正比例函数的图像及性质
一、教学内容
《正比例函数的图象和性质》是九年制义务教育课本八年级第二学期第十九章的内容。之前，学生已经有了平面坐标系的基本知识、常量与变量以及正比例函数的概念等知识，正比例函数，是同学们初中第一次接触的函数，描点画图得到其图像的方法为后面学习打下良好基础。
二、教学目标
1．知识与技能：
（1）能画正比例函数的图像，并能结合公理和正比例函数图象特点快速作图；
（2）能够在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简单描述及应用。
2．过程与方法：
（1）初步能够从数学角度去观察事物，思考问题，体验解决问题方法策略的多样性；
（2）逐步培养学生的观察能力，概括的能力，通过教师指导发现知识，初步培养学生数形结合的思想以及由特殊到一般的数学思想；
（3）能够尝试演绎推理发现规律，体验合作学习的过程。
3．情感态度与价值观：
（1）通过小组合做讨论，鼓励学生从多角度思考、探索、交流，激发学生的好奇心和主动学习的欲望；
（2）通过本节课的教学希望能激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度。
三、学情分析
学生分析：
在这节课之前，该班学生已经较好的拥有了解决平面坐标系的一些基本问题，理解了变量以及常量和代数式的内容的起点能力，因此在学习新知识的时候也不存在多大的问题，也形成了较理想的先决条件。学生运用数学知识解决实际问题以及推理总结的能力有待进一步加强。
四、教学重难点
教学重点：画正比例函数的图像，并在画图过程中观察并发现函数的性质。
教学难点：在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简单描述及应用。
五、教学手段及运用分析
每位同学准备几张方格纸，或已画好直角坐标系的纸张，以节少画图所需时间；教师自制的多媒体课件；上课环境为多媒体大屏幕环境。
六、教学过程
（一）复习引入、温顾知新
1、正比例函数的定义
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
这个过程，由老师提问学生作答，在学生回答不够完善的地方，请其他学生补充，老师紧后给予完善。
2、引入课题：前面我们学习了函数的这些基本内容，今天我们要来体会初中数学中最重的一种数学方法，数形结合，正所谓：数无形时少直观，我们一起来画出正比例函数的图象吧。
这样的设计，适合学生的学习习惯，能让学生在温习旧知识的过程中体验会旧知与新知
之间的联系，积极探索新知识
（二）数形结合、动手画图
例：画正比例函数 y =2x 的图象
解：1. 列表
2. 描点
3. 连线
学生对平面坐标系有所了解，但对数形结合的方法还不是很熟练，有必要给学生以示范。
课堂练习：
在同一坐标系内画下列正比例函数的图像（展示学生优秀作业）
① y=0.5x
这样的设计，主要是让学生更多熟悉数与形的结合，体会数到形的转变，还为下一步的探究做好辅垫。
观察图像正比例函数有什么性质？
（三）在同一个坐标系中画出y=-2x,y=-0.5x
观察图像正比例函数有什么性质？
（四）观察异同、归纳总结
(1) 当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量x逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大。
(2) 当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小。
（五）分析问题、探究规律
1、如何快速画正比例函数的图像？
因为正比例函数的图像是一条直线，且经过原点，而两点确定一条直线
画正比例函数的图像时，只需描两个点，其中一个是原点，然后过这两个点画一条直线整个环节由浅入深，在与他人交流合作的过程中，同学们可以借助他人的想法来激发自己的灵感，体验问题解决多样化的学习策略，积累学习数学的经验。问题一环紧扣一环，让学生逐层深入思考，既动手又动脑。
七、分享收获、课堂小结
从本节课的学习中，你获得了哪些知识：
①如何快速画正比例函数的图象
②正比例函数的性质
③数形结合的数学思想方法
④学生自身在合作，小组讨论中的一些体验和感悟
这个设计，不仅用于总结本节课的重难点知识，画龙点睛，更用于发现个别学生的闪光点，及时予以评价和表扬。
八、分层作业、能力升华
1.已知正比例函数y=(1+2m)x，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是什么？
2.已知:正比例函数y?m?2x??m2?1那么它的图像经过哪个象限？
3.已知正比例函数图像经过点（2，－6），⑴求出此函数解析式；⑵若点M（m，2）、N （?n）在该函数图像上，求m、n的值；⑶点E（－1，4）在这个图像上吗？试说明理由；
