亲爱的交大附中新高一的同学们：
祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，一开学对这篇自学教材的学习将有相应的检测，愿大家为新学期做好准备。
一、数与式的运算
一）、必会的乘法公式
【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2
2
2
2
+++++=++ 证明：2
2
2
2
)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++Θ
ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=
∴等式成立
【例1】计算：2
2
)3
1
2(+-x x 解：原式=2
2
]3
1)2([+-+x x
9
1
3223822)
2(3
1
2312)2(2)31()2()(234222222+
-+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x
说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3
3
2
2
))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)
证明: 3
3
3
2
2
2
2
3
2
2
))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=8 a 3+b 3
【公式3】3
3
2
2
))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)
1．计算
（1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）=
（2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=
（3）)916141(312
1
2++??? ??-m m m =
（4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）=
2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3=
（2）27m 3-8
1
n 3=
（3）x 3-125= （4） m 6-n 6=
【公式4】3
3
3
2
2
()33a b a b a b ab +=+++ 【公式5】3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b -=-+- 【例3】计算：
（1）)416)(4(2
m m m +-+
（2）)4
1101251)(2151(22n mn m n m ++-
（3）)164)(2)(2(24
++-+a a a a （4）2
22
2
2
))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=3
33644m m +=+ （2）原式=3
33
3
8
11251)2
1()5
1
(n m n m -=
- （3）原式=644)()44)(4(6
3
3
22
2
4
2
-=-=++-a a a a a （4）原式=2
2
2
2
22
2
)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+
63362332)(y y x x y x ++=+=
说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式
的结构．
（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、
4、…、10的立方数，是非常有好处的．
【例4】已知2
310x x -+=，求33
1
x x +
的值． 解：2
310x x -+=Q 0≠∴x 31=+∴x
x
原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2
222=-=-++=+-+x x x x x
x x x
说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦
琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．
【例5】已知0=++c b a ，求
111111
()()()a b c b c c a a b
+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0Θ
∴原式=ab
b
a c ac c a
b b
c c b a +?
++?++?
333
()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc
---++=++=- ①
abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+Θ
abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-
abc
abc
说明：注意字母的整体代换技巧的应用．
二）、根式
0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：
(1) 2
(0)a a =≥
(2) ||a =
(3)
0,0)a b =≥≥
(4)
0,0)a b
=>≥ 【例6】化简下列各式：
(1)
(2)
1)x ≥
解：(1) 原式=2|1|211-+=-=
*(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)
|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->?-+-=?---=≤≤?
说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)
8
3
(2)
(3)
(4) -+解：(1)
8
3=
4
6282383=??=
(2) 原式623
=
=--
(3) 原式=
(4) 原式=+=-= 说明：
(1)二次根式的化简结果应满足：
①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：
①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；
②分母中有根式(
)或被开方数有分母(．(
化为
) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采
取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(
，其中2+
2-)．
有理化因式和分母有理化
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两
个代数式叫做有理化因式。如a 与a ；
y b x a +与y b x a -互为有理化因式。
分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。
【例8】计算：
(1) 21)(1++--+
(2)
+
解：(1) 原式=22(1()21a b a +--++=--+
(2) 原式
+
=
+
=
=
说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．
【例9
】设x y =
=
，求33x y +的值．
解
：77 14,123
x y x y xy =
=+=-?+==-
原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=
说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．
1
a =-成立的条件是( )
A ．0a >
B ．0a <
C ．0a ≤
D ．a 是任意实数
2．若3x <
|6|x -的值是( ) A ．－３
B ．３
C ．－９
D ．９
3．计算： (1) 2
(34)x y z --
(2) 2
(21)()(2)a b a b a b +---+
(3)3
2
2
)())((b a b ab a b a +-+-+
(4) 22
1(4)(4)4
a b a b ab -++
4．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)：
(1)
(2) a ?
(3)
(4)
+
-
5．化简：
(1)
102m -
(2)
0)x y >> 6．若
112x y -=，则33x xy y
x xy y
+---的值为( )： A ．
3
5
B ．35
-
C ．53
-
D ．
53
7
．设x y ==22
x xy y x y +++的值．
8．已知111
20,19,21202020
a x
b x
c x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值． 9
．设12
x -=
，求42
21x x x ++-的值． 练 习
10．化简或计算：
(1)
3
-+÷
(2) -+
(3) -
答案：
1．C 2．A
3．(1) 222
9166824
x y z xy xz yz
++--+(2) 22
353421
a a
b b a b
-++-+
(3) 22
33
a b ab
--(4) 33
1
16
4
a b
-
4
．21
2
a b
+
----
-
5
．6．D 7．
8． 3 9
．3-10
．3,
3
-
三）、分式
当分式
A
B
的分子、分母中至少有一个是分式时，
A
B
就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
【例10】化简
1
1
x
x
x
x
x
-
+
-
解法一：原式=
22
2
(1)1
1(1)
1
(1)(1)
11
x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x
x
x
x x
x x
x
++
=====
--?+-
+-
+
+
+-
-+
解法一：原式=
2
2
(1)1
(1)(1)
11
1
()
x x
x x x x
x x x x x x
x x x
x
x x
x
x
x x
x
++
====
-?-+-
-
++
+
-
-?
说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质
A A m
B B m
?
=
?
进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简
2
22
3961
62
279
x x x x
x
x x x
++-
+-
+
--
解：原式=222
3961161
2(3)3(3)(3)2(3)
(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++-
22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)
x x x x x x x x x x +-------===+-+-+
说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分
解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．
四）、多项式除以多项式
做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式?商式+余式 【例1】
计算)3()3(2
4
x x x -÷-
解：3
9
39333300300322
22
44
2--+----++-+++-x x x x x x x x x x
∴x x x x x 39)3()3()3(224-+--?-=-
计算
1．)32()2713103(2
2
3
-+÷-++x x x x x 2．)1()22(2
3
2
-÷-+x x x
3．已知1453,21122192
3
2
3
4
+--=-+--=x x x B x x x x A 求：2
2B A ÷ 答案：
1．3
215
1443)32()2713103(22
23-+-++=-+÷-++x x x x x x x x x
2．1
2)1()22(2
2
32-++=-÷-+x x
x x x x 3．2
2
2
)23(-=÷x B A
练 习
二、因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．
一）、公式法
【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：
(1) 3
8x +
(2) 3
0.12527b -
分析： (1)中，3
82=，(2)中3
3
3
0.1250.5,27(3)b b ==．
解：(1) 3332
82(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 3
3
3
2
2
0.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+?+
2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++
说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如
3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，
一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：
(1) 3
4
381a b b -
(2) 76
a a
b -
分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现6
6
a b -，
可看着是32
32
()()a b -或23
23
()()a b -．
解：(1) 3
4
3
3
2
2
3813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．
(2) 7
6
6
6
3
3
3
3
()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-
22222
2
2
2
()()()()()()()()
a a
b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+
二)、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于
四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
1．分组后能提取公因式 【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．
分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然
后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．
解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--
说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．
【例4】把2
2
2
2
()()ab c d a b cd ---分解因式．
分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．
解：2
2
2
2
2
2
2
2
()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-
()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+
说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．
2．分组后能直接运用公式
【例5】把2
2
x y ax ay -++分解因式．
分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.
