第二章 连续介质力学的基本定律
在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。
2.1 应力矢量与应力张量
在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。
在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t 对于任何物质坐标X 和与之对应的接触面S 上的单位法矢量n ，表面力的存在形式为
()n t X t t ,,= (2.101) 通常，我们规定()n t X t t ,,=指向接触面S 的外法向时为正，反之为负(见图2.1). 现在不管在X 和S 面与S'面的曲率相差多少。
为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S 截断成两部分A 和B ，如图2.3所示。此时S 面就是A 和B 相互作用的接触面，B 部分对A 部分一点的作用，便可以用A 部分截面上的表面力t n 来表征，我们称之为应力矢量。反过来，考虑A 部分对B 部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量t n -。它与t n 作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。即
t t n n =- (2.102) 对于物体内部的一点P ，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态，设想在一点P 的附近任意给定一个单位法矢量为
(),cos ,cos ,cos 321ααα=n
()n e n e n e ???=321,, (2.103) 的平截面。相应地，过P 点沿活动标架作三个坐标平面。于是它们在物体内截得一个微小四面体，如图2.4所示。在这个微小四面体的每一个面上，都受有物体的其余部分给它的作用力，不妨设在ABC 上受到的作用力为t A ?，在PBC ，PCA 与PAB 上的作用力分别为-t A 11?、-t A 22?与-t A 33?，其中?A 与?A i 分别为各微小平面的面积，作用于微小四面体ABCP 上单位质量的体力为b 。
现在假设对物体的任何部分，特别是对微小四面体ABCP 而言，动量的变化率与作用的合力成正比。虽然这是个很自然且牛顿第二定律更强的新假设(因为牛顿第二定律只适用于整个物体)，然而，它却不能用实验直接验证，因为不可能做内部表面接触力的直接测定，这种力的存在与大小只能由其它量的观测推知。描述一点是应力张量，描述通过一点的某一截面是应力矢量。
对于微小四面体ABCP ，柯西定律给出 t A t A t A t A b V ?????---+112233ρ
=-+t A t A b V i i ???ρ
=-+t A t A bh V i i
???cos αρ1
3
==tma Va ρ?
=13
ρh Aa ? (2.104) 其中ρ为物体的密度，h 为P 点到ABC 面的距离，并且考虑到微小四面体的体积.
??V h A =1
3
(2.105)
2.104式也可写成
t t bh ha i i -+=cos αρρ131
3
(2.106)
当微小四面体体积趋于零时，即?A →0，?h →0，则有
t t i i =cos α (2.107) 考虑到2.103式，并令
t T e T e T e i i i i =++112233
=T e ij i (2.108) 则式2.107可写成
()()j ij i i i e T e n t t ?==αcos
()T
n e e T n j i ij ?=?=
()()n e e T t i j ij i i ?==αcos
()n T n e e T T j i ij ?=?= (2.109)
当T 对称时，则
t n T T n =?=? (2.110) 其中
j i ij e e T T = (2.111) 称为应力张量，其矩阵形式为
[]?????
?????=333231232221
131211T T T T T T T T T T (2.112) 如果物体中一点处的应力张量已知，那么由式2.112可以得到通过该点的任
何截面上的应力矢量，因此应力张量完全地刻画了物体中一点的应力状态。 由A i 面上的应力矢量t i 的定义可知，()t X t t i i ,=，而由式2.108知 ()t X T T ij ij ,=，因此式2.109变为
()()t X T n n t X t ,,,?= (2.113) 上式就是柯西假设的具体形式，常称之为柯西基本定理。 下面我们研究应力张量T 的各分量的力学意义。考虑到 T e T e t e ij i j i j =??=?