⑷若－2≤x≤5，则y的取值范围是什么；⑸若点A在这个函数图像上，AB⊥y轴，垂足B 的坐标是（0，－12），求△ABO的面积。
19.2.1正比例函数图像与性质导学案 教学内容 正比例函数图像与性质 教学目标 1、知识与技能： 知识性目标：理解正比例函数图像特征． 技能性目标：能画出正比例函数图像 2、数学思考： 数学思想：体会与发展建立数学模型和数形结合的思想． 数学研究方法：从特殊到一般，从数到形研究正比例函数图像特征及性质. 3、解决问题： 利用正比例函数图像特征及性质知识解决有关实际问题． 4、情感与态度： 结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯. 教学重难点 教学重点：正比例函数图像特征和性质. 教学难点：正比例函数图像特征和性质的综合运用. 一情境导入： 3月31日清晨，强飓风尼可拉斯以每小时192km的速度从北部登陆德国，造成重大损伤，飓风在德国横扫的路程随时间变化而变化吗？ t (h) 1 2 3 4 s (km) 问题1.从上表中，你能得出时间和路程之间的函数关系式吗？ 问题2.上述解析式是正比例函数吗？ 那么它们的图像有什么性质呢？ 二自主探究
在同一直角坐标系中画出下列函数图像. （1）y=2x （2） 解：列表得： 根据你所画的图像回答: 1.上述图像的形状是_____________. 2.对函数y=kx, ,当x=0时，y=＿，函数过点__________． 当x=１时，y=＿，函数过点__________． 函数y=kx 是一条经过点________和点________的__________． 3.当k>0时，直线y=kx 经过第____________象限. 当k<0时，直线y=kx 经过第____________象限. 4.在函数y=2x 上，当x=-1时，y=____. 当x=0时，y=_____. 当x=1时，y=_____. 当x 增大时，y____________.图像从左到右呈________趋势. 在函数y=-2x 上，当x=-1时，y=____. 当x=0时，y=_____. 当x=1时，y=_____. 当x 增大时，y______________.图像从左到右呈________趋势. 归纳：正比例函数的性质： x … -3 -2 -1 1 2 3 … y=2x … … … … x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-2x … … y=-x … … x y 21=x y 2-=x y -=x y 2 1 =
14.2.2 正比例函数图象及性质 罗江中学初中数学组:张恩东 【教材分析】 正比例函数图像及性质位于第十四章第二节，是学好正比例函数解析式的后续内容，这一节内容是函数与直角坐标平面第一次完美的结合，在这节课中如果学生能够很好的感悟和内化数形结合的思想，将为研究更为复杂的反比例函数图像、二次函数图像奠定坚实的基础，本节内容在初中数学里起着承上启下的重要作用。在感悟数形结合思想同时也适合对学生分析、对比、归纳等能力的培养。 一、教学目标 1、知识与技能: 认识正比例函数图像是一条直线，学会画正比例函数图像 2、过程与方法: 通过计算机辅助教学使学生在观察、探究中自主发现正比例 函数的性质,并认识k 的符号对函数图象的影响. 3、情感态度与价值观: 通过性质的探索、研究、发现，使学生感受、领悟数 形结合思想，同时培养学生的观察、分析、归纳的逻辑思维 能力。 二、教学重点: 正比例函数图像的画法及其性质的发现。 三、教学难点: 正比例函数图像的画法及其性质的发现。 四、教学过程 知识复习: 上一节课我们学习了正比例函数,那么正比例函数一般解析式是什么呢? y=kx （k 是常数，k ≠0）其中k 叫做比例系数．称y 与x 成正比例 怎样判断一个函数是正比例函数呢? 正比例函数的图象是什么呢?这节课我们一起来探索正比例函数图象及性质 现在请同学们在同一直角坐标系中画出下列正比例函数的图象 (1)x y 2= (2)x y 2-= 提问:要画出这两个函数图象应采用什么方法呢?这种方法有哪些步骤? 自变量的取值有没有要求呢？ 观察、 比较两个函数的相同点与不同点． 两图象都是经过原点的___________．函数y=2x 的图象从左向右____________，经过第________象限；函数y=－2x 的图象从左向右_________，经过第_________象限． 为什么函数图象不同?请大家观察这两个函数的解析式同不同?不同在哪个地方? 说明k 的值对函数图象有影响吗? 请大家在刚才直角坐标系中画下列两个正比例函数的图象 (1)x y 21= (2) x y 2 1-= k 的值对函数图象有影响吗?(没有) k 的符号对函数图象有影响,有怎样的影响呢?
