北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(4分)直线x+y=2的倾斜角是()
A.B.C.D.
2.(4分)焦点在x轴上的椭圆的离心率是,则实数m的值是()
A.4B.C.1D.
3.(4分)一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为()
A.8B.C.D.6
4.(4分)已知圆O:x2+y2=1,直线l:3x+4y﹣3=0,则直线l被圆O所截的弦长为()
A.B.1C.D.2
5.(4分)已知向量=(1,1,0,),=(0,1,1),=(1,0,1),=(1,0,﹣1),则其中共面的三个向量是()
A.,,B.,,C.,,D.,,
6.(4分)已知等差数列{a n},则“a2>a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.(4分)已知正四面体A﹣BCD的棱长为2,点E是AD的中点,则下面四个命题中正确的是()
A.?F∈BC,EF⊥AD B.?F∈BC,EF⊥AC C.?F∈BC,EF≥D.?F∈BC,EF∥AC 8.(4分)已知曲线W:+|y|=1,则曲线W上的点到原点距离的取值范围是()
A.B.C.D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.
9.(4分)已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行,则实数a=.
10.(4分)双曲线的两条渐近线方程为.
11.(4分)已知空间向量=(0,1,1),=(x,0,1),若,的夹角为,则实数x的值为.
12.(4分)已知椭圆C=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上,则椭圆C的离心率为.
13.(4分)已知点,抛物线y2=2x的焦点为F,点P在抛物线上,且|AP|=|PF|,则|OP|=.
14.(4分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,α为其六个面中的一个.点P∈α且P不在棱上,若P到异面直线AA1,CD的距离相等,则点P的轨迹可能是.(填上所有正确的序号)
①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分.
三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(10分)已知点A(0,2),圆O:x2+y2=1.
(Ⅰ)求经过点A与圆O相切的直线方程;
(Ⅱ)若点P是圆O上的动点,求的取值范围.
16.(12分)已知抛物线W:y2=4x的焦点为F,直线y=2x+t与抛物线W相交于A,B两点.(Ⅰ)将|AB|表示为t的函数;
(Ⅱ)若|AB|=3,求△AFB的周长.
17.(12分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,2),E(0,2,1).
(Ⅰ)求证:直线BE∥平面ADO;
(Ⅱ)求直线OB和平面ABD所成的角;
(Ⅲ)在直线BE上是否存在点P,使得直线AP与直线BD垂直?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
18.(10分)如图,已知y=kx(k≠0)与椭圆:+y2=1交于P,Q两点,过点P的直线PA
与PQ垂直,且与椭圆C的另一个交点为4.
(1)求直线PA与AQ的斜率之积;
(2)若直线AQ与x轴交于点B,求证:PB与x轴垂直.
北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(4分)直线x+y=2的倾斜角是()
A.B.C.D.
考点:直线的倾斜角.
专题:直线与圆.
分析:直线的倾斜角与斜率之间的关系
解答:解:设倾斜角为θ,θ∈
专题:等差数列与等比数列;简易逻辑.
分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
解答:解:在等差数列{a n}中,若a2>a1,则d>0,即数列{a n}为单调递增数列,
若数列{a n}为单调递增数列,则a2>a1,成立,
即“a2>a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件,
故选:C.
点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,等差数列的性质是解决本题的关键.
7.(4分)已知正四面体A﹣BCD的棱长为2,点E是AD的中点,则下面四个命题中正确的是()
A.?F∈BC,EF⊥AD B.?F∈BC,EF⊥AC C.?F∈BC,EF≥D.?F∈BC,EF∥AC
考点:棱锥的结构特征.
专题:空间位置关系与距离.
分析:由题意画出图形,利用线面垂直的判定判定AD⊥面BCE,由此说明A正确;由三垂线定理结合∠BEC为锐角三角形说明B错误;举例说明C错误;由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误.
