1. 利用DFT 矩阵计算序列()(0,1,2,3)x n =的4点DFT 。
解：4111111111111j j W j j ????
--?
?=--????--?? 6111102211121111222113j j j j j j ??????
??????
-+--?
?????∴=---????????????----??????
2. 利用上述序列4点DFT 结果和频域内插公式计算该序列在频点
28
π
处的DTFT 结果；直接利用DFT 计算上述序列在
28
π
处DTFT 结果。 解：
121
)
20
2sin ()1
2()()12sin ()2
N k N j j N
k N
k N X e X k e
k N
N πωω
πωπω----=??- ?
??=
??- ?
??∑
23223()8284
0338888
422sin ()1284()()1224sin ()28411111(0)(1)+(2)+(3) 334sin sin sin sin 88881)k j j k j j j j k X e X k e k X e X e X e X e j
πππππππππππππππ--=--??- ???∴=??
- ?
??
??
??=+????????????
? ? ? ?????????????=+∑
另，
2217
8
8
80
()(1)()n j
j
n X e
X x n e
ππ?-===∑
3
424
8
(1)123
33
cos sin2cos sin3cos sin
442244
33
cos3cos sin2sin3sin
44424
1)
j j j
X e e e
j j j
j
j
πππ
ππππππ
πππππ
---
∴=?+?+?
??????
=-+-+-
? ? ?
??????
????
=+-++
? ?
????
=
3.以2400Hz为采样频率对一模拟信号进行采样，得到序列()(1,1,1,1,1,1)
x n=；已知序列
DTFT结果在频点
2
π
，求采样信号在5400Hz处的幅度；另，对序列作8点DFT，求(2)
X。
解：
5400
5400
2
54009
2
24002
()()
Hz
Hz
j
j
T
X e X e
π
?
?
?ππ
=Ω
∴==
∴=
所以，采样信号在5400Hz
。
另，
6
422
752
882
8
002
12
(2)()()1
1
1
j
n n
j j j
j
n n
e
X X e x n e e j
j
e
π
πππ
π
-
?
--
-
==
-
======-
+
-
∑∑
4.一FIR数字滤波器，其传递函数为123
()10.50.40.4
H z z z z
---
=+++；利用DFT求该系统在0.8π处的频率响应。
解：
其单位冲激响应为：
()(1,0.5,0.4,0.4)
h n=；
而
5
(2)
X为所需结果，计算如下：
45
52255
222222325
5
5
(2)()
()10.50.40.40.84270.2939j
n j n j
j
j
X X e
x n e e
e
e
j
πππππ?-=?????---===+++=-∑
5. 对一实序列作8点DFT ，已知：
(1) 1.7 1.5
(3)0.2 4.1(6)2
X j X j X j =-=+= 求(2),(5),(7)X X X 。
解：
*****() ()(()).. ()() 0 (2)(6)2 (5)(3)0.2 4.1 (7)(1) 1.7 1.5
N
x n is real series X k X k i e X k X N k when k X X j X X j X X j ∴=-=-≠∴==-==-==+
6. 若()x n 为N 点实序列，且有()(())N x n x n =-，求证该类序列的N 点DFT 变换可按如下
方式完成：
1
1
2()()cos
12()()cos
N n N k nk X k x n N nk x n X k N
N
ππ-=-===
∑∑
证：因()x n 为N 点实序列，且有()(())N x n x n =- 故存在如下关系：
**()(())()()N x n x n X k X k =-?=
故：
()221
1
00221
100*21()cos ()()21()()21
()()2()nk nk N N j j N
N n n nk nk N N j j N N
n n nk x n x n e e N x n e x n e X k X k X k πππππ---==---===+??=+ ???
=
+=∑∑∑∑
()221
1
02211
*
*
121
()cos ()()
2111()()21(())()2()
nk
nk N N j
j
N
N
k k nk nk N N j
j N
N
k k N nk X k X k e
e
N
N N X k e
X k e
N N
x n x n x n πππππ---==---===+??=+ ???
=
-+=∑∑∑∑
7. 若1()x n 为N 点实序列，且有1()()x n jx n =；现对()x n 作N 点DFT ，并由()R X k 、()
I X k 表示其实部和虚部，求证由下列结果：
1
10
1
10
2()()sin
2()()cos
N R n N I n nk
X k x n N nk X k x n N
ππ-=-===∑∑
证：如题，有：
{}
()**
11211101
10
()()()(())()(())22Im ()Im ()2()sin
R e N N nk
N j N n N n X k DFT x n x n x n x n x n DFT DFT j X k x n e nk
x n N ππ--=-==????+---==????
