第六章 多元函数微分学及其应用
6.1 多元函数的基本概念
一、二元函数的极限
定义 f (P )= f (x ，y )的定义域为D , 0P ),(00y x 是D 的聚点. 对常数A ，对于任意给定的
正数ε，总存在正数δ，使得当点P (x ，y )∈D ),(0δP U o
?，即
δ<-+-<
<2
02
00)()(||0y y x x P P
时，都有
|f (P )–A |=|f (x ，y )–A |<ε
成立，那么就称常数A 为函数f (x ，y )当(x ，y )→),(00y x 时的极限，记作
A y x f y x y x =→),(lim
)
,(),(00或f (x ，y )→A ((x ，y )→),(00y x ),
也记作
A P f P P =→)(lim 0
或 f (P ) →A (P →0P )
为了区别于一元函数的极限，上述二元函数的极限也称做二重极限. 二、二元函数的连续性
=→),(lim
)
,(),(00y x f y x y x f ),(00y x ,
0lim )
0,0(),(=?→??z y x
如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续，那么就称函数f (x , y )在D 上连续，或者称f (x , y )是D 上的连续函数.
如果函数f (x , y )在点0P ),(00y x 不连续，则称0P ),(00y x 为函数f (x , y )的间断点. 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
多元初等函数的极限值就是函数在该点的函数值，即
)()(lim
00
P f P f p p =→.
有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D 上的多元连续函数，必定在D 上有界，且能取得它的最大值和最小值. 介值定理 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取复介于最大值和最小值之间的任何值。 三、例题
例1 设)(),(y x g y x y x f -++=，已知2
)0,(x x f =，求),(y x f 的表达式。
解 由题设2)()0,(x x g x x f =+=，有x x x g -=2)(，于是
)]()[(),(2
y x y x y x y x f ---++=，即 y y x y x f 2)(),(2
+-=。
例2 证明极限2
6
3
0lim
y
x y x y x +→→不存在。
证 当),(y x 沿三次抛物线3kx y =趋于)0,0(时，有
2
06
2
6
330
026
3
01lim
lim
lim
k
k x
k x kx
x y
x y x y x y x y x +=+?=+→→→→→→
其值随k 去不同值而取不同值。故极限2
6
3
0lim
y
x y x y x +→→不存在。
例3 求极限2
2
2
20
011lim
y
x y x y x +-+→→。
解 原式0lim 2
11
11lim
2
2
2
2
02
2
2
2
22
0=+=
++?
+=→→→→y
x y
x
y x y
x y
x y x y x
6.2 偏导数与高阶导数
6.2.1 偏导数
一、概念 ),(y x f z =，x
y x f y x x f x
z x ?-?+=??→?)
,(),(lim
说明
1 对x 求导视y 为常数，几何意义也说明了这个问题
二元函数z=f (x , y )在点0M (0x ,0y )的偏导数有下述几何意义.
偏导数),(00y x f x '，就是曲面),(y x f z =与平面0y y =的交线在点0M 处的切线0M x
T 对x 轴的斜率.同样，偏导数),(00y x f y 的几何意义是曲面),(y x f z =与平面x=0x 的交线在点0M 处的切线0M y T 对y 轴的斜率.
2 基于如上理由，求
)
,(00y x x
z ??时，0y 可先代入，（因此可能简化函数）再对x 求导
例
重
n y x y x y x y x f ))arctan (arctan (arctan ),( +++=，求)0,1(x f '。
解 x x f =)0,(，1)0,(='x f x ，1)0,1(='x f 二、可微，偏导数存在，连续的关系
可微??
??连续
偏导数存在，偏导数连续?可微， xy
f ''和yx f ''都连续，则xy f ''=yx f ''; 三、高阶偏导数
设函数z=f (x , y )在区域D 内具有偏导数
),(,
),(y x f y
z y x f x
z y x =??=??，则这两个函数
的偏导数称为函数z=f (x , y )的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏
导数：
).,(,),(,),(,),(22
22
2
2
y x f y
z y z y y x f x
y z y
z x y x f y x z
x z y y x f x z x z x yy yx xy xx =??=???? ??????=???=?
??? ??????=???=??? ??????=??=??? ??????
四、偏导数，微分运算公式
1．),(y x f z =，),(y x u u =，),(y x v v =
x
v v f x
u u f x
z ????+????=??
y
v v f y
u u f y
z ????+
????=
??