解答:解:如图,
∵四面体A﹣BCD为正四面体,且E为AD的中点,
∴BE⊥AD,CE⊥AD,
又BE∩CE=E,∴AD⊥面BCE,则?F∈BC,EF⊥AD,选项A正确;
由AE⊥面BCE,∴AE⊥EF,若AC⊥EF,则CE⊥EF,
∵∠BEC为锐角三角形,∴不存在F∈BC,使EF⊥AC,选项B错误;
取BC中点F,可求得DF=,又DE=1,得EF=,选项C错误;
AC是平面BCE的一条斜线,∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面,选项D错误.
故选:A.
点评:本题考查了命题的真假判断与应用,考查了空间中直线与平面的位置关系,考查了线线垂直与线面平行的判定,考查了空间想象能力,是中档题.
8.(4分)已知曲线W:+|y|=1,则曲线W上的点到原点距离的取值范围是()
A.B.C.D.
考点:两点间距离公式的应用.
专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:化简方程+|y|=1,得到x2=1﹣2|y|,作出曲线W的图形,通过图象观察,即可得到到原点距离的最值,进而得到范围.
解答:解:+|y|=1即为
=1﹣|y|,
两边平方,可得x2+y2=1+y2﹣2|y|,
即有x2=1﹣2|y|,
作出曲线W的图形,如右:
则由图象可得,O与点(﹣1,0)或(1,0)的距离最大,且为1;
O与点(0,)或(0,﹣)的距离最小,且为.
故曲线W上的点到原点距离的取值范围是.
故选A.
点评:本题考查曲线方程的化简,考查两点的距离公式的运用,考查数形结合的思想方法,属于中档题.
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.
9.(4分)已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行,则实数a=1或﹣1.
考点:直线的一般式方程与直线的平行关系.
专题:直线与圆.
分析:由平行关系可得向量相等,排除截距相等即可.
解答:解:当a=0时,第二个方程无意义,
故a≠0,故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣,
由直线平行可得a=,解得a=±1
故答案为:1或﹣1
点评:本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题.
10.(4分)双曲线的两条渐近线方程为.
考点:双曲线的简单性质.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.
解答:解:∵双曲线的a=4,b=3,焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y=±x
∴双曲线的渐近线方程为
故答案为:
点评:本题考查了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想
11.(4分)已知空间向量=(0,1,1),=(x,0,1),若,的夹角为,则实数x的值为1或﹣1.
考点:空间向量的夹角与距离求解公式.
专题:空间向量及应用.
分析:首先根据向量的坐标求出向量的模,进一步利用向量的夹角求出x的值.
解答:解:已知,
则:,
由于,
则:
解得:x=1或﹣1
故答案为:1或﹣1
点评:本题考查的知识要点:空间向量的夹角,空间向量的数量积和模的运算,属于基础题型.
12.(4分)已知椭圆C=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上,则椭圆C的离心率为.
考点:椭圆的简单性质.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:由题意和椭圆的对称性可得:点P是椭圆短轴上的顶点,由椭圆的性质即可求出椭圆C的离心率.
解答:解:因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上,如图:
所以由椭圆的对称性可得:点P是椭圆短轴上的顶点,
因为△F1F2P是等边三角形,
所以a=2c,则=,即e=,
故答案为:.
点评:本题考查椭圆的简单几何性质的应用,解题的关键确定点P的位置,属于中档题.13.(4分)已知点,抛物线y2=2x的焦点为F,点P在抛物线上,且|AP|=|PF|,
则|OP|=.
考点:椭圆的简单性质.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:求得抛物线的焦点F,设P(m2,m),运用两点的距离公式,结合条件|AP|=|PF|,计算可得m,再由两点的距离公式计算即可得到结论.
解答:解:抛物线y2=2x的焦点为F(,0),
设P(m2,m),
由|AP|=|PF|,
可得|AP|2=2|PF|2,
即有(m2+)2+m2=2,
化简得m4﹣2m2+1=0,
解得m2=1,
即有|OP|===.
故答案为:.
点评:本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的焦点坐标,同时考查两点的距离公式的运用,属于中档题.
