的反函数为1()1f x -=x ≥0），
故答案为g(x)=1－x (x ≥0)
【变式训练】下图是指数函数（1）y =a x
，（2）y =b x
，（3）y =c x
，（4）y =d x
的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）
A.a ＜b ＜1＜c ＜d
B.b ＜a ＜1＜d ＜c
C.1＜a ＜b ＜c ＜d
D.a ＜b ＜1＜d ＜c
【标准解析】可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小.
【技巧点拨】 x=1称为指数函数特征线。熟练运用特征线比较底数大小带来极大方便。
【答案】解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c .
解法二：令x =1，由图知c 1
＞d 1
＞a 1
＞b 1
，∴b ＜a ＜1＜d ＜c .答案：B 【例5】已知函数|1|
1().3
x y += (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x 取什么值
时函数有最值.
【标准解析】第(1)由()f x -=-()f x 恒成立可解得a 的值; 第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.
【误区警示】在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
x
②
【答案】 （1）由已知可得1|1|
11()(1)1
(),33
3(1)
x x x x y x +++?≥-?==??<-?
其图象由两部分组成：
一部分是亦由1()(0)3
x
y x =≥向左平移1个单位得到1
1()
(1);3
x y x +=≥-
另一部分是由3(0)x y x =<向左平移1个单位得到13(1);x y x +=<-图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.
【变式训练】若直线y=2a 与函数y=|x
a -1| (a>0,且a ≠1)的图象有两个公共点,则a 的取值范围是______. 解析当a>1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意. 当0 0.2 a ∴<< 【技巧点拨】在解题的过程中也常常需要结合指数函数的图象，数形结合. 第2讲 对数函数 【基础梳理】 1.对数的概念 （1）对数的定义 如果a x =N(a>0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作__log a x N =____,其 中_a___叫做对数的底数,__N__ 叫做真数. （2）几种常见对数 2.对数的性质与运算法则 （1）对数的性质 ① log a N a =___N__;②log N a a =__N___(a>0且a ≠1). （2）对数的重要公式 ①换底公式: log log log a b a N N b = (a,b 均大于零且不等 于1)； ② 1 log ,log a b b a = 推广log a b ·log b c ·log c d =__log a d ____. (3)对数的运算法则 如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,那么 ①log ()a MN =____log log a a M N +___; ② log a M N =______log log a a M N -____; ③log n a M = ____log a n M _______(n ∈R); ④ log m n a M =log .a n M m 3.对数函数的图象与性质： 4.反函数 指数函数y=a x 与对数函数log a y x =互为反函数，它们的图象关于直线____y=x ____对称. 【要点解读】 要点一 对数运算 【例1】计算（1）2 (lg2)lg2lg50lg25+?+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+； （3）1 .0lg 2 1 036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2 3--+? 【标准解析】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。 【误区警示】公式和法则运用不熟练导致错误较多，要注意一些简单的技巧和方法。 【答案】（1）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg35 2lg36lg 24 = ?=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++； 分母=4100 6 lg 26lg 101100036lg )26(lg =-+=?-+；∴原式=43。 【变式训练】设a 、b 、c 为正数，且满足2 2 2 a b c += 若4log (1)1b c a ++ =，82 log ()3 a b c +-=，求a 、b 、c 的值。 【标准解析】由4log (1)1b c a ++ =得14b c a ++=，∴30a b c -++=………① 由82 log ()3 a b c +-=得2 384a b c +-==…②由①+②得2b a -=……③ 由①得3c a b =-，代入222 a b c +=得2(43)0a a b -=，∵0a >， ∴430a b -=……④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。 【技巧点拨】对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。 【答案】6a =，8b =，10c = 要点二 对数方程 【例2】方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为 。 【标准解析】关于含对数式等式的形式，解题思路是转化为不含对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。 【误区警示】变形不是等价变形，要注意严重解的合理性。 【答案】原方程变形为2)1(log )1(log )1(log 2222=-=++-x x x ，即412 =-x ，得5±=x 。且 ?? ?>+>-0 10 1x x 有1>x 。从而结果为5。 【变式训练】方程lgx+lg （x+3）=1的解x=___________________. 【标准解析】由lgx+lg （x+3）=1，得x （x+3）=10，x 2 +3x －10=0. ∴x=－5或x=2.∵x ＞0，∴x=2. 【技巧点拨】利用对数的运算法则进行化简和计算时，在去掉对数符号时，特别要注意“真数必须大于零”这个条件。 【答案】2 要点三 对数函数的概念与性质 【例3】若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（ ） A ．a=2,b=2 B ．a= 2 ,b=2 C ．a=2,b=1 D ．a= 2 ,b= 2 【标准解析】利用函数和图象的性质解题。 【误区警示】没有讨论对数函数的底数a 的范围。 【答案】依题意可知0)1(log =+-b a 且1log =b a ，因此-1+b=1且a=b,解得a=b=2.