2020年北京市高考数学模拟试卷（13）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）已知命题p ：?x ∈R ，x 4+x ＜0，则￢p 是（ ） A ．?x ∈R ，x 4+x ≥0 B ．?x ∈R ，x 4+x ＞0 C ．?x 0∈R ，x 04+x 0≥0
D ．?x 0∈R ，x 04+x 0＞0
2．（4分）定义在R 上的偶函数f （x ）满足：任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有
f(x 2)?f(x 1)x 2?x 1
＜0，则（ ）
A ．f （2log 23）＜f （log 31
9
）＜f （?log 12
2）
B ．f （?log 12
2）＜f （log 319
）＜f （2log 23）
C ．f （log 31
9
）＜f （?log 12
2）＜f （2log 23）
D ．f （2log 23）＜f （?log 12
2）＜f （log 319
）
3．（4分）设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＞1}，P ＝{x |x 2＞1}，则下列关系中正确的是（ ） A ．M ＝P
B ．M ∪P ＝M
C ．M ∩P ＝M
D ．（?U M ）∩P ＝?
4．（4分）已知a =31
2，b =log 2√3，c =log 3√2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞b ＞a
5．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
6．（4分）已知a →、b →
是非零向量且满足|a →
|=3，(a →
+2b →
)⊥a →
，则b →
在a →
方向上的投影是（ ） A ．?3
2
B ．3
2
C ．﹣2
D ．?5
2
7．（4分）已知AB →
=a →
，BC →
=b →
，CA →
=c →
，则a →
+b →
+c →
=0是A ，B ，C 三点构成三角形的（ ）
A ．充要条件
B ．充分非必要条件
C ．必要非充分条件
D ．既非充分又非必要条件
8．（4分）如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y ＝±x 等分成八个区域（不含边界），已知数列{a n }，S n 表示数列{a n }的前n 项和，对任意的正整数n ，均有a n （2S n ﹣a n ）＝1，当a n ＞0时，点P n （a n ，a n +1）（ ）
A ．只能在区域②
B ．只能在区域②和④
C ．在区域①②③④均会出现
D ．当n 为奇数时，点P n 在区域②或④，当n 为偶数时，点P n 在区域①或③ 9．（4分）已知双曲线C 1：
x 2a ?
y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，抛物线C 2：y 2＝2px
（p ＞0）的准线经过C 1的左焦点．若抛物线C 2的焦点到C 1的渐近线的距离为2，则C 2的标准方程为（ ） A ．y 2＝2√2x
B ．y 2＝4x
C ．y 2＝20x
D ．y 2＝4√5x
10．（4分）已知函数f （x ）＝x 3﹣4x ，x ∈[﹣2，2]．有以下命题： ①x ＝±1处的切线斜率均为﹣1； ②f （x ）的极值点有且仅有一个； ③f （x ）的最大值与最小值之和等于零． 则下列选项正确的是（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）在（1+x ）6（1+y ）4的展开式中，x 2y 3的系数为 ． 12．（5分）若复数z =3?i
1+i （i 为虚数单位），则|z |＝ ．
13．（5分）在正项等比数列{a n }中，若2a 5＝1，8a 6+2a 4＝a 2，则S 6的值为 ．
14．（5分）已知点A （0，2），动点P （x ，y ）的坐标满足条件{x ≥0
y ≤x ，则|P A |的最小值是 ．
15．（5分）关于曲线C ：x 2﹣xy +y 2＝4，给出下列三个结论： ①曲线C 关于原点对称，但不关于x 轴、y 轴对称； ②曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于2√2． 其中，正确结论的序号是 ． 三．解答题（共6小题，满分85分） 16．（13分）已知函数f （x ）=
√3
4
sin2x +sin
4x
2
+cos
4x
2
?3
4
．
（1）求f （x ）的最小正周期；
（2）求f （x ）在区间[?π
4
，π3
]上的最大值和最小值．
17．（14分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．
（Ⅰ）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；
（Ⅱ）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n ，（n ∈N *）次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．
18．（15分）如图，在等腰直角三角形ADP 中，∠A ＝90°，AD ＝3，B ，C 分别是AP ，DP 上的点，且BC ∥AD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，现将△PBC 沿BC 折起，得到四棱锥P ﹣ABCD ，连接EF ．
（1）证明：EF ∥平面P AD ；
（2）是否存在点B ，当将△PBC 沿BC 折起到P A ⊥AB 时，二面角P ﹣CD ﹣E 的余弦值等于
√15
5
？若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由 19．（14分）已知椭圆G ：x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0），上顶点为B （0，1），离心率为
√2
2
，直线l ：y ＝kx ﹣2交y 轴于C 点，交椭圆于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ．
（Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）求证：S △BOM ?S △BCN 为定值．