故知，T ij 代表作用于e i 方向截面上的应力矢量t i 在e j 方向上的分量，如图2.5所示。
我们从图2.5看到，应力张量T 的对角线元素()j i T ij =位于所作用平面的
法线方向内，故称之为法向应力分量；应力张量T 的非对角线元素()j i T ij ≠位于所作用的平面内，故称为剪切应力分量。
2.2 质量守恒定律
物质无论经过怎样形式运动，其总质量是不变的，这就是古典连续介质力学中的最重要规律之一—质量守恒定律。下面我们研究质量守恒定律的数学表达式。
设ρ为物体的密度，dV 表示物质点的体积，由于在运动过程中质量保持不变，所以
()0=dV Dt
D
ρ (2.201) 展开有
()0=+dV Dt
D dV Dt D
ρρ (2.202) 又由式
()()dV divv dV x v dV Dt D
i i ==?? (2.203) 于是式2.202可写成 D Dt v
x i i
ρρ??+=0 (2.204) 其不变性形式为
D Dt
divv ρ
ρ+=0 (2.205) 其中
D Dt t v x i i ρ?ρ??ρ?=+ (2.206) v t
?ρ
ρ?=
+?? 把上式代入式2.204，则得
()0=+i
i x v t ?ρ???ρ (2.207) 其不变性形式为
()0div v v t
?ρ
ρρ?+=注明是张量，只是一个函数，既不是矢量，又不是张量
(2.208)
式2.205和式2.208就是质量守恒定律的数学表达式质量守恒方程，在连续介质力学中常称为连续性方程。
在正交曲线坐标系中，利用式:j i i g g H ?=，连续性方程可写为
()()()[]01
2133312232113
21=+++
H H v H H v H H v H H H t ρ?ρ?ρ???ρ (2.209) 在直角坐标系中，连续性方程为
()()()0=+++z
v y v x v t z y x ?ρ??ρ??ρ???ρ (2.210) 在柱面坐标系中，利用第第一部分二章式2.13.03，连续性方程为 ()()()011=+++z
v v r r rv r t z r ?ρ??θρ??ρ???ρθ (2.211) 在球面坐标系中，利用第一部分二章式式2.13.04，连续性方程为
()
()()0sin 1sin sin 1122=+++??
ρ?θ?θθρ?θ?ρ???ρ?θv r v r r v r r t r (2.212) 连续性方程也可用物质描述法表示。在这种情况下质量定恒定律要求
()()dV t x dV t X V V ,,000ρρ??= (2.213)
其中V 是物质在现时刻所占据的体积，而V 0是物质在时刻t 0所占据的体积。于是 ()()[]000,,,00JdV t t X x dV t X V V ρρ??=
()0,0JdV t X V ρ?= (2.214) 因为这个关系式对任意体积V 0都必须成立，故得
ρρ0=J (2.215) 它表示ρJ 与时间无关，即
ρJ const = (2.216) 这就是物质形式的连续性方程。
2.3 动量平衡定律
欧拉把下列关系作为在连续介质中普遍成立的一般性原理：
Dm
Dt
f = (2.301) 它称为欧拉第一运动定律。上式说明任意物体具有的动量的变化率等于作用于该物体上的合力f 。
设所研究物体在其体积V 上受有连续分布的体力和在其体积的边界面S 上连续分布的接触力f c ，因此物体上所受合力为
f f f b c =+ (2.302) 其中
bdV f V b ρ?= (2.303) tdS f S c ?= (2.304) 物体的动量为
vdV m V ρ?= (2.305) dV Dt
Dx V ρ?=
于是将式2.302和式2.305代入式2.301则
bdV tdS adV V S V ρρ???+= (2.306)
其中a D x
Dt =22
表示x 点的加速度。由式2.109，可将上式改写为
adV bdV TdS n V V S ρρ???=+? (2.307) 利用高斯公式
TdV TdS n V S ??=??? (2.308) 则得
adV bdV TdV V V S ρρ???=+?? (2.309) 即
()0=-+???dV a b T V ρρ (2.310) 考虑到V 的任意性，则
??+-=T b a ρρ0 (2.311) 即
divT b a +=ρρ (2.312) 需要指出的是，这里的散度是对于空间坐标的。上式称为柯西第一运动定律。其指标形式为
T b a ji i i i ;+=ρρ (2.313) 展开得
??????ρρT x T x T
x b a 11121231311+++= (2.314)
??????ρρT x T x T
x b a 12122232322+++= (2.315)
??????ρρT x T x T
x b a 131232333
33+++= (2.316)
特别地，在静止的情况下，物体的加速度为零，则式2.313化为
divT b +=ρ0 (2.317) 在弹性力学中，上式称为平衡方程。
在柱面坐标系中，利用第一部分第二章2.13.4.d 可得上式化为
????θ??ρθθθ
T r r T T z T T r b rr r zr rr r +++-+=10 (2.318) ????θ??ρθθθθθθθT r r T T z T T r b r z r r
+
++-+=10 (2.319) ????θ??ρθT r r T T z T r
b rz z zz rz
z +
+++=10 (2.320) 在球面坐标系中，利用第一部分第二章2.13.4.e ，则2.317式可化为
()0cot 21
sin 11=+--++++r r rr r r rr b T T T T r T r T r r T ρθ???θ?θ?????θθθ?θ (2.321) ()[]
0cot 21sin 11=+-+++++θ??θθθθθθθθθρ???θ?θ???b T T T T r T r T r r T r r r (2.322)
()[]
0cot 21sin 11=+-+++++??θθ?????θ??ρθ???θ?θ???b T T T T r
T r T r r T r r r (2.323)
2.4 动量矩平衡定律
对于任意物体下列关系式成立： DM Dt
l x x 0
0= (2.401) 其中M x 0表示物体绕x 0点的动量矩，l x 0表示作用于物体上的力对x 0点的合力矩。上式称为欧拉第二运动定律。
设作用于物体上的力矩只是由体力和接触力引起的,故其合力矩为
()()000S x V S l x x bdV x x td ρ=-?+-??? (2.402) 而物体的动量矩为 ()dV Dt
Dx
x x M V x ?
