数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
2014级硕士研究生数值分析上机实习（第一次） 姓名：学号：学院： 实习题目：分别用二分法和Newton迭代法求方程x3■ 2x210x-20=0的根.实习目的：掌握两种解法，体会两种解法的收敛速度. 实习要求：用C程序语言编程上机进行计算，精确到8位有效数字. 报告内容： 1.确定实根的个数以及所在区间 2.将最后两次计算结果填入下表（保留8位数字）： 3.实习过程中遇到哪些问题？如何解决？有何心得体会?
4.两种解法的计算程序（此页写不下时可以加页）：
2014级硕士研究生数值分析上机实习（第二次）姓名：学号：学院： 实习题目：计算8阶三对角矩阵A=tridiag（0.235, 1.274, 0.235）的行列式.实习目的：掌握计算行列式的方法. 实习要求：首先选择一种算法，然后用C程序语言编程上机进行计算.报告内容： 1.简单描述所采用的算法: 2?计算结果： A 3.实习过程中遇到哪些问题？如何解决？有何心得体会?
4.写出C语言计算程序（此页写不下时可以加页）：
2014级硕士研究生数值分析上机实习（第三次） 姓名：学号：学院： 分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组实习题目： 2lx + 9.8y+ 3.4z= 6.7 <2.7x + 1.8y+ 7.2z= 2.4 8.6x + 1.5y + 3.4z = 1.9 实习目的：感受两种迭代法的收敛速度. 首先构造收敛的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，然后用实习要求： C程序语言编程上机进行求解，初始值均取为0,精确到4位小 数. 报告内容： 1.写出收敛的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法:
2009级研究生《数值分析》试卷 一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为x y y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由 统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限 )(u ε和相对误差限)(u r ε. 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f . 三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[12 1 )]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈?的代数精 度. 四.(12分) 已知函数122)(2 3 -++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间 },,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式. 其中,权函数1)(=x ρ,15 4 ))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ???. 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件: (1) 填写均差计算表(标有*号处不填): (2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.
(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分) (1). 用Romberg 方法计算?3 1 dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填). (2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式?∑-=≈1 1 2 )()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数 k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ?3 1dx x . 七.(14分) (1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5 110||-+<-k k x x ). 八. (12分) 用追赶法求解方程组: ???? ?? ? ??=??????? ????????? ??022112111131124321x x x x 的解. 九. (12分) 设求解初值问题???==0 0)() ,('y x y y x f y 的计算格式为: )],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
硕士研究生 《数值分析》练习题 一、判断题 1、用Newton 切线法求解非线性线性方程可以任选初值。 （ ） 2、求解非线性线性方程，Newton 切线法比弦截法迭代次数多。 （ ） 3、若n n A R ?∈非奇异，用Jacobi 迭代法求解线性方程组Ax b =必收敛。（ ） 4、Lagrange 插值法与Newton 插值法得到同一个插值多项式。 （ ） 二、填空题 1、近似数 3.14108937a =关于π具 位有效数字。 2、双点弦截法具有 阶收敛速度。 3、求方程x x e =根的单点弦截法迭代公式是 。 4、设2112A ?? = ? ?? ? ，则()A ρ= 。 5、设,0,1,2,3i x i =是插值基点，,0,1,2,3i l i =是对应的三次Lagrange 插值基函数，则()()3 3012i i i x l =-=∑ 。 6、由下数据表确定的代数插值多项式的不超过 次。 7、若()8754321f x x x x =+-+，则差商[]0,1,2,,8f = 。 8、拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是y = 。 三、分析与计算题 1、设()14,2,3515T A x -??==-?? -?? ，求∞=,2,1,,p x A p p 和()1A cond 。
2、1001012,20253A x -???? ? ? == ? ? ? ?-???? ，试计算p p x A ,，p=1,2,∞，和1)(A cond 。 3、线性方程组,0Ax b b =≠，用Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？其中 122111221A -?? ?=-- ? ?--?? 。 4、线性方程组,0Ax b b =≠，用Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？其中 2-11=11111-2A ?? ???? ???? 。 5、已知函数表如下: ⑴ ()111.75ln11.75L ≈、估计截断误差并说明结果有几位有效数字； ⑵ ()211.75ln11.75N ≈、估计截断误差并说明结果有几位有效数字。 6、已知函数表 如下: ⑴用Lagrange 插值法求ln0.55的近似值()10.55N 、估计截断误差并说明结果的有效数字； ⑵用 Newton 插值法求ln0.55的近似值()20.55N 、估计截断误差并说明结果的有效数字。 7、已知数据如下，求满足条件的Hermite 插值多项式。