解：2
2
()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例6】把2
2
2
2428x xy y z ++-分解因式．
分析：先将系数2提出后，得到2
2
2
24x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一
个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
解：2
2
2
2
2
2
24282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-
222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-
说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或
提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．
三)、十字相乘法
1．2
()x p q x pq +++型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．
22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++
因此，2
()()()x p q x pq x p x q +++=++
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解：
(1) 276x x -+
(2) 2
1336x x ++
解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-?--+-=-Q 2
76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (2) 3649,4913=?+=Q
2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++
说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同． 【例8】把下列各式因式分解：
(1) 2
524x x +-
(2) 2
215x x --
解：(1) 24(3)8,(3)85-=-?-+=Q 2
524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2) 15(5)3,(5)32-=-?-+=-Q
2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+
说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例9】把下列各式因式分解：
(1) 2
2
6x xy y +-
(2) 222
()8()12x x x x +-++
分析：(1) 把2
2
6x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是2
6y -，一次项系数是
y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．
(2) 由换元思想，只要把2
x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解
二次三项式2
812a a -+．
解：(1) 2
2
2
2
66(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 2
2
2
2
2
()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-
(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-
2．一般二次三项式2
ax bx c ++型的因式分解
大家知道，2
112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2
121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++
我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成
11
2
2
a c a c ?
，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2
ax bx c ++的一次项系数b ，那么2
ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解：
(1) 2
1252x x --
(2) 22
568x xy y +-
解：(1) 2
1252(32)(41)x x x x --=-+
3
24
1-?
(2) 22
568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-
1 254y y -?
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
四)、其它因式分解的方法
1．配方法
【例11】分解因式2
616x x +-
解：2
2
2
2
2
2
616233316(3)5x x x x x +-=+??+--=+-
(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．
2．拆、添项法
【例12】分解因式3
2
34x x -+
分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．
解： 3
2
3
2
34(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--
22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-
说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成2
24x x -，将多项式分成
两组3
2
()x x +和2
44x -+．
一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
1．把下列各式分解因式：
(1) 3
27a +
(2) 3
8m -
(3) 3
278x -+
2．把下列各式分解因式：
(1) 3
4
xy x +
(2) 3
3n n x
x y +-
(3) 2232
(2)y x x y -+
3．把下列各式分解因式：
(1) 2
32x x -+ (2) 2
627x x --
(3) 22
45m mn n --
4．把下列各式分解因式：
练 习
(1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2
126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x --
(4) 2
2
82615x xy y +-
(5) 2
7()5()2a b a b +-+-
5．把下列各式分解因式：
(1) 2
33ax ay xy y -+-
(2) 32
8421x x x +-- (3) 2
51526x x xy y -+-
(4) 2
2414xy x y +-- (5) 4
32234ab b a b a b a --+ (6) 6
6
3
21x y x --+
(7) 2
(1)()x x y xy x +-+ 6．已知2
,23
a b ab +=
=，求代数式22222a b a b ab ++的值． 7．证明：当n 为大于2的整数时，5
3
54n n n -+能被120整除． 8．已知0a b c ++=，求证：3
2
2
3
0a a c b c abc b ++-+=．
答案：
1．2
2
2
(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++
2．2
2
2
2
()(),()(),n
x x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 2
2
4
3
2
(1)(4321)y x x x x x --+++ 3．(2)(1)x x --，(9)(3)x x -+， (5)()m n m n -+
4．3
(2)(8)ax x x -- ；(3)(2)n
a a
b a b +- ；2
(3)(1)(23)x x x x -+-+；
(2)(415),x y x y -+ (772)(1)a b a b +++-
5．2
()(3),(21)(21),(3)(52)x y a y x x x x y -++--+；(12)(12),x y x y -++-
23333()(),(1)(1),()(1)ab a b a b x y x y x x y x y +----+-++．
6．
283
7．5
3
54(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++ 8．3
2
2
3
2
2
()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++
三、一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．
一）、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222
4()24b b ac
x a a -+= (1) 当2
40b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
2b x a
-±=
(2) 当2
40b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a
=- (3) 当2
40b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把2
4b ac -叫
做一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：2
4b ac ?=-
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1) 2
2310x x -+=
(2) 2
4912y y +=
(3) 2
5(3)60x x +-=
解：(1) 2
(3)42110?=--??=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为：2
41290y y -+=
2
(12)4490?=--??=，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为：2
56150x x -+=
2(6)45152640?=--??=-<，∴ 原方程没有实数根．
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．
【例2】已知关于x 的一元二次方程2
320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：
(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；
(4) 方程无实数根．
解：2
(2)43412k k ?=--??=-
(1) 141203k k ->?<
；
(2) 141203k k -=?=
； (3)3
1
0124≤?≥-k k ；
(4) 3
1
0124>?<-k k ．
【例3】已知实数x 、y 满足2
2
210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：2
2
(2)10x y x y y --+-+=
由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：
222[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=，
代入原方程得：2
2101x x x ++=?=-． 综上知：1,0x y =-=
二）、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：
x x ==
所以：12b x x a
+=
+=-，
22122
2()422(2)4b b b ac c
x x a a a a a
-+----?=?===
定理：如果一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：
1212,b c
x x x x a a
+=-=
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此
定理称为”韦达定理”．
【例4】若12,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 22
12x x +；
(2)
12
11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．
分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．
解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-
(1) 2222
121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=
(2)
1212121122
20072007
x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-
(4) 12||x x -==== 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-，
121212
11x x x x x x ++=，22
121212()()4x x x x x x -=+-，
12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．
*【例5】一元二次方程042
=+-a x x
值范围。
解一：由??