2．)()(dy v dx v f dy u dx u f dv f du f dz y x
v y x u v u '+'?'+'+'?'='+'=
dy v f u f dx v f u f y v y u x
v x u )()('?'+'?'+'?'+'?'= dv du v u d ±=±)( vdu udv v u d +=?)(
2
v udv
vdu v u d -=??? ?? 3．0),,(=z y x F 确定),(y x z z =，
z x F F x
z '
'-
=??；
z y F F y
z '
'-=??
6.2.2 求偏导数算例
例1 （1）xy y x z -+=1arctan
，求x
z ??，
y
z ??，
2
2
x
z ??，
y
x z ???2
。
解 2
2
2
11)
1()
)(()1(1111x
xy y y x xy xy
y
x x
z +=
--+--??
???
?
??-++=
??
由对称性
2
11y
y
z +=
??，
2
2
2
2
)1(2x x x
z +-=
??；
02
=???y x z ；
（2）2
22ln z y x u ++=，求
22
2
2
22
z
u y
u x
u ??+??+
??。
解
2
222
2
2
221
z
y x x z
y x x
x
u ++=
++=
??，
2
2
2
2
2222
2
2
2
2
2
2
22
)()
(2z y x z
y x z y x x x z y x x u ++++-=
++?-++=
??
由对称性 2
2
2
2
22
2
22
)(z y x z
y x y
u +++-=
??，
2
2
2
2
22
2
2
2
)
(z y x z
y x z
u ++-+=
??
故
2
2
2
22
2
2
2
2
1z
y x z
u y
u x
u ++=
??+??+
??。
（3） ??
???=+≠++=0
00),(2
2
2
2
2
2y x y x y
x xy y x f ，求)0,0(x f '，)0,0(y f '
解 000
lim )0,0(2
20=?+???='→?x
x x f x x ，同理0)0,0(='y f ； 例2 ),(2
2
xy y x yf u -=，求
x
u ??，y
x u ???2
。
解
[]22
12122f y f xy y f x f y x
u '+'=?'+?'=??
[][]x f y f y f y x f y f xy f x y
x u 2221221211
12
)2(2)2(22''+-''+'+''+-''+'=???
222
213212211
2122242f xy f y f y f y x f xy f x ''+''-'+''+''-'=
例3 ??
?
??+=x y g x y
xy f z ),(，求y x z ???2
解
??
? ??
-'+??? ??-?'+?'=??2221x y g x y f y f x z
x g x y g x
x f x f x y f x x f x f y f y x z
11111222221222121112
''-'-??????''+''-'-??????
''+?''+'=???
g x
y g x
f x
y f x
y f x
f x
y f xy f ''-
'-''-''-
'-''+''+'=3
2
22
3
21
22
1211
111
例4 ),
,(x
y y x y x f u -+=，求du 。
解 （1） dy y
u dx x
u du ??+
??=
??
? ??
-?'+'+'=??2321x y f f f x u
；x f f f y u 1)1(321'+-'+'=?? 故 dy f x f f dx f x y
f f du ???
???
'+'-'+???
???
'-'+'=32132211
解 （2） 2
321)()(x
ydx
xdy f y x d f y x d f du -'+-'++'= 2
321)()(x ydx
xdy f dy dx f dy dx f -'+-'++'=
dy f x
f f dx f x
y f f ]1[][32132
21'+'-'+'-
'+'=
例5 设),(y x z z =由方程0),(=+
+
x
z y y
z x F ，确定，F 有连续一阶偏导数，求
x
z ??，
y
z ??。
解 （1） 方程两边对x 求导 012
21=?????
?
??-???'+?????? ????+'x z x x z F y x z F
21212122
11
1F y F x F x
yz
F xy F x
F y F x
z F x
z '
+''
+
'-='
+
''
+'-=??；
方程两边对y 求导 011221=???? ?
???+'+?????
?
??-???'y z x F y z y y z F
21221212
11F y F x F xy F y
xz F x
F y
F F y
z y
z '
+''
-'='
+
''-'=
??；
解 （2） 方程两边取微分
0)()(21=+
'++
'x
z y d F y
z x d F
0)()(2
22
1=-+
'+-+
'x
zdx
xdz dy F y
zdy
ydz dx F
21212
22
111)()(F x
F y dy
F F y
z dx F x
z F dz '
+''-'+'+
'-=
则
21212122
11
1F y F x F x
yz
F xy F x
F y F x z F x
z '
+''
+
'-='
+
''
+'-=??；
2121F y F x F x
yz
F xy x
z '
+''
+'-=
??；
例6 设),(t x f y =，),(y x t t =由0),,(=t y x F 确定f F ,可微，求dx
dy 。
解 （1） 对方程取微分
??