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
习 题 请尽可能提供程序 1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差05.0<。 2. 为求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式： 1）2/11x x +=，迭代公式21/11k k x x +=+；2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+； 3）1 12-=x x ，迭代公式1/11-=+k k x x ；4）132-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 。 试分析每种迭代公式的收敛性。 3. 给定函数)(x f ，设对一切x ，)(x f '存在且M x f m ≤'≤<)(0，证明对于范围M /20<<λ内的任意定数λ，迭代过程)(1k k k x f x x λ-=+均收敛于)(x f 的根*x 。 4.设a 为正整数，试建立一个求 a 1的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑公式的收敛性。请提供程序。 5.用Gauss 消去法求解方程组： ???? ? ??-=????? ??????? ??----50312131 2111321x x x （请提供程序） 用列主元Gauss 消去法求解下列方程组： （1）???? ? ??=????? ??????? ??13814142210321321x x x （请提供程序） 6.用追赶法解三对角方程组b Ax =，其中 ????????????????--------=210001 2100012100012100012A ，??????? ?????????=00001b 。 7.设n n R P ?∈且非奇异，又设x 为n R 上一向量范数，定义Px x p =。试证明p x 是n R 上向量的一种范数。 8.用平方根法（Cholesky 分解）求解方程组：
2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷） 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（15分）设求方程 0cos 2312=+-x x 根的迭代法 k k x x cos 3 2 41+=+ (1) 证明对R x ∈?0,均有*lim x x k k =∞ →,其中*x 为方程的根. (2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论. 二、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。 ??? ??=++-=++=-+. 022,1, 122321 321321x x x x x x x x x 三、（8分）若矩阵??? ? ? ??=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的。（范数用∞?） 四、（ 求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据
为 已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。 六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分 [ ] dx x b ax b a I 2 1 1 2 ),(?--+= 取得最小值。 七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式)(x L n 有递推关系式： ?? ? ? ???=+-++===-+),2,1()(1)(112)()(, 1)(1110 n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 试确定两点的高斯—勒让德（G —L ）求积公式 ? -+≈1 1 2211)()()(x f A x f A dx x f 的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分 ?=2 11 dx e I x 八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的单步法： ??? ? ??? ++==++=+) ,() ,()2 121(1 21211 hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
数值分析模拟试卷1 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数=________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？
华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。
（1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
（1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。
一、填空 1. 设 2.3149541...x * =，取5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150 . 2.设一阶差商 ()()()21122114 ,321f x f x f x x x x --= = =---， ()()()322332 615 ,422f x f x f x x x x --= = =-- 则二阶差商 ()123,,______ f x x x =11/6 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = 14 ，=∞||||X 3 。p49 4. 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01 x =， 那么 1______x =。 1.5 5．解初始值问题 00 '(,)()y f x y y x y =?? =?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 ()()[]11,,2 ++++k k k k k y x f y x f h y 6、 1151A ??= ? -??，则A 的谱半径 ＝ 6 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则 []12,,n n n f x x x ++= —————— ————3 和 []123,,,n n n n f x x x x +++= _______________0_____ 。 8、 若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 收敛 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为_______O(h ） ___。