?<-->?0)3)(3(021
x x 解得：3 解二：设)(x f a x x +-=42 ，则如图所示，只须(f 解得3 *【例6】 已知一元二次方程65)9(2 2 2 +-+-+a a x a x 求a 的取值范围。 解：如图，设 65)9()(2 22+-+-+=a a x a x x f 则只须???<<0)2(0)0(f f ，解之得?? ? ??<<-<<3813 2a a ∴ 2<【例7】已知关于x 的方程2 2 1(1)104 x k x k -++ +=(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 所以要分类讨论． 解：(1) ∵方程两实根的积为5 ∴ 2 22121[(1)]4(1)034 ,41215 4 k k k k x x k ??=-+-+≥???≥=±? ?=+=?? 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故3 02 k ?=?= ； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=?+=?+=?=-，由于 3 02 k ?>?> ，故1k =-不合题意，舍去． 综上可得，3 2 k = 时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0?≥． 【例8】已知12,x x 是一元二次方程2 4410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123 (2)(2)2 x x x x --=- 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使 12 21 2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123 (2)(2)2 x x x x --=-成立． ∵ 一元二次方程2 4410kx kx k -++=的两个实数根 ∴ 2 40 0(4)44(1)160 k k k k k k ≠?? 又12,x x 是一元二次方程2 4410kx kx k -++=的两个实数根 ∴ 1212114x x k x x k +=???+=?? ∴ 222 121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+- 939 425 k k k +=- =-?=，但0k <． ∴不存在实数k ，使12123 (2)(2)2 x x x x --=- 成立． (2) ∵ 222121212211212()44 224411 x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=- ++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <， 要使 12 21 2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在． (2) 本题综合性较强，要学会对 4 1 k +为整数的分析方法． 1．一元二次方程2 (1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．2k > B ．2,1k k <≠且 C ．2k < D ．2,1k k >≠且 2．若12,x x 是方程2 2630x x -+=的两个根，则 12 11x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ． 12 D ． 92 3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程2 2 (21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( ) A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或 4．若实数a b ≠，且,a b 满足2 2 850,850a a b b -+=-+=，则11 11 b a a b --+ --的值为 ( ) A ．20- B ．2 C ．220-或 D ．220或 5．若方程2 2(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ． 6．设12,x x 是方程2 0x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2 0x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ． 7．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能 等于10，您是否同意他的看法？请您说明理由． 练 习 8．一元二次方程02)13(72 2=--++-m m x m x 两根1x 、2x 满足21021<<< 9．已知关于x 的一元二次方程2 (41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足 121112 x x +=-，求m 的值． 10．已知关于x 的方程2 2 1(1)104 x k x k -+++=． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2) 若该方程的两根是一个矩形相邻两边的长， 求k 的值． 11．已知关于x 的方程2 (1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围； (2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由． 12．若12,x x 是关于x 的方程2 2 (21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 若 121 2 x x =，求k 的值． 答案： 1． B 2． A 3．A 4．A 5． 9或3- 6 ． 1,3p q =-=- 7．正确 8．由??? ??><>0)2(0)1(0)0(f f f 可得12-<<-m 或43< 1(1)1650 (2)2 m m ?=+>=- 10．3 (1) (2)22k k ≥ = 11．13 (1)112k k <≠且 (2) 不存在 12．(1) 3 14 k k ≥≠且 ； (2) 7k =． 四、一元高次方程的解法 含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数大于2的整式方程叫做一元高次方程。 一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为 一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程的解。 【例1】解方程 （1）x 3+3x 2-4x=0 （2）x 4-13x 2+36=0 解：（1）原方程可化为 x （x-1）（x+4）=0,41-=∴x ,02=x ,13=x （2）原方程可化为（x 2-9）（x 2-4）=0；（x+3）（x-3）（x+2）（x-2）=0 ,31-=∴x ,22-=x 23=x ，34=x 解方程 （1）x 3+5x 2-6x=0 （2）（x 2-3x ）2-2（x 2-3x ）-8=0 答案：（1）,61-=∴x ,02=x ,13=x （2）,11=∴x ,22=x ,13-=x 44=x 五、三元一次方程组的解法举例 1）．三元一次方程组的概念： 三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程。 注：（1）“未知项”与“未知数”不同。（2）每个方程不一定都含有三个未知数。 它的一般形式是 未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。 2）．解三元一次方程组的基本思想方法是： 【例1】 解方程组 分析：方程①只含x ，z ，因此，可以由②，③消去y ，再得到一个只含x ，z 的方程，与方程①组成一个二元一次方程组． 解：②×3＋③，得 11x ＋10z ＝35． （4） 练 习 初高中物理衔接：电学知识点分类解析 电源内阻、电表改装、导线电阻等初高中衔接电学知识点具有现实意义，有利于同学们升入高一级学校继续学习，这种类型的题目特点是先给一段初中物理没学到的信息，然后要求根据题意去解题。