分数指数幂
1．下列命题中，正确命题的个数是
．
① n n ＝ a 2 0
＝ 1 a ② 若 a ∈R ，则 (a －a ＋ 1) ③ 3 x ＋ y ＝ x ＋ y ④ 3 － 5＝
6
－ 5
2
4
3
4
3
2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的序号是
．
1
(x ≠ 0) ②
x x ＝ x 3
③ x － 1 ＝－ 3
3
4
1
x )－ 3 ＝ ① － x ＝ (－ x)
4 3 x
④ x · x ＝ x
12 ⑤ ( 4
2
y 4
y 3
⑥
6
2
1
(xy ≠ 0)
y ＝y (y<0)
x
3
c b
3．若 a ＝ 2， b ＝ 3， c ＝－ 2，则 (a ) ＝ __________. 4．根式 a
a 的分数指数幂形式为
．
4 2
5.
－ 25 ＝ __________.
－ (2k ＋1)－(2k － 1)－2k
6． 2－ 2 ＋ 2 的化简结果是
． 7． (1)设 α， β是方程 2x 2
1 ＋ ＋3x ＋ 1＝ 0 的两个根，则 ( ) α β＝ __________.
4 x y 1 (2)若 10 ＝ 3,10 ＝ 4，则 10x － 2y ＝ __________. 8． (1)求下列各式的值： 2 1 1
4 3 ① 27 ； ②(6 ) ； ③ ( )－ .
3 4 2
9 2 －3
1 1 (2)解方程： ① x
＝8；② x ＝ 94.
9．求下列各式的值：
2
125 1 7 0.5
(1)(0.027) 3＋ ( 27 )3－ (29) ；
1 117 13
－ 1 3 3 1 －1 (2)(3)2＋3·( 3－2) － (164)4－ (3 )4－ (3) .
11－1
10．已知 a2＋a－2＝ 4，求 a＋ a的值．
11．化简下列各式：
2 1
5x－3y2
(1)
1 －1 1 5 1 1
；
－4x y2－6 x3y－6
m＋ m －1＋ 2
(2)1 1 . m－2
＋m 2
.
21
12． [(－ 2) ] －2的值是．
36
3
69494
的结果是．13．化简 ( a ) ·( a )
14．以下各式，化简正确的个数是．211
①a5a－3 a－15＝ 1
6－ 92－46
②(a b)－＝ a b
3
111212
③(－ x4y－3)(x－2 y3)(－ x4y3)
＝ y 1 1 3
－15a 2b3c－43
④
1 1 5＝－5ac
25a － b c
2 3 4
15． (2010 山东德州模拟， 4 改编 )如果 a3＝ 3， a10＝384 ，则 a3[(a101 n
．a) ] 等于
7
3
16．化简3
a－ b
3
a－ 2b
2
．＋的结果是
17．下列结论中，正确的序号是．
233
①当 a<0 时， (a ) ＝ a
2
②n
a n＝ |a|(n>1 且 n∈ N * )
10
③函数 y＝ (x－2)－ (3x－ 7) 的定义域是 (2，＋∞ )
2
④若 100a＝ 5,10b＝ 2，则 2a＋ b ＝1
18． (1) 若 a＝ (2＋
－ 1－1－ 2
＋ (b＋ 1)
－ 2
．3) ， b ＝ (2－3)，则 (a＋ 1)的值是
.
(2)若 x＞ 0， y＞ 0，且 x(x＋y)＝ 3y( x＋ 5y)，则2x＋ 2xy＋ 3y
的值是．x－ xy＋ y
11
2 009 n－ 2 009 －n*2
＋1 ＋a)n．
19．已知 a＝(n∈ N )，则 ( a的值是
2
11111
20．若 S＝ (1＋2－32 )(1＋ 2－16)(1＋ 2－8)(1＋ 2－4)(1＋ 2－2)，那么 S 等于．21．先化简，再求值：
2535
a · a
(1)，其中 a＝8 －3；
107
a · a
3x－ 3x
a ＋ a2x
(2) a＋a
，其中 a ＝ 5.
x－ x
22.(易错题 )计算：
3 0－ 2 1 10.5
(1)(25) ＋ 2 ·(24)－2－ (0.01)；
7 0.5－ 210 2037 (2)(29) ＋ 0.1＋ (227)－3－ 3π＋48；
17 0－1
[81－ 0.253111
(3)(0.008 1) －－[3× ( ) ]×＋ (3 )－ ]－－ 10×0.027 .
