第一章 勾股定理导学案
1.1探索勾股定理（第1课时）
年级： 八 班级： 学生姓名： 制作人：
一、 学习目标：（1分钟）
1、自主、合作探究勾股定理；
2、掌握勾股定理；
3、会用勾股定理解决实际问题 二、预习教材：（5分钟） （一）、预习教材P2---P4 （二）、思考：直角三角形的三边存在着怎样的平方关系 ？我们把这种关系称作什么定理？用关系式怎么
表示？我们为什么把它叫做“勾股定理”？勾股定理在西方又叫做什么定理？课本上用什么方法进行初步验证？勾股定理有什么用处？ 三、探索发现：（12分钟）
1、等腰直角三角形
观察图5，对于等腰直角三角形，将正方形A 、正方形B 和已计算的正方形C 的面积填入下表，它们的面积有什么关系？
发现： + = 。 2、一般直角三角形
观察图6，对于一般直角三角形，正方形A 、正方形B 、正方形C 面积又有什么关系呢？
发现： + = 。
3、正方形面积与直角三角形三边的关系（分组讨论，交流并发言）
若我们设两条直角边长分别为a 、b ，斜边为c ，你能用三角形的边长来表示这三个正方形的面积吗？
结论：由于 正方形A 面积 + 正方形B 面积 = 正方形C 面积，所以 （关系式）
即：两条直角边的平方和等于斜边的平方。
四、归纳总结：（5分钟）
1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b ，斜边为c ，那么 （关系式），
即： （文字表达）。
注意：勾股定理研究的是直角三角形中边与边的关系，所以，勾股定理只在直角三角形中才适用。
2、数学小史：勾股定理是 （填一国家）最早发现的，中国古代把直角三角形
中较短的直角边称为 ，较长的直角边称为 ，斜边称为 ，“勾股定理”因此而得名。在西方一般称为 定理。 五、典例导学：（5分钟）
例1：如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？
例2：见课本P3想一想，回顾情景。 六、检测巩固：（15） 1、判断：
（1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，则2
2
2
a b c += （ ） （2）在直角三角形中任意两边的平方和等于第三边的平方。 （ ） （3）在Rt ABC ?，
90=∠B ，则 2
2
2
a b c += （ ）
2、在△A BC 中，∠C=90°(1)若a=8，b=6，则c= ; (2)若c=20，b=12，a= 。
3、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25
4、 完成课本随堂练习及习题1.1第1、2、3题。
七、回顾小结：（总结本节课得失、表现等）（2分钟）
(1)
(2)
弦
股勾
课题：14.1.1直角三角形三边关系 班级： 姓名： 小组： 小组内评价： ★学习目标： 1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2．会应用勾股定理解决实际问题 ★重点：探索勾股定理的证明过程 ★难点：运用勾股定理解决实际问题 课前预习案 一、知识回顾与预习自测： 1、如图1直角?ABC 的面积ABC s ?= 图1 2、下面两个图中每个小方格的面积都为 1 图 2 （1） 如图2正方形P 的面积是 边长是 ； 正方形Q 的面积是 ，边长是 ； 正方形R 的面积是 ,边长是 ； 面积可以表示成 直角三角形的面积和 （2）如图3，正方形P 的面积是 边长是 ； 正方形Q 的面积是 ，边长是 ； 正方形R 的面积是 ,边长是 正方形R 面积可以分割成哪些图形的面积 和 图3 （3）你能发现图2、图3中三个正方形P ， Q ，R 的面积之间有什么关系吗？ （4）你能发现图2、图3中直角三角形三 边长度之间存在什么关系吗？ 二、教材解读 1、勾股定理的内容： 直角三角形 的平方和等 于 的平方。 2、如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，由勾股定理知 =2c ，=c =2 a ，=a =2b ，=b
课内探 一、课堂检测 1、如上图正方形P 的面积=_____________ AB=__________ BC=__________ AC=__________ 2、如上图，P 的面积 =______________ AB=__________BC=__________ AC=__________ 二、例题讲练 1、已知Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a = 5，b = 12，求c 的长度 ②若c= 10，b = 8，求a 的长度. 2、在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°， BC=a ,AC=b ,AB=c . （１）已知a =7, b =24,求c ； （２）已知a =5, c =8, 求b ； （３）已知a =b ,c =6, 求a ； 三、课堂练习：求下列未知数的值。 四、我的反思 五、布置作业：
第一章勾股定理 1．探索勾股定理（一） 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书，北师大版八年级第一章第一节《探索勾股定理》第一课时。在本节课以前，学生学习了（三角形、正方形、梯形）一些图形的面积公式，还学习了三角形全等的判定和性质、直角三角形的有关性质以及整式运算中的完全平方公式（a＋b）2=a2＋2ab+b2。学生在这些原有的认知水平基础上，探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。我国是最早了解勾股定理的国家之一，这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为以后学习《解直角三角形》和《二次根式》奠定基础，在有关的物理计算中也离不开《勾股定理》，它在生活中的用途很大。 （二）、学生起点分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．且他们勤于思考、乐于探究。(根据以上教材地位和学生情况，再结合《课程标准》的要求，我制定如下教学目标) 三、教学目标分析 （二）、教学目标 1、知识与技能目标 用数格子的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单
