四边形综合题
1．在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．
2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP= 度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
3．菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BC D=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且=时，直接写出线段CE的长．
4．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP 并延长AP交CD于F点，
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；
（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．
5．如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．
6．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K ，点O是线段BK的中点．
（1）求证：△ADP≌△ECP；
（2）若BP=n?PK，试求出n的值；
（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．
7．在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．
（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；
（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．
①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；
③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE 与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m?BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．
8．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．
（1）若点P在线段CD上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
9．如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
10．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP ，DQ．
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图b，求证：BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
11．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t （s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
12．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值．
13．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD．
（1）如图1，若AB=BC=AC，求证：AE=EF；
（2）如图2，若AB=BC，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）如图3，若AB=kBC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE与EF之间的数量关系，并证明．
14．正方形ABCD的边长为4cm，点E在边AB上，将线段AE绕点E顺时针旋转α°（0＜α＜90）得线段EF，以E F为边在EF右侧作正方形EFGH；
（1）如图①，分别连接线段AF、FH、AH，AH交EF于点I；
①求证∠FAH的度数是一个常数；
②求证：2AE2=AH?IH．
（2）如图②，若α=60，点E为AB的中点，在直线AG上是否存在一点J，使△EBJ的周长最小？若存在，求出△EBJ的最小周长；若不存在，说明理由．
（3）如图③，若α=45，点E从A出发，按1cm/s的速度沿AB方向运动，直至点C落在GH上停止运动，设点E 的运动时间为t（t＞0），正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分的面积为S，请用含t的代数式表示S．
15．请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）初步探究：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD边AB、AD上，DE⊥CF于点P，小芳看到该图后，发现DE=CF，这是因为∠EDA和∠FCD都是∠EDC的余角，就会由ASA判定得出△ADE≌△DCF．
（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形ABCD是矩形，如图（2），且DE⊥CF于点P，她发现，请你替她完成证明；
（3）拓展延伸：如图（3），若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EPC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．
16．如图1，在矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长交边AD 于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠DMF=∠ABF．
（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；
（2）求证：PB=PF+FM；
（3）若矩形ABCD改为□ABCD，如图2，（2）中的结论成立吗？若成立，请证明；不成立，说明理由．
17．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，猜想PG与PC的关系，并证明．（提示：延长GP交CD于点E）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG还满足（1）中的结论吗？写出你的猜想，并给与证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的关系，直接写出你猜想．
18．问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行研究．
已知，如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是线段OC上一点，过点A作BE的垂线，交线段OB于点G，垂足为点F，易知：OG=OE．
变式探究：
分析完图1之后，小彬和小颖分别对此进行了研究，并提出了下面两个问题，请回答：
（1）小彬：如图2，将图1中的点E改为线段OC延长线上的一点，过点A作BE
垂线，交OB的延长线于点G，垂足为点F．求证：OG=OE．
（2）小颖：如图3，将图中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，且∠ABC=60°，其余条件不变，试求的值．
拓展延伸：
（3）小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图4，将图3中的“∠ABC=60°”改为“∠ABC=α”，并且点E，G分别在OC，OB的延长线上，其余条件不变，直接用含“α”的式子表示的值．
19．已知矩形ABCD，AB=4，BD=2．现有另一个与矩形ABCD相似矩形EFGH，相似比为2：1．最初矩形E FGH的GH边放置在∠BCD的平分线处（如图1），现将矩形EFGH
沿着FG作一条直线l，再连接AH、BH、DH、BE，设BC与EH的交点为M，CD与
GH的交点为N（若没有交点则不计），回答下列问题．
（1）如图1，当矩形ABCD矩形EFGH都不动时，求出矩形ABCD与矩形EFGH重合部分三角形的面积．（2）如图2，现矩形ABCD不动，矩形EFGH沿直线l开始出发，以1m/s的速度移动．设移动时间为t，矩形A BCD与矩形EFGH重合部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并写出相应的取值范围，并且求出当t为多少时，S为最大值？
（3）如图3，矩形ABCD仍然不动，矩形EFGH运动一段时间后停止在某一个点，并且此时△CEH为等腰三角形，这时，在△AHC中，AH=HC成立吗？请说明理由，并求出此时S和t的值．
20．在菱形ABCD中，∠A=60°，以D为顶点作等边三角形DEF，连接EC，点N、P分别为EC、BC的中点，连接NP
（1）如图1，若点E在DP上，EF与CD交于点M，连接MN，CE=3，求MN的长；
（2）如图2，若M为EF中点，求证：MN=PN；
（3）如图3，若四边形ABCD为平行四边形，且∠A=∠DBC≠60°，以D为顶点作三角形DEF，满足DE=DF且∠EDF=∠ABD，M、N、P仍分别为EF、EC、BC的中点，请探究∠ABD与∠MNP的和是否为一个定值，并证明你的结论．
21．已知矩形ABCD的一条边AD=8，E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B落在CD 边上的点P处，PC=4（如图1）．
（1）求AB的长；
（2）擦去折痕AE，连结PB，设M是线段PA的一个动点（点M与点P、A不重合）．N是AB沿长线上的一个动点，并且满足PM=BN．过点M作MH⊥PB，垂足为H，连结MN交PB于点F（如图2）．
①若M是PA的中点，求MH的长；
②试问当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段FH的长度．
22．如图1，?ABCD中，AE⊥BC于E，AE=AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF．
（1）若BE=2EC，AB=，求AD的长；
（2）求证：EG=BG+FC；
（3）如图2，若AF=5，EF=2，点M是线段AG上的一个动点，连接ME，将△GME沿ME翻折得△G′ME，连接DG′，试求当DG′取得最小值时GM的长．
23．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H ，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG；
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由；
（3）试求：的值（结果保留根号）．
24．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求证：△AOC1≌△BOD1．
②请直接写出AC1与BD1的位置关系．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．
25．已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB ，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和△FCG的面积；
（2）如图1，设AE=x，三角形FCG的面积=y，求与x之间的函数关系式与y的最大值；
（3）当△CGF是直角三角形时，求x和y值．
26．如图，点E是矩形ABCD的边BC的中点，连接DE交AC于点F．
（1）如图①，求证：AF=2CF；
（2）如图②，作DG⊥AC于G，试探究：当AB与AD满足什么关系时，使得AG=CF成立？并证明你的结论；（3）如图③，以DE为斜边在矩形ABCD内部作等腰Rt△DEM，交对角线BD于N，连接AM，若AB=AD，请直接写出的值．
27．数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=2，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点．联结OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线﹣﹣过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；
（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=2”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；
（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=2”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=4，CD=3，AD=2”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．
28．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF．
（1）求证：∠EAF=45°；
（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG，如图2．求证：BC﹣CF=CG；
（3）若F是DC的中点，AB=4，如图3，求EG的长．
29．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．则DE?CD CF?AD（填“＜”或“=”或“＞”）；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DE?CD=CF?AD 成立？并证明你的结论；
（3）如图3，若BA=BC=3，DA=DC=4，∠BAD=90°，DE⊥CF．则的值为．
30．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B、D重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．
（1）求AO的长；
（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：∠ACM=30°；
（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请画出图形，并直接写出△AFM的周长