选择A 【变式训练】已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1 (x )，则函数y= f —1 (1－x )的图象是（ ） 【标准解析】可以利用图象的特点和函数的性质，如图象上的特殊点，对应函数的坐标。另外也可以直接求出，画出图象进行比较。 【技巧点拨】要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。 【答案】由y=log 2x 得f —1 (x )＝2x ,所以y= f —1 (1－x )＝21-x , 选择C C 要点四 指数函数、对数函数综合问题 【例4】已知1 1log )(--=x mx x f a 是奇函数 （其中)1,0≠>a a ，（1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性；（3）求)(x f 的反函数)(1 x f -；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞， 求a 的值. 【标准解析】对于这几个问题都是比较常规的，如第一问，根据奇函数的性质得到等式即可解出m 的值；第二问可以利用导数求函数的单调性，也可以利用单调性的定义求解；第三问则是单纯的求函数的反函数，不过特别要注意反函数的定义域；第四问则要根据第二问的一些结论，结合着使用。 【误区警示】各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验. 【答案】（1）011log 11log 11log )()(2 2 2=--=--+--+=+-x x m x mx x mx x f x f a a a 对定义域内的任意x 恒成立，10)1(1112 22 22±=?=-?=--∴m x m x x m ， 当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数，1-=∴m ， （2）∴-+=,11log )(x x x f a 定义域为),1()1,(+∞--∞ ，求导得e x x f a log 1 2 )(2--='， ①当1>a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数； ②当10<'与在x f x f 上都是增函数； （另解）设1 1 )(-+= x x x g ，任取111221>>-< 1)(1() (21111)()(2112112212<----=-+--+= -∴x x x x x x x x x g x g ，)()(12x g x g <∴，结论同上； （3）111)1(1111log -+=?+=-?-+=?-+=y y y y y a a a x a x a x x a x x y ， )10,0(1 1 )(,0,011 ≠>≠-+=∴≠∴≠--a a x a a x f y a x x y 且 （4）)2,1()(,3,21->∴-< ∴命题等价于1)2(=-a f ，即01413 1 log 2=+-?=--a a a a a ，解得32+=a . 【变式训练】在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…，对每个自然数n 点P n 位于函数y=2000( 10 a )x (0 ),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大？试说明理由。 【标准解析】 (1)由题意知：a n =n +21,∴b n =2000(10 a )21 + n 。 (2)∵函数y =2000(10 a )x (0b n +1>b n +2。则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ，即(10a )2+(10 a )－1>0，解得a <－5(1+2)或a >5(5－1)。 ∴5(5 －1) (3)∵5(5－1) 7)21 + n 。数列{b n }是一个递减的正数数列， 对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1。于是当b n ≥1时，B n 数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1，由b n =2000(10 7)21 + n ≥1得：n ≤20。∴n =20。 【技巧点拨】本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。 【答案】n =20 第3讲 幂函数与二次函数 【基础梳理】 1.一次函数、二次函数的图象及性质 (1)一次函数y=kx+b ，当k>0时，在实数集R 上是增函数,当k<0时在实数集R 上是减函数.b 叫纵截距,当b=0 时图象过原点，且此时函数是奇函数；当b ≠0时函数为非奇非偶函数. (2)二次函数的解析式 ①二次函数的一般式为___y=ax 2 +bx+c （a ≠0）. ②二次函数的顶点式为__y=a(x-h)2+k (a ≠0)___,其中顶点为__(h,k)____. ③二次函数的两根式为_______y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)__,其中x 1,x 2是方程ax 2 +bx+c=0的两根.(也就是函数的零点)根据已知条件,选择恰当的形式,利用待定系数法可求解析式. (3)二次函数图象和性质 ①二次函数y=ax2+bx+c (a ≠0)的顶点坐标为2 4(,)24b ac b a a -- ;对称轴方程为2b x a =- .熟练通过配方 法求顶点坐标及对称轴,并会画示意图.②在对称轴的两侧单调性相反.③当b=0时为偶函数,当b ≠0时为非奇非偶函数. 2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系 x1,x2(x1 {x|x>x2或x {x|x1 =___( ∈R)的函数称为幂函 (1)幂函数的定义:形如____y xα 数,其中x是 __自变量____, α为__常数___. (2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质 【要点解读】 要点一 幂函数的性质及其应用 【例1】比较下列各组数的大小： （1）1122 1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5. 【标准解析】利用幂函数的单调性，注意合理选择模拟函数，使问题得到转化。 【误区警示】比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小 【答案】（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴1122 1.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- （3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴1 15.25 5.26-->； ∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴1 25.