《线性代数》
授课教案
代数几何教研室
第一章行列式
本章说明与要求:
行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：
(1) 行列式的定义；
(2) 行列式的基本性质及计算方法；
(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．
本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．
计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．
行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．
。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。
。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。
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§1.1 二阶与三阶行列式
行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．
设有二元线性方程组
??
?=+=+2
2221211
112111b x a x a b x a x a (1)
用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22–a 12a 21≠0 时，有
???
???
?--=--=2112221121
1211221
1222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2)
这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号
2112221122
211211a a a a a a a a -=
为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．
根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成
222
121212221a b a b b a a b =
-，2
21
111211211b a b a a b b a =
-，
如果记22
21
1211a a a a D =
，22
2
1211a b a b D =
，2
21
1112b a b a D =
则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成
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2221121122212111a a a a a b a b D D x ==，22
21121122111122a a a a b a b a D D x ==，(3) 象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．
首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x 1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x 2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．
例1 用二阶行列式解线性方程组
??
?=+=+2
31422121x x x x 解：这时0214323
142≠=?-?==
D ，
524313
2
411-=?-?==
D ，311222
1
1
22=?-?==
D ， 因此，方程组的解是
2511-==
D D x ，2
3
22==D D x ， 对于三元一次线性方程组
???
??=++=++=++33332321
3123232221211
313212111b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (4)
作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号
31
22133321123223113221133123123322113332
31
23222113
1211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= (5)
为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．
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例2 5
32134
212
- 10
62012242301325)4(123223)4(211532=-+--+==
??-?-?-??-??-+??+??=
令 3332
31
23222113
1211
a a a a a a
a a a D = 3332
3
23222
13121
1a a b a a b a a b D =，3333123221131112a b a a b a a b a D =，3
32
31
22221
112113b a a b a a b a a D =． 当D ≠0时，(4)的解可简单地表示成
D D x 11=
，D D
x 22=，D
D x 33=(6) 它的结构与前面二元一次方程组的解类似．
例3解线性方程组
???
??=-+=-+=+-4
23152302321
321321x x x x x x x x x 解：282315231
12=---=D ，1323
4
521
1101=---=D ， 472
4
1
51
31022=--=D ，214
3
1123
123=-=D ． 所以，28
13
11=
=
D D x ，284722==D D x ，43282133===D D x ．