14.(4分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,α为其六个面中的一个.点P∈α且P不在棱上,若P到异面直线AA1,CD的距离相等,则点P的轨迹可能是④.(填上所有正确的序号)
①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分.
考点:棱柱的结构特征.
专题:计算题;空间位置关系与距离.
分析:先判断PA表示P到直线AA1的距离,从而可得点P到A的距离等于点P到直线CD 的距离,利用抛物线的定义,可得结论.
解答:解:设α为平面ABCD,则
由题意,AA1⊥平面ABCD,PA?平面ABCD
∴AA1⊥PA
∴PA表示P到直线AA1的距离
∵点P到直线CD的距离等于它到直线AA1的距离
∴点P到A的距离等于点P到直线CD的距离
∴P点的轨迹为抛物线的一部分,
故答案为:④.
点评:本题以正方体为载体,考查抛物线的定义,判断PA表示P到直线AA1的距离是解题的关键.
三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(10分)已知点A(0,2),圆O:x2+y2=1.
(Ⅰ)求经过点A与圆O相切的直线方程;
(Ⅱ)若点P是圆O上的动点,求的取值范围.
考点:直线和圆的方程的应用.
专题:平面向量及应用;直线与圆.
分析:(1)由已知中直线过点A我们可以设出直线的点斜式方程,然后化为一般式方程,代入点到直线距离公式,根据直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,可以求出k值,进而得到直线的方程;
(2)设出P点的坐标,借助坐标来表示两个向量的数量积,再根据P在圆上的条件,进而得到结论.
解答:(本小题满分10分)
解:(I)由题意,所求直线的斜率存在.
设切线方程为y=kx+2,即kx﹣y+2=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)
所以圆心O到直线的距离为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)
所以,解得,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
所求直线方程为或.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)
(II)设点P(x,y),
所以,,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
所以.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)
因为点P在圆上,所以x2+y2=1,所以.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)又因为x2+y2=1,所以﹣1≤y≤1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)
所以.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
点评:本题考查的知识是直线和圆的方程的应用,其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时,点到直线的距离与半径的关系是关键,还考查了向量数量积的坐标表示.
16.(12分)已知抛物线W:y2=4x的焦点为F,直线y=2x+t与抛物线W相交于A,B两点.(Ⅰ)将|AB|表示为t的函数;
(Ⅱ)若|AB|=3,求△AFB的周长.
考点:抛物线的简单性质.
专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:(I)设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程和抛物线方程,运用韦达定理和弦长公式,化简计算即可得到所求函数;
(II)运用抛物线的定义和(I)的结论,可得|AF|+|BF|,进而得到△AFB的周长.
解答:解:(I)设点A(x1,y1),B(x2,y2),
由,消元化简得4x2+(4t﹣4)x+t2=0,
则,
所以,其中;
(II)由,
则=3,解得t=﹣4,
经检验,此时△=16﹣32t>0,
所以x1+x2=1﹣t=5,
由抛物线的定义,
有,
又,
所以△AFB的周长为.
点评:本题考查抛物线的定义、方程和性质,主要考查定义法的运用,同时考查直线和抛物线方程联立,运用韦达定理和弦长公式,具有一定的运算量,属于中档题.
17.(12分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,2),E(0,2,1).
(Ⅰ)求证:直线BE∥平面ADO;
(Ⅱ)求直线OB和平面ABD所成的角;
(Ⅲ)在直线BE上是否存在点P,使得直线AP与直线BD垂直?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.
专题:空间位置关系与距离.
分析:(Ⅰ)根据向量关系利用线面平行的判定定理即可证明直线BE∥平面ADO;(Ⅱ)求出平面ABD的法向量,利用向量法即可求直线OB和平面ABD所成的角;
(Ⅲ)根据空间直线垂直的坐标关系即可得到结论.
解答:解:(I)法一:取点C(0,2,0)
则,所以,所以OA∥CB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)
又,所以,所以OD∥CE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣(2分)
又OA∩OD=D,CE∩CB=C
所以平面OAD∥CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)
所以BE∥平面ADO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
法二:由题意,点A,D,O所在的平面就是xOz平面,
取其法向量为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)
而,所以,即,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)
又显然点B,E不在平面ADO上,
所以BE∥平面ADO.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
(II)设平面ABD的法向量为,
因为,
所以,所以可取.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)又,
设OB与平面ABD所成的角为θ.
