第八章 多元函数微分法及其应用
第 一 节 作 业
一、填空题：
.
sin lim .4.
)](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos
),,(.21)1ln(.102
2
2
2
322=
===-=+=+++-+-=→→x xy
x x f x x x x y x y x f y
x z z y x f y x x y x z a
y x ψ?ψ?则设的定义域为
函数的定义域为函数
二、选择题（单选）： 1. 函数
y
x sin sin 1
的所有间断点是:
(A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）；
(B) x=y=n π(n=1,2,3,…)；
(C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)；
(D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。
答：（ ）
2. 函数??
???=+≠+++=0,20,(2sin ),(222
22
222y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处：
（A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。
答：（ ）
三、求.4
2lim
0xy xy a
y x +-→→
四、证明极限2222
20
0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业
一、填空题：
.
)1,(,arcsin
)1(),(.2.
)1,0(,0,0),sin(1),(.122
=-+==
?????=≠=x f y
x
y x y x f f xy x xy y x xy
y x f x x 则设则设
二、选择题（单选）：
.
4
2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2
)(:,22
2
2
2
2
2y x y x y x y y x y D e
y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设
答：（ ）
三、试解下列各题：
.,arctan .2.
,,tan ln .12y
x z
x y z y
z
x z y x z ???=????=求设求设
四、验证.2
2222222
2
2
r z
r y r x r z y x r =??+??+??++=满足
第 三 节 作 业
一、填空题：
.
,.2.
2.0,1.0,1,2.1=
==
=?-=?=?===dz e z dz z y x y x x
y
z x
y 则设全微分值
时的全增量当函数
二、选择题（单选）：
1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：
（A）充分条件；（B）充要条件；（C）必要条件；（D）无关条件。
答：（）
2. f(x,y)在(x 0,y 0)处两个偏导数f x (x 0,y 0),f y (x 0,y 0)存在是f(x,y)在该点连续的：
（A ）充分必要条件； （B ）必要非充分条件；
（C ）充分非必要条件； （D ）既非充分亦非必要条件。
答：（ ）
三、试解下列各题：
.
,arccos
.4.
2,1)1ln(.3.
,.2.,.12
2
22dz y
x x z y x y x z du x u dz y
x
xy z yz 求设时的全微分当求函数求设求设+===++==+
=
四、证明：xy x f =),(在点（0,0）处的偏导数存在，但在点(0,0)处不可微。
第 四 节 作 业
一、填空题：
.,,sin ,.132====-dt
dz t y t x e z y x 则
而设
.,),,(.3.,23,,ln .22=
-+==??-==
=dz f y x y x f z x
z y x v y x u v u z 则可微设则而设
二、选择题（单选）：
).
ln()(2)();
ln()()(2)(;
)(2)()];ln())(()([2)(:
,,)(.11122y x y x D y x y x y x C y x z B y x y x y x y x z A u u y x z y x u z z z z z y x z ---+----++-++=-=+-等于则而设
答：（ ）
.
3ln )]('[[3)(')()];
('[3
ln 3)(;
3ln )]('[3)(;3ln )]('[3)(:,)(,3.2y yf x z y f z D y yf x C y yf x B y xf y A dy
dz
f y f x z xy y x xy
xy xy xy +-++++==等于则
可导且而设
答：（ ）
.
)(;
)(;)(;)(,),(.3"
22"21'2"22"21"
22'2"12"12"12"11'22xzf xf f D xzf xf C xzf xf xf B xf zf xf f A z
x xz y x f u ++++++++=
???+=则有二阶连续偏导数设
答：（ ）
三、试解下列各题：
1. 设.,),arctan(dx
dz e y xy z x
求
而==
2. 求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）： ).,,()2().
,()1(2
2
xyz xy x f u e y x f u xy
=-=
3. .,),,(2y
x z
f y x x f x ???=求
具有二阶连续偏导数设
4. 设z=f(x,u,v),u=2x+y,v=xy,其中f 具有连续偏导数，求全微分dz 。
.0:,,,,),,(.522=??-??-===y
z x x z y
v u u v y u x f y x f z 量交换方程为新的自变试以而具有连续的一阶偏导数且设
四、设.11:,)(,)
(222y z
y z y x z x u f y x f y z =??+??-=验证为可导函数其中
第 五 节 作 业
一、填空题：
1. .,arctan ln
22=
=+dx
dy
x y y x 则设
.
,),(),(.5.
)1,0,1(),(2.4.
,0arctan ),(.3.,010442),(.22222222=
???