?='+'+''+'=)2(0)1( dt F dy F dx F dt
f dx f dy t y x
t x 由（1）解得dt 代入（2）得
0='
'-'
+'+'t x t y x f dx
f dy F dy F dx F
则 dx F f F f F f F dx f F F f f F F dy t y x t t x t t y t x t x '+'''
'+''-='
'+
''''+'-=
/，即
F f F f F f F dx dy t y x t t x '+''''+''-= 解（2） )),(,(y x t x f y =
??
?
??????+??'+'=dx dy y t x t f f dx dy
t x
y
t f x t
f f dx dy
t t x ??'-??'
+'=1 而t x F F x t ''-=??；t y F F y t ''-=??，则 F f F f F f F dx dy t y x t t x '+''''+''-=
例7 证明：当x
y =
ξ，y =η时，方程022
2
2
2
2
2
2
=??+???+??y
u y
y
x u xy
x
u x
可化成标准形
式
2
2
η
??u 0=，其中),(y x u u =二阶偏导数连续。
证明：将u 看成由),(ηξu ，而x
y =
ξ，y =η复合成y x ,的函数，))(),,((y y x u u ηξ=
则 ??? ??-???=
?????=??2x y u x
u x
u ξξξ
；η
ξηηξξ??+
???=?????+?????=??u
x u y u y u y u 1
32
222
2
2
2x
y
u x y u x
u ???+?
?? ????=??ξξ；?????????+??-??-=???ηξξξu x u x y u x y x u 22222211
11112
2
22222
2
???+???+?????????+??=??η
ξηηξξu x u u x u x y
u 则 0022
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=???
=??==??+???+??η
η
η
u u y
u y
y
x u xy
x
u x
小结
① 显函数（复合）二阶混合偏导数
② 隐函数求偏导，会用微分法，用复合法 习题
1．)(u f z =，u 由方程?
+
=x y
dt t p u u )()(?确定的y x ,的函数，?,f 可微，?',P 连
续，1)(≠'u ?，求y
z x P x
z y P ??+??)()( （答案：0） （蔡 P146）
2．),(y x z z =由xy e z z
=+确定，求
y
x z ???2
；
3．1),(=++z y y x F 确定了隐函数),(y x z z =，F 具有连续二阶偏导数求
x
y z ???2
4．设)(),(x z z x y y ==是由方程)(y x xf z +=和0),,(=z y x F 确定，F f ,有连续偏导数，求
dx
dz 。
5．0>t ，f 可微且满足),,(),,(z y x f t tz ty tx f k
=，证明 kf f z f y f x z y x ='+'+'。
6．),(y x f z =于)1,1(点可微，且1)1,1(=f ，2)1,1(='x f ，3)1,1(='y f 。)),(,()(x x f x f x =?。求
1
3)]
([=x x dx d ?。
7．设变换?
??+=-=ay x v y x u 2可把方程062
2222=??-???+??y z y x z x z 化简为02
=???v u z
，求常数a 的值。（a ＝3）。
8．设)(u f 有连续二阶导数，而)sin (y e f z x
=满足
z e
y
z x
z x
22
2
2
2
=??+
??，求)(u f 。
（u u e c e c u f -+=21)(）
6.2 偏导数应用
偏导数应用注意四个方面：空间曲面曲线切平面、法线、切线、法平面；方向导数；梯度、散度、旋度；极值与条件极值。
6.3.1 内容小结
1． 空间曲线切线与法平面
1）??
?
??===)()()(t z z t y y t x x
切向量),,(t t t z y x v '''=→
切线方程：
t t t z z z y y y x x x '
-=
'
-=
'
-0
法平面方程：0)()()(000=-'+-'+-'z z z y y y x x x t t t
2）),,1()
()()()(z y v x z z x y y x
x x z z x y y ''==??
?
??===???
?==→
类似的
切线方程：
z z z y y y x x '
-=
'
-=
-0
1
法平面方程：0)()(000=-'+-'+-z z z y y y x x
3）),,1(0
00),,(0),,(x
x x z x y x x z x y x z y v z G y G G z F y F F z y x G y z x F ''=??????=''+''+'=''+'
'+'????==→ 2． 空间曲面切平面与法线
1）0
|),,(,0),,(P z y x F F F n z y x F '''==→
切平面：0)(|)(|)(|0000
=-'+-'+-'z z F y y F x x F p z p y p x
法线：
|||000p z p y p x F z z F y y F x x '-=
'-=
'-
2）),(y x f z =)1,,(),(-''=?-=?→
y x f f n z y x f F 类似地
切平面：0)()()(000=---'+-'z z y y f x x f y x 法线：
1
00
--='
-='
-z z f y y f x x y x
3）*??
?