488323
33
11x2＋ x－2＋ 2
23．已知 x2＋x－2＝ 3，求x2＋x－2＋3的值．
24．化简下列各式：
x
－ 2
－ 2
－ 2
－ 2
＋ y
x
－ y
(1)
2
2－
2
2
；
x － 3＋ y － 3 x － 3－ y － 3
4
1
(2)
a 3－8a 3b
3 b
3 a.
÷(1－ 2
)× 2
3 2
a
a ＋ 2 a
b ＋ 4b 3
3
答案与解析
基础巩固
n
n
a ，当 n 为奇数时， 1． 1 ∵ a ＝
|a|，当 n 为偶数时，
∴① 不正确；
2
1 2
3
∵a ∈ R ，且 a － a ＋ 1＝ (a － ) ＋ ≠0 ，∴② 正确；
4 3
∵ x ＋ y 为多项式， ∴③ 不正确； ④中左边为负，右边为正显然不正确． ∴只有 ② 正确．
1
2.②⑤ ① － x ＝－ x 2， ∴① 错；
1 1 1 3 1 3
② x x ＝ (x x) ＝ (x ·x ) ＝ (x ) ＝ x ， ∴② 对；
2 2 2 2 2 4
1 1 1 ③ x －3＝ 1＝， ∴③ 错；
x 3 3
x
④ 3
4 1 1 1 1 7
x · x ＝ x ·x 4
＝ x ＋ ＝ x ，
3 3
4
12
∴④ 错；
x
3 y 3
＝ 4
y 3
⑤( )－ ＝ ( )
x ，
y
4 x 4
∴⑤ 对；
⑥ 6
2
1
1
y ＝ |y|3 ＝－ y 3(y<0) ， ∴⑥ 错．
∴②⑤ 正确．
3. 1
c b
bc
3×(－ 2)
－ 6
1 1
(a ) ＝ a
＝2 ＝ 2 ＝ 6＝.
64
2 64
3 1
1 3
4． a 2 a a ＝ a ·a 2＝ a1＋2＝ a 2.
5． 5 － 25 ＝ 4 25 ＝ 4
5 ＝ 5.
4 2 2 4
6．－ 2
－ (2k ＋ 1)
－ (2k ＋ 1)
－ (2k － 1)
－2k －2k －1
－ 2k1
－2k
1 － 2k
1 － 2k
∵ 2
－ 2
＋2
＝ 2
·2 － 2 ·2 ＋ 2 ＝( － 2 ＋ 1)·2 ＝－
2 ·2
2
＝－ 2 －(2k ＋ 1)．
3
3
7． (1)8
(2)2 (1)由根与系数的关系，得 α＋ β＝－ 2 ，
1 ＋
1 3 － 2
3 3
∴( ) α β
)－ ＝ 2 ＝8.
＝ ( )－ ＝ (2
4
4 2
2
x
y
1
x
1 x
y 11 3
(2)∵ 10 ＝ 3,10 ＝ 4， ∴ 10x － 2y ＝ 10 ÷102y ＝10 ÷(10 )2＝ 3÷42＝ 2.
2 3 2 2 2
8．解： (1)① 273＝ (3 )3＝ 33×3 ＝ 3 ＝ 9.
1 1 25 1
② (64 )2 ＝( 4 )2
5 2 1
5 1
5 ＝ [( 2) ]2 ＝ (2)2× 2＝ 2.
4
3
2 3
③ (9)－ 2＝ (3)2× (－ 2)
2 － 3
3 3
27 ＝(3) ＝ (2) ＝ 8 . － 3 1 － 3
(2)①∵ x ＝ 8＝ 2 ， ∴x ＝ 2.
②∵ x ＝ 9 1 ， 4
∴( 2 1 2
1 x) ＝ (9 ) ＝ 9 .
4
2 2 1
∴ x ＝(3 )2＝ 3.
9．解：
3
2 125 1
25 1 9
5 5 9
(1)原式＝ (0.3 ) ＋ (
27 ) － (
9 ) ＝
＋ － ＝.
3
3
2
100
3
3
100
1 3
81 1
2 3
1
(2)原式＝ 3－2 ＋ 3－ 2 － (64)4－(3－ 3)4－ 3
3
3 4 1 1
＝ 3 ＋
3( 3＋ 2)－ [4(4) ]4 －3 －2－ 3
3
3 3
＝
3 ＋ 3＋ 6－ 2 ·－ － 3
4 3
6 3
2.