20．（15分）已知f （x ）＝e x ﹣ax 2，函数g （x ）＝f （x ）+ax 2﹣lnx ． （1）求函数g （x ）图象在（1，g （1））处的切线；
（2）若f （x ）≥x +1在x ≥0时恒成立，求实数a 的取值范围．
21．（14分）已知集合A n ＝{（x 1，x 2，…，x n ）|x i ∈{﹣1，1}（i ＝1，2，…，n ）}．x ，y ∈A n ，x ＝（x 1，x 2，…，x n ），y ＝（y 1，y 2，…，y n ），其中x i ，y i ∈{﹣1，1}（i ＝1，2，…，n ）．定义x ⊙y ＝x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ．若x ⊙y ＝0，则称x 与y 正交． （Ⅰ）若x ＝（1，1，1，1），写出A 4中与x 正交的所有元素； （Ⅱ）令B ＝{x ⊙y |x ，y ∈A n }．若m ∈B ，证明：m +n 为偶数；
（Ⅲ）若A ?A n ，且A 中任意两个元素均正交，分别求出n ＝8，14时，A 中最多可以有多少个元素．
2020年北京市高考数学模拟试卷（13）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）已知命题p ：?x ∈R ，x 4+x ＜0，则￢p 是（ ） A ．?x ∈R ，x 4+x ≥0 B ．?x ∈R ，x 4+x ＞0 C ．?x 0∈R ，x 04+x 0≥0
D ．?x 0∈R ，x 04+x 0＞0
【解答】解：特称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论， 即?x 0∈R ，x 04+x 0≥0． 故选：C ．
2．（4分）定义在R 上的偶函数f （x ）满足：任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有
f(x 2)?f(x 1)x 2?x 1
＜0，则（ ）
A ．f （2log 23）＜f （log 31
9
）＜f （?log 12
2）
B ．f （?log 12
2）＜f （log 319
）＜f （2log 23）
C ．f （log 31
9
）＜f （?log 12
2）＜f （2log 23）
D ．f （2log 23）＜f （?log 12
2）＜f （log 319
）
【解答】解：任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 2)?f(x 1)x 2?x 1
＜0，
∴函数在[0，+∞）上单调递减，
根据偶函数的对称性可知，函数在（﹣∞，0）上单调递增，距离对称轴越远，函数值越小，
∵f(2log 23)=f （3），f(log 31
9)=f （﹣2）＝f （2），f(?log 12
2)=f （1），
则f(2log 23)＜f(log 31
9)＜f(?log 12
2)．
故选：A ．
3．（4分）设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＞1}，P ＝{x |x 2＞1}，则下列关系中正确的是（ ） A ．M ＝P
B ．M ∪P ＝M
C ．M ∩P ＝M
D ．（?U M ）∩P ＝?
【解答】解：∵全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＞1}， P ＝{x |x 2＞1}＝{x |x ＞1或x ＜﹣1}，
∴M ∪P ＝P ，M ∩P ＝M ． 故选：C ．
4．（4分）已知a =31
2，b =log 2√3，c =log 3√2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞b ＞a
【解答】解：∵312＞30=1，12
=log 2√2＜log 2√3＜log 22=1，log 3√2＜log 3√3=1
2
， ∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．
5．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
其中△ABC ，△BCD ，△ADC 为直角三角形． ∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3． 故选：C ．
6．（4分）已知a →、b →
是非零向量且满足|a →
|=3，(a →
+2b →
)⊥a →
，则b →
在a →
方向上的投影是（ ） A ．?3
2
B ．3
2
C ．﹣2
D ．?5
2
【解答】解：∵|a →
|=3，(a →
+2b →
)⊥a →
， ∴(a →
+2b →
)?a →
=a →
2+2a →?b →
=9+2a →
?b →
=0，
∴a →
?b →
=?9
2，
∴b →
在a →
方向上的投影为：a →?b →
|a →
|
=?3
2
．
故选：A ．
7．（4分）已知AB →
=a →
，BC →
=b →
，CA →
=c →
，则a →
+b →
+c →
=0是A ，B ，C 三点构成三角形的（ ） A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件
D ．既非充分又非必要条件
【解答】解：由向量加法的三角形法则得，当A 、B 、C 三点构成三角形时， 有a →
+b →
+c →
=0成立，即必要分性成立；
当a →
+b →
+c →
=0时，三点共线或A 、B 、C 三点能构成三角形， 则充分性不成立． 故选：C ．
8．（4分）如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y ＝±x 等分成八个区域（不含边界），已知数列{a n }，S n 表示数列{a n }的前n 项和，对任意的正整数n ，均有a n （2S n ﹣a n ）＝1，当a n ＞0时，点P n （a n ，a n +1）（ ）
A ．只能在区域②
B ．只能在区域②和④
C ．在区域①②③④均会出现
D ．当n 为奇数时，点P n 在区域②或④，当n 为偶数时，点P n 在区域①或③ 【解答】解：任意的正整数n ，均有a n （2S n ﹣a n ）＝1， 则S n =12（a n +1
a n
），
∴S n +1=12
（a n +1+
1
a n+1
），
∴a n +1=1
2（a n +1﹣a n +1
a n+1
?1
a n
），
即a n +1﹣
1a n+1
=?a n ?