的计算和实际运用 2、过程与方法目标 在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观目标 （1）在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进学习数学的信心，感受数学之美。 （2）利用远程教育资源介绍中国古代勾股方面的成就，体现数学的文化价值。 （三）、教学重点及难点（根据《课程标准》的要求，以及为学生在今后解决有关几何问题。因此，本节课的教学重点和难点是）【教学重点】勾股定理及勾股定理的证明与简单运用 【教学难点】用拼图求面积的方法证明勾股定理 【难点成因】在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法）但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够，因此形成了难点。 【教具】教师准备：课件直角三角形 学生准备：四个全等的直角三角形 二、教学方法及教学手段的选择 针对八年级学生的认知结构和心理特征，本节课我选择的方法是：引导探索、讨论发现法（其意图是由浅到深，由特殊到一般的
探索勾股定理（一） 一、活动探究 观察下面两幅图： （1）填表： （2）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流． （3）如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，用直角三角形的边长来表示上图中正方形的面积 （4）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形呢？ 用符号表示为： 变形公式：（1）___________________________ ( 2 ) 二、勾股定理的简单应用 1、 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，
树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？ 2、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度 3、直角三角形两边长为3和4，求第三边长的平方 4、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 想一想：观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+ 基础训练: 1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米． 2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离 为 m ． ?225 100x 17a b c a b c C B
子洲三中 “双主”高效课堂 导学案 2014-2015 学年第一学期 姓名： 组名： 使用时间2014年 月 日 年 级 科 目 课 题 主 备 人 备 课 方 式 负责人（签字） 审核领导（签字） 序号 八（3） 数学 §1.1 探索勾股定理（第1课时） 乔 智 一、教学目标 1．用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． 2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． 二、教学过程设计 第一环节：创设情境，引入新课 内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标： 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理． 第二环节：探索发现勾股定理 1．探究活动一 内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形： 问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 通过观察，归纳发现： 结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 2．探究活动二 内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图： （2）填表： A 的面积 （单位面积） B 的面积 （单位面积） C 的面积 （单位面积） 左图 右图 （3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．） 图1 图2 图3 A B C C B A
1.1 探索勾股定理 教案 【学习目标】 1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； 3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 要点一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222 a b c +=． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长 可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的 目的． （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-． 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中，所以． 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以． 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以． 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】 类型一、勾股定理的直接应用 例题1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ． 【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】 解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12， 所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10． 【总结】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三： 【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）已知b ＝6，c ＝10，求a ； （2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10， ∴ 2222210664a c b =-=-=， ∴ a ＝8． （2）设3a k =，5c k =， ∵ ∠C ＝90°，b ＝32， ∴ 222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=． 解得k ＝8． ∴ 33824a k ==?=，55840c k ==?=． 类型二、与勾股定理有关的证明 例题2、阅读下面的材料