＝ －4
1 1
10．解： ∵a 2＋ a － 2＝ 4.
∴两边平方，得 a ＋ a －
1＋ 2＝ 16.
∴a ＋ a －
1＝ 14.
11．解： (1)原式＝
24 2 1 1 1 1 0
1 1 × 5× x －
＋ 1－ × y － ＋ ＝ 24x
y ＝ 24y ；
5
3
3
2
2 6
6
6
(2)原式
1 2
1
1
1 2
m 2 ＋ 2m 2·m － 2＋ m － 2
＝
1
1
m － 2＋ m 2 1
1 2
m 2＋ m － 2
1
1
＝
1 1 ＝ m 2＋ m － 2. m 2＋m － 2
能力提升
2
1 1 2
12. 2
原式＝ 2－ 2＝ 2 ＝ 2 .
4
3
9 4 6
9 4
3 1 4
1 4 1 4 1 4
2 2 4
原式＝ ( 13． a
a ) ·(
a
) ＝(a ×
) ·(a3× 6 ) ＝ (a ) ·(a ) ＝a ·a ＝ a .
6
3
2 3
2
2
14． 3 由分数指数幂的运算法则知 ①②③ 正确；
对④ ， ∵ 左边＝－
3 1 1 1 1
3 5
3 1 0 － 2 3
－ 2
5 a ＋ b
－ c － － ＝－
a b c ＝－ ac ≠ 右边， ∴④ 错误．
2 2
3 3
4
4 5
5
n
384 1 n 1 n
1 n
n
15． 3·2
原式＝ 3·[( 3 )7] ＝ 3·[(128) 7] ＝3 ·(27× 7) ＝ 3·2 .
16． b 或 2a － 3b
a －
b ＋ 2b － a ， a ＜ 2b
b ， a ＜2b ，
原式＝ a － b ＋ |a － 2b| ＝
＝ 2a － 3b ， a ≥ 2b.
a －
b ＋ a － 2b ， a ≥ 2b
2
3
2
1 3
3
3 3
17． ④ ①中，当 a ＜ 0 时， (a )2 ＝[(a )2] ＝(|a|) ＝ (－ a) ＝－ a ，
∴① 不正确；
当 a ＜ 0， n 为奇数时， n
n
a ＝ a ，
∴② 不正确；
x － 2≥ 0， ③中，有
3x － 7≠ 0，
7
即 x ≥ 2 且 x ≠ 3，
7 7
故定义域为 [2， 3)∪ (3 ，＋ ∞ )，
∴③ 不正确；
④中， ∵ 100a ＝ 5,10b ＝2 ，
∴ 102a ＝5,10 b ＝ 2,102a × 10b ＝ 10.
∴ 2a ＋ b ＝1.∴④ 正确．
2
1
1
18． (1) 3 (2)3
(1)a ＝ 2 ＋ 3 ＝2 － 3， b ＝ 2－ 3 ＝ 2＋ 3 ，
∴(a ＋ 1) －
2 ＋ (b ＋ 1) －
2 ＝ (
3 － 3 ) －
2 ＋ (
3 ＋ 3 ) －
2
＝
1 2 ＋ 1 2 ＝
3 － 3 3＋ 3
3 ＋ 3 2＋ 3－ 3
2
3－ 3 2
2
·3＋ 3
2
2
3 ＋ 2·3 · 3＋ 3＋ 3 － 2·3· 3＋ 3
＝ [ 3 － 3 3＋ 2
3 ]
2 × 9＋ 6 24 2 ＝
9－ 3 2
＝36 ＝ 3.
(2)由已知条件，可得
( x)2－ 2 xy －15(
y)2＝ 0，
∴ x ＋ 3 y ＝ 0 或 x －5 y ＝ 0.
∵ x ＞0， y ＞ 0，
∴ x ＝ 5 y ， x ＝25y.
50y ＋ 2 25y 2＋ 3y
∴原式＝
2＋ y
25y － 25y 50y ＋ 10y ＋ 3y 63y
＝ ＝ ＝ 3.
25y － 5y ＋ y 21y
1 1
2 009 n － 2 009－ n
19． 2 009 ∵ a ＝
2
，
2
2
∴ a 2
＋ 1＝ 1＋
2 009
n ＋
2 009 － n －
2
4
1 2
1 2
2 009n ＋2＋ 2 009 － n
＝
4
11 2 009n＋ 2 009 －n2
＝() .
2
∴
2
a ＋ 1＋ a
1111 2 009 n＋ 2 009－n 2 009 n－ 2 009 －n
＝
2＋
2
1
＝2 009 n .