1a n
， ∵a n ＞0， ∴a n +1?
1
a n+1＜0，
解得a n +1＜﹣1或0＜a n +1＜1， 故点P n （a n ，a n +1）只能在区域②和④ 故选：B ．
9．（4分）已知双曲线C 1：
x 2a ?
y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，抛物线C 2：y 2＝2px
（p ＞0）的准线经过C 1的左焦点．若抛物线C 2的焦点到C 1的渐近线的距离为2，则C 2的标准方程为（ ） A ．y 2＝2√2x
B ．y 2＝4x
C ．y 2＝20x
D ．y 2＝4√5x
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y =±b
a x ， 抛物线C 2：y 2
＝2px （p ＞0）的焦点F 为（p
2
，0），
则F 到渐近线的距离为d =
pb
2
√a 2+b
=2，双曲线C 1：
x 2
a ?
y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心
率为√5， 即e =
c
a =√
5， b =√c 2?a 2=2a ， 则有
√5a
=2，
解得p ＝2√5，
则有抛物线的方程为y 2＝4√5x ． 故选：D ．
10．（4分）已知函数f （x ）＝x 3﹣4x ，x ∈[﹣2，2]．有以下命题： ①x ＝±1处的切线斜率均为﹣1； ②f （x ）的极值点有且仅有一个； ③f （x ）的最大值与最小值之和等于零．
则下列选项正确的是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣4x，x∈[﹣2，2]．
对函数求导数，得f'（x）＝3x2﹣4，
因此曲线f（x）＝x3﹣4x，在x＝±1处的切线斜率等于3（±1）2﹣4＝﹣1，故①是真命题；
对于②，因为f'（x）＝3x2﹣4＝3（x+2
3√3）（x?
2
3√3），f'（x）在区间[﹣2，2]上有两
个零点，
故f（x）的极值点有两个，得②为假命题；
对于③，因为函数f（x）＝x3﹣4x是奇函数，所以若它在[﹣2，2]上的最大值为f（m）＝M，则它在[﹣2，2]上的最小值必为f（﹣m）＝﹣M，
所以f（x）的最大值与最小值之和为零，③是真命题．
则下列选项正确的是：①③．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，x2y3的系数为60．
【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中x2y3的系数为C62?C43=15×4=60，
故答案为：60
12．（5分）若复数z=3?i
1+i（i为虚数单位），则|z|＝√5．
【解答】解：复数z=3?i
1+i（i为虚数单位），
则|z|=|3?i|
|1+i|
=
√32+(?1)2
√1+1
=√5．
故答案为：√5．
13．（5分）在正项等比数列{a n}中，若2a5＝1，8a6+2a4＝a2，则S6的值为63
4
．
【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0；若8a6+2a4＝a2，则8q4+2q2＝1，
解可得：q2=1
4或?
1
2（舍），
又由q＞0，则q=1 2，
若2a 5＝1，则a 5=1
2，a 1=a 5
q 4
=8， 则S 6=
a 1(1?q 6)1?q =
8×(1?12
6)
1?12
=63
4；
故答案为：634
．
14．（5分）已知点A （0，2），动点P （x ，y ）的坐标满足条件{x ≥0
y ≤x ，则|P A |的最小值是
√2 ．
【解答】解：动点P （x ，y ）所满足的可行域如图：
则|AP |的最小值转化成点A 到直线y ＝x 的距离d =2
=√2， 故答案为：√2．
15．（5分）关于曲线C ：x 2﹣xy +y 2＝4，给出下列三个结论： ①曲线C 关于原点对称，但不关于x 轴、y 轴对称； ②曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于2√2． 其中，正确结论的序号是 ①③ ．
【解答】解：设P （a ，b ）为曲线上任意一点，则a 2﹣ab +b 2＝4，
设点P 关于原点、x 轴、y 轴的对称点分别为Q （﹣a ，﹣b ）、M （a ，﹣b ）、N （﹣a ，b ）， 因为（﹣a ）2﹣（﹣a ）（﹣b ）+（﹣b ）2＝a 2﹣ab +b 2＝4；
a 2﹣a （﹣
b ）+（﹣b ）2＝a 2+ab +b 2≠4；（﹣a ）2﹣（﹣a ）b +b 2＝a 2+ab +b 2≠4； ∴点Q 在曲线C 上，点M 、点N 不在曲线C 上，
∴曲线C 关于原点对称，但不关于x 轴、y 轴对称，故①正确； 当x ＝0时，y ＝±2；当y ＝0，x ＝±2．
此外，当x ＝2时，y ＝2；当x ＝﹣2时，y ＝﹣2．
故曲线过整点（0，2），（0，﹣2），（2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，0），故②错误； 又 x 2+y 2﹣2xy ＝（x ﹣y ）2≥0，∴xy ≤
x 2+y 2
2
恒成立， 由x 2
﹣xy +y 2
＝4可得x 2
+y 2
=4+xy ≤4+x 2+y 2
2
，当且仅当x ＝y 时等号成立，
∴x 2+y 2≤8，∴曲线上任一点到原点的距离√x 2+y 2≤2√2，故③正确． 故答案为：①③．
三．解答题（共6小题，满分85分）
16．（13分）已知函数f （x ）=√3
4sin2x +sin 4x 2+cos 4x 2?3
4．
（1）求f （x ）的最小正周期；
（2）求f （x ）在区间[?π
4，π3
]上的最大值和最小值． 【解答】解：（1）f(x)=√34sin2x +sin 4x 2+cos 4x 2?3
4 =√3
4sin2x +(sin 2x 2+cos 2x 2)2?2sin 2x 2cos 2x 2?34
??????（1分） =
√3
4
sin2x +1?12
(2sin x 2
cos x 2
)2?34
??????（2分）
=√3
4sin2x ?12sin 2x +14??????（3分） =
√3
4
sin2x ?12
×
1?cos2x 2+1
4
??????（4分） =12(√3
2sin2x +1
2cos2x)
=1
2sin(2x +π
6)??????（5分） ∴f(x)=1
2sin(2x +π
6)， ∴f （x ）的最小正周期为
2π2=π??????（7分）
（2）函数f （x ）在区间[?π
4，π
6]上单调递增；在区间[π
6，π
3]上单调递减………………（9分） f(?π
4
)=?
√3
4
，f(π6)=12，f(π3)=14
??????（12分）
∴f （x ）在区间[?π
4，π
3]上的最大值为1
2，最小值为?√3
4．………………（13分）
17．（14分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质
量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．
（Ⅰ）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；
（Ⅱ）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n ，（n ∈N *）次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）∵黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1． ∴任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为1
4，
从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验， 取到蓝色汽车的数量X ～B （5，1
4），
∴抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：