2．6探索勾股定理（2） 班级 姓名 得分 学习目标 1. 经历勾股定理逆定理折探究过程。 2. 掌握用勾股定理来判定一个三角形是直角三角形。 学习重点 勾股定理逆定理 学习难点 几何推演中的数式运算与变形 么，如果一个三角形的两边的平方和是第三边的平方，这个三角形是直角三角形吗？ 1．作四个三角形，使其边长分别为3cm ，4cm ，5cm ；6cm ，8cm ，10cm ；5cm ，12cm ，13cm ；4cm ，5cm ，8cm ； （1） 算一算较短两边的平方和是否是最长边的平方； a b c a 2+b 2与c 2的关系 最大的角 3 4 5 6 8 10 5 12 13 4 5 8 由此猜想： 【反思小结】1、哪条边所对的角是直角？ 2、如果较短的两条边的平方和不等于最长边的平方，这个三角形还是直角三角形吗？ 【类型之一】根据下列条件，判断以a ，b ，c 为边的三角形是不是直角三角形。 （1）a=7， b=24，c=25； （2）a= 31， b=41，c=5 1； （3）a ： b ：c=5：12：13。 【类型之二】在ΔABC 中，三角形的三边依次为a ，b ，c ，且a=2 2 n m -，b=2mn ，c=2 2 n m +（n m n m ,,>是正整数），ΔABC 是直角三角形吗？请说明理由。 【学习笔记】判定一个三角形是直角三角形的步骤如下:(1)首先确定最大边(2)验证另两边的平方和是不是等于最大边的平方. 【类型之三】 如图，△ABC 分别以a 、b 、c 为边向外作正方形，若S 1+S 2=S 3，请判断△ABC 的形状. 变式1:把以AB 为边的正方形向另一测作轴对称变换,如图，以△ABC 的每一条边为边作三个正方形。已知这三个正方形构成的图形中，黄色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC 是直角三角形吗？ 变式2: △ABC 分别以a 、b 、c 为边向外作等腰直角三角形，若S 1+S 2=S 3，请判断△ABC 的形 状. G E S 3 S 2S 1 C B A A S 3 S 2 S 1C B
课题 1、1 探索勾股定理 教材 义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学上册第一章第1节P2~ P6。 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。 授课教师: 刘洋 教学目标 1、知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。 2、能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。 3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。 教学重点、难点 重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。 难点：计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。 教学方法 选择引导探索法，采用“问题情境----建立模型----解释、应用与拓展”的模式进行教学。 教具准备 多媒体课件；若干张已画好直角三角形的方格纸；剪刀；已剪好的纸片若干张。 教学过程 一、创设情境，引入新课 （师）请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图 试图与外星人沟通，在2002年的国际数学家大会上采用弦图 作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的 奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。 （设计意图：用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以 景激情，以情激思，引领学生进入学习情境。） 二、师生互动，探究新知 活动1：（观察图1）你知道正方形C的面积是多少吗？ 你是怎样得出上面结果的呢？ （生）独立思考后交流，采用直接数方格的办法，或者是 分割成几个等腰直角三角形的方法计算正方形C的面积。（多 媒体演示） （过渡语）同学们用数格子的方法发现了正方形C的面积，那么对于 下面图2中的正方形C，“数方格子”的方法还行得通吗？下面我们 一起来研究。 活动2：（观察你手中方格纸上的图2）正方形C的面积是多少？ 你是怎样得出结果的呢？
课题：§1、1、3探索勾股定理导学稿 主备：审核: 审批：班级：使用人： 【学习目标】 1、使学生通过对“青朱出入图”的探究，通过操作活动感受勾股定理的“无字证明”。 2、理解并掌握勾股定理，用它解决一些简单的问题。 【学习重点】 动手拼摆“五巧板”进一步验证勾股定理。 【学前准备】 1、按照课本13页的“做一做”，用较硬的纸制作两幅“五巧板”。（要求：尽可能做大一些） 2、什么是勾股定理？ 【自学探究】 1、能否将两个大小相等的正方形拼成一个较大的正方形？若能，大小正方形的边长之比是多少？ 2、通过看课本和查资料了解“青朱出入图”。 预习后你还有什么问题？最想和大家讨论交流的问题是什么？ 【合作交流】 1、“青朱出入图”
2、做一做：（要求：实际动手拼摆后，课后将其粘到导学稿上） （1）取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以c为边长的正方形；将另一副拼成两个边长分别为a、b的正方形。 （2）你能拼出“青朱出入图”吗？当然可能有部分是重复的了。 （3）利用五巧板，你还能通过怎样的拼图验证勾股定理？与同伴交流。
3、课本14页的“议一议” 问题： 如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a、b、c满足a2+b2=c2吗？ 【随堂练习】 课本15页的问题解决第1题（要求抄题画图） 【小结】 通过这节课的学习，你有什么收获？还有什么问题？ 【今日作业】 1、一个直角三角形的斜边为20cm，且两直角边的长度比为3：4，求两直角边的长。 【巩固与拓展】 1、课本15页的问题解决第2题（要求：实际动手操作） 2、课本16页的联系拓广3
3、从网上收集有关勾股定理的资料，撰写小论文，与同伴交流。 家校联系：（家长反馈意见或签名）