??=+=-==
-==+++=
???=+-==??=--+-++=u x
xu v y yv u x v u y v u x x dz y x z z z y x xyz y x z
y y xz y x z z x
z z y x z y x y x z z 则所确定由方程组和设函数处的全微分在点所确定的函数由方程则所确定由方程设则所确定由方程设
二、选择题（单选）：
.
)
1()1()(;
1)(;
)
1()(;
)
1()
1()(:,),(.1y x xz y D y
yz C y x y
B y x x y A x
y e xyz z x y y y x ------??==+是则
所确定由方程函数
答：（ ）
.
0)(;
1)(;
2
1)(;
2
1
)(,cos ,tan ,.20
D C B A dt dz
t y t xe e z y x t x x -====-+=则
已知
答：（ ） 三、试解下列各题：
.
,3.2.,ln .123
3
y
x z a xyz z y
z x z y z z x ???=-????=求设及求设
3. 设.,,sin ,cos y
z x z uv z v e y v e x u
u ????===和试求
四、设Φ(u,v)具有连续偏导数，证明由方程Φ（cx-az,cy-bz ）=0所确定的函数 z=f(x,y)满足.c y
z b x z a =??+??
第 六 节 作 业
一、填空题：
.
),,()),()()(,(),(.2.sin 02,sin ,cos .1000程是
处的切线方上点皆可微和其中曲线轴夹角的正弦
点处的切线与在相应于曲线z y x y x g x f y x g z x f y oz t e z t e y t e x t t t =======γ
二、选择题（单选）：
.3
2)
(;3
)
(;4
3)
(;4
)
(:,)1,1,2(02.1ππ
π
π
D C B A oy
oz z y x xyz 轴正向所夹角为则此切向量与轴正向成锐角点处的一个切向量与上曲线?
??=--=
答：（ ）
.
93)(;
33)(;73)(;53)(:
)2,2,1(12.232=+-=++-=+--=++-=+z y x D z y x C z y x B z y x A z xy 处的切平面方程是上点曲面
答：（ ）
3. 曲线2x=y 2,z=x 2在某一点处的切向量于三个坐标轴正向夹角相等，与这一点相应的x 值 等于：
.2)(;
3
1)(;
21)(;
1)(D C B A
答：（ ）
三、试解下列各题：
.)5,4,3(50
.3.
0212.2.
)22,1,12
(2sin 4,cos 1,sin .12
222
22222点处的切线方程在求曲线的切平面方程上平行于平面求椭球面方程的切线方程及法平面
在点求曲线?????=+=++=+-=++-=-=-=z
y x z y x z y x z y x t z t y t t x π
四、试证曲面各坐标轴上上任何点处的切平面在)0(>=++a a z y x 的截距之和
等于a.
第 七 节 作 业
一、填空题：
1. 函数z=x 2+y 2在点(1,2)处沿从点(1,2)到点)32,2(+的方向导数等于 。
2. 数量场f(x,yz)=x+2y+3z 在(-1,2,0)点处的梯度是 。
3. 设f(x,y)=x 2-xy+y 2，则f(x,y)在点(1,1)变化率最大方向上的单位向量为 。 二、选择题（单选）：
.
31)(;31)(;5
1)(;51)(:
22)1,11(32--++=--=D C B A k j i I yz xyz y 的方向导数等于沿在点函数
答：（ ）
三、试解下列各题：
.
1)2
,2()(1.122
222222方向导数在这点的内法线方向的
处沿曲线在点求函数=++-=b y a x b a b y a x z
2. 求函数u=xyz 在点M(1,1,1)沿从点(1,1,1)到点(2,5,3)的方向的方向导数。
3. 设f(x,y,z)=x 2=2y 2+3z 2+xy+3x-2y-6z ，求gradf(1,1,1).
. ..
.86,)1,1,1(632.422222的方向导数处沿方向在点求函数处的指向外侧的法向量在点是曲面设n P z
y x u P z y x n
+=
=++
四、设u,v 都是x,y,z 的函数，u,v 的各偏导数存在且连续， 证明：grad(uv)=vgradu+ugradv.
第 八 节 作 业
一、填空题：
1. 函数f(x,y)=4(x-y)-x 2-y 2的极大值为 。
2. 设函数z=z(x,y)由方程x 2+2y 2+3z 2+xy-z-9=0所确定，则函数z 的驻点为 。
3. 函数z=xy 在闭区域x ≥0，y ≥0, x+y ≤1上的最大值为 。 二、选择题（单选）：
.