P （X ＝2）=C 52(14)2(34)3=5
512．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，…，n ，
P （ξ＝0）=1
4，P （ξ＝1）=3
4×1
4，P （ξ＝2）=(3
4)2?1
4，…，P （ξ＝n ﹣1）=(3
4)n?1?1
4，P （ξ＝n ）=(34)n ， ∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 … n ﹣1 n P 1
4
34?14
(3
4)2?1
4
…
(3
4)n?1?1
4
(3
4)n
E （ξ）=
34?14+2?(34)2?14+?+(n ?1)?(34)n?1?14+n ?(3
4)n ，① 34
E （ξ）=(3
4)2?1
4+2?(3
4)3?1
4+?+(n ?1)?(3
4)n +n ?(3
4)n+1，②
①﹣②，得：
14
E （ξ）=34?14+(34)2?14+(34)3?14+?+(34)n?1?14+(34)n ?1
4
∴E （ξ）=3
4+(3
4)2+(3
4)3+?+(3
4)n
=34[1?(34)n ]1?34
＝3﹣3?(3
4
)n ．
18．（15分）如图，在等腰直角三角形ADP 中，∠A ＝90°，AD ＝3，B ，C 分别是AP ，DP 上的点，且BC ∥AD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，现将△PBC 沿BC 折起，得到四棱锥P ﹣ABCD ，连接EF ．
（1）证明：EF ∥平面P AD ；
（2）是否存在点B ，当将△PBC 沿BC 折起到P A ⊥AB 时，二面角P ﹣CD ﹣E 的余弦值等于
√15
5
？若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由 【解答】解：（1）证明：作CM ∥AB ，交AD 于点M ，连结PM ， 取PM 中点N ，连结AN ，PN ，由中位线定理得FN ∥CM ，且FN =12
CM ， ∵E 是AB 的中点，∴AE ∥CM ，且AE =1
2CM ，
∴FN ∥AE ，且FN ＝AE ，∴四边形AEFN 是平行四边形，∴EF ∥AN ， ∵AN ?平面P AD ，EF ?平面P AD ，∴EF ∥平面P AD ．
（2）解：存在点B ，当将△PBC 沿BC 折起到P A ⊥AB 时，二面角P ﹣CD ﹣E 的余弦值等于
√15
5
． 理由如下：
∵BC ⊥AB ，BC ⊥PB ，且AB ∩PB ＝B ，
∴BC ⊥平面P AB ，又BC ∥AD ，∴AD ⊥平面P AB ， ∴P A ⊥AD ，
∵AB ⊥AD ，P A ⊥AB ，
以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝a ，则PB ＝BC ＝3﹣a ，由PB ＞AB ，得0＜a ＜3
2，P A =√9?6a ，
∴A （0，0，0），C （a ，3﹣a ，0），P （0，0，√9?6a ），D （0，﹣3，√9?6a ），
设平面PCD 的一个法向量n →
=（x ，y ，z ）， 则{
DC →
?n →
=ax ?ay =0
DP →?n →=?3y +z √9?6a =0
，取y ＝1，得n →
=（1，1，√9?6a ）， 平面CDE 的一个法向量m →
=（0，0，1）， 依题意得
√15
5
=3√9?6a √2+
3?2a
，解得a ＝1，即AB ＝1，
∴存在点B ，当将△PBC 沿BC 折起到P A ⊥AB 时， 二面角P ﹣CD ﹣E 的余弦值等于
√15
5
，AB 的长为1．
19．（14分）已知椭圆G ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0），上顶点为B （0，1），离心率为
√2
2
，直线l ：y ＝kx ﹣2交y 轴于C 点，交椭圆于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ．
（Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）求证：S △BOM ?S △BCN 为定值．
【解答】解：（1）由题意可知：{b =1
c a =√
2
2
a 2=
b 2+
c 2
，解得{a =√2
b =1
c =1，
∴椭圆G 的方程为：
x 22
+y 2=1；
（2）设点P （x 1，y 1），点Q （x 2，y 2），
联立方程{y =kx ?2
x 22+y 2
=1，消去y 得：（1+2k 2）x 2
﹣8kx +6＝0， ∴x 1+x 2=
8k 1+2k
2，x 1x 2
=
61+2k
2①，
∵点P （x 1，y 1），B （0，1）， ∴直线BP 的方程为：y ﹣1=y 1?1x 1x ，令y ＝0得，x =x
11?y 1，∴M （x 11?y 1
，0）， 同理可得N （
x 2
1?y 2
，0），
∴S △BOM ?S △BCN =1
2×1×|x M |×1
2×3×|x N | =3
4
×|x M ?x N | =3
4×|x 11?y 1?x 21?y 2| =34×|x 1x 2(3?kx 1)(3?kx 2)| =
34×|x 1x 29?3k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2
| 把①式代入上式得：S △BOM ?S △BCN =3
4×|
6
1+2k 2
9?24k 21+2k 2+6k 2
1+2k
2
|=34×|61+2k
2?1+2k 2
9|=12， ∴S △BOM ?S △BCN 为定值12
．
20．（15分）已知f （x ）＝e x ﹣ax 2，函数g （x ）＝f （x ）+ax 2﹣lnx ． （1）求函数g （x ）图象在（1，g （1））处的切线；
（2）若f （x ）≥x +1在x ≥0时恒成立，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）g （x ）＝e x ﹣lnx ，g （1）＝e ，g′(x)=e x ?1
x ，g ′（1）＝e ﹣1， 故g （x ）在（1，g （1））处切线方程y ＝（e ﹣1）x +1，
（2）令h （x ）＝e x ﹣ax 2﹣x ﹣1，则h ′（x ）＝e x ﹣1﹣2ax ，h （0）＝h ′（0）＝0， 令k （x ）＝e x ﹣x ﹣1，则k ′（x ）＝e x ﹣1，
当x ＞0时，k ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ＜0时，k ′（x ）＜0，函数单调递减， 故当x ＝0时，k （x ）取得最小值k （0）＝0，即e x ≥x +1， 故h ′（x ）≥x ﹣2ax ＝x （1﹣2ax ），
当a ≤1
2时，h ′（x ）≥0，函数h （x ）单调递增，h （x ）≥h （0）＝0，即f （x ）≥x +1， 当a ＞1
2时，由x ≠0时，由e x ＞x +1可得e ﹣
x ＞1﹣x ，
∴h ′（x ）＜e x ﹣1+2a （e ﹣
x ﹣1）＝e ﹣
x （e x ﹣1）（e x ﹣2a ），
故当x ∈（0，ln 2a ）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，h （x ）＜h （0）＝0，f （x ）≥x +1不成立，
综上a 的范围（﹣∞，1
2
]．
21．（14分）已知集合A n ＝{（x 1，x 2，…，x n ）|x i ∈{﹣1，1}（i ＝1，2，…，n ）}．x ，y ∈A n ，x ＝（x 1，x 2，…，x n ），y ＝（y 1，y 2，…，y n ），其中x i ，y i ∈{﹣1，1}（i ＝1，2，…，n ）．定义x ⊙y ＝x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ．若x ⊙y ＝0，则称x 与y 正交． （Ⅰ）若x ＝（1，1，1，1），写出A 4中与x 正交的所有元素； （Ⅱ）令B ＝{x ⊙y |x ，y ∈A n }．若m ∈B ，证明：m +n 为偶数；