??????
=-=- ?
??
=∑∑
{}
()**
11211101
10
()()()(())()(())22Re ()Re ()2()cos
I o N N nk
N j N n N n X k jDFT x n x n x n x n x n jDFT DFT X k x n e nk
x n N ππ--=-==-????
--+-=-=????
??????
== ?
??
=∑∑
8. 判断在下列序列中，哪些序列的DFT 为实序列；哪些序列的DFT 为纯复序列。
1233()(1,0.5,1,0,0,1,0.5)
()(1,0.5,1,1,0,1,1,0.5)()(0,0.5,1,1,0,1,1,0.5)()(1,2,0,0,1,0,0,2)
x n x n x n x n ==--=---=-
解：若()X k 为实序列，则有**
()()()(())N X k X k x n x n =?=-；
若()X k 为纯复序列，则有**
()()()(())N X k X k x n x n =-?=--；
有上述关系可知：
1()x n 、2()x n 的DFT 为实序列； 3()x n 的DFT 为纯复序列； 4()x n 的DFT 为复序列；
9. 已知序列1()x n 的2点结果为(2,0)，2()x n 4点DFT 结果为(3,1,1,1)-；令
12()()()y n x n x n =*，求(2)y 。
解：对两序列作4点循环卷积；结果中，当13n ≤≤时，与线性卷积相同。
故如下处理：
{}
{}()(1,1)(2,0)(2,1,0,1)(1,1,0,0)1
(2)6(1)0(1)14
IDFT j j DFT y j j =-+=∴=
--+-+=
10. 有限长序列1()x n 在范围099n ≤≤之外为0；另，有限长序列2()x n 在范围1039n ≤≤之外为0；现令()L y n 为两者的线性卷积结果，()C y n 为两者100点循环卷积结果；问
n 取何值有()()L C y n y n =。
解：由题可知()L y n 的长度为129，于10138n ≤≤范围内；对两序列作100点的循环卷积，等同于100()()(100)C L m y n R n y n m ?
?
=?-
???
∑，所以在3999n ≤≤范围内()()L C y n y n =。
11. 从定义开始推导基2 DIT IFFT 变换算法，并画出8N =的流图。
解答：
()()()()()()()()()()()()7
80880,2,4,61,3,5,7
3348400
334840033484001811881122188122103
81422103
8kn
k kn kn k k mn
n mn m m mn n
mn m m mn n
mn m m x n X k W X k W X k W X m W X m W W x n X m W W X m W n x n X m W W X m W n -=--==---==---==---====+=++??=++≤≤??????+=-+≤≤????
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
12. 从定义开始推导基2 DIF IFFT 变换算法，并画出8N =的流图。
解答：
()()()()()()()()()()()()()7
80
378804
3388003344003388480018118811481240,1,2,3
812140,1,2,3
8kn
k kn
kn k k n kn
kn k k lk
lk k k lk k
lk k k k x n X k W X k W X k W X k W X k W x l X k W X k W l x l X k W W X k W W l -=--==--==--==----====+??=+-+??????=++=??????+=-+=????
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
13. 开发一个基3 按时间抽选FFT 算法，其中2v
N =，并画出9N =的流图。需要多少次
复数乘法？其中的操作可以原位完成吗？
解答：
()()()()()()()()()()()()()8
90
9990,3,6
1,4,7
2,5,8
2
2
2
313239
9
90002
2
223
3
9
390
331323313228nk
n nk nk nk
n n n m k
m k
mk m m m mk mk k mk k
m m m Y k y n W y n W y n W y n W y m W
y m W y m W y m W
y m W W y m W W ====++========
+
+
=++++=++++∑∑
∑
∑
∑∑∑∑∑∑需要次复数乘法，可以原位计算。
14. 当算法为按频率抽取时，重做上题。
解答：
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()8
902
5
8
9
9
9036
2
2
2
339
9
90002
2
2
29
9
3
9300
2
233903363636336nk
n nk nk nk
n n n n k
n k
nk n n n nk nk k nk k
n n n k k nk
n nl
n X k x n W x n W
x n W
x n W x n W
x n W x n W x n W
x n W W x n W W x n x n W x n W W X l x n x n x n W ====++==========++=++++=++++??=++++??=++++????
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑()()()()()()()()2
02
12933302
22193330
3136323628n nl
n n nl n X l W x n x n W x n W W X l W x n x n W x n W W ==??+=++++?
???+=++++?
?∑∑∑需要次复数乘法，可以原位计算。