1.1.1探索勾股定理 一、教学目标叙写 １．学生通过预习教材1页，完成“引入”经历探索勾股定理． ２．学生通过合作探究“做一做”，验证猜想勾股定理，从而得出结论，进一步发展空间观念和推理能力． ３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．４．学生通过完成“五、当堂评价”，运用勾股定理进行简单的推理和计算． 二、教学重难点 １．重点：勾股定理及其应用. 2.难点：勾股定理的探索过程. 三、教学过程 （一）、情景引入Array 1.02年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会 的会标:标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾 股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定 理．（板书课题） 2. 俄罗斯的伟大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多的土地吗？》中写出 一个故事： 有一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地。卖地的人提出了一个非常奇怪的地价：“每天1000卢布。”意思是：谁出1000卢布，那么他从日出到日落走过的路所围成的土地都归他；不过，如果日落之前买地的人回不到原来的出发点，那么他就一点土地也得不到。 巴河姆觉得条件对自己有利，于是付了1000卢布。第二天太阳刚刚从地平线升起，就连忙在草原上大步走去。他走了足足10俄了里才左拐弯，接着又走了许久，才再向左拐弯， 这样又走了2俄里，这时他发现天色已经不早，而自己离出发点还足足有17俄里，于是只 得改变方向，拼命朝出发点跑去，总算在日落之前赶回了出发点。可是，他还未站稳，两脚 一软，就倒地口吐鲜血而死。 你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？ （二）、自主探究 探究一：在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三条边之间的平方具有什么关系？与同伴进行交流。 探究二： （1）如图1-2：等腰直角三角形三边的平方分别是多少？它们满足上面所猜想的数量关系吗？ 你是如何计算的，与同伴进行交流。 （2）对于图1-3中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是如何计算的？
八年级数学 探索勾股定理(1) 〖温故知新〗 1、指出右图直角三角形各部分的名称，并用符号表示这个直角三角形。 2、边长是a 的正方形的面积是 ， 〖学习目标〗 1、用数格子的办法体验勾股定理的探索过程。 2、理解勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。 一、自学指导 } 1、观察课本第2页图1— 2、图1—3，直角三角形三边的平方分别是多少，完成下表（时间3分钟）与同伴交流（时间3分钟）。 A 的面积 B 的面积 C 的面积 可能的关系 … ： } : 总结： 勾股定理： _______三角形____________的_________等于__________。 如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么关系可表示为： 。 ~ 符号语言： 二、自学检测 A 1、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=3 b=4，则c=________。， B2、求下图中字母所代表正方形的面积和对应三角形的边长 | b a c C A B b a c C A B A B 125 169 100 、
7cm D A C B 7cm D A C B — 反思总结： 勾股定理的作用_________________________________________ 三、新知运用 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索 · 巩固练习： A1、如图，求等腰三角形ABC的边AB上的高。 ！ 变式训练：B2、三角形ADC的面积是多少你能求出AC边上的高吗 } 反思总结： 1、运用勾股定理解决实际问题的格式： 四、中考链接 1、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，A、 B、C、D表示对应正方形的面积，A=9，B=16，C=36，D=64，则E=______;F=-________;G=________。 . 2、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面 积的和是cm2． 【 反思总结：
1.1、探索勾股定理（一）学案 一、教学目标 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． 重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。 难点：勾股定理的发现。 二、知识回顾∶我们学过的三角形有哪些 1.三角形的三边关系：三角形的两边之和______第三边。 2.等腰三角形的边关系 3.等边三角形的边关系 4.直角三角形有什么特点 三、探究活动：（1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 结论1： （2）观察下面两幅图： （2）填表： （3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．
结论2 （4）如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，用直角三角形的边长来表示上图中正方形的面积 （5）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形呢？ 四、勾股定理的简单应用 1、 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下， 树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？ 2、 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度 3、直角三角形两边长为3和4，求第三边长的平方 4、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 想一想：观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+ ?225 100x 17a b c a b c