第1课时正比例函数的图象和性质一．选择题（共10小题） 1．下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（） A．y=﹣2x2B． y=C． y= D．y=x﹣2 2．若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（） A．0B．﹣2 C．2D．﹣0.5 3．若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（） A．±2 B．﹣2 C．D． 4．下列说法正确的是（） A．圆面积公式S=πr2中，S与r成正比例关系 B． 三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系 C． y=中，y与x成反比例关系 D． y=中，y与x成正比例关系 5．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（） A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系 B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系 C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系 D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米 6．若函数y=（m﹣3）x|m|﹣2是正比例函数，则m值为（） A．3B．﹣3 C．±3 D．不能确定 7．已知正比例函数y=（k﹣2）x+k+2的k的取值正确的是（） A．k=2 B．k≠2 C．k=﹣2 D．k≠﹣2 8．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（） A．1B．2C．3D．4 8题图 9题图 9．如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4，则下列关系中正确的是（） A．k 1 ＜k2＜k3＜k4B．k2＜k1＜k4＜k3C．k1＜k2＜k4＜k3D．k2＜k1＜k3＜k4 10．在直角坐标系中，既是正比例函数y=kx，又是y的值随x的增大而减小的图象是（） A．B．C．D． 二．填空题（共9小题） 11．若函数y﹦（m+1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为_________ ． 12．已知y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k= _________ ．
3/ 2016 -2017学年度第二学期初二数学单元测试 （时间70分钟，满分100 分） (共 2 页) 2017.5 1 2 3 4 5 6 7 8 、选择题（本题共36分，每小题4分，将答案填在表格中） 1如果点M 在直线y =X-1上，贝y M 点的坐标可以是（ ) 8 .如图，菱形 ABCD 中，AB = 2，/ B = 120 °点 M 是AD 的中点, 点P 由点A 出发，沿A T B T D 作匀速运动，到达点 D 停止， 则厶APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系的图 象大致是（ O 1 2 3 1 O O A ? (1, 0) B ? ( 0, 1) C - (— 1, 0) D ? (1,— 1) ?如果函数y =（m -1）x |m| 是正比例函数，那么（ ) 二、填空题（本题共 24分，每小题4分） A . m = 1 或 m = -1 B . m = 1 .一次函数y= — 3x+2的图象不经过（ A .第一象限 B .第二象限 5.若一次函数y = x +4的图象上有两点 B . 5 - y2 .关于直线y= -2x - 4的描述正确的是（ A ?可以看成是直线 B ?可以看成是直线 m = -1 D . m = 0 C ?可以看成是直线 D ?可以看成是直线 ) C .第三象限 1 A(- , yj 、B (1, 2 y= -2x 沿x 轴向左平移 y= -2x 沿x 轴向右平移 y= -2x 沿y 轴向上平移 y= -2x 沿y 轴向下平移 D .第四象限 y 2）,则下列说法正确的是 （ ） C . % y 2 4个单位得到 4个单位得到 4个单位得到 4个单位得到 乃-忌+/> .一次函数y 1 =kx b 与y^ x a 的图象如图，则下列结论① k ：： 0 ；② a 0 ；③当 x 3 寸，Wh 中，正确的个数是（ B . 1 9.函数y=" x 中，自变量x 的取值范围是 3 10.写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、四象限和点 （ 可以是 0,5), 则这个一次函数 11.平行四边形的周长为 240，两邻边为x 、y ,则它们的函数解析式为 y= 其中自变量 x 的取值范围是 __________________ 12.已知函数 y = ax + b 和y = kx 的图象交于点 P ,则根据图象可得，二元一次方程组 13.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：① 从小到大排列并用“v”连接为 __________________ b , c 14.右表是一次函数 比=kx ? d, y 2二kx ? 6的部分自变 量x 与函数的对应值，则 m 的值为 _______ . x -2 0 1 y 1 3 y 2 2 m
第六章反比例函数 2.反比例函数的图象与性质（二） 一、学生知识状况分析 函数是研究现实世界变化规律的一个重要数学模型，学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等相关知识，对函数的概念和研究函数的方法有了初步的认识和了解．特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步领悟函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图像和性质做好知识上和方法上的铺垫． 二、教学任务分析 《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对0 k<时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的k>和0 基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质 理解和掌握。由此，本节课的教学目标制定如下： 知识与技能目标： 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质． 提高学生观察、分析能力和对图象的感知水平，领会研究函数的一般要求．过程和方法目标： 让学生经历知识的探究过程，通过全面的观察和比较，积累数学方法和活动经验． 逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想．