求解初高中衔接电学知识的思路 类型一 电源和电表的内阻例1干电池是我们实验时经常使用的电源，它除了有稳定的电压外，本身也具有一定的电阻。可以把一个实际的电源看成一个理想的电源(即电阻为零)和一个电阻串联组成，如图甲所示。用如图乙所示的电路可以测量出一个实际电源的电阻值。图中R ＝14Ω，开关S 闭合时，电流表的读数I ＝0.2A ，已知电源电压U ＝3.0V ，求电源的电阻r 。 [解析]根据题意，可构建如下等效电路图： 然后依据欧姆定律和串联电路的电阻特点求解电源的电阻r 。R 总＝U I ＝3V 0.2A ＝15Ω，r ＝ R总－R＝15Ω－14Ω＝1Ω。 变式题实验室有一种小量程的电流表叫毫安表，用符号mA表示，在进行某些测量时，其电阻不可忽略。在电路中，我们可以把毫安表看成一个定值电阻，通过它的电流可以从表盘上读出。利用如图所示电路可以测量一个毫安表的电阻，电源的电阻不计，R1＝140Ω，R2＝60Ω。当开关S1闭合、S2断开时，毫安表的读数为6mA；当S1、S2均闭合时，毫安表的读数为8mA。求毫安表的电阻R A和电源的电压U。 [解析]这是一个由开关的断开和闭合导致的变化电路，运用等效法可构建如下电路图： 抓住电源中的电源电压不变，依据欧姆定律得到一个二元一次方程组进行求解。 当S1闭合、S2断开时，等效电路如图甲所示，U＝I1(R1＋R2＋R A)； 当S1、S2均闭合时，等效电路如图乙所示，U＝I2(R1＋R A)； 故I1(R1＋R2＋R A)＝I2(R1＋R A)， 代入数据得：6×10－3×(140＋60＋R A)＝8×10－3×(140＋R A)， 解得：R A＝40Ω，U＝1.44V。 类型二远距离输电问题中的导线电阻 校本课程---初高中数学学习的衔接 高中数学 张玲霞 亲爱的高一新同学们： 祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。由于课程改革，目前我市初中新课标，而高中也是新课程的学习，初高中衔接问题现在显得比较突出。面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家认真学习，为后期高中学习做好准备。 一、数与式的运算 一）必会的乘法公式 【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明： 【例1】计算：22)3 1 2(+-x x 解： 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）= 【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 【例3】计算： （1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)4 1 101251)(2151(22n mn m n m ++- （3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解： 说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式 的结构． （2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、 4、…、10的立方数，是非常有好处的． 【例4】已知2310x x -+=，求331 x x + 的值． 解： 说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举． 【例5】已知0=++c b a ，求1 11111()()()a b c b c c a a b +++++的值． 解： 说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 二）、根式 (0)a a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2()(0)a a a =≥ (2) 2||a a = (3) (0,0)ab a b a b =≥≥ (4) 0,0)b b a b a a =>≥ 【例6】化简下列各式： (1) 22(32)(31)-- (2) 22(1)(2)1)x x x --≥ 解： 说明2||a a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论． 【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1) 8 3 (2) 23 + (3) 11 a b + (4) 32 82 x x x -+ 上海交通大学附属中学2018-2019学年第一学期 高三英语摸底考试卷 II.Grammar and Vocabulary Section A Directions:After reading the passages below,fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct.For the blanks with a given word,fill in each blank with the proper form of the given word;for the other blanks,use one word that best fits each blank. (A) Space is a dangerous place,not only because of meteors but also because of rays from the sun and other stars.The atmosphere again acts(1)__________our protective blanket on earth.Light gets through,and this is essential for plants(2)__________(make)the food which we eat.Heat,too, makes our environment endurable.Various kinds of rays come through the air from outer space,but enormous quantities of radiation from the sun(3)__________(screen)off.As soon as men leave the atmosphere they are exposed to this radiation but their spacesuits or the walls of their spacecraft, (4)__________they are inside,do prevent a lot of radiation damage. Radiation is(5)__________(great)known danger to explorers in space.The unit of radiation is called"rem".Scientists have reason to think that a man can put up with far more radiation than 0.1rem without(6)__________(damage);the figure of60rems has been agreed on.The trouble is(7)__________it is extremely difficult to be sure about radiation damage-a person may feel perfectly well,but the cells of his or her sex organs may be damaged,and this will no be discovered (8)the birth of deformed children or even grandchildren.Missions of the Apollo flights have had to cross belts of high amount of rems.So far,no dangerous amounts of radiation have been reported,but the Apollo