2n 1 n
∴( a
＋ 1＋ a) ＝ (2 009n) ＝ 2 009.
11 －1
20.2(1－ 2－32)
原式＝
111111 1－ 2－32 1＋ 2－32 1＋ 2 －16 1＋ 2－81＋ 2－41＋ 2－2
1
1 － 2－32
11111
1－ 2－16 1＋ 2－16 1＋ 2－8 1＋ 2－4 1＋ 2－2
＝1
1－ 2－32
1111
1－ 2－81＋ 2－8 1 ＋2 －4 1 ＋2 －2
＝1
1－ 2－32
111
1－ 2－41＋ 2－4 1 ＋2 －2
＝1
1 －
2 －32
11
1－ 2－21＋ 2－2
＝1
1－ 2－32
－1
1 － 21 1 －1
＝1＝2(1－ 2－32) .
1－ 2－32
3 71
21．解： (1)原式＝ a2 ＋5－10－2
7 5 7
＝a5＝(8－3)5
737
－ 7
1
＝8 －3＝ (2 )－3＝ 2＝
128
.
x 3
－x 3
a ＋ a
(2)原式＝ x － x
a ＋ a
x － x
2x x －x
－ 2x
a ＋ a
a － a ·a
＋a
＝
x
－ x
a ＋ a
2x
－2x
1 1
＝a － 1＋ a ＝ 5－ 1 ＋ ＝ 4 .
5 5
1 4 1 －( 1 1 1
2 1 1 1 1 1
22．解： (1)原式＝ 1 ＋ ·( ) 100 ) ＝ 1＋ × － ( )2× ＝ 1＋ － 10 ＝ 1 .
4 9 2 2 4 3 10 2 6 1
5 25 1 1 － 2 64 2 37
(2)原式＝ ( 9 )2＋ (10) ＋(27)－ 3－ 3× 1＋ 48
5 4 － 2 37
＝ 3 ＋ 100＋ (3 ) － 3＋ 48
5
9 37 ＝ 3 ＋ 100＋ 16－ 3＋48＝ 100.
(3)原式＝ [(0.3)
41
－ 1 4
1 27 1 1 3
1
]－ － 3 × [(3 )－ ＋ (
8
)－ ]－ － 10× [(0.3) ]
4
4
3
2
3
－ 1
1 － 1
3 －1
1
＝0.3 － 3[3 ＋(2) ]－ 2－ 10× 0.3
10 1 1 2 1 10 1
＝ 3 － 3(3＋3 )－2 －3 ＝ 3 － 3－ 3＝ 0.
1
1
23．解： ∵x 2 ＋x － 2＝ 3， ∴ (x 1
＋ x － 1)2
＝ 9.
22 ∴ x ＋x －
1＝ 7.
1 3
1 3
∴原式＝ x 2 ＋ x －2 ＋ 2
2
－ 2
x ＋ x ＋ 3
1 1 －1 ＋ x － x － 1＋ x ＋ 2
x 2 2 ＝
－ 1 2
x ＋ x － 2＋ 3 3 × 7－ 1 ＋ 2 2 ＝
72－ 2＋ 3 ＝ 5
.
拓展探究
2 3
2 3
2 3 2 3
x － 3
＋ y － 3
x － 3 － y － 3
2 22 2 2 2
24．解： (1)原式＝
2 2 －
2
2
＝(x － 3) － x －3 ·y － 3＋ (y － 3) － (x －
x －3 ＋ y － 3 x －3 －y － 3
2 2
2 2
2 2
2 3) － x － 3·y －3
－ (y － 3) ＝－ 2(xy)－3 .
1
1 3 1
3
1
a 3[ a 3 － 2
b 3 ]
b 3
1
(2)原式＝ 2
1 1
1 2÷(1－
2 1 )× a 3
a 3 ＋2a 3
b 3＋ 2b 3 a 3
1 1 1
2 1 1
a 3 a 3 －2
b 3 [a 3＋ 2a 3b 3＋
＝ 2 1 1
1 2
a 3＋ 2a 3
b 3＋ 2b 3
1 1 1
a 3·a 3 ·a 3＝ a.
1 2 1 1 1 1 1 1
2b 3 ] a 3－ 2b 3 1 a 3 a 3－ 2b 3 ·1
a 3
1
÷ 1 ×a ＝ 1 × 1
× a ＝
3
1
3
a 3
a 3－ 2
b 3