（Ⅲ）若A ?A n ，且A 中任意两个元素均正交，分别求出n ＝8，14时，A 中最多可以有多少个元素．
【解答】解：（Ⅰ）A 4中所有与x 正交的元素为（﹣1，﹣1，1，1）（1，1，﹣1，﹣1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1），（1，﹣1，﹣1，1），（1，﹣1，1，﹣1）． …（3分）
（Ⅱ）对于m ∈B ，存在x ＝（x 1，x 2，…，x n ），x i ∈{﹣1，1}，y ＝（y 1，y 2，…，y n ），其中x i ，y i ∈{﹣1，1}； 使得x ⊙y ＝m ．
令λ1={1(x i =y i )0(x i ≠y i )，k =∑ n i=1λi ；当x i ＝y i 时，x i y i ＝1，当x i ≠y i 时，x i y i ＝﹣1． 那么x ⊙y =∑ n i=1x i y i =k ?(n ?k)=2k ?n ． 所以m +n ＝2k ﹣n +n ＝2k 为偶数．…（8分） （Ⅲ）8个，2个
n ＝8时，不妨设x 1＝（1，1，1，1，1，1，1，1），x 2＝（﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，1，1，1，1）． 在考虑n ＝4时，共有四种互相正交的情况即：（1，1，1，1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，﹣1，1，1），（1，﹣1，﹣1，1）分别与x 1，x 2搭配，可形成8种情况． 所以n ＝8时，A 中最多可以有8个元素．…（10分） N ＝14时，
不妨设y 1＝（1，1…1，1），（14个1），y 2＝（﹣1，﹣1…﹣1，1，1…1）（7个1，7个﹣1），则y 1与y 2正交．
令a ＝（a 1，a 2，…a 14），b ＝（b 1，b 2，…b 14），c ＝（c 1，c 2，…c 14）且它们互相正交． 设 a 、b 、c 相应位置数字都相同的共有k 个，除去这k 列外 a 、b 相应位置数字都相同的共有m 个， c 、b 相应位置数字都相同的共有n 个．
则a⊙b＝m+k﹣（14﹣m﹣k）＝2m+2k﹣14．所以m+k＝7，同理n+k＝7．
可得m＝n．
由于a⊙c＝﹣m﹣m+k+（14﹣k﹣2m）＝0，可得2m＝7，m=7
2
?N矛盾．
所以任意三个元素都不正交．
综上，n＝14时，A中最多可以有2个元素．…（13分）
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
高三模拟考试数学试卷(文科) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f（x）=的定义域为( ) A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0）C．（0，）D．（﹣∞，） 2．复数的共轭复数是( ) A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 3．已知向量=（λ， 1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为( ) A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于( ) A．180 B．90 C．72 D．10 5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( ) A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 6．下列命题正确的个数是( ) A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题； B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件； C．“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x∈R，x3﹣x2+1＞0”； D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”． A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于( ) A．B．16πC．8πD． 8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数f（x）=+2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+my﹣10=0垂直，则实数m的取值范围是（三分之一前有一个负号）( ) A．C．D． 10．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，则的最小值( ) A．B．C．2 D．4 11．设不等式组表示的区域为Ω1，不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω2．若Ω1与Ω2有且只有一个公共点，则m等于( ) A．﹣B．C．±D． 12．已知函数f（x）=sin（x+）﹣在上有两个零点，则实数m的取值范围为( ) A．B．D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为__________． 14．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是__________． 15．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于__________． 16．16、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1、C1C的中点．以下四个结论： ①直线AM与直线CC1相交； ②直线AM与直线BN平行； ③直线AM与直线DD1异面； ④直线BN与直线MB1异面． 其中正确结论的序号为__________．
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）化简? --???-160cos 120cos 20cos 20sin 212 得 （ ） （A ） ?-40sin 1 （B ） ? -?20sin 20cos 1（C ）1 （D ）－1 （2）双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是（0，－3），则k 的值是 （ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）3 15 （D ）－3 15 （3）已知)(1 x f y -= 过点（3，5），g （x ）与f （x ）关于直线x =2对称， 则y =g （x ）必过 点 （ ） （A ）（－1，3） （B ）（5，3） （C ）（－1，1） （D ）（1，5） （4）已知复数3)1(i i z -?=，则=z arg （ ） （A ）4 π （B ）－4 π （C ）4 7π （D ）4 5π （5）（理）曲线r =ρ上有且仅有三点到直线8)4 cos(=+πθρ的距离为1，则r 属于集合 （ ） （A ）}97|{< 线的夹角 在)12 ,0(π内变动时，a 的取值范围是 （ ） （A ）（0，1） （B ）)3,3 3 ( （C ）)3,1( （D ） )3,1()1,3 3 ( Y 6．半径为2cm 的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ） （A ）4cm （B ）2cm （C ）cm 32 （D ）cm 3 7．（理）)4sin arccos(-的值等于 （ ） （A ）42-π （B ）2 34π- （C ）423-π （D ）4+π （文）函数2 3cos 3cos sin 2- + =x x x y 的最小正周期为 （ ） （A ）4 π （B ）2 π （C ）π （D ）2π 8．