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->> （4）∵3 00.51<<，0.5 3 1>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<< 【变式训练】将下列各组数用小于号从小到大排列： （1）2223332.5,( 1.4),(3)-- （2）33 38 4 2 0.16,0.5,6.25-- （3）1112 1333322253 (),(),(),3,()3532 -- 【标准解析】（1）222333( 1.4) 2.5(3)-<<- （2）3338 2 4 6.250.5 0.16,- - << （3）1121 1333322523 ()()()()5332 --<<<<。 【技巧点拨】比较几个数式的大小，是解题过程中常常遇到的知识考点，往往都要用到函数的单调性，我们应该熟练掌握规定的几个特殊幂函数的单调性、奇偶性及图像特征. 【例2】 已知函数()f x =213 22 p p x -++ (p ∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且在其定义域上是偶函数。 （1）求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式。（2）对于（1）中求得的函数()f x ，设函数g(x)= [()]qf f x -+(2q －1) ()f x +1，问是否存在实数q(q<0)，使得g(x)在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间 (－4,0)上是增函数。若存在，请求出来；若不存在，请说明理由。 【标准解析】∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2 230m m --≤，∴ 13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 【技巧点拨】幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值． 要点二 二次函数的解析式 【例3】已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程 ()2f x x =有等根. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分 别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由. 【标准解析】用待定系数法求f(x)解析式，在解题中要注意条件的运用，并利用对应的函数性质解决问题，同时考察了数学分类讨论的思想。 【技巧点拨】二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论，是求值域的基本题型之一。在已知最值结果的条件下，仍需讨论何时取得最小值，这个也是后面我们要讲到的内容。 【答案】设()f x =ax 2 +bx+c （a ≠0）则()f x +()g x =(a-1)x 2 +bx+c-3 由已知()f x +()g x 为奇函数，则有???=-=-0 3c 01a ∴ ???==3c 1a ∴()f x =x 2 +bx+3 下面通过确定()f x 在[-1，2]上何时取最小值来确定b ，分类讨论。 4b 3)2b x ()x (f 22-++=，对称轴2 b x -= （1）当2 b - ≥2，b ≤-4时，()f x 在[-1，2]上为减函数 ∴ 7b 2)2(f ))x (f (min +==∴ 2b+7=1∴ b=3（舍） （2）当∈- 2 b （-1，2），-4 +-=-=∴ 134 b 2 =+-∴ 22b ±=（舍负） （3）当2 b - ≤-1，b ≥2时，f(x)在[-1，2]上为增函数 ∴ (f(x)min =f(1)=4-b ∴ 4-b=1 ∴ b=3 ∴ 3x 2x )x (f 2+-=，或3x 3x )x (f 3++= 要点三 二次函数根的分布 【例4】已知a 是实数，函数()f x ＝2ax 2 ＋2x －3－a.如果函数y ＝()f x 在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围． 【标准解析】研究二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论对称轴与给定区间的关系. 【误区警示】在做题的过程中，一要注意计算的准确性，二要注意结合函数的图象，三要注意思维要全面，进行分析的时侯对条件要合理的使用。 【答案】(1)当a ＝0时，()f x ＝2x －3. 令2x-3=0，得x= 2 3 ?[-1,1]∴()f x 在[－1,1]上无零点，故a ≠0. (2)当a>0时，()f x ＝2ax 2 ＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a ①当－12a ≤－1，即0 2时，须使? ?? ?? f(－1)≤0f(1)≥0即? ?? ?? a ≤5 a ≥1∴a 的解集为?. ②当－1<－12a <0，即a>1 2 时，须使????? f ? ????－12a ≤0f(1)≥0 即????? －12a －3－a ≤0 a ≥1 解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)． (3)当a<0时， ①当0 (0)1(?????≥-≤-a f f ，即?? ? ??≥---≤03215 a a a 解得：a ≤ 273--或27 3+-≤a ≤5，又a ≤21-，∴a 的取值范围是.273,?? ? ??--∞-. ②当121>- a ，即-21 - ??≥≤15a a ∴a 的解集为?. 综上所述，a 的取值范围是?? ? ??--∞-273,∪[1，+∞)． 【变式训练】已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一 根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围. 【标准解析】设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制. 用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点。 【技巧点拨】解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布有如下的情况 设21,x x 为方程f(x)=0(a>0)的两个实根。 ①若,,21m x m x ><则0)( ②当在区间(m,n)内有且只有一个实根，时， ③当在区间(m,n)内有且只有两个实根时， ④若q x p n x m <<<<<21时? ? ? )()(q f p f n f m f 【答案】(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 ?? ? )2(0)()()1(n f m f ?????????>><-<≥??0 )(0)(20n f m f n a b m ????? ??? ???->-<∈- ?>+=<+=>=-<+=65, 21,210 56)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 ???????<-<≥?>>10,0,0)1(,0)0(m f f ??? ? ????? <<--≤+≥->->?.01, 2121, 21,21m m m m m 或112m ∴-<≤这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) 要点四 二次函数的最值问题 【例5】已知函数2 1 42 a y x ax =-+- + 在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a 的值. 