-=?00ρ (2.403) 将式2.402和式2.403代入式2.401，并考虑到
()0V D Dx
x x dV Dt Dt
ρ-?? (2.404) ()()()()20002V V V D x x Dx D x Dx D
dV x x dV x x dV Dt Dt Dt Dt Dt
ρρρ-=?+-?+-????
()()()200200V V V Dx Dx D x Dx dV x x dV x x Dt Dt Dt D D dV Dt
t ρρρ=?+-?+-????张量本身叉乘是质量守恒
()202V D x
x x dV Dt
ρ=-?? (2.405)
可得
()()()000S V V S x x adV x x bdV x x td ρρ-?=-?+-???? (2.406)
其中a D x
Dt =22
表示x 点的加速度。考虑到式2.110和高斯公式，则
()()()()()()0000V 0S S S V S V S x x bdV x x td x x ad x x td x x n T d V ρρ-?-?+--?=-??-?????可知
()()()()adV x x dS T n x x bdV x x V S V ?--??-+?-=???000ρρ ()()()00V S x x b a dV n T x x dS ρ=-?-+??-??混合积互换 ()()(){}
00V x x b a T x x dV ρ=-?-+???-?????积分定理
()()(){}
00V ljk l l j j k i ij l l jlk k x x b a e T x x e dV ρε?ε??=-?-+??-???张量运算 ()()()[]
{}dV x x T a b x x e l l ij i j j l l k ljk V 00-+-?-=??ρε
()()()()[]
dV x x T x x T a b x x e l l i ij l l i ij j j l l k ljk V 00;0-+-+-?-=??ρε
()()0;0V ljk k l ij i j l j il j i T b a e x x T dV εδρρ??=-?+??+-?根据平衡方程，红色部分为
dV e T k il ij ljk V δε?= dV e T k ij ijk V ε?=
=0 (2.407) 考虑到体积V 的任意性，得
εijk ij T =0 (2.408) 因此，T ij 必须对称张量，即
T T ij ji = (2.409) 或
T T T
= (2.410)
上式叫做柯西第二运动定律。柯西第二运动定律限定应力张量为对称张量，其中只有六个独立分量。
2.5 能量守恒定律
在连续介质中，如果只研究力学量的影响，而不考虑热学效应，那么连续介质的能量守恒定律可以直接由运动方程导出。首先，将运动方程
??+=T b Dv
Dt
ρρ (2.501)
点乘速度矢量v
()Dt
Dv
v b v T v ?=?+???ρρ (2.502)
在体积V 上积分
()bdV v dV T v Dt Dv
v V V V ?+???=???
?ρρ (2.503)
考虑到
dV v v Dt D Dt Dv v V V ??
? ???=???21ρρ ()1202V V
D v vdV v v D D dV Dt t ρρ??
=?-? ?????质量守恒 vdV v Dt D V
?=?ρ21
dV v Dt D V
2
21ρ?= =DK
Dt
(2.504)
上式表示在体积V 中的总动能dV v K V 22
1
ρ?=的时间变化率。另外，考虑到
()i ij j T v T v ;=???