某校有6间电脑室，每晚至少开放2间，则不同安排方案的种数为 （ ） ①26C ②66 56 46 36 2C C C C +++③726- ④26P 其中正确的结论为 （ ） （A ）仅有① （B ）有②和③ （C ）仅有② （D ）仅有③ 9．正四棱锥P —ABCD 的底面积为3，体积为,2 2E 为侧棱PC 的中点， 则PA 与BE 所成 的角为 （ ） （A ）6 π （B ）4 π （C ）3 π （D ）2 π 上海乌托邦教育 2014年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（共14题，满分56分） 1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________． 2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=_________． 3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _________． 4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________．5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________． 6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）． 7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 _________． 8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________．9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________． 10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）． 11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________． 12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= _________． 13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________． 14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上 的Q使得+=，则m的取值范围为_________． 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?= A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是 2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________ )()(1=-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 8、在n x x ??? ? ?-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11 ax y x by +=??+=?无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值 为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ?? -sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组 ()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 新高考数学模拟试题及答案 一、选择题 1．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ?=（ ） A ．{} 22x x -≤< B ．{} 2x x ≥- C ．{} 2x x < D ．{} 12x x ≤< 2．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ． 110 B ． 310 C ． 35 D ． 25 4．给出下列说法： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在 [)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 6．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．2y x =± C ．3y x = D ．2y x =± 2000年上海高考数学理科卷 2000年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分 一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1．已知向量OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m= 。 2．函数，x x y --=312log 2 的定义域为 。 3．圆锥曲线 ?? ?=+=θ θtg y x 31 sec 4的焦点坐标是 。 4．计算：lim()2 n n n n →∞ += 。 5．已知b x f x +=2 )(的反函数为) (),(1 1 x f y x f --=若的图象经过点 ) 2,5(Q ，则b = 。 6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年。 （按：1999年本市常住人口总数约1300） 7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。 8．设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f = 。 9．在二项式11 )1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数 为 ，（结果用数值表示） 10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 。 11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。 12．在等差数列{} n a 中，若 =z a ，则有等式 ) ,19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++πΛΛ成立，类比上述性质，相就 夺：在等此数列{} n b 中，若1 0=b ，则有等式 成立。 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题 2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝() A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2 4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 7．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为5 3，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 218－y 2 32＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 2 64＝1 9．若函数f (x )＝???? ? x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 高考模拟复习试卷试题模拟卷 【高频考点解读】 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 2.