missions have been quite short.We simply do not know yet(9) __________men are going to get on when they spend weeks and months outside the protection of the atmosphere,working in a space laboratory.Drugs might help to decrease the damage(10) __________(do)by radiation,but no really effective ones have been found so far. (B) Before I went to the British Koi Keepers’Annual Show,I didn’t understand(1)______ people could take fish so seriously.However,the more I learned about koi,the more interested I became.As one expert told me,“Collecting koi is far more addictive than you might think.They’re as beautiful as butterflies and very calming to watch.”Freddie Mercury,the lead singer of Queen, would have agreed----the pool in his specially built Japanese garden was home to89koi,(2) __________cost up to￡10,000each. At the show I met koi euthusiast Jean Kelly.“Koi are getting more and more expensive,”she told me.“One recently sold for￡250,000.”I was shocked-----that’s almost as much as I paid for my house.“Well,that was a record,”(3)__________(admit)Jean.“The normal price is nowhere near as high as that.” Nevertheless,serious collectors can pay up to￡15,000for a fully(4)_______(grow)koi, which is nearly as expensive as a new luxurious car,and the bigger they are,the more they cost.The cheapest I(5)________find was￡75each,but they were only about twice as big as my goldfish. Jean wasn’t impressed by one of the koi on sale either.“Actually,these koi aren’t any nicer than (6)_______,”She commented.“(7)_______they are slightly bigger than the ones I’ve got,I paid considerable less than this.” 初高中物理衔接教学的几点思考 摘要：初高中物理衔接是否顺利，直接影响高中物理教学质量。本文从造成初 高中物理衔接出现较大“跨度”的原因入手，对教师的教法以及学习方法提出了行 之有效的建议。 关键词：物理；衔接；思考 作者简介：郝宏波，任教于广州暨南大学附中。 一直以来，我们经常听到高中学生们反映：“高中物理难学”。其中原因，不 一而足。其中很重要的一个原因就是初高中物理衔接不当。如何使学生尽快适应 高中物理教学特点和学习特点，度过物理学习的难关？成为我们每个物理教师必 须思考的问题。本文结合自己初、高中跨年级教学中的一些体会，谈谈初高中物 理衔接教学的几点思考。 一、初高中物理衔接出现较大“跨度”的原因分析 首先，从内容上看，初中物理力学的知识点约60个，而高中力学知识点增 到约90个。初中物理知识从生活实际、观察实验入手，直观性较强，相对简单，如密度、同一直线上的二力合成、二力平衡、蒸发、沸腾、压强、浮力、杠杆等，都是生活中常见，容易理解的。它建立的物理模型，对思维深度的要求比较低。 高中物理则要求能在观察实验的基础上抽象出物理概念、规律，特别要求学生能 分析出具体的物理过程，教学内容比初中更深奥、更抽象。同时，初中教材的文 字叙述通俗易懂，叙述的物理现象与日常生活联系紧密而且比较表面，绝大部分 与学生日常生活的感受或体验相吻合，并且其中的规律不复杂，实验原理简单， 易于操作。而高中物理教材每节课的内容多，篇幅较长，叙述方法较为抽象、概括，理论性较强。 其次，思维方法上的差异也会造成一定的困难。初中物理的学习，主要是形 象思维，且静态思维多于动态思维。在思维活动方面初中学生一般都能够跟得上。如初中研究力学问题，仅是从力（力的三要素）的初步概念、常识去研究，摩擦 力只作为阻力形成来介绍而已。而高中物理的学习，抽象思维多于形象思维，刚 进入高一的学生必须从形象思维进入抽象思维，完成认识能力上的一大飞跃，由 此产生了思维上的困难。学生在理解这类问题时不但要克服以前形成的思维定势，而且要加深理解，困难可想而知了。 最后，便是数理“脱节”造成的困惑。数学知识是学好物理的工具，初中物理 所使用的数学工具主要基本的代数运算和少量的几何常识。而高一年级的物理学 习中，如：力的分解与合成中的三角知识；运动学中的二次方程以及根的合理性 判断；万有引力、人造卫星中有关幂的运算、繁分式变形、简单的极限运算等。 然而，许多学生就连直角三角形中的正弦、余弦、正切、余切的边角关系都似是 而非，这里既与学生本身的数学知识较差有关，但更重要的是他们有目的、有意 识地将数学知识应用到物理中来的数理结合能力差，可以说学生的数学知识是跟 不上物理教学需要的。这种学科间横向联系的失调，给学生运用数学工具处理物 理问题带来了较大的困难，加大了物理学习的难度。教学中笔者甚至还要给部分 学生讲述什么是“斜率”的概念，由此可见一斑。 二、适当调整初三和高一教师的教法，缩小初三、高一的“跨度” 初中是物理学科的入门阶段，学生最早的学习习惯的养成、概念规律的建立 以及科学思维方法的形成是在初中，所以要使初中成为高中物理的准备，就必需 做到以下几点： 课程名称 初高中数学衔接 年级：九年级 学科：初中物理 姓名： 目录 总论...........................................................................2 第一讲：垂径定理.........................................................8. 第二讲：直径所对的圆周角.............................................10 第三讲：因式分解（部分）与解方程（组）........................12 第四讲：函数图像的平移................................................14 第五讲：一元二次方程的根与系数的关系...........................18 第六讲：二次函数c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，0≠a (20) 总论 经过紧张的中考，暑期之后初三的同学们就要迎接紧张充实的高中生活。为了迎接高中的数学学习应该做些什么？良好的开端是成功的一半。我们今天主要谈一下从初中到高中的数学学科的衔接问题。很多同学还没有接触高中知识，我们既不谈那一个个知识点，也不谈那一个个大家耳熟能详的学习方法，主要讲讲为什么要做好衔接以及从精神上、认识上如何去准备。 一、为何要做好初高中衔接？ 从初中升入高中，大家普遍觉得上升了一个门槛。教学实践证明，踏好这个门槛，实现这个转折确实需要衔接。其原因是： 1.环境的改变对学生有影响。初中学校与高中学校的教学理念不完全相同，学校之间的差异或大或小，高一新生来自不同的学校，差异性较大。大家熟悉以前的校园、以前的人际关系、以前的各项规章制度及纪律要求。