情感、态度和价值观目标： 经历小组合作与交流活动，在质疑、追问、讨论中达成共识，发展合作能力和语言表达能力. 在教学目标的基础上制定如下的教学重点、教学难点： 重点：探索反比例函数的主要性质. 难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节： 第一环节：要点回顾铺平道路；第二环节：设问质疑探究尝试；第三环节：实际运用巩固新知；第四环节：激趣质疑再探新知；第五环节：活学活用巩固提高；第六环节：总结串联纳入系统；第七环节：分层达标课后延伸. 第一环节：要点回顾铺平道路 内容： 1. 下列函数中，哪些是反比例函数？ 教学策略： 让学生找出题目中的反比例函数，运用空间想象能力，勾勒出反比例函数 例函数定义以及图象的再认知． 设计意图： 反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力．
12.2 一次函数的图象 1 正比例函数的图象和性质 要点感知1画函数图象的步骤：(1)__________；(2)__________：建立直角坐标系，以__________为横坐标，__________为纵坐标，确定点的坐标；(3)__________. 预习练习1-1下面所给点的坐标满足y=-2x的是( ) A.(2，-1) B.(-1，2) C.(1，2) D.(2，1) 要点感知2 正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是一条__________，因此画正比例函数图象时，只要描出图象上的__________，然后过两点作一条直线即可，这条直线叫作“直线__________”. 预习练习2-1 如图，某正比例函数的图象过点M(-2，1)，则此正比例函数表达式为( ) A.y=-1 2 x B.y= 1 2 x C.y=-2x D.y=2x 要点感知3 正比例函数图象的性质：直线y=kx(k≠0)是一条经过________的直线.当k>0时,直线y=kx经过第_______象限，从左到右，y随x的增大而________；当k<0时，直线y=kx经过第_____象限，从左到右，y随x的增大而________. 知识点1 画正比例函数的图象 1.正比例函数y=3x的大致图像是( )
2.已知正比例函数y=x，请在平面直角坐标系中画出这个函数的图象. 知识点2 正比例函数的图象与性质 3.已知函数y=kx的函数值随x的增大而增大，则函数的图象经过( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 4.对于函数y=-k2x(k是常数，k≠0)的图象，下列说法不正确的是( ) A.其函数图象是一条直线 B.其函数图象过点(1 k ，-k) C.其函数图象经过一、三象限 D.y随着x增大而减小 5.正比例函数y=-x的图象平分( ) A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 6.函数y=-5x的图象在第__________象限，y随x的增大而__________. 知识点3 实际问题中的正比例函数
《正比例函数的图象与性质》的教学反思 商南县初级中学孟超 正比例函数的图象与性质，是学生学习的第一个函数，它对下面学习一次函数有着重要的影响，是学好函数的基础。 在教法上，课前考虑到八年级学生的年龄特征，他们的可塑性大、求知欲旺盛，但在理解能力上还有一定的局限性，处于形象为主的逐步向经验型的抽象思维过渡的阶段。而正比例函数性质的学习要有一定的逻辑思维能力。因此本节课我采用了“观察发现法”和“实践归纳法”。即在教师引导下使学生通过自己的观察探索来发现问题、解决问题的教学方法。由于学生亲自来发现事物的特征和规律，能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自行学习的内在动机，更有利于发展学生的创造性思维能力。 本节课的教学过程由以下六个环节组成： （一）温故知新引入新课 学生学习数学的方式方法是随着他们思维的发展而变化的。处于经验型思维的初中生，学习数学新知识时，需要已有的知识和经验作支持，否则还难以接受。本节课是通过复习正比例函数的概念和画函数图象的步骤引入新课的。多媒体展现最近发生的国家实事：“神舟八号”的顺利发射，据此提出思考题。在解决这一问题的过程中，
学生能直观地体会到点形成线的过程，了解画函数图象的一般步骤，由此揭示课题。这一引入使学生懂得数学来源于实践又反作用于实践，同时提高了学生的爱国主义热情和民族自信心，并且对下面新知识的学习产生了浓厚的兴趣。在复习导入时，我设计了简单函数式，让学生判断。 （二）观察推理探究新课 在明晰了正比例函数概念后，教学进入到学习正比例函数图象环节。教师说道：“函数的图象可以清晰、直观描述函数的关系。正比例函数从形式上具有共同的特性，那么它们的函数图象是否也有共同的地方呢？想研究这个问题应该怎么办呀？” 学生答道：“画函数图象。” 于是，教师先引导学生画y=2x的图像，然后让学生练习画出y=－2x 的图像（在坐标纸上画）。同时，说明画图的具体要求，此间，老师巡视指导，帮助学生解决画图中遇到的问题。 看到绝大多数学生都完成了任务。于是，教师提出问题：“观察你所画的图象，它们是什么图形？” 学生异口同声地说：“过原点的直线。” 教师接着问道：“是不是所有的正比例函数图象都是过原点的直线呢？”学生沉默了片刻,有人打破了僵局，说道:“应该都是过原点
数，这样也便于求y 值 （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确 （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线 （4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴 例1．（补充）已知反比例函数ｙ＝（m-1）x m 2-3的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？ 分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y=kx -1（k ≠0）自变量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件。 【略解】∵ｙ＝（m-1）x m 2-3是反比例函数 ∴m 2－3＝－1，且m －1≠0 又∵图象在第二、四象限 ∴m －1＜0 解得m=±2且m ＜1 则m=-2 例2．如图，过反比例函数y=x 1（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）
（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 【分析】从反比例函数y=x k （k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积S=xy=k ，21由此可得S 1＝S 2 ＝21 ，故选B 三、随堂练习、当堂消化 1．已知反比例函数y=x k -3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围 （1）函数图象位于第一、三象限 （2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大 2．函数y ＝－ax ＋a 与y= x a -（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） 3．在平面直角坐标系内，过反比例函数y=x k （k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为 四、课后练习、拓展延伸