??===),(),(),(v u z z v u y y v u x x （参数方程形式）
切线 ),,(,),,(21v v v u u u
z y x v z y x v '''='''=→
→
????
????????=''''''=?=→
→
→
→
→
→
),(),(,),(),(,),(),(21v u y x v u x z v u z y z y x z y x k
j i v v n v
v
v
u u u
3． 方向导数
),,(z y x u u =
→
?=??+
??+
??=
??
l gradu z
u y
u x
u l
u γβαcos cos cos （梯度在→
l 方向投影）
4． 梯度、散度、旋度
???
?
????????=?z y x ,, ???
?
????????=?=z u y u x u u gradu ,, z
R y
Q x
P A A div ??+
??+
??=
?=→
→ R
Q
P
z y x k j i A A rot ??????=
??=→
→
→
→
→
6.3.2 例题
例1 求曲线3
2,,t z t y t x =-==上与平面42=++z y x 平行的切线方程。
解 切向量)3,2,1(2
t t -=→
τ，)1,2,1(=→n 由→→⊥n τ，则0=?→
→n τ，即
3
1,10341212
=
=?=+-t t t t ，
当1=t 时 1,1,1,)3,2,1(111=-==-=→
z y x τ，切线方程为
3
12
11
1-=
-+=
-z y x
当3
1=
t 时
27
1
,91,31,)31,32,1(1122=
-==-
=→
z y x τ， 切线方程为
3
12713
291
1
31-=-
+=
-
z y x
例2 求空间曲线?????=+=+10
10
2222z x y x 在点)1,1,3(处的切线方程和法平面方程。
解 ?????=+=+1010
2
22
2z x y x 确定了)(),(x z z x y y ==，对x 求导???='+='+022022z z x y y x ，z
x z y x
y -
='-
='
于)1,1,3(M 点：)3,3,1(,3,3--=-='-='→
v z y 切线方程为
3
13
11
3--=
--=
-z y x
法平面方程为0)1(3)1(33=-----z y x ，即0333=+--z y x
例 3 求曲面x z y x =++2
2
2
的切平面。使之与平面22
=-
-z y x 垂直，同时也与
2=--z y x 垂直。
解 切平面法向量)2,2,12(z y x n -=→
，)2
1
,1,1(1--=→
n ，)1,1,1(2--=→
n ，依题意
01=?→
→
n n
既有0212=---z y x （1） 02=?→
→
n n
012212=---z y x
（2）
联立（1）（2）和原方程
得解?????????==+=042422z y x ，???
?
??
?
??=-=-=04242
2z y x
???? ??=→
0,22,2201
n ，???
?
??--=→0,22,2202n 切平面
0)4
2(2
2)4
2
2(2
2=-
+
+-
y x 即2
2
1+=
+y x
得 0)42(2242222=+-???
? ??---
y x 即2
2
1-=
+y x
例4 求22232z y x u ++=在)1,1,1(点沿3222=++z y x 的外法线方向的方向导数。 解 令3),,(222-++=z y x z y x F ，z F y F x F z y x 2,2,2='='='
于)1,1,1(P 点)2,2,2(=→
n ，)3
1,
3
1,
3
1(
=→
n
γ
βαcos cos cos z
u y
u x
u n
u ??+
??+
??=
??34312|316314312)
1,1,1(==?????
?
++?=z y x
例5 设),(y x f 在0p 点可微，??? ??-=??? ??=→→
21,21,21,2121L L ，
0,12
1=??=??L f L f 试确定→
3L 使
2
57|03
=
??p L f 。
解
1c o s c o s 111
=??+
??=
??βαy
f x
f L f ，
0cos cos 222
=??+
??=
??βαy
f x
f L f ，则
2
1,21021211
2
12
1=??=???
???????=??+
??? ?
?
-??=??+
??y f
x
f y f x
f y
f x f
设)cos ,(cos 333βα=→
L
从而2
57cos cos 333
=
??+
??=??βαx
f x
f L f 即
2
57cos 2
1cos 2
133=
+
βα
5
7sin cos 33=
+αα，解得5
3cos 3=
α或5
4cos 3=
α 此时5
4cos 3=
β或5
3cos 3=
β
即??
?
??=→
54,533L 或??? ??=→
53,543L
例6 2
22ln z y x u ++=，求)(gradu div 。
解 2
2
2
2
2
2
2
)()(z
u y
u x
u u u gradu div ??+
??+
??=
?=???=。
)ln(2
12
22z y x u ++=
，
2
22z
y x x x
u ++=
??，
2
2
2
2
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
)()
(2z y x z
y x z y x x x z y x x u ++++-=
++?-++=
??