太原科技大学 2008级硕士研究生08/09学年第一学期 《数值分析》考试试卷 说明：1、Legendre 正交多项式)(x L n 有三项递推关系式： ?? ?? ???=+-++===-+ ,2,1)(1)(112)()(,1)(1110n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 2、Chebyshev 多项式)(x T n 有三项递推关系式： ?? ? ??=-===-+ ,2,1)()(2)()(,1)(1110n x T x xT x T x x T x T n n n 一、填空题：（每题4分，共20分） 1、设??? ? ??-=1511A ，则=∞)(A Cond 2、为提高数值计算精度，当x 充分小时，应将 x x sin cos 1-改写为 3、设)5()(2 -+=x a x x ?，要使)(1k k x x ?=+局部收敛到5* = x ，则a 的取值范围为 4、近似数235.0* =x 关于真值229.0=x 有 位有效数字。 5、设,1)(3 -+=x x x f 则差商=]3,2,1,0[f 二、（本题满分10分）用数值积分的方法建立求解初值问题b x a y a y y x f y a ≤≤==',)(),,(的Simpson 公式： )4(3 1111-+-++++=n n n n n f f f h y y 其中1,,1),,(+-==n n n i y x f f i i i ，11-+-=-=n n n n x x x x h . 三、（本题满分15分）设要用Gauss-Seidel 迭代法求解下列线性方程组
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ
1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分
数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案
1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案
第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需 41*102 1 -?≤-ππ，3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +， b a ?有几位有效数字（有效数字的计算） 解：3*1021 -?≤-a a ，2*102 1-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab
故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算） 解：已知δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=， 已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差 限与相对误差限。（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 解：%* *a x x x =-， )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算）
研究生《数值分析》教学大纲 课程名称：数值分析 课程编号：S061005 课程学时：64 学时 课程学分： 4 适用专业：工科硕士生 课程性质：学位课 先修课程：高等数学，线性代数，计算方法，Matlab语言及程序设计 一、课程目的与要求 “数值分析”课是理工科各专业硕士研究生的学位课程。主要介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。内容新颖，起点较高，并加强了数值试验和程序设计环节。通过本课程的学习，使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据数学模型，提出相应的数值计算方法编制程序在计算机上算出结果。力求使学生掌握应用数值计算方法解决实际问题的常用技巧。 二、教学内容、重点和难点及学时安排： 第一章? 数值计算与误差分析( 4学时) 介绍数值分析的研究对象与特点，算法分析与误差分析的主要内容。 第一节数值问题与数值方法 第二节数值计算的误差分析 第三节数学软件工具----MATLAB 语言简介 重点：误差分析 第二章? 矩阵分析基础( 10学时) 建立线性空间、赋范线性空间、内积空间的概念，为学习以后各章打好基础。矩阵分解是解决数值代数问题的常用方法，掌握矩阵的三角分解、正交分解、奇异值分解，并能够编写算法程序。 第一节? 矩阵代数基础
第二节? 线性空间 第三节? 赋范线性空间 第四节? 内积空间和内积空间中的正交系 第五节矩阵的三角分解 第六节矩阵的正交分解 第七节矩阵的奇异值分解 难点：内积空间中的正交系。矩阵的正交分解。 重点：范数，施密特(Schmidt) 正交化过程，正交多项式，矩阵的三角分解, 矩阵的正交分解。 第三章? 线性代数方程组的数值方法( 12学时) 了解研究求解线性代数方程组的数值方法分类及直接法的应用范围。高斯消元法是解线性代数方程组的最常用的直接法，也是其它类型直接法的基础。在此方法基础上加以改进，可得选主元的高斯消元法、按比例增减的高斯消元法，其数值稳定性更高。掌握用列主元高斯消元法解线性方程组及计算矩阵的行列式及逆，并且能编写算法程序。掌握矩阵的直接三角分解法：列主元LU 分解，Cholesky分解。了解三对角方程组的追赶法的分解形式及数值稳定性的充分条件。掌握矩阵条件数的定义，并能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计。 迭代解法是求解大型稀疏方程组的常用解法。熟练掌握雅可比迭代法、高斯- 塞德尔迭代法及SOR 方法的计算分量形式、矩阵形式，并能在计算机上编出三种方法的程序用于解决实际问题。了解极小化方法：最速下降法、共轭斜量法。迭代法的收敛性分析是研究解线性代数方程组的迭代法时必须考虑的问题。对于上述常用的迭代法，须掌握其收敛的条件。而对一般的迭代法，掌握其收敛性分析的基本方法和主要结果有助于进一步探究新的迭代法。 第一节求解线性代数方程组的基本定理 第二节高斯消元法及其计算机实现 第三节矩阵分解法求解线性代数方程组 第三节? 误差分析和解的精度改进 第四节? 大型稀疏方程组的迭代法 第五节? 极小化方法 难点：列主元高斯消元法，直接矩阵三角分解。迭代法的收敛性，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR 迭代法。