52)(;
52)(;
5)(;
5)(:
52.122--=++=D C B A y x y x z 的条件下的极小值为在满足
答：（ ） 2. 函数z=x 2+y 3在(0,0)处：
（A ）有极大值； （B ）有极小值； （C ）没有极值； （D ）既有极大值又有极小值。 答：（ ） 三、试解下列各题：
1. 求函数f(x,y)=(6x-x 2)(4y-y 2)的极值。
2. 要造一个容积等于k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。
四、将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？
第 八 章 综 合 作 业
一、填空题（每小题4分，共20分）：
.
),(,),(),(.5)4,1,1(3.4.,arctan
.3.,sin
.2.,.10000222
)
3,2,1(2
2
成立处取得极值则必有
且在处存在一阶偏导数在点设处的法线方程是
在点曲面则设则设则已知y x y x y x f z y x z dz y
x y
x z x z
y x xye z gradu zx yz xy u y x
=+==-+==??+==++=+
二、选择题（单选）（每小题5分，共20分）： 1. =-+→→1
13lim
xy xy y x
（A ）3； （B ）6； （C ）不存在； （D ）∞.
答：（ ）
2. 若函数f(x,y)在点(x 0,y 0)处：
（A ）偏导数存在，则f(x,y)在该点一定可微； （B ）连续，则f(x,y)在该点偏导数一定存在； （C ）有极限，则f(x,y)在该点一定连续；
（D）可微，则f(x,y)在该点连续且偏导数一定存在。
答：（）
.
3
1
arccos )(;4)(;3)(;2)(:
cos sin ,cos ,sin .32D C B A xoy t t t z t y t x ππππ面的夹角是处的切线与在对应于曲线==== 答：（ ）
4.函数z=2x 3-4x 2+2xy-y 2的极值点为：
（A ）（0，0）； （B ）（1，1）； （C ）（0，0）与（1，1） （D ）无极值点。 答：（ ） 三、试解下列各题（每小题7分，共28分）：
.
,),,(.4.,,,cos ,sin sin ,cos sin ,.2.
,0.2).1,1,1(,),,(.12222222zz yy xx z
z
u u u f z y x z y x f u u u r u r z r y r x z y x u y
x z
xyz e df y
x
z y x f ++++++=??????===++=???=-=求具有二阶连续偏导数其中设求
设求设求设?
θ?θ?θ?
四、求曲面).7()1,2ln ,2(ln 4分处的切平面及法线方程在点=+z
y z
x e
e
五、求曲线?
??=-+-=-++045320
3222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程（7分）。
六、求函数u=x+y+z 在点M 0（0，0，1）处沿球面x 2+y 2+z 2=1在这点外法线方向的方向 导数（8分）
七、试证当
在原点一定有极函数时y x x e y x f y 2cos cos sin )1(),(,2--=<λλ
小值（10分）
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
`第八章 多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理 解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈o I 时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点 致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时， ()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
多元函数微分学练习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1(,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ．
12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ． 17. 曲线2226,2 x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ． 18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ． 二、选择题 1. 设0x 是n R ?E 的孤立点，则0x 是E 的 （ ） (A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点． 2. 设0x 是n R ?E 的内点，则0x 是E 的 （ ） (A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点． 3. 设22 2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??=? ，则(0,0)y f =( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-
习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法? (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??=叫做微分形式不变性。 例1 设? ?? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。 解：?? ? ?????? ??'+' +=+?=x y d f xy d f x fdx x df x dx x f dz 213 2 3 2 )(33 ?? ? ???-'++' +=22 13 2(3x ydx xdy f ydx xdy f x fdx x
第8章 测试题 1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（ ）条件． A ．充分 B ．充分必要 C ．必要 D ．非充分非必要 2.函数(,)z f x y =的偏导数z x ??及z y ??在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（ ）条件． A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0） 是（ ） A 不是(,)f x y 连续点 B 不是(,)f x y 的极值点 C 是(,)f x y 的极大值点 D 是(,)f x y 的极小值点 4. 函数22 224422,0 (,)0,0 x y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在（0，0）处（ C ） A 连续但不可微 B 连续且偏导数存在 C 偏导数存在但不可微 D 既不连续，偏导数又不存在 5. 二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0) ? +≠?=??=?x y x y f x y x y 在点(0,0)处( A ). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在 C ．不可微,偏导数存在 D ．不可微,偏导数不存在 6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=? ?22y z ( ). (A)222y v v f y v y v f ?????+??????； (B)22 y v v f ?????； (C)22222)(y v v f y v v f ?????+????； (D)22 22y v v f y v v f ?????+?????.