()ij i j i ij j T v T v ;,-=
()()T v v T :?-???= ()()T W D v T :+-???=
()::W T T v D T =???--反对陈与对称双点乘是0
()T D v T :-???= (2.505) 这里利用了反称张量W 与对称张量T 之间的双重点积为零的性质。 把式2.504和式2.505代回到式2.503中去，则得
()bdV v dV v T TdV D Dt
DK
V V V ?+???=+???ρ: (2.506) 运用高斯公式把上式右边第一体积分化为面积分，并利用柯西假设t =t n T =?，则
()()()V S T v dV n T v dS ???=????添加取掉无影响
vdS t S ?=? (2.507) 将上式代入式2.506，于是我们得到在纯力学作用下的能量方程
:D V S V DK
D TdV t vdS b vdV Dt ρ+=?+????其中是速度梯度的对称部分 (2.508)
其中方程左边两项分别表示连续介质的动能和内能(应力生热)的时间变化率，右边两项分别表示接触力和体力所做的功率。若令U 表示内能，则能量方程5.508也可简洁地写成
DK Dt DU Dt DW
Dt += (2.509) 其中DW Dt
表示接触力和体力的功率，记号D 表示这个量不一定能写成某个函数
的全微分形式。
如果同时考虑机械能和非机械能，那么就必须用能量守恒定律的一般形式。能量守恒定律的一般形式可以表述为：动能加上内能对时间的变化率等于总功率加上在单位时间内供给物体的各种其它形式的能量。这些能量包括热能、化学能、电磁能等等。本书只考虑机械能和热能，于是能量守恒定律就化为著名的热力学第一定律的形式。
对于热力连续介质(thermomechanical continua)来说，通常把内能的时间变化率写成
?
=udV Dt D Dt DU V ρ
()0V V Du dV u D
dV Dt Dt ρρ=+??是
?=dV Dt
Du
V ρ (2.510)
其中u 称为比内能，表示每单位质量的内能密度。另外，我们定义矢量f 为在单位时间内每单位面积的热通量，函数q 为在单位时间内每单位质量的热辐射量，于是物体总热量的增量变化率为
qdV ndS f Dt
Q
D V S ρ??+?-= (2.511) 其中n 为物体表面的外法向，热通量矢量f 由傅立叶定律给出，即
f k T =? (2.512) 这里k 为热传导系数，T 为温度。
于是热力连续介质的能量方程可以写成
DK Dt DU Dt DW Dt DQ
Dt +=+ (2.513) 或写成积分形式
qdV ndS f bdV v vdS t dV Dt
Du
vdV v Dt D V S V S V V ρρρρ??????+?-?+?=+?21 (2.514) 把上式右边面积分化为体积分后再移到左端，则有
()()12V V D v v Du dV T v v b f q dV Dt Dt ρρρρ???
+=???+?-??+????????
??高斯公式 (2.515)
由于体积V 是任意的，故有
()q f b v v T u v v Dt D +??-?+???=???
??+?ρρ
11
2 (2.516) 利用式2.505，则上式化为
()[]q f b v T v T D Dt Du Dt Dv v +??-?+???+=+?
ρ
ρ1:1 (2.517) 整理得 111:0Dv T b Du D T f t v D q Dt ρρρρρ??
??+- ???=-??++?平衡方程 (2.518)
考虑到运动方程成立，则有
Du Dt D T f q =-??+11
ρρ: (2.519) 或
Du Dt D T f x q ij ij i
i
=-+11ρρ?? (2.520) 上式表示物体内能的时间变化率等于应力功率和吸收的热量之和。 式2.513、式2.514、和式2.519都是能量守恒定律的表现形式。
2.6 状态方程熵定律
完整地表征一个热力学统称做是对这个系统状态的描述。用来描述这个状态的物理量称状态参数。状态参数随着时间变化表征一个热力学过程。但是，在一般情况下，这些状态参数并不全是独立的，它们之间存在着某种关系。这种关系就称为状态方程。如果某个状态参数可以通过其它几个状态参数表出，则称它为状态函数。