数值分析试卷1 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________； 3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________； =]4,3,2,1,0[f ________； 4. 已知??? ? ??-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ； 5. 求解线性方程组?????=+=+045 11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________； 二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。已知 ?????? ? ??------=2100121001210012A ，求L ，U 。 (2)设A 为66?矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。 三、给定数据表如下 x 0.20.40.60.81 1.2f(x)212523202124 （1） 用三次插值多项式计算f ( 0.7 ) 的近似值； （2） 用二次插值多项式计算f ( 0.95 ) 的近似值： （3） 用分段二次插值计算 f ( x ) )2.12.0(≤≤x 的近似值能保证有几位有
1. 五个节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度为______，五个节点的求积公式最高代数精度为___________。（即Gauss 型求积公式） 2. 已知数值求积公式为3 11 ()[(1)4(2)(3)]3 f x dx f f f ≈++? ， 则其代数精度为______。 3. 数值积分公式1 '12 ()[(1)8(0)(1)]9 f x dx f f f -≈-++?的代数 精度为_________。 4. 要使求积公式1 110 1 ()(0)()4 f x dx f A f x ≈ +?具有2次代数精度，则1x =___,1A =___。 5. 在Newton-Cotes 求积公式：() ()()()n b n i i a i f x dx b a C f x =≈-∑? 中，当系数()n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当___________时的Newton-Cotes 求积公式不能使用。 ()8()7()10()6A n B n C n D n ≥≥≥≥ 6. 若用复化梯形公式计算1 0x e dx ?，要求误差不超过6 10-，利 用余项公式估计，至少用______个求积节点。 7. 对于Gauss 型求积公式3 1 ()()()b k k a k f x x dx A f x ρ=≈∑?，其中 ()x ρ为权函数，下列说法错误的是_________。
（A ）该求积公式一定是稳定的； （B ）3 1()k k k A f x b a ==-∑； （C ）该求积公式的代数精度为5； （D ）2 (35)()()0b a x x x x dx ωρ-=? ，其中3 1 ()()k k x x x ω==∏-。 8. 0{()}k k x ?∞ =是区间[0,1]上权函数 ()x x ρ=的最高系数为1的正交多项式族，其中0()1x ?=，则1 40()_______x x dx ?=?。 9. 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度： 1 010 1 ()()(1)2 xf x dx A f A f ≈+? 10. 数值积分公式形如 1 ()()(0)(1)(0)(1)xf x dx S x Af Bf Cf Df ''≈=+++? （1）试确定参数A 、B 、C 、D ，使公式的代数精度尽量高； （2）设4 ()[0,1]f x C ∈，推导余项公式1 0()()()R x xf x dx S x =-?， 并估计误差。 11. 用8n =的复化梯形公式和复化Simpson 公式计算 1 x e d x -? 时， （1）试用余项估计其误差； （2）计算积分的近似值。
数值分析（研究生，2008-12-15） 1.（10分）求函数???≤≤++<≤-+=1 0,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近式 x e a x a a x 210)(++=φ。 2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量 ???? ??????----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。同时计算该矩阵的1-条件数和谱条件数。
3.（15分）已知函数x x f sin )(=在36.0,3 4.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。用Lagrange 插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。
4.（15分）用Newton 迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（0，2 π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。
5.（15分）用Gauss-Seidel 迭代法解方程组 ?????? ????-=????????????????????---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]T x =，估计达到4位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。
6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组 ?????=-+=-+. 12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210-=ε。 7.（10分） 求解矛盾方程组 ???????=++=++=++=++2 32328.12221321321 321321x x x x x x x x x x x x