第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时 §1 可微性 一．可微性与全微分： 可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 1． 时 例1 考查函数 在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.
3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . . 求偏导数. 例5 . 求偏导数. 例6 . 求偏导数, 并求. 例7 . 求和. 例8 , 解= . = 例9 证明函数 在点连续, 并求和. 证 连续 . . 在点 ,
不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微, 和 存在, 且 . ( 证) 由于 , 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件, 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:
的偏导数在的某邻域内存在, 且和在 Th 2 若函数 点 Th 3 若 则函数在点 . 即 在点可微 . 例11 在点可微, 但和在点处不连续 . (简 验证函数 证,留为作业) 证
因此, 即, 可微, . 但时, 有 在点 , 不存在, 沿方向极限 沿方向 时, 不存在; 又 处不连续. ,因此, 不存在, 在点 由 四.中值定理: 在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于 Th 4 设函数 该邻域, 则存在 . ( 证) 设在区域D内. 证明在D内. 例12 五.连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六.可微性的几何意义与应用：
第九章 多元函数微分法及其应用总结 多元函数的概念 对应规则、定义域、 值域、图形 二重极限()() ()00,,lim ,x y x y f x y →的定义、与()0lim x x f x →的区别 极限的计算（P61、P62、P63（6）） 二元函数的连续性 ()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →= 二元函数 (),f x y 在区域D
连续 在有界闭区域上的连续函数 (),f x y 的性质 有界性、有最值、 介值性 多元初等函数 多元初等函数在其定 义域内是连续函数 多元函数的偏导数 (),z f x y =在点()00,x y 处对x ，y 的偏导数()00,x f x y ，()00,y f x y 的定义 例如，计算
()()00000,,lim x f x x y f x x y x ?→+?--?? (),z f x y =在点()00,x y 处对x ，y 的偏导数()00,x f x y ，()00,y f x y 的几何解释 (),z f x y =对x ，y 的偏导数(),x f x y ，(),y f x y 的定义 算法练习（P69、1，4） 多元函数的高阶偏导数（P69、6（1），7，8） 多元函数的全微分 (),z f x y =，
()(),,x y dz f x y dx f x y dy =+推广到更多元的函数 算法练习（P75、1（1），2，3） 多元复合函数的求导法则 树形法则（P82、1，3，8，10） 隐函数求导法则 若(),0F x y =，则x y F dy dx F =- 若(),,0F x y z =， 则x z F z x F ?=-?，y z F z y F ?=-? 算法练习（P89、1，3
`第八章多元函数微分学 8.1基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 8.2基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于 这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24 (,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++，
第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或 12 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→00 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 20 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22
《多元函数微分学及应用》练习题 一、填空题 1.已知22)/,(y x x y y x f -=+，则=),(y x f . 2.函数 y x z -= 的定义域为 {(y x ,)| y x ≥，0≥y }. 3.设f(x,y)=ln(x 2+y 2),g(x,y)=e (x+y),则f[x 2,g(x,y)]= . 4.设y x y x y x f tan )1(),(22-+=，则=)1,(x f x . 5.设()()xy xy z 2cos sin +=，则 =??y z . 6.设()22ln y x z +=，则=??==1 1y x x z ， . 7.设函数u x y (,)= y x du ,(,)则34= . 8.设?? ? ??=x y f y z ，其中)(u f 具有一 阶连续导数，则 =??y z . 9.设),,(w v u f z =具有连续的一阶偏导数，其中 2x u = ,y e v sin =,y w ln =，则 10.设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，du=. . 11.设u x y x y =+-4422 4，则??22u x = . 12.设y x z =，则=???y x z 2 . 13.设))z y x (g y x (f z --+-=,其中g ,f 可导, x z ??= . 14.设函数),(y x z z =由方程z e z y x =-+2sin 所确定，则=??x z . 15.设x y z 2 tan =,则=dz . 16.设y x u =（0>x ，1≠x ），则.=u d . 17．设()xy z arctan =，则=dz 18.设)sin ,,(y x ye x f z =μ，则du =