反比例函数图像与性质试题 一．选择题（共21小题） 1．（2013?安顺）若是反比例函数，则a的取值为（） A．1B．﹣l C．±l D．任意实数2．（1998?山西）若函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为（） A．m=﹣2B．m=1C．m=2或m=1D．m=﹣2或﹣1 3．反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜0B．C．D．m ≥ 4．下列函数中，是反比例函数的为（） A．y=2x+1B．y=C．y =D．2y=x 5．下列函数中，y是x的反比例函数是（） A．B．C．D． 6．已知函数是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．2B．±2C．﹣2D． 7．若函数y=是反比例函数，则m的值为（） A．±2B．2C．±D．8．（2014?自贡）关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．
9．（2014?泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y=（m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D． 10．（2014?牡丹江）在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D． 11．（2014?海南）已知k1＞0＞k2，则函数y=k1x和y=的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）A．B．C．D． 12．（2014?乐山）反比例函数y=与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D． 13．（2014?怀化）已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（）
《19.2.2正比例函数图像及性质》教案 【教学目标】 1.知识与技能 （1）掌握正比例函数的概念； （2）会求正比例函数的解析式； （3）掌握正比例函数的性质。 2.过程与方法 使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。 3.情感态度和价值观 实例引入，激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】 正比例函数的概念及图像。 【教学难点】 正比例的性质与常数k的关系。 【教学方法】 教法：启发引导。学法：自学与小组合作学习相结合的方法。【课前准备】 多媒体课件，直尺，彩色粉笔。 【课时安排】 1课时 【教学过程】
一、复习导入 【过渡】我们学习了第一节的内容，主要是学习了函数的基本知识，如变量与常量，函数的解析式等等，现在，我们一起来回忆一下这几个基本概念吧。 1、正比例的解析式是什么？ 2、已知y与x成正比例，且当x =-1时，y =-2，求y与x之间的函数关系式？ （可以由学生回答） 【过渡】在学习基础知识的过程中，我们会看到不同种类的函数解析式，那么，这些函数解析式有没有哪些具有共同的特征呢？又有什么样的性质呢？今天，我们就来探究一种具有独特性质且简单的函数：正比例函数。 二、新课教学 1．正比例函数 课本P86思考内容。 【过渡】这几个问题的函数关系式很容易就能得到，大家观察这四个关系式，这几个关系式有什么共同点呢？ （学生回答） 列表更清晰直观。 【过渡】根据大家的观察，这些函数有什么共同点？ 这些函数都是常数与自变量的乘积的形式！ 【过渡】在数学中，我们将这样的函数称为正比例函数。 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k
课题 反比例函数的图象和性质（1） 课时 22 班级: 姓名: ●自学 自学---质疑---解疑 ▲学习目标: 1．会用描点法画反比例函数的图象。 2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质。 3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法. 4.重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质。 难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质。 ▲自学方法 1.认真看书本41-43页的内容，尝试独立完成，然后组内合作交流。 2.教材第41页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。 3．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx （k ≠0）呢？ 4．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？ 5．反比例函数的图象是什么样呢? ★达成共识:1. 用描点法画图：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值。 （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确。 （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线. （4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 2. 反比例函数的性质: . ●量学 自测---互查---互教 1．已知反比例函数32)1(--=m x m y 的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？ （分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即1-=kx y （k ≠0）自变量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件）
正比例函数的图像和性质教学设计 一、教学目标 1、知识目标： （1）探究正比例函数的图像特征，正确画出正比例函数图像； （2）理解正比例函数的性质； （3）结合图相对简单实际问题中的函数关系进行分析。 2、能力目标： （1）通过对正比例函数图像特征的观察和分析，促进学生有感性思维向理性思维的发展，提高学生的逻辑思维能力； （2）通过对于正比例函数性质的讨论，增强学生数形结合的观念； 体会由“特殊”到“一般”的数学思想方法，提到他们的概括能力、抽象能力、语言表达能力。 3、情感目标 （1）结合描点作图及观察图像培养学生认真细心严谨的学习态度和习惯。 （2）培养学生积极参与数学活动，勇于探索的数学现象和规律，形成良好的质疑和独立思考的习惯。 二、教学重点： 1、正比例函数图像的画法和性质 2、理解正比例函数意义及解析式特点 三、教学难点： 发现及归纳正比例函数的性质