但进入新校园后，校园环境不同了，同学不同了，新学校有新学校的规章制度及具体纪律要求。对于这些变化，要使学生尽快融入新的集体、新的学校，这就必须做好衔接工作。对高一新生来讲，各方面可以说是全新的，新的同学、新的老师、新的管理措施与教育理念……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生“松口气”想法，如初三辛苦了，在高一休息一下，待高二认真一些、高三冲刺，使得高中入学后无紧迫感。 一、第六章 圆周运动易错题培优（难） 1．如图所示，叠放在水平转台上的物体 A 、B 及物体 C 能随转台一起以角速度 ω 匀速转动，A ，B ，C 的质量分别为 3m ，2m ，m ，A 与 B 、B 和 C 与转台间的动摩擦因数都为 μ ，A 和B 、C 离转台中心的距离分别为 r 、1.5r 。设最大静摩擦力等于 滑动摩擦力，下列说法正确的是（重力加速度为 g ）（ ） A ． B 对 A 的摩擦力一定为 3μmg B ．B 对 A 的摩擦力一定为 3m ω2r C ．转台的角速度需要满足g r μω D ．转台的角速度需要满足23g r μω 【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】 AB ．对A 受力分析，受重力、支持力以及B 对A 的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，有 ()()233f m r m g ωμ= 故A 错误，B 正确； CD ．由于A 、AB 整体、C 受到的静摩擦力均提供向心力，故对A 有 ()()233m r m g ωμ 对AB 整体有 ()()23232m m r m m g ωμ++ 对物体C 有 ()21.52m r mg ωμ 解得 g r μω 故C 错误， D 正确。 故选BD 。 2．如图所示，水平的木板B 托着木块A 一起在竖直平面内做圆心为O 的匀速圆周运动， Oa水平，从最高点b沿顺时针方向运动到a点的过程中（） A．B对A的支持力越来越大 B．B对A的支持力越来越小 C．B对A的摩擦力越来越小 D．B对A的摩擦力越来越大 【答案】AD 【解析】 【分析】 【详解】 由于始终做匀速圆周运动，合力指向圆心，合力大小不变，从最高点b沿顺时针方向运动到a点的过程中，合力的水平分量越来越大，竖直向下的分量越来越小，而合力由重力，支持力和摩擦力提供，因此对A进行受力分析可知，A受到的摩擦力越来越大，B对A的支持力越来越大，因此AD正确，BC错误。 故选AD。 3．如图所示，两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙=3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑。两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B放置在轮盘上，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距R A=2R B，两滑块的质量之比为m A∶m B=9∶2.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（） A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，线速度之比v A∶v B=2∶3 B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值a A∶a B=2∶9 C．转速增加后滑块B先发生滑动 D．转速增加后两滑块一起发生滑动 【答案】ABC 【解析】 【分析】 【详解】 A．假设轮盘乙的半径为r，因r甲∶r乙=3∶1，所以轮盘甲的半径为3r。 由题意可知两轮盘边缘的线速度v大小相等，由v=ωr可得 初高中物理衔接教程 初高中物理衔接教程 第一章如何学习高中物理 一、什么是物理学： 物理学是研究物质结构和运动基本规律的一门学科。可用十六个字形象描述：宇宙之谜、粒子之微、万物之动、日用之繁。宇宙之谜是研究宇宙的过去、现状、未来以及人类如何利用宇宙资源，著名的英国物理学家霍金是我们研究宇宙的代表人物。粒子之微就是我们不紧紧要在宏观尺度上研究物质的运动，还要在我们看不到的微观世界研究物质的运动，比如现在提出的纳米技术，是在 10－9m的尺度上研究物质运动。万物之动说的是万事万物都在运动，运动是绝对的，静止是相对的。、日用之繁意思是物理与我们的生活密切相关， 物理学的两个重要特点：1.物理是一门基础学科；2.物理学是现代技术的重要基础并对推动社会发展有重要的作用。 二、初中与高中物理的区别： （一）初中：浅显知道一些基本概念，基本规律 1、机械运动：重点学习了匀速直线运动。力：包括重力、弹力、摩擦力，二力平衡条件，同一直线二力 合成，牛顿第一定律也称为惯性定律。 2、密度；压强（包括液体内部压强，大气压强。）；浮力 3、简单机械：包括杠杆、滑轮、功、功率；能量和能 4、光：包括光的直线传播、光的反射折射、凸透镜成像规律 5、热学：包括温度、内能 6、电路的串联并联、电能、电功；磁场、磁场中的力、感应电流 （二）高中：1、加深理解： Example1：初中——只知道力是改变物体运动的原因 高中——要知道力是怎样改变物体运动状态的 Example2：初中——法拉第电磁感应定律告诉我们闭合导线切割磁感线会产生感应电流 高中——要知道怎么切产生感应电流的大小方向等规律有楞次定律，左右手定则。 2、扩大范围：力学（42%）、电学（42）、热学（6%）、光学（5%）、原子物理（5%） （1）力学主要研究力和运动的关系。重点学习牛顿运动定律和机械能。 Example1：我们要研究游乐场中的“翻滚过山车”是什么原理。 Example2：我们要研究要用多大速度把一个物体抛出地球去，能成为一颗人造卫星？ （2）电学：主要研究电场、电路、磁场和电磁感应。重点学习闭合电路欧姆定律和电磁应定律。 初中电学：假定电源两极电压是不变的； 高中电学：认为电源电极电压是变化的。 这说明高中物理比初中物理内容加深加宽，由定性分析变为更多的定量分析，学习迈上一个新的台阶，同学们要有克服困难的思想准备。 （3）热学：主要研究分子动理论和气体的热学性质。 （4）光学：主要研究光的传播规律和光的本性。 （5）原子物理：主要研究原子和原子核的组成与变化。。 （三）高中物理和初中物理的主要梯度： 1.从标量到矢量的阶梯。从标量到矢量的阶梯会使我们对物理量的认识上升到一个新的境界。初中我们只会代数运算,仅能从数值上判断一个量的变化情况.现在要求用矢量的运算法则,即要用平行四边形法则进行运算,判断矢量的变化时也不能只看数值上的变化,还要看方向是否变化。 2、速度的概念，初中定义速度为路程和时间的比值，只有大小没有方向。而高中定义为位移和时间的比值， 整理初高中衔接课程 初高中英语衔接校本课程 一、认识初、高中英语的区别 即将开始的高中学习生活，特别是英语的学习是与初中阶段有着很大不同的： 1. 课本编排上的区别：初中的每一个单元是分为4课的，每篇中有的是对话，有的是阅读文，也配有一些练习，而高中的每个单元并不分课，而是基本上按模块(module)划分。教材把话题、结构、功能和任务型活动有机地结合在一起，既符合中国学生英语学习的规律和特点，又体现了新的教育教学理念。教材系统性强，各单元采用板块的设计形式，有利于教师灵活整合教材内容。高中的阅读文分为阅读前和阅读后的讨论、思考问题并加入了有关的语言知识的学习及练习，在阅读教学的安排上。读后活动的练习层次清楚，体现对课文理解考察的三个维度：弄清事实(Factual) —分析信息(Analytical) —判断和推理(Inferential)。可以说是极大地丰富了教学内容。除此之外还会有稍短的阅读与听力及写作等方面的练习，写作训练既重视结果，更重视过程，提供铺垫性活动以加强对过程性写作的监督。通过听、读活动从语言和写作技巧方面进行相关输入，为学生的最终成长奠定基础。 2. 在词汇上的区别：我们初中的教材已是新版本了，每个单元的单词可能大家觉得已经不少了，但高中教材中的词汇更是成倍地增加了，增加了大约2000词。这也是新编教材的一个特点，加入了许多当前常用的，新出现的流行的词汇，也是与我们学的新编初中课本相承接的，所以，为了能尽快适应高中词汇的学习，我们应该及早着手把初中阶段的词汇再熟悉一遍。另外，对于高中英语词汇的学习，大家还要知道其要求是远远高于初中的，在学习单词时，我们既要了解它在文中的意思，还要掌握它在练习中，阅读、考试中可能出现的所有意思，用法及搭配等。