现在，我们考虑一个均匀的热力学系统，它处于平衡状态，即在没有外界影响的条件下，系统的各部分在长时间内不发生任何变化。描述这样一个热力学系统的状态参数为：几何参数V(体积)、力学参数p(压力)及热力学参数T(温度)。联系这三个量的关系的状态方程可写成
()0,,=T V p F (2.601) 这里需要指出的是，对于一定的物质来说，状态方程是普遍适用的，也就是说，构成热力学系统的物质一经选定，状态方程的具体形式也就确定了。 例如对于完全气体而言，状态方程的具体形式可写成
pV m
M
R T =0 (2.602) 其中m 为气体的质量，M 为分子量，R 0是克分子气体常数。
在上一节我们曾叙述过热力学第一定律，它公设机械能和热能可以互相转换，但是，只根据热力学第一定律还不能判定这种转换过程是否可逆。事实上，所有的真实过程都是不可逆的，但可逆过程却是一个非常有用的假设，因为在许多情况下，能量耗损是可以忽略不计的。可逆性判据由热力学第二定律给出。
热力学第二定律公设存在两个独立状态函数：绝对温度T 和熵S 。它们有如下性质：绝对温度T 为一正量，它仅仅是经验温度θ(即我们通常见到的温度)的函数，熵S 和体积V 一样，是一个广延量，而温度是与熵相对应的强度量，正如压强是与体积相对应的强度量一样。一个物体的强度量代表物质的内在性质，
与物体的质量大小无关，而一个物体的广延量则可分解为物体上各个子部分上的广延量之和。因此，一连续介质的总熵S 可写成下列形式：
sdV S V ρ?= (2.603) 这里s 表示连续介质中的熵密度，即每单位质量中的熵。
一个系统的熵既可由于与外界相互作用而发生改变，也可由于系统内部发生变化而改变，因此 ()()i e ds ds ds += (2.604) 这里ds 是熵密度的增量,()e ds 是由于与外部相互作用而引起的熵密度增量。()i ds 是由于系统内部发生变化而引起的熵密度的增量。()i ds 决不能为负值。它在可逆过程中为零，在不可逆过程中为正，即
()0>i ds (不可逆过程) (2.605) ()0=i ds (可逆过程) (2.606) 在可逆过程中，如果令()R dq 表示供给系统的每单位质量的热量，则()e ds 可表示为 ()()
T
dq ds R e =
(可逆过程) (2.607)
按照热力学第二定律，在连续介质所占据的物理空间中总熵的时间变率不小于通过连续介质表面流入的熵与连续体内部源产生的熵之和。在数学上，这个熵原理可以以积分形式表示为
dS T
n f edV sdV dt d
S V V ????-≥ρρ (2.608)
称之为克劳修斯—杜姆不等式，其中e 为单位质量中的局部熵源。上式中的等号成立时表示可逆过程，不等号成立时代表不可逆过程。 利用质量守恒定律
()dV dt
d S dV dt ds sdV dt d V V V ρρρ???+=
dV dt
ds
V
ρ?= 和高斯公式
dV T f dS T n f V V
????
?
????=? 考虑到体积V 的任意性，则由式2.608可得克劳修斯—杜姆不等式的微分形式
01≥??
?
????--T f e dt ds ρ (2.609)
2.7 主应力最大剪应力
t n T =?表示物体中一点周围不同方向上的应力矢量公式，当应力张量已知时，在给定的任何一个方向n 上的应力矢量就由t n T =?给出。下面，我们将要讨论的问题是，对于某给定点来说，在什么方向上法向应力T n 取驻值。这个问题归结为在n 为单位矢量的条件下，即
n n n n n n 2122232=?=++
==n n k k 1 (2.701) 时，求T n 的条件极值问题。运用大家所熟知的拉格朗日乘子法，有
??λ??T n f
n n i i
-=0 (2.702) 其中f 为约束条件
()011=-=-?=k k n n n n n f (2.703) 考虑到T T ij ji =，则由式2.110可得 T n t n T n n =?=??
()()()l l q p pq k k e n e e T e n ??= =δδkp k pq l ql n T n
=n T n p pq q (2.704) 将上式代入式2.702，则
??λ??T n f
n n i i
- ()()1---=k k i q pq p i n n n n T n n ??λ??