四、教学方法：探索归纳，启发式讲练结合 五、教学用具：粉笔、黑板 六、教学过程： （一）复习、巩固旧知识 师：上一节课我们已经学习了正比例函数的定义，以及它的表达式，大概回忆一下，好，大家共同回忆。 生：一般的，形如y=kx(k不等于零，k为常数)的函数，叫做正比例函数。 师：好，很棒啊。那么同学们还知道k和x满足什么条件的时候才是正比例函数。 生：k不为零，x的次数为一次。 师：好，现在我们已经知道了正比例函数的解析式，今天我们就来探究它的图像以及它有什么样的性质。 师：同学们回忆画函数图像的步骤的一般步骤。 生：列表、描点、连线 师：好，那老师给同学们在黑板上示范一下如何画函数图像。 （在黑板上写，画出y=x的函数图像，在画图中要注意x取值的任意性，平面直角坐标系的三要素） 师：好，现在老师已经画完了y=x的函数图像，请同学来再画y=-x,y=2x的函数图像，并看看这些函数图像它的形状是不是一样。 下面同学画y=3x,y=-3x的函数图像。 师：看黑板，这些函数图像画的对不对，现在同学们观察函数图
第一课时 反比例函数的图象和性质的认识 塔耳中学：陈金咏 【学习目标】 1. 体会并了解反比例函数图象的意义。 2. 能用描点的方法画出反比例函数的图象。 3. 通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质。 【重点难点】 重点：画反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。 难点：画反比例函数的图象；理解反比例函数的性质，并能初步运用。 【导学指导】 一．复习回顾。 1.你还记得一次函数的图象与性质吗? 一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是一条直线,称直线y=kx+b. ①当k>0时, y 随x 的增大而增大; ② 当k<0时,y 随x 的增大而减小 2.给反比例函数“照相” ().0,,,的反比例函数是的形式那么称为常数之间的关系可以表示成 如果两个变量一般地x y k k x k y y x ≠= 反比例函数的图象又会是什么样子呢?你还记得作函数图象的一般步骤吗？ 用图象法表示函数关系时,首先在自变量的取值范围内取一些值,列表,描点,连线(按自变量从小到大的顺序,用一条平滑的曲线连接起来). 二．探究反比例函数的图像及性质。 例1：在同一个平面直角坐标系中用不同颜色的笔画出反比例函数y=6/x 和y=-6/x 的图象。并思考， （1） 从以上作图中，发现y=6/x 和y=-6/x 的图象是什么？ （2） y=6/x 和y=-6/x 的图象分别在第几象限？ （3） 在每一个象限y 随x 是如何变化的？ （4） y=6/x 和y=-6/x 的图象之间的关系？ 2.巩固练习画反比例函数y=4/x 和y=-4/x 的图象。并思考， （5） 从以上作图中，发现y=4/x 和y=-4/x 的图象是什么？ （6） y=4/x 和y=-4/x 的图象分别在第几象限？ （7） 在每一个象限y 随x 是如何变化的？ （8） y=4/x 和y=-4/x 的图象之间的关系？
反比例函数的图象和性质教学设计 教学目标：1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法 教学重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题 教学难点：学会从图象上分析、解决问题 教学方法：引导启发、讲练结合 教学过程： 一、例题的意图分析 教材的例3一是让学生理解点在图象上的含义，掌握如何用待定系数法去求解析式，复习巩固反比例函数的意义；二是通过函数解析式去分析图象及性质，由“数”到“形”，体会数形结合思想，加深学生对反比例函数图象和性质的理解。 教材的例4是已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的变化趋势分析函数值y随x的变化情况，此过程是由“形”到“数”，目的是为了提高学生从函数图象中获取信息的能力，加深对函数图象及性质的理解。 补充例1目的是引导学生在解有关函数问题时，要数形结合，另外，在分析反比例函数的增减性时，一定要注意强调在哪个象限内。 补充例2是一道有关一次函数和反比例函数的综合题，目的是提高学生的识图能力，并能灵活运用所学知识解决一些较综合的问题。 二、课堂引入 复习上节课所学的内容：1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？
三、例习题分析 例3．见教材。分析：反比例函数x k y =的图象位置及y 随x 的变化情况取决于常数k 的符号，因此要先求常数k ，而题中已知图象经过点A （2，6），即表明把A 点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k ，这样解析式也就确定了。 例4．见教材。 例1．（补充）若点A （－2，a ）、B （－1，b ）、C （3，c ）在反比例函数x k y =（k ＜0）图象上，则a 、b 、c 的大小关系怎样？ 分析：由k ＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，因为A 、B 在第二象限，且－1＞－2，故b ＞a ＞0；又C 在第四象限，则c ＜0，所以 b ＞a ＞0＞c 说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y 随x 的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k ＜0时y 随x 的增大而增大，就会误认为3最大，则c 最大，出现错误。 此题还可以画草图，比较a 、b 、c 的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。 例2． （补充）如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比 例函数x m y =的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图象写出一次函 数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围 分析：因为A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式x y 2-=，又B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出n 的值，最后再由A 、B
17．1．2反比例函数的图象和性质（2） 教学过程