一词多义，一词多性，依纲不据本。 3. 在所学语法上的区别：在初中阶段我们把基础的语法内容已经学习过了，但是语法学习没有得到足够的重视，不少同学对语法知之甚少，甚至一窍不通。而在高中我们要学习的是更深更高层次的语法。如定语从句，非谓语动词、名词性从句，倒装结构、虚拟语气等等，其中的部分内容我们并不陌生，但是初中我们所接触的还只是皮毛，高中阶段的学习会比之前的所学内容复杂得多，要求上也要高得多，除了看懂更要求会应用。语法知识是英语学习的重要内容，是日常及高考的考试范围，所以我们要充分利用暑假把之前的漏洞弥补好，在后面的学习中，你们也会重温这些知识并将之与高中内容进一步融合，为大家步入高中学习打好基础。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 如何做好初高中物理教学的衔接 发表时间：2010-12-24T11:43:28.870Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2011年第1期供稿作者：刘霞燕 [导读] 初中毕业生升入高中后，往往感觉到物理特别难学。 摘要：本文首先介绍了学生学习高中物理感觉困难的原因，然后就如何搞好初高中物理教学的衔接提出了几点建议。 关键词：原因；衔接；兴趣；习惯；鼓励 作者简介：刘霞燕，任教于河北省武安市第三中学。 初中毕业生升入高中后，往往感觉到物理特别难学。究其原因，是因为初中物理与高中物理的知识跨度很大，导致初中物理教学与高中物理教学出现了台阶，给初中毕业生适应高中物理的学习带来了很多困难，造成了学习成绩的严重分化。因此，如何消除台阶，使学生顺利完成从初中到高中的过渡，这是每一位初高中物理教师都必须面对、必须解决的问题。 一、高中物理学习与初中物理学习的差别 笔者认为，学生学习高中物理感觉困难的原因是：高中物理学习与初中有着较大的差别。 1.思维方式与学习方法的差别 初中物理研究的物理现象形象直观，学生在学习过程中的思维活动多半是以直观现象为依据的形象思维，涉及计算的问题也比较简单，只要代入公式就能算出结果。因此，许多学生的学习方法比较机械，习惯背公式、代公式。而高中物理学习中，分析问题常常要从多方面、多层次进行，抽象思维多于形象思维。 同时，高中物理概念多，规律多，题目类型多，解题方法灵活，再加上科目多，如果再依靠初中机械记忆为主的学习方法，显然不行。即使背熟定义、公式，不理解其意义，不注意适用条件，乱代公式，面对千变万化的题型，也是束手无策。 2.学习内容上的差别 初中物理学习的物理现象和物理过程比较直观浅显，与日常生活现象联系紧密，并且只要求定性地了解相关现象，并不要求定量地了解其本质。而高中物理研究的现象比较复杂，分析物理问题不但要从现象出发，更要建立物理模型，透过现象研究其本质。例如动能、重力势能，实际上学生在初中学习中已经接触，但仅仅只是要求知道它们的决定因素，而高中物理中则从定义、决定因素、它们的关系等方面全面系统地学习，并要求能用机械能守恒定律分析具体物理过程中的能量问题。 二、做好初高中物理教学衔接的策略 如何做好初高中物理教学的衔接，降低初中到高中物理学习的台阶，让学生顺利跨越，这是每个高中物理教师必须思考并付诸实践的问题。帮助学生尽快适应高中物理学习，笔者认为可以从几个方面入手： 1.把握好初中物理与高中物理知识的衔接点 现行教材的知识编排是根据学生的认知水平逐渐上升的。高中教师应明确初中的许多物理概念是不严密的甚至是错误的，应该正确看待这些概念，高瞻远瞩，弄清知识的来龙去脉，避免照本宣科或讲解不当。例如：在初中物理教材中，速度的定义为物体在单位时间内通过的路程。这时，教师应讲清楚这个定义是对于物体作匀速直线运动而言的，由于物体在各个时刻运动的快慢和方向是相同的，因此，任意时刻的速度都等于整段时间内的平均速度。对于物体作变速运动，物体在各个时刻运动的快慢和方向是不同的，这样定义出来的速度只能是平均速度。这样一来，就为高中物理学习瞬时速度、平均速度打下了良好的基础。 在初中物理学习过程中，由于种种原因，学生往往在认识上会形成许多误区。例如：许多学生认为摩擦力总是阻力，总与物体运动方向相反。这时，教师应该给学生讲清楚摩擦力的方向总是阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势，并不一定和物体运动方向相反。例如：人在走路时，就是依靠人和地面间的静摩擦力，人才能前进，这时静摩擦力方向和人的运动方向相同。同时，重视物理规律的内涵和外延，将新知识与原有的知识有机衔接起来。例如：欧姆定律的内涵是导体中的电流与导体两端的电压成正比，与导体的电阻成反比，即部分电路欧姆定律。欧姆定律的外延是，电路中的电流与电源电动势成正比，与整个电路的总电阻成反比，即全电路欧姆定律。 2.提高学生学习物理的兴趣 浓厚的兴趣将是人们刻苦钻研、勇于攻关的强大动力。孔子曰：知之者不如好知者，好知者不如乐知者。学生一旦对学习发生兴趣，就会充分发挥自己的积极性和主动性。学生只有对物理感兴趣，才想学、爱学、才能学好。因此，如何激发学生学习物理的兴趣，是提高教学质量的关键。加强和改革实验教学，能激发学生学习物理的兴趣。每节课的前十几分钟，学生情绪高昂，注意力集中，如果教师能抓住这个有利时机，根据要讲的内容，做一些可做的实验，就能激发他们的学习兴趣，使学生的注意力集中起来，如在讲自由落体运动时，可事先找一空饮料瓶，在靠近底部的地方挖一洞，实验时先用手指将洞堵上，倒上适量的水，松开堵洞的手指，让学生观察水从洞中喷出，然后再释放饮料瓶使其自由落下，可以发现水不再从洞中流出，教师由此引入自由落体运动知识的讲授，使学生带着好奇心进入听课角色。 3.培养良好的学习习惯 学习习惯是在学习过程中经过反复练习形成并发展，成为一种个体需要的自动化学习行为方式。良好的学习习惯有利于激发学生学习的积极性和主动性；有利于形成学习策略，提高学习效率；有利于培养自主学习能力；有利于培养学生的创新精神和创造能力，使学生终身受益。 教育家叶圣陶先生指出：“教育的本旨原来如此，养成能力，养成习惯”。培养学生良好的学习习惯是教育的一个重要目的，也是培养学生能力、实现教学目标的重要保证。如何培养良好的学习习惯，首先是要培养学生独立思考的习惯。 独立思考是学好知识的前提，学生经过独立思考，就能很好地消化所学知识，才能真正想清其中的道理，从而更好地掌握它。其次培养学生的自学能力，使其具有终身学习的能力。阅读是提高自学能力的重要途径，阅读是对学生进行智育的重要手段，阅读物理教材不能一扫而过，而应潜心研读，边读边思考，挖掘提炼，对重要内容反复推敲，对重要概念和规律要在理解的基础上熟练记忆，养成遇到问题能够独立思考以及通过阅读教材、查阅有关书籍和资料的习惯。 4.对学生多表扬和鼓励，少批评和抱怨 作为高中物理教师，面对刚升入高中的学生，应注意多表扬学生，帮助学生树立学好物理的信心。例如：某一次作业完成得好，某个 上海交通大学附属中学2017-2018 学年度第二学期 高三英语毕业考试卷 I. Listening Comprehension Section A Directions: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard. 1. A. Use a ladder to help her reach the cup. B. See a doctor about her shoulder. C. Put the cup on a lower shelf. D. Buy a new cupboard. 2. A. He has already called Harry. B. Harry knows most of the facts. C. He ne eds to talk to Harry soon. D. Harry doesn’t have a telephone. 3. A. The new doctor lacks experience. B. She disagrees with what the man said. C. The man had better talk with the patients first. D. Patients usually cannot offer a fair evaluation. 4. A. Take the man to the station. B. Look after the man’s things. C. Find out when the next bus leaves. D. Show the man the way to the station. 