'第八章 多元函数微分学 8.1基本知识点要求 1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义 . 2. 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念， 会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4. 理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5. 熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法? 6. 了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法 . 7. 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念， 熟练掌握它 们的方程的求法。 8. 了解二元函数的二阶泰勒公式. 9. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条 件，掌握二元函数极值存在的充分条件， 并会求二元函数的极值，会用拉格朗日 乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的 应用问题。 8.2基本题型及解题思路分析 题型1与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关 的题 1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 (1)基本概念 ①二元函数极限的定义：设fP) fXy) 的定义域为D,P 0(X o ,y 。)是D 的聚 点.若常数A ，对于- ；0，总:0，使得当P(x,y)? D DU C P^)时，都有 f (P)-A =| f (x, y)-A < 名成立，则称 A 为函数 f (x, y)当(x, y )T (X o ,y °)时的极 ②二元函数的连续：设f(P)二f(x, y)的定义域为D, P °(X 0,y 。)为D 的聚点， 且 F 0 D .若 lim f (x, y) = f (x °, y °)，则称 f (x, y)在点 F 0(x °, y °)连续。 (x,y)T(x 0,y 0) (2)关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数lim f(P)二A 存在的定义中，P > F 0方式任意，正是由于 这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态， 在学习过程中注意比较、总结 和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若P 以两种不同的方式趋于 P 0时，f(P)的极 限，记作 lim (x,y)r(x o ，y °) f (x,y) =A 或f(P) =A 。 P T ^0
第九章多元函数微分学 内容复习 —、基本概念 1、 知道：多元函数的一些基本概念(n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等)；理解：偏 导数；全微分. 2、 重要定理 (1) 二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续 可微？ * 亠 函数连续 (2) (二元函数)极值的必要、充分条件 二、基本计算 (一)偏导数的计算 1、偏导数值的计算(计算 f x (x 0,y 0)) pl ("先代后求法 f x (x o ，y o )=——f(x,y °) x x dx (2) 先求后代法(f x&o ’y 。)= f x (x,y)xx o ) y y o (3)定义法(f x (x 0, y 0) = lim 竺__― f (xo,yo))(分段函数在分段点处的 X 0 x 偏导数) 2、偏导函数的计算(计算 f x (x, y)) (1) 简单的多元初等函数一一将其他自变量固定，转化为一元函数求导 (2) 复杂的多元初等函数一一多元 复合函数求导的链式法则 (画树形图，写求导公式) (3) 隐函数求导 求方程F(x, y, z) 0确定的隐函数z f (x, y)的一阶导数 —,— x y (x, y, z 地位平等) F z x(或y)求导(x, y, z 地位不平等) 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 (二) 全微分的计算 1、叠加原理 公式法：—旦，二 x F z y 直接法：方程两边同时对
z f(x, y) , dz — dx —dy --------------------- d x,dy勿丢 x y 2、一阶全微分形式不变性 dz — dx —Z dy 对x, y是自变量或是中间变量均成立。 x y 三、偏导数的应用 优化方面--- 多元函数的极值和最值 1、无条件极值一一利用必要条件求驻点，利用充分条件判断是否为极值点 2、条件极值---- Lagrange乘数法 min(ma;) z f (x, y) 求 s.t. (x,y) 0 L(x, y, ) f (x, y) (x, y)(有几个约束条件，引进相应个数Lagrange乘子) 3、最值一一比较区域内部驻点处函数值与区域边界上最值的大小，从而确定最值
多元函数微分法及其应用总 结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第九章 多元函数微分法及其应用总结 多元函数的概念 对应规则、定义域、值 域、图形 二重极限()()()00,,lim ,x y x y f x y →的定义、与()0lim x x f x →的区别 极限的计算（P61、P62、P63（6）） 二元函数的连续性 ()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →=
二元函数 (),f x y 在区域D 连续 在有界闭区域上的连续函数(),f x y 的性质 有界性、有最值、 介值性 多元初等函数 多元初等函数在其定义 域内是连续函数 多元函数的偏导数 (),z f x y =在点()00,x y 处对x ，y 的偏导数()00,x f x y ，()00,y f x y 的定义
例如，计算 ()()00000,,lim x f x x y f x x y x ?→+?--?? (),z f x y =在点()00,x y 处对x ，y 的偏导数 ()00,x f x y ，()00,y f x y 的几何解释 (),z f x y =对x ，y 的偏导 数(),x f x y ， (),y f x y 的定义 算法练习（P69、1，4） 多元函数的高阶偏导数（P69、6（1），7，8） 多元函数的全微分
(),z f x y =， ()(),,x y dz f x y dx f x y dy =+推广到更多元的函数 算法练习（P75、1 （1），2，3） 多元复合函数的求导法则 树形法则（P82、1，3，8，10） 隐函数求导法则 若(),0F x y =，则x y F dy dx F =- 若(),,0F x y z =，
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令2 2 y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→00 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在2 2 0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 200 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以，(,)f x y 在 整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x ' (,)21= （ A ） （A ）- 14； （B ） 14； （C ）-12； （D ）12