=+-????λ??n n T n n T n n n
n n p i pq q p pq q i k i
k 2 =+-δδλδpi pq q p pq qi ki k T n n T n 2
()02=-=i q iq n n T λ (2.705) 或写成不变性形式，即
T n n ?=λ (2.706) 或
()0=?-n I T λ (2.707) 写成展开形式，则为
()0313212111=++-n T n T n T λ ()0323222121=+-+n T n T n T λ
()0333232131=-++n T n T n T λ (2.708) 上列方程中n 具有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零，即
T ij ij -=λδ0 (2.709) 或
λλλ312
230-+-=I I I (2.710) 其中
I T T T T trT ii 1112233=++== (2.711)
I T T T T T T T T T T T T 211122122111331332223
3233=++
()ij jj ii T T T -=21
()[]
22
2
1trT trT -= (2.712)
I T T T T T T T T T T T ij 3111213
1222
23313233
===det (2.713)
这里I 1，I 2，I 3是应力张量T 的三个主不变量，分别称为第一、第二、第三应力
不变量。方程的解λ1，λ2，λ3为特征值，n 1，n 2，n 3
为特征矢量。其中若λλi j ≠，则n n i j ⊥。
事实上，在n i 方向上法向应力值就是n i 所对应的特征值。将式2.706与n i
点乘，得
λλi i i i i i i i
n n n T n t n =?=??=? (2.714)
则λi 就是n i 方向上的应力，称为主应力，而n i
称为主方向，主方向所确定的平面称为主平面。
若n i 和n j 不两个不同的主方向()j i ≠，则在n i 面上n j
方向的剪应力T ij 为
T n T n n n ij i j i i j
=??==λ0 (2.715) 故主应力平面上的剪应力为零。若以(n 1，n 2，n 3
)为坐标单位基矢量，并令λi i T =，则应力张量矩阵具有下列形式：
[]??
???
?????=321000000T T T T (2.716) 即
T Tn n i i i
= (2.717) 现在我们来讨论最大剪切应力问题。为了计算方便，不妨将坐标系选取在主方向上，即取(e 1，e 2，e 3)为主方向。设n 是通过物体内一点的某一平面的单位法向矢量，则
n n e n e n e n e k k =++=112233 (2.718) 作用于该平面的应力矢量分量为 t n T n e Te e k k i i i =?=? (2.719) n T e n Te k i ki i i i i δ= (2.720) 在该平面上的法向应力为 T t n n Te n e n i i i j j =?=?? =n n T i j i ij δ
2i i n T = (2.721) 若以T S 表示该平面的总剪应力的大小(如图2.6)，则
T t T S n 22
2
=- (2.722) 即
T t t T S n 22
=?-
()
2
i i i j j j i i i T n n e T n e T n -?= ()2
2
i
i i i i i T n n T n n -= (2.723)
222i i n n T T =-
我们仍运用拉格朗日乘子法计算T S 2
的驻值，考虑到n 为单位矢量，令
()011=-=-?=i i n n n n n f (2.724)
则
??λ??T n f
n S k k
20+= (2.725)
其中
??????T n n T n n T T
n S k i i i k n n k
2222=- 2222i i i ik n i i k n n T T n T n ?δ???
=- ??
?
()2
24i i ik n i i ik nT T nT δδ=- 224k i k n i n T n T T =-
()222k i i n n T TT =- (2.726)
()1-=
i i k
k n n n n f ??
?? ===222n n
n n n i i k
i ik k ??δ (2.727)
于是
()2220k i i n n T TT λ-+= (2.729) 即
()0221211=+-λT T T n n
()0222222=+-λT T T n n
()0223233=+-λT T T n n (2.730) 利用条件2.724，则方程组2.730显然有一组解 n 11=±，n n 230== n 21=±，n n 130==
n 31=±，n n 120== (2.731)
但是这组解所确定的平面就是主平面，而在主平面上T S 2
0=，这不是我们所要求的解。
假定在式2.730中n 10≠，n 20≠，n 30=，则
T T T n 12
120-+=λ
T T T n 22
220-+=λ (2.732) 将上列两式相减，则有
()02212221=---T T T T T n (2.733) 故得
T T T n =
-12
2
(2.734) 把它代入式2.721中并与n n 1222
1+=联立，则可解得
n 11
2
=±，n 212=±，n 30= (2.735)
这时n 方向与主方向e 2，e 3成45度角。
同样，若设n 10≠，n 20=，n 30≠和n 10=，n 20≠，n 30≠则对应的n 值分别为
n 11
2
=±，n 20=，n 312=± (2.736)
和
n 10=，n 212=±
，n 31
2
=± (2.737) 考虑到上列三组驻值，则
当()212
1
e e n +±
=时，()2121T T T S -±= (2.738) 当()132
1
e e n +±
=时，()1321T T T S -±= (2.739) 当()122
1
e e n +±
=时，()3221T T T S -±= (2.740) 因此，剪切应力的最大值由下列三个值中的最大值给出
T T 122-，T T 312-，T T 23
2
- (2.741)
或
()()()2min
max max n n S T T T -= (2.742)