此题还可以画草图，比较a 、b 、c 的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。 例2． （补充）如图， 一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x m y =的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围 分析：因为A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式x y 2-=，又B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出n 的值，最后再由A 、B 两点坐标求出一 次函数解析式y ＝－x －1，第（2）问根据图象可得 x 的取值范围x ＜－2或0＜x ＜1，这是因为比较两 个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。 例3：已知变量y 与x 成反比例，且当x=2时y=9（1）写出y 与x 之间的函数解析式和自变量的取值范围。 分析：要确定一个反比例函数x k y =的解析式，只需求出比例系数k 。如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以先求出比例系数，然后写出所要求的反比例函数。 例3、设汽车前灯电路上的电压保持不变,选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过 电流的强度为I(A)。 （1）已知一个汽车前灯的电阻为30 Ω，通过的电流为0.40A ，求I 关于R 的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。 （2）如果接上新灯泡的电阻大于30 Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？ 在例3的教学中可作如下启发：
（1）电流、电阻、电压之间有何关系？ （2）在电压U 保持不变的前提下，电流强度I 与电阻R 成哪种函数关系？ （3）前灯的亮度取决于哪个变量的大小？如何决定？ 先让学生尝试练习，后师生一起点评。 第三步：随堂练习： 1.当质量一定时，二氧化碳的体积V 与密度p 成反比例。且V=5m3时，p=1．98kg ／m3 （1）求p 与V 的函数关系式，并指出自变量的取值范围。 （2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。 2、已知反比例函数y=k/x （k ≠0）的图像经过点（4，3），求当x=6时，y 的值。 3、 已知y －2与x+a （其中a 为常数）成正比例关系，且图像过点A （0， 4）、B （－1，2），求y 与x 的函数关系式 4、已知一次函数y= -x+8和反比例函数y =x k （1） k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两 个交点？ ( 2 ) 如果其中一个交点为（－1，9），求另一个交点坐标。 第四步：课后练习 1．已知反比例函数x k y 12+=的图象在每个象限内函数值y 随自变量x 的增大而减小，且k 的值还满足)12(29--k ≥2k －1，若k 为整数，求反比例函数的解析式 2．已知一次函数b kx y +=的图像与反比例 函数x y 8-=的图像交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2 ， 求（1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积
人教版数学九年级下册 《反比例函数的图象和性质》教学设计 一.内容和内容解析 1.内容 反比例函数的图象和性质 2.内容解析 本节课是人教版数学九年级下册第二十六章第一节反比例函数的内容，本节分为三课时，这是第二课时的新授课.是在学生已经经历了一次函数、二次函数的研究过程的基础上，在得到反比例函数的概念之后，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定反比例函数的性质. 教学过程中首先引导学生用“描点法”画出反比例函数的图象，使反比例函数的解析式表示的函数关系直观化；然后分类观察图象，体现“分类”的思想，首先研究k>0的情况，从特殊k=4,k=6,k=8,k=12的图象观察，进而推广到一般，得出k>0时的反比例函数的图象的特征及反比例函数的特性，体现“从特殊到一般”的思想，然后教师再引导学生从解析式的角度分析图象特征，在整个教学过程中始终贯穿由“数”到“形”再由“形”到“数”的相互转化，让学生体会“数形结合”的数学思想和反比例函数的本质属性所在，对于k<0的研究，完全类比k>0的研究过程，体现“类比”的思想. 反比例函数是初中阶段要求学习的三种函数中的最后一种，是继一次函数学习之后，知识的一次扩展，图象由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连
续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，是学习函数的一般方法和规律的再次强化，也是后续构建反比例函数模型的基础，起着承上启下的作用. 本节课学生的学习重点是：用描点法画反比例函数的图象，并根据图象理解反比例函数的性质． 学习难点是：对x≠0的理解及图象特征的分析． 二．目标和目标解析 1.目标 （1）能画出反比例函数的图象，探索并理解图象的变化情况. （2）在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“类比”、“分类讨论”、“从特殊到一般”以及“数形结合”的数学思想. （3）通过观察反比例函数的图象、探究反比例函数的性质，发展探究、归纳及概括的能力. 2.目标解析 （1）首先运用描点法画出反比例函数的图象，然后根据图象，通过观察、分析、归纳得出反比例函数的性质，因此正确画出反比例函数图象是前提条件，虽然学生之前用描点法经历过画一次函数、二次函数图象的经验，但是由于反比例函数图象结构复杂，具有自身的特殊性，因此，能用“描点法”画出反比例函数图象并根据图象探究其性质仍是本节课的目标. （2）类比正比例函数的研究方法，通过分类讨论的方式首先研究k>0的情况，在研究过程中从图象和解析式两个角度分析，体现了数形结合的思想，通过类比研究k<0的情况，同样体现从特殊到一般的数学思想. （3）在探究反比例函数的性质的过程中，教师利用几何画板给出一系列函数图
正比例函数的图像和性质 知识精要 1.正比例函数的图像 一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0 ≠）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。 2.正比例函数性质 精讲名题 例1.若函数y=(m-1) 3 - m x 是正比例函数，则m= ,函数的图像经过象限。 解:m=4,图像经过第一、三象限。 例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。 解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x （k0 ≠）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x ∴y=-4x+1