课题 1.1探索勾股定理课型新授课授课时间 教学目标知识与技能 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股 定理进行简单的计算和实际运用． 过程与方法 让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． 情感态度与 价值观 通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习 重点 了解勾股定理的由来并能用它解决 一些简单问题 难点勾股定理的发现 方法教具 教学过程 教师活动学生活动设计意图第一环节：创设情境，引入新课 2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示 本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与 “勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理” 的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一 同探索勾股定理． 第二环节：探索发现勾股定理 1．探究活动一 内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图 形： ★问题：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现： 2．探究活动二 内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具 有该性质呢？ （1）观察下面两幅图： （2）填表： A的面积（单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积） 独立思考 并回答问 题 填写表格 观察、计 算、探讨、 归纳进一 步发现一 般直角三 角形的性 质 独立完成 用自己的 语言进行 表达 紧扣课题，自 然引入 探究活 动二意在让 学生通过观 察、计算、探 讨、归纳进一 步发现一般 直角三角形 的性质．由于 正方形C的 面积计算是 一个难点，为 此设计了一 个交流环节 议一议意在 让学生在结 论2的基础 上，进一步发 现直角三角 形三边关系， 得到勾股定 理 巩固基本知 识和基本技
1.1、探索勾股定理（二）学案 一、1、学习目标：掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 2．教学重点 ：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题. 3．教学难点：验证勾股定理. 二、知识回顾： （1）勾股定理的内容是 （2）直角三角形两边长为3和4，求第三边长 （3）、求出x 的值 三、探索活动：验证勾股定理 拼图验证. 准备的四个全等的直角三角形拼出正方形. 思考1： 你能由图1表示大正方形的面积吗？ 能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？ 2：你能由图2表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？ 能由此得到勾股定理吗？ 3、请利用图3验证勾股定理 图3 4、利用四个全等的直角三角形拼图验证勾股定理你还有哪些方法？ x 17 图 1 a b
四、例题讲解 1、例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？ 基础训练 1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= . 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为. 3．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为. 4．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为（）． A．30 cm2 B．130 cm2 C．120 cm2 D．60 cm2 提高训练 5．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B，求AB两地间的距离. 6．一棵9m高的树被风折断，树顶落在离树根3m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？ 知识拓展 7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长. F C
鲁教版五·四制 《3.1探索勾股定理（1）》教学设计 案例 名称 3.1 探索勾股定理（1）（鲁教版五·四制）七年级 教学 目标 知识与技能： （1）经历探索、验证勾股定理的过程，由测量猜想勾股定理，再由方格纸验证勾股定理；（2）会运用勾股定理计算直角三角形中未知边的长. 过程与方法：经历利用三角形卡片进行测量，从“数”的角度猜想直角三角形三边关系，接着借助方格纸从“形”的角度进一步验证，进而得到勾股定理并会简单应用. 情感、态度与价值观：教师组织学生在活动中大胆猜想、严格论证、合作学习,培养学生努力解决问题的进取心,体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气. 在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力，初步形成多角度思考问题的意识. 教学 重点 难点 重点：勾股定理的探索和验证以及勾股定理的应用. 难点：勾股定理的验证和应用. 课前 准备 分发学案，学具，板书需要用到的图形 教学 过程 教学内容双边活动设计意图 情境 导入 视频《改革开放后深圳的变化发展》 120米 50米 你能求出深圳湾大桥 上斜塔的长度吗？ 时间2分钟 学生活动：观看视频 师：你能求出深圳湾大桥上斜 塔的长度吗？直角三角形中， 三边具有怎样的关系呢？ 由《改革开放 后深圳的变 化发展》导入 新课，出示斜 塔问题，能更 好引起学生 学习兴趣.使 学生感受到 勾股定理与 我们息息相 关；
讲授新课第一部分玩转纸片初探究 两人一张直角三角形卡片，动手操 作进行测量，猜想直角三角形三边 关系 要求：积极测量、计算，合作完成 表格。 时间：3分钟 学生活动：2人小组合作学生测 量并计算各边长的平方，完成 表格，小组展示成果 师：哪位同学给大家分享一下 你们的表格？（汇总表格） 观看三组数据，请同学们猜想 直角三角形中三边平方关系， 哪位同学来回答？ 活动效果： 第1组：同桌2人，一人说a、 b、c三边的测量结果，另一人 说三边平方的计算结果。 第2组、第3组补充：不同的 测量和计算结果的数据展示。 猜想：一位同学直角三角形中， 三边平方的可能关系。 1.通过动手 测量、计算、 填表，让学生 从“数”的角 度猜想三边 关系,学生可 带着问题进 行交流，提升 了学习效率。 2.小组合作 展示成果，使 每一位学生 成为课堂的 主人，提升课 堂效率。 第二部分细数格子再探究 借助方法纸，以直角三角形三边为 边长，构造正方形，通过数格子、 割补法计算三个正方形的面积，进 一步探究勾股定理 导引1：边长是2的等腰直角三角 形，口答完成填空. 导引2：边长是3的等腰直角三角 形，完成学案上. 导引2：边长是3和4的等腰直角 三角形，口答以及小组合作. 教师活动： 1.出示边长是2等腰直角三角 形，引导学生通过数格子得到 正方形面积，从而验证三边平 方关系(学生口答) 2.组织学生大组讨论图2中正 方形C的面积求法，推选组长 上台展示讲解割、补方法，验 证三边平方关系. 通过师生对 学，设置问题 串突破难点