由对称性 2
2
2
2
22
2
22
)
(z y x z
y x y
u +++-=
??，
2
2
2
2
22
2
2
2
)
(z y x z
y x z
u ++-+=
??
从而 2
2
2
1)(z
y x gradu div ++=
例7 设a , b , c 为常数，),(v u F 有连续一阶偏导数。
证明 0),(
=----c
z b
y c z a x F 上任一点切平面都通过某定点。
证 c
z F F x -?'='11，c
z F F y -?
'='12，2
22
1)
()
(c z b y F c z a x F F z --?
'---?
'-='
则切平面方程为
[]0)()()()
(1)(1)(122
21=-
-'+-'--
--?
'+--?
'y z b y F a x F c z y Y c
z F x X c
z F
取c Z b Y a x ===,,，则对任一的),,(z y x 点上式均满足，即过任一点的切平面都过
),,(c b a 点。
例8 设b a ,为常数，证明曲面0),(=--bz y az x F 上任一点切平面都通过某定直线平行（F 具有连续偏导数）。
证 1F F x '='，2F F y '='，21F b F a F z '-'-='，即),,(2121F b F a F F n '-'-''=→
，
取)1,,(b a l =→
，则0=?→
→
l n ，→
→
⊥l n ，曲面平行l ，取直线
1
z z b
y y a
x x -=
-=
-，
则曲面上任一点的切平面都与上述直线平行。
例9 求二元函数22y xy x u +-=在点)1,1(-M 沿方向)1,2(5
1=
n 的方向导数，
并指出u 在该点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？u 沿那个方向减
少得最快，沿哪个方向u 的值不变？
解 )3,3(|)2,2(|)1,1()1,1(-=--=--x y y x gradu ，u 在点)1,1(-M 沿
n 方向的方向导数
为
5351,5
2)3,3(|)(-
=??? ???-=?=??M M n gradu n
u
，
方向导数取得最大值的方向为梯度方向，其最大值为23|=M gradu ，u 沿负梯度方向减少最快。
为求使u 变化的变化率为零的方向，令)sin ,(cos θθ= l ，则
??? ?
?-=+-=?=??4sin 23sin 3cos 3)|(πθθθ
l gradu l
u M M
，
令
0=??l
u ，得4
π
θ=
或4
π
πθ+
=，故在点)1,1(-处沿4
π
θ=
和4
π
π+
函数u 得值不
变化。
例10 一条鲨鱼在发现血腥味时，总是沿血腥味最浓的方向追寻。在海上进行试验表明，如果血源在海平面上，建立坐标系味：坐标原点在血源处，xOy 坐标面为海平面，Oz 轴铅直向下，则点),,(z y x 处血源的浓度C （每百万份水中所含血的份数）的近似值
4
2
2
2
10
/)2(z y x e
C ++-=。
（1）求鲨鱼从点??
? ?
?21,1,1（单位为海里）出发向血源前进的路线Γ的方程；
（2）若鲨鱼以40海里/小时的速度前进，鲨鱼从??
?
?
?21,1,1点出发需要用多少时间才能到
达血源处？
解 （1）鲨鱼追踪最强的血腥味，所以每一瞬时它都将按血液浓度变化最快，即C 的梯度方向前进。由梯度的计算公式，得
)4,2.2(10,,422210
/)2(4z y x e z C y C x C gradC z y x ---=?
??
? ????????=++-- 设曲线Γ的方程为)(t x x =，)(t y y =，)(t z z =，则Γ的切线向量),,(dz dy dx =τ必
与gradC 平行，从而有 z
dz y
dy x
dx 422-=-=-
解初始值问题
???
??=-=-=1|221
x y y dy x
dx 得x y =
解初始值问题 ???
???
?=-=-=21
|421x z z
dz x dx 得2
2
1x z =
，所以所求曲线Γ的方程
为 x x =，x y =，2
2
1x z =
10(≤≤x )
（2）曲线Γ的长度
?
?
+='+'+=
1
2
1
2
221dx x dx z y s x
x 1
2
2
)1ln(22
?
??
?
??++
++=x x x x
2ln 2
1)13ln(2
3-
++=
（海里）
因此到达血源处所用的时间为401=
T ??
?
?
??-
++2ln 21
)13ln(2
3
（小时）
。 6.4 多元函数的极值
一、无条件极值 限于二元函数),(y x f z =
1． 求驻点???????
?=??=??00y
z x
z
驻点P 2． 于驻点P 处计算2
2
x
z A ??=
，y
x z B ???=
2
，2
2
y
z C ??=
。02
<-AC B 是极值点，