反函数基础练习
(一)选择题
1.函数y =-x 2(x ≤0)的反函数是
[ ]
A y (x 0)
B y (x 0)
C y (x 0)
D y |x|
.=-≥.=≤.=-≤.=-x x x --
2.函数y =-x(2+x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ]
A .[0,+∞)
B .[-∞,
1]
C .(0,1]
D .(-∞,0]
3y 1(x 2).函数=+≥的反函数是x -2
[ ]
A .y =2-(x -1)2(x ≥2)
B .y =2+(x -1)2(x ≥2)
C .y =2-(x -1)2(x ≥1)
D .y =2+(x -1)2(x ≥1)
4.下列各组函数中互为反函数的是
[ ]
A y y x
B y y 2.=和=.=和=
x x x
11
C y y (x 1)
D y x (x 1)y (x 0)
2.=
和=≠.=≥和=≥313131
1x x x x x +-+-
5.如果y =f(x)的反函数是y =f -1(x),则下列命题中一定正确的是
[ ]
A .若y =f(x)在[1,2]上是增函数,则y =f -1(x)在[1,2]上也是增函数
B .若y =f(x)是奇函数,则y =f -1(x)也是奇函数
C.若y=f(x)是偶函数,则y=f-1(x)也是偶函数
D.若f(x)的图像与y轴有交点,则f-1(x)的图像与y轴也有交点
6.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,而其中一个函数是
x 1
y=-,那么另一个函数是
[ ] A.y=x2+1(x≤0)
B.y=x2+1(x≥1)
C.y=x2-1(x≤0)
D.y=x2-1(x≥1)
7.设点(a,b)在函数y=f(x)的图像上,那么y=f-1(x)的图像上一定有点
[ ] A.(a,f-1(a))
B.(f-1(b),b)
C.(f-1(a),a) D.(b,f-1(b))
8.设函数y=f(x)的反函数是y=g(x),则函数y=f(-x)的反函数是
[ ] A.y=g(-x) B.y=-g(x)
C.y=-g(-x) D.y=-g-1(x)
9.若f(x-1)=x2-2x+3(x≤1),则函数f-1(x)的草图是
[ ]
10y g(x).函数=的反函数是,则1
3
x
[ ]
A .g(2)>g(-1)>g(-3)
B .g(2)>g(-3)>g(-1)
C .g(-1)>g(-3)>g(2)
D .g(-3)>g(-1)>g(2) (二)填空题
1y 32y (x 0)y f(x)y x .函数=+的反函数是.
.函数=>与函数=的图像关于直线=对称,
x x ++21
21 解f(x)=________.
3.如果一次函数y =ax +3与y =4x -b 的图像关于直线y =x 对称,那a =________,b =________.
4y (1x 0).函数=-<<的反函数是
,反函数的定92-x
义域是________.
5.已知函数y =f(x)存在反函数,a 是它的定义域内的任意一个值,则f -1(f(a))=________.
6y 7y (x 1)
(x 1)
8f(x)(x 1)f ()1
.函数=
的反函数的值域是
.
.函数=≥-<的反函数是:
..函数=<-,则-=
.
1
2
1121232
x x x x ---?????--
(三)解答题
1y 12f(x).求函数=+的反函数,并作出反函数的图像..已知函数=.
x ax x +++25
2
(1)求函数y =f(x)的反函数y =f -1(x)的值域;(2)若点P(1,2)是y =f -1(x)的图像上一点,求函数y =f(x)的值域.
3.已知函数y =f(x)在其定义域内是增函数,且存在反函数,求证y =f(x)的反函数y =f -1(x)在它的定义域内也是增函数.
4f(x)y g(x)y f (x 1).设函数=
,函数=的图像是=+的图像23
1
1x x +-- 关于y =x 对称,求g(2)的值.
参考答案
(一)选择题
1.(C).解:函数y=-x 2(x ≤0)的值域是y ≤0,由y=-x 2得x=
--,∴反函数--≤.y x f (x)=(x 0)1-
2.(D).解:∵y=-x 2-2x=-(x +1)2,x ≥0,∴函数值域y ≤0,即其反函数的定义域为x ≤0.
3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2..解:∵-+,≥,∴函数值域≥,由-
+1,得反函数f -1(x)=(x -1)2+1,(x ≥1).
4.(B).解:(A)错.∵y=x 2没有反函数.(B)中如两个函数互为反
函数.中函数+-≠的反函数是+-≠而不是+-.中函数≥的值域为≥.应是其反函数的定义域≥.但中的定义域≥,故中两函数不是互为反函数.
(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1
x 3
(x 3)y =
3x 1
3x 1
(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5.(B).解:(A)中.∵y=f(x)在[1,2]上是增函数.∴其反函数y=f -1(x)在[f(1),f(2)]上是增函数,∴(A)错.(B)对.(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数.∴(C)错.(D)中如函数f(x)=x 2+1(x ≥0)的图像与y 轴有
交点,但其反函数-≥的图像与轴没有交点.∴错.f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12..解:∵函数--的值域≤;其反函数+x 1-
+1(x ≤0).选(A).
7.(D).解:∵点(a ,b)在函数y=f(x)的图像上,∴点(b ,a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上,而a=f -1(b),故点(b ,f -1(b))在y=f -1(x)的图像上.选(D).
8.(B).解:∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x),而y=f(-x)的反函数是y=-f -1(x)=-g(x),∴选(B).
9.(C).解:令t=x -1.∵x ≤1,∴t ≤0,f(t)=t 2+2(t ≤0),即f(x)=x 2+
2(x ≤0),值域为f(x)≥2,∴反函数f -1(x)的定义域是x ≥2,值域y ≤0,故选(C).
10(B)g(x)=1
x (0)33..解:∵在-∞,上是减函数,又-<-<1
00g(3)g(1)g(2)=
1
20g(2)g(3)g(1)3
,∴>->-而>,∴>->-.故选 (B).
(二)填空题
1y =3y 3y =x 6x 2.解:∵函数++的值域≥,其反函数-+x 27(
x ≥3)
2y =
12x 1(x 0)y 1f(x)=1x
2x
(x 1).解:+>的值域<,其反函数-<. 3y =4x b y =14x x =ax .解:函数-的反函数是+,则++,b b
41443
比较两边对应项系数得,.a =
1
4
b =12 4y =9x (1x 0)y (223)2.解:函数--<<的值域∈,,反函数f -1 (x)=(223)--.反函数的定义为,.92x
5.a
6.[0,2)∪(2,+∞)
7f (x)=x 1(x 1)1x
(x 0)
1
22
.+≥-<-?????
8.-2
(三)解答题
1x 2y 1y =x 21=.解:∵≥-,得值域为≥.由++得反函数f x -1()
(x -1)2-2,(x ≥1),其图像如右图.
2.解(1):∵y=f(x)的定义域是{x|x ≠1,x ∈R ,∴y=f -1(x)的值域是{y|y ≠1,y ∈R}.
解(2):∵点P(1,2)在,y=f -1(x)的图像上,点P(1,2)关于直线y=x
的对称点为′,一定在的图像上,即由
++得-,∴-+,其反函数-+.∵的定义域为≠-
,∈,∴的值域为≠-,∈.P (21)y =f(x)=1a =f(x)=10x 2x 4f -(x)=104x 2x 1
f -(x){x|x x R}y =f(x){y|y y R}1
125221
2
121
2
a
3.证明略.
4f(x)=2x 3x 1f -(x)=x 3f (x 1)=11.略解;+-的反函数是+-,∴+x 2
x 4x 1x 4
x 1
=2x =6g(2)=6+-,由+-得即.