理解全称量词与存在量词的意义． 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【热点题型】 题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1、(1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为() A．(p)∨(q)B．p∨(q) C．(p)∧(q) D．p∨q (2)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论： ①命题“p且q”是真命题； ②命题“p且q”是假命题； ③命题“p或q”是真命题； ④命题“p或q”是假命题． 其中正确的结论是() A．①③ B．②④C．②③ D．①④ 【提分秘籍】 (1)“p∨q”、“p∧q”、“p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p、q的真假；③确定“p∨q”、“p∧q”、“p”形式命题的真假． (2)p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”． 【举一反三】 已知命题p：?x0∈R，使sin x0＝ 5 2；命题q：?x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论： ①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∨q”是真命题；③命题“p∨q”是假命题；④命题“p∧q”是假命题．其中正确的是() A．②③B．②④ C．③④ D．①②③ 题型二全称命题、特称命题的真假判断 例2 下列命题中，真命题是() A ．?m0∈R ，使函数f(x)＝x2＋m0x(x ∈R)是偶函数 B ．?m0∈R ，使函数f(x)＝x2＋m0x(x ∈R)是奇函数 C ．?m ∈R ，函数f(x)＝x2＋mx(x ∈R)都是偶函数 D ．?m ∈R ，函数f(x)＝x2＋mx(x ∈R)都是奇函数 【提分秘籍】 (1)①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p(x)成立．②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x0，使p(x0)不成立即可． (2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题． 【举一反三】 下列命题中是假命题的是( ) A ．?x ∈? ?? ?0，π2，x>sin x B ．?x0∈R ，sin x0＋cos x0＝2 C ．?x ∈R,3x>0 D ．?x0∈R ，lg x0＝0 题型三含有一个量词的命题否定 例3、命题“对任意x ∈R ，都有x2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x2<0 B ．不存在x ∈R ，使得x2<0 C ．存在x0∈R ，使得x20≥0 D ．存在x0∈R ，使得x20<0 【提分秘籍】 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 【举一反三】 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：?x ∈A,2x ∈B ，则() A ．p ：?x ∈A,2x ?B B ．p ：?x ?A,2x ?B 六大注意 1 考生需自己粘贴答题卡的条形码 考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。 2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等 拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。 3 注意保持答题卡的平整 填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。 若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。 4 不能提前交卷离场 按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。 5 不要把文具带出考场 考试结束，停止答题，把试卷整理好。然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。 6 外语听力有试听环 外语考试14:40入场完毕，听力采用CD播放。14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。听力部分结束后，考生可以 开始做其他部分试题。 高考数学模拟试题 (一) 2016年上海高考数学（理科）真题 一、解答题（本大题共有14题，满分56分） 1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4) 【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4) 2. 设32i i z +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________ 【答案】3- 【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =- 3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________ 【解析】d == 4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.76 5. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x - 【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+ ∴2log (1)x y =- ∴12()log (1)f x x -=- 6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3 ， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】 【解析】BD =, 123 DD BD =?= 7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________ 高考理科数学模拟试卷（含答案） 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的 -南昌市高三测试卷数学（五） 命题人：南昌三中 张金生 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合{}{} M x x y y N M ∈==-=,cos ,1,0,1，则N M 是 （ ） A ．{}1,0,1- B. { }1 C. {}1,0 D.{}0 2．（文）在数列{n a }中，若12a =-，且对任意的n N *∈有1221n n a a +-=，则数列{}n a 前15项的和为（ ） A ． 105 4 B ．30 C ．5 D ． 452 (理) 若复数i i a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ( ) A. 13 B.13 C. 3 2 D. -6 3．若0< B ．||||b a > C ．a b a 1 1>- D ．22b a > 4.设,,a b c 分别ABC △是的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3060A a b ==则是B =的 （ ） A.充分不必要条件； B.必要不充分条件； C.充要条件； D.既不充分也不必要条件； 5.