§1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探 究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理 的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、 创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、 观察图1-2，正方形A 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。 正方形B 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。 正方形C 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。 2、 你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、 图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C ，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、 做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系? 3、 从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结： 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、 议一议 1、 图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么2 22c b a =+ 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
“三六五”课堂教学模式导学案 年级学科组总课时数主备教师审查人时间 §1.1探索勾股定理（1） 一、学习目标 1、经历用测量的方法探索勾股定理及用数格子的方法简单的验证勾股定理的过程，提高合情 推理的能力，体会数形结合的思想。（难点） 2、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题。是本节的重点和难点。 二、自学感知 自学课本第2—4页解答下面的问题： 1、在纸上作出一个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有什么关系？ 换一个直角三角形试一试此关系还成立吗？ 2、如果直角三角形两直角边分别为a,b斜边为c，那么a2+ = 。即直角三角形两直角 边的和等于斜边的。 3、我国古代把直角三角形中较短的直角边称为，较长的直角边称为，斜边称 为。 4、如图（1）所示，求出直角三角形未知边的长度。 9 12 (1) 5、如图（2）所示，阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积。 （2） 三、小组合作 1、如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？ B 12米 C 2、如图，直角三角形三边的平方分别是多少，你能用它们验证勾股定理吗？你是如何计算的？与同伴交流。 四、展 示风 采
400 225 A 1、求下图中字母所代表的正方形的面积。 2、如图，求等腰△ABC的面积。 5 B 3、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为 什么吗? 4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图 形，使得它们的面积之和恰好等于最大的正方形面积，尝试给出两种以上的方案。 五、小结 通过本节课的学习谈谈自己的收获和体会。 六、达标检测 1、已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边长为。 2、在直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，则另一条直角边长为。 3、如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米处有一颗大树，在一次强风中，这棵大树从离地 面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，出门在外的张大爷担心自己的房屋被倒下的大树 砸倒，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算，分析后给出正确的回答（） A、一定不会 B、可能会 C、一定会 D、以上答案都不对 4、如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时，梯 底距墙底端0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子的底端将滑出多少米？ 七、学（教）后反思与错题集锦 班级姓名完成时间小组评价个人评价
17.1 勾股定理（1） 学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 学习过程： 一.预习新知（阅读教材第64至66页，并完成预习内容。） 1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系？ 2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？ 归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。 A B C (1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？ (2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。 (3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？ (4)对于更一般的情形将如何验证呢？