【标准解析】由对称轴与区间的位置关系引起的分类讨论是“形”对“数”的引导作用。知道某区间，求函数的最值，主要从端点和对称轴入手。 【误区警示】(1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对函数最值的影响. (2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y=a(x-m)2+n 的形式，得顶点（m ，n ）或对称轴方程x=m ，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动. 【答案】2 21()(2),2 4a y x a a =--+ -+对称轴为.2 a x = (1)当0≤2a ≤1，即0≤a ≤2时，22 max 11(2),(2)2,44 y a a a a =-+-+=由 得a=3或a=-2,与0≤a ≤2矛盾.不合要求； (2)当 2a <0，即a<0时，y 在[0，1]上单调递减，有ymax=f(0)，f(0)=2 1 2 6.42a a ?-+=?=- (3)当2 a >1，即a>2时，y 在[0，1]上单调递增，有ymax=f(1),f(1)=2 11242a a ?-+-+=10.3a ?=综上，得a=-6或a=10 .3 【变式训练】已知函数()f x =-x2+8x,求函数()f x 在区间[t,t+1]上的最大值()h t . 【标准解析】()f x =2 8x x -+=2 (4)16x --+ ① 当t+1<4,即t<3时，()f x 在[t,t+1]上单调递增 . 此时()h t =(1)f t += 2(1)8(1)t t -+++=2 67t t -++ ②当t ≤4≤t+1,即3≤t ≤4时，()h t =(4)f =16； ③当t>4时，()f x 在[t,t+1]上单调递减.此时()h t =()f t =2 8t t -+ 综上可知2267(3)()16(34).8(4)t t t h t t t t t ?-++ =≤≤??-+>? 【技巧点拨】 灵活运用二次函数的最值以及二次函数的图象和一元二次方程的实根分布范围等知识解决有关问题，特别注意对称轴与给定区间的相对位置的讨论。 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇 数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分 数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫 做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f . 《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3 二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 ２、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法： （１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴 （２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-２x-3， （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0 知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2） 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 （3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例１】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝） （2)a 的取值范围是 ? 【例３】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3 ?0 ③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 . 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数． 2．常见幂函数的图象与性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝ 1 2 x ?? ? ?? ；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2； ⑥y＝x；⑦y＝a x(a>1)．其中幂函数的个数为() A．1B．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝( ) 22 23 1m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝() 2 223 1m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x － 3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x － 3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α (α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件． 【对点训练】 函数f(x)＝( ) 22 3 1m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的 解析式． 解：根据幂函数的定义得 m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f(x)＝x －3 在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． 故f(x)＝x 3. 题型二、幂函数的图象 【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α 在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，1 2，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4 的α的值依次为( ) A ．－2，－12，1 2 ，2 B ．2，12，－1 2 ，－2 第十八章 函数 一次函数 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 原创理科数学专题卷 专题 基本初等函数 考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1．【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 易 函数 2212x x y -+??= ? ?? 的值域是（ ） A.R B.1,2??+∞???? C.