设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( ) A 当c α⊥时，若c β⊥，则α∥β B 当α?b 时，若b β⊥，则βα⊥ C 当α?b ，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥ D 当α?b ，且α?c 时，若//c α，则//b c 6．设n x x )5(3 12 1-的展开式的各项系数之和为M ，而二项式系数之和为N ，且M －N=992。则展开式中x 2项的系数为（ ） A ．150 B ．－150 C ．250 D ．－250 7．将A 、B 、C 、D 四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A 、B 两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ ） A ．15 B ．18 C ．30 D ．36 8．（文）已知=（2cos α，2sin α）， =（3cos β，3sin β），与的夹角为60°，则直线 x cos α－ysin α+2 1 =0与圆(x －cos β)2+(y+sin β)2=1的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 (理)统计表明，某省某年的高考数学成绩2(75,30)N ξ，现随机抽查100名考生的数学试卷，则 成绩超过120分的人数的期望是（ ） （已知(1.17)0.8790,(1.5)0.9332,(1.83)0.9664φφφ===） A. 9或10人 B. 6或7人 C. 3或4人 D. 1或2人 9．设}10,,2,1{ =A ，若“方程02=--c bx x 满足A c b ∈,，且方程至少有一根A a ∈”，就称 该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 10.已知12 1(0,0)m n m n +=>>,则当m+n 取得最小值时，椭圆22221x y m n +=的离心率为（ ） A. 1 2 B. C. D. 11.关于函数()cos(2)cos(2)36 f x x x ππ =- ++有下列命题： ①()y f x = ；②()y f x =是以π为最小正周期的周期函数； ③()y f x =在区间13[,]2424 ππ 上是减函数； ④将函数2y x = 的图象向左平移 24 π 个单位后，与已知函数的图象重合． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．②③④ D ．①②③④ 12. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ ） A ．367385 B ． 376385 C ．192385 D ．18 385 2020年高考模拟试题 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 2、复数在复平面上对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点 到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 A. 14 17B.13 16 C.15 16 D. 9 13 4、函数的部分图象 如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 A. B. C. D. 5、已知，，，则 A. B. C. D. 6、函数的最小正周期是 A.π B. π 2C. π 4 D.2π 7、函数y=的图象大致是A．B．C．D． 8、已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中 项为，则 A.35 B.33 C.31 D.29 9、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有 A.24种 B.18种 C.48种 D.36种 10如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC 上，且满足，，若 （），则 A.2 3 B . 3 2 C. 1 2 D.3 4 11、如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右 焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交 于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若 |MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是 A. B. C. D. 12、函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上 13、设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝__________ 14、(a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________ 15、已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ln y x x =+()1,1() 221 y ax a x =+++ 2016年上海市高考数学试卷（理科） 一．选择题（共4小题） 1．（2016?上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑． 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1， 即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础． 2．（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（） A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；坐标系和参数方程． 【分析】由图形可知：时，ρ取得最大值，即可判断出结论． 【解答】解：由图形可知：时，ρ取得最大值， 只有D满足上述条件． 故选：D． 【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．（2016?上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列 条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（） A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6 C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7 【考点】等比数列的前n项和． 【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果． 绝密★启用前 试题类型： 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. （1）设集合{}{} (x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T=（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是（ ） (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200 C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，25 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） （A ）32014年上海市高考数学试卷(理科)
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