二.课堂展示 方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形 的面积相等。 左边S=______________ 右边S=_______________ 左边和右边面积相等， 即 化简可得。 方法三： 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 c 2. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________ 归纳：勾股定理的具体内容是 。 2 12 1 b b b
第17章 勾股定理 第1课时 备课人：莫丹 一、教学内容 教科书P22——P24的内容 二、教学目标 知识与技能：体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题； 过程与方法：在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力； 情感态度与价值观：通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦。 三、教学重点难点 重点：探索和验证勾股定理过程。 难点：通过面积计算探索勾股定理。 四、教学方法及教学手段： 采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。 五、教学过程： 1．创设情境，导入课题 多媒体演示，讲述毕达哥拉斯做客时的发现。 2．实验探究 探究一： 么数量关系？ 关键：求正方形C 的面积（割补法） 探究二：以不等腰直角三角形的三边为边长，构造的三个正方形，面积之间是否还存在刚才的数量关系？ ) (9单位面积=A S )(9单位面积=B S )(18单位面积=C S C B A S S S =+∴)(16单位面积=A S )(9单位面积=B S )(25单位面积= C S C B A S S S =+∴
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形面积。 3.猜想与证明 （1）由面积关系，猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即： a2+b2=c2 （2）证明（多媒体演示） 方法一：赵爽的拼图证明法 方法二：赵爽弦图的直接证明法 猜想得到了证明，成为定理。 4.勾股定理（毕达哥拉斯定理） （1）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即a2+b2=c2。 （2）关于勾股定理的著名总统证法：多媒体演示。 （3）勾股定理的变形： 5.运用新知，体验成功 例 （示范格式，提醒学生灵活运用面积关系） 例2、如图，在Rt △ABC 中,∠ C = 90°，BC = 24,AC = 7,求AB 的长。 （示范格式，提醒已知哪些边，要求哪边，恰当的运用勾股定理及其变形） 变式训练：在Rt △ABC 中,∠C = 90°，AB = 41, BC = 40,求AC 的长. 6.反馈练习，巩固新知 课堂练习，第24页。 7．课堂小结： (1)面积关系：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积。 (2)直角三角形三边的关系：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。 8．作业布置： 课本28页：1,2两题 C ┏ a c b A B C ┏ a c b A B 2 22b a c +=22b a c +=222b c a -=22b c a -=2 22a c b -=22a c b -=225 81 B B A C
1.1探索勾股定理 （1）练习题 三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm ，则正方形A , 是 _______ cm 2. &已知 Rt △ ABC 中，/ C = a b 14 cm , c 10 cm , 为（ ）. （A ） 24cm 2 （B ） 36cm 2 2 60cm 9. 如图1-1-4，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为 S 1, S 2, S 3,则S 1, S 2, S 3之 间的关系是（ ）. (A ) S 1 S 2 S 3 ( B ) S 1 S 2 S 3 (C ) S 1 S 2 S 3 (D )无法确定 10. 暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝 .他们登陆后先往东走 8km ，又 往北走2km ，遇到障碍后又往西走 3km ，再折向北走 6km 处往东一拐，仅走 1km 就找到了宝藏，则登陆点 到埋宝藏点的直线距离为 ____________ k m . 11. 如图1-1-6，已知直角△ ABC 的两直角边分别为 6, 8,分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部 分的面积. 图 1-1-6 6 8 AC = 6cm , _= 8cm ，现将 直 AC 沿直线 AD 1.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬 来一架高为 2.5米的木梯，准备把拉花挂到 2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应 为 __________ 米. 2.如图1-1-1，小张为测量校园内池塘 A , B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ,使/ ABC = 90°,并测 得AC 长26m , BC 长24m ，贝U A , B 两点间的距离为 __________ m . 3?如图1-1-2，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 _______________ .（ 不取近 似值） 4.底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 ______________ cm . 5.—艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以 12km/h 的速度向东南 方向航行，它们离开港口半小时后相距 ___________ km . 6.一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为 8m ，梯子的顶端下滑 2m 后，底端滑 动 _____ m . 7?如图1-1-3所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 90°, r f t 6 若 则Rt J 护 J! Jf J / 3 2 △ ABC 的面积 (C ) 登陆点 s Sl-1-5 48cm 2 (D ) 12 .如图1-1-7，有一块直角三角形纸片，两直角边 J ,1 图IT-4 B , C , D 的面积的和