()2,+∞ D.()0,+∞ 2. 【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 中难 设函数 ()1221,0,0 x x f x x x -?-≤? =??>? 如果 ()01f x >，则0x 的取值范围是（ ） A. () 1,1- B. ()() 1,01,-+∞U C. ()(),11,-∞-+∞U D.()(),10,1-∞-U 3．【2017课标1，理11】 考点07 难 设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 4．【来源】2016-2017学年黑龙江虎林一中月考 考点08 易 已知函数()()3log 472a f x x =-+（0a >且1a ≠）过定点P ，则P 点坐标（ ） A ．()1,2 B ．7 ,24?? ??? C.()2,2 D ．()3,2 5．【来源】2016-2017学年河北定州中学周练考点08 易 若函数[)[]?? ???∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x ）（ ，则411log 33f f ??? ?=?? ?? ???（ ） A.3 1 B.3 C.4 1 D.4 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 初中数学函数知识点大全+典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称 点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减 小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 方法强化练——函数与基本初等函数 (建议用时：75分钟) 一、填空题 1．(2014·珠海模拟)函数y ＝(x ＋1)0 2x ＋1的定义域为______． 解析 由??? x ＋1≠0，2x ＋1＞0，得x ∈? ???? －12，＋∞. 答案 ? ?? ?? －12，＋∞ 2．(2013·金华十校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是________． ①y ＝2|x |；②y ＝lg(x ＋x 2＋1)；③y ＝2x ＋2－x ；④y ＝lg 1 x ＋1 . 解析 根据奇偶性的定义易知①、③为偶函数，②为奇函数，④的定义域为{x |x ＞－1}，不关于原点对称． 答案 ④ 3．(2013·山东省实验中学诊断)已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (2)－f (1)＝________. 解析 设幂函数为f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝ ＝x ，所以f (2)－f (1)＝2－1. 答案 2－1 4．(2014·无锡调研)已知方程2x ＝10－x 的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 设f (x )＝2x ＋x －10，则由f (2)＝－4＜0，f (3)＝1＞0，所以f (x )的零点在(2,3)内． 答案 2 5．(2014·天水调研)函数f (x )＝(x ＋1)ln x 的零点有________个． 解析 函数的定义域为{x |x ＞0}，由f (x )＝(x ＋1)ln x ＝0得，x ＋1＝0或ln x ＝0，即x ＝－1(舍去)或x ＝1，所以函数的零点只有一个． 答案 1 6．(2014·烟台月考)若a ＝log 20.9，b ＝ ，c ＝ ，则a 、b 、c 大小 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 第二讲：函数的单调性 一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？ （2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（ ） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数 1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-，则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 专题三 基本初等函数 考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1． 考点07 易 下列各式中成立的一项是( ) A. 7 1 77n n m m ??= ??? B. = ()34 x y =+ =2. 考点07 中难 函数1 1x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A. ()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4 3． 考点07 难 函数2 212x x y -??= ??? 的值域为( ) A. 1,2 ??+∞???? B. 1,2 ??-∞ ?? ? C. 10,2 ?? ?? ? D. [)0,2 4． 考点08 易 已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的 取值范围是( ) A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24) 5．考点08 易 已知2log 0.3a =,0.12b =, 1.30.2c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B.c a b << C. a c b << D. b c a << 6． 考点08中难 函数y = ） A ．(0,8] B ．(2,8]- C ．(2,8] D ．[8,)+∞ 7． 考点08中难 函数212 log (617)y x x =-+的值域是( ) A. R B. [8,)+∞ C. (,3)-∞- D. [)3,+∞ 8．考点07，考点08 易 函数()log (1)x a f x a x =++ (0a >且1a ≠)在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A. 12 B. 14 二次函数知识点总结及典型例题 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法： 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程0 2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这 样表示。 三、抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0 高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由? ??<<-< ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2高中数学基本初等函数知识点梳理
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