5. A. He was good at fixing up bookshelves. B. He helped James build up the furniture. 页1 初高中数学衔接教材 如何学好高中数学 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、以及函数语言等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。有数学1、2、3、4、5，还有选修课，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求： 第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。 第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。 第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。 第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二科学地进行学习 高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。 1 培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。 (1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。 (2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力， 2021年上海市上海交通大学附属中学毕业考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．函数()f x =的定义域为______. 2．双曲线22312x y -=的两渐近线的夹角大小为______. 3．用行列式解线性方程组2710 x y x y +=??-+=?，则y D 的值为______． 4．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则这球的半径为______cm . 5．直线240x y +-=经过抛物线22y px =的焦点，则抛物线的准线方程是______. 6．已知函数()sin y x ω?=+（0>ω，02π?<≤ ）的部分图像如图所示，则函数解 析式为_______. 7．设函数36log (1),6,)()3,(,6) x x x f x x --+∈+∞?=?∈-∞?的反函数为1()f x -，若11()9f a -=，则(4)f a += . 8．二项展开式7(23)x +中，在所有的项的系数、所有的二项式系数中随机选取一个，恰好为奇数的概率是______. 9．在平面直角坐标系xOy 内，曲线|1||3|||7x x y ++-+=所围成的区域的面积为______. 10．已知梯形ABCD 中，12 AD DC CB AB ===，P 是BC 边上一点，且AP xAB y AD =+，当P 在BC 边上运动时，x y +的最大值是___________ 11．求方程2sin sec tan 10x x x -+-=在[0,2]x π的解集______. 12．已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V-ABCD 可绕着AB 任意旋转，AB ? 平面α， M 是CD 的中点，2,AB VA ==点V 在平面α上的射影点为O ，则OM 的最大值为_______ 二、单选题 13．下列以t 为参数的方程所表示的曲线中，与曲线1xy =完全一致的是（ ） A ．12 12x t y t -?=???=? B ．1x t y t ?=??=?? C ．cos sec x t y t =??=? D ．tan cot x t y t =??=? 14．已知无穷数列{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 为其前n 项和，则“0||1q <<”是“存在0M >，使得n S M <对一切n *∈N 恒成立”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不 必要 15．已知z 均为复数，则下列命题不正确的是（ ） A ．若z z =则z 为实数 B ．若20z <，则z 为纯虚数 C ．若|1||1|z z +=-，则z 为纯虚数 D ．若31z =，则2z z = 16．直线l 在平面上α，直线m 平行于平面α，并与直线l 异面.动点P 在平面上α，且到直线l 、m 的距离相等.则点P 的轨迹为（ ）. A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 三、解答题 17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA =114A B =，D 、E 分别为1AA 与11A B 的中点． （1）求异面直线1C D 与BE 所成角的大小； （2）求四面体1BDEC 的体积． 专题30 初高中物理衔接类问题 牛顿第三定律、动能、重力势能、弹性势能、机械能守恒定律、实际电流表和理想电流表、单摆摆动周期、平抛运动、斜抛运动、万有引力、电场力、凸透镜成像规律、磁力等问题，在初中阶段都没有量化的表达，有的只是定性的说明，但初中课程教学中，有的只是经过拓展学习，初步的达到了和高中阶段所学内容十分接近，在知识和知识简衔接处，用到一定的物理方法就完全可以达到高中阶段所学知识的水平。在中考中，为了选拔能力素养突出的学生，物理试题的命制就会以初高中衔接知识为素材。所以毕业班学生多学习这些问题，中考成绩会更加突出。 【例题1】(2019山东菏泽)人类探索大空的奥秘的过程中产生了大量垃圾，为探究太空垃圾对飞行器造成的危害，科学家做了一个模拟太空实验：用质量约为1g 的塑料圆柱体代替垃圾碎片，用固定不动的大块铝板代替飞行器，当塑料圆柱体以6700m/s 的速度撞击铝板时，在铝板上形成一个比塑料圆柱体直径大好多倍且表面光滑的圆形大坑，如图所示，请你解释铝板上光滑圆形大坑的形成原因。 (物体的动能E K = 2 1mv 2 )。 【答案】见解析。 【解析】利用E K = 2 1mv 2 求出动能的大小，然后结合动能大小的影响因素分析解答即可。 动能大小的影响因素：质量、速度。质量越大，速度越大，动能越大。 当塑料圆柱体以6700m/s 的速度撞 击铝板时，产生的动能为 ， 由以上计算可知，质量约为1g的塑料圆柱体以6700m/s的速度撞击铝板时，产生了巨大的内能，所以铝板上会形成光滑圆形大坑。 【例题2】质量可忽略的细绳上端固定，下端系一质量为m的金属螺母，做成摆长为l的摆(如图所示)，让螺母在竖直面内小幅度往返摆动，每完成一次往返摆动的时间均为T=2π (g=9.8Nkg). (1)请你根据T=2π ，推测，螺母往返摆动一次的时间T与螺母的质量m是否有关________(选填“有关”、“无关”). (2)现有足量的细绳、大小相同的金属螺母，这些螺母有的质量相等，有的质量不等，写出验证你的推测的实验步骤(若有需要，可补充器材). 【答案】(1)无关(2)①取一段长度合适的细绳，用天平从大小相同的螺母中称量出质量不同的螺母；②把螺母系在绳子上，固定好绳子一端，用刻度尺测量绳端到螺母的长度； ③把螺母拉到一个合适的位置由静止释放，记录螺母往返摆动的次数n，所需的时间t1；④换用其它质量不等的螺母，重复上面实验，记下所需的时间t2；⑤比较测量数据，得出结论。 【解析】(1)根据公式T=2π可知，其中π和g都是常量，因此螺母摆动的时间只与摆长有关；由于其中没有螺母的质量m，因此螺母摆动的时间与螺母的质量无关； (2)要探究螺母摆动的时间与质量的关系，就要改变螺母的质量控制摆长相等，步骤如下： ①取一段长度合适的细绳，用天平从大小相同的螺母中称量出质量不同的螺母； ②把螺母系在绳子上，固定好绳子一端，用刻度尺测量绳端到螺母的长度； ③把螺母拉到一个合适的位置由静止释放，记录螺母往返摆动的次数n，所需的时间t1； ④换用其它质量不等的螺母，重复上面实验，记下所需的时间t2； ⑤比较测量的数据，得出结论。 【例题3】(2019贵州贵阳)体育课上，小明在同一位置用相同的力多次将足球踢出，发现足球斜向上飞出的初高中物理衔接：电学知识点分类解析
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