例3.已知y 与x 的正比例函数，且当x=6时y=-2 (1)求出这个函数的解析式； (2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像； (3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值； (4)试问，点A （-6，2）关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？ 解：(1) 设y=k ·x （k 0≠）当x=6时，y=-2∴-2=6k ∴31 -=k ∴这个函数的解析式为x y 31-= (2) x y 3 1 -=的定义域是一切实数，图像如图所示： (3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，∴a 3 1 4-=，∴a=-12 (4)点A （-6，2）关于原点对称的点B 的坐标（6，-2）， 当x=6时，y=2631-=?- 因此，点B 也在直线x y 3 1 -=上 例4.已知点(11,y x )，(22,y x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上，当21x x >时，21y y <，那么k 的取值范围是多少？ 解：由题意，得函数y 随x 的值增大而减小， ∴k-2<0,∴k<2 例5.（1）已知y=ax 是经过第二、四象限的直线，且3+a 在实数范围内有意义，求a 的取值范围。 （2）已知函数y=(2m+1)x 的值随自变量x 的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x 的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围。 解：（1）根据题意得a<0,a+3≥0 ∴-3≤a<0 (2) 根据题意得2m+1>0,3m+1<0 解得-1/2 十九章第二节正比例函数 一、教材分析： （1）说教材的地位和作用 在学习<<正比例函数及图象性质>>之前,学生已经有了平面直角坐标系的基础知识、函数的概念、函数的三种表达方法等知识，正比例函数是学生们初中第一次接触的函数，通过观察解析式及正比例函数图象得出正比例函数的性质。本节课具有承上启下的重作用，学好正比例函数为以后一次函数打下的基础。函数思想是一种重要的数学思想。 （2）说学生 学生在小学已经学习了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例概念，在这节课之前学生已经掌握了平面直角坐标系的知识，函数解析式的表达及画法。 （3）说教学目标 在教材分析和学情分析的基础上，结合预设的教学方法，确定了本节课的教学目标如下： 1、知识与技能： （1）通过实例，列出正比例函数关系式； （2）通过观察，得到正比例函数的定义,并根据图象归纳正比例函数的性质。 2、过程与方法：经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力。通过亲手画正比例函数图象吸引学生的学习兴趣，引导学生观察图象得出正比例函数的性质，达到了数形结合。 3、情感态度与价值观： （1）通过师生活动、小组互助合作学习，学生动手画图,让学生充分参与到数学学习的过程中来。 （2）让学生感知数学知识来源于生活，同时也服务于生活。 4、教学重、难点分析 教学重点：理解正比例函数的概念及图像性质。 教学难点：正比例函数的图象性质。 二、说教法 本节课的重点是理解正比例函数的概念及图象性质，在教学过程中，抓住 学生已有的知识点，在学生主动参与和教师引导下充分调动学生的学习积极性和主 动性，使学生在自主探索的过程中掌握新知识，教师的主导作用与学生主体地位达 到了相互统一。为了提高课堂效果，辅以多媒体技术，使学生获得直观的印象，激 第14课时 反比例函数图象和性质 【知识梳理】 1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x (k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝ k x (k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 . 【例题精讲】 例1 某汽车的功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v （米／秒） 与它所受的牵引力F （牛）之间的函数关系如右图所示： （1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； （2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？ （3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F 在什么范围内？ 例2如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积； （3）x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值． 【当堂检测】 1. 已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3），则m 的值为 ． 2.若正方形AOBC 的边OA 、OB 在坐标轴上，顶点C 在第一象限且在反比例函数y ＝x 1 的图像上，则点C 的坐标是 . 3．在反比例函数3 k y x -= 图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ＞3 B ．k ＞0 C ．k ＜3 D ． k ＜0 4. 如图,反比例函数图象过点P,则它的解析式为( ) A.y ＝ 1x (x>0) B.y ＝－1 x (x>0) C.y ＝1x (x<0) D.y ＝－1x (x<0) 5．在反比例函数12m y x -=的图象上有两点A ()11,x y ，B ()22,x y ，当 120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B.0m > C.12m < D.12m > 6．如图，若点A 在反比例函数(0)k y k x =≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ． 7．对于反比例函数2 y x =，下列说法不正确．．． 的是（ ） A ．点(21)--，在它图象上B ．图象在第一、三象限 C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大 D ．当0x <时，y 随x 8.反比例函数6 y x =-的图象位于（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第二、三象限 D 9．如图，已知双曲线k y x = （0x >）经过矩形OABC 的边AB BC ，F E ，，且四边形OEBF 的面积为2，则k = ． 10．（2013?锦州）如图，直线y=mx 与双曲线y= x k 交于A ，B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为点M ， 连接BM ，若S △ABM =2，则k 的值为（ ） 1-1y O x P 第4题图 第6题图正比例函数(图象及性质)
反比例函数图象和性质
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