所以.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
所以直线OB和平面ABD所成的角为.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)
(Ⅲ)假设存在点P(x,y,z),使得直线AP与直线BD垂直.
设,即(x﹣2,y﹣2,z)=(﹣2λ,0,λ).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
所以,
所以.
又,
所以,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分)
解得,所以在直线BE上存在点P,使得直线AP与直线BD垂直,
点P的坐标为.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
点评:本题主要考查空间直线和平面平行的判断,以及空间直线和平面所成角的求解以及空间直线垂直的判断,利用坐标法是解决本题的关键.
18.(10分)如图,已知y=kx(k≠0)与椭圆:+y2=1交于P,Q两点,过点P的直线PA
与PQ垂直,且与椭圆C的另一个交点为4.
(1)求直线PA与AQ的斜率之积;
(2)若直线AQ与x轴交于点B,求证:PB与x轴垂直.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题.
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:(1)设P(x1,y1),A(x2y2),联立,得(2k2+1)x2=2,,设Q(﹣x1,﹣y1),由此能求出直线PA与AQ的斜率之积为﹣.
(2)由,得k AQ=,从而直线AQ的方程为y﹣(﹣y1)
=,由此能证明直线PB与x轴垂直.
解答:(1)解:设P(x1,y1),A(x2y2),
联立,得(2k2+1)x2=2,
∴,∴P,Q的横坐标互为相反数,
∴设Q(﹣x1,﹣y1),
∵直线PQ的斜率为k,且k≠0,
而,,
∴,
∵P,A都在椭圆上,∴,,
∴=
=
=﹣,
∴直线PA与AQ的斜率之积为﹣.
(2)证明:∵,而PQ,PA垂直,
∴,∴k AQ=,
∴直线AQ的方程为y﹣(﹣y1)=,
令y=0,得y1=),
∵点P(x1,y1)直线y=kx上,∴y1=kx1,
代入得到B点的横坐标为x0=x1,
∴直线PB与x轴垂直.
点评:本题考查直线PA与AQ的斜率之积的求法,考查PB与x轴垂直的证明,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.
【一】选择题:本大题共12小题,每题5分,总分值60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合要求的. 1.命题〝假设2x =,那么2 320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕 A 、假设2x ≠,那么2320x x -+≠ B 、假设2320x x -+=,那么2x = C 、假设2320x x -+≠,那么2x ≠ D 、假设2x ≠,那么2 320x x -+= 2.〝直线l 垂直于ABC △的边AB ,AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 3 .过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点.假设AB 中点M 到抛物线 准线的距离为6,那么线段AB 的长为〔 ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、无法确定 4.圆 042 2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x 5.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 〔 〕 A 、0 122 2 =+--+y x y x B 、041 222=- --+y x y x C 、0 122 2 =+-++y x y x D 、 041222=+ --+y x y x 6.在空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2),(2,2,0), (0,2,0),(2,2,2).那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕
高二上学期期末数学试卷(理科) 一、选择题 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次出现正面朝上的概率是() A . B . C . D . 2. 直线x+y﹣3=0的倾斜角为() A . B . C . D . 3. 为研究两变量x和y的线性相关性,甲、乙两人分别做了研究,利用线性回归方法得到回归直线方程m和n,两人计算相同,也相同,则下列说法正确的是() A . m与n重合 B . m与n平行 C . m与n交于点(,) D . 无法判定m与n是否相交 4. 一束光线从A(1,0)点处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程是() A . x+2y﹣2=0 B . 2x﹣y+2=0 C . x﹣2y+2=0 D . 2x+y﹣2=0 5. 完成下列抽样调查,较为合理的抽样方法依次是() ①从30件产品中抽取3件进行检查. ②某校高中三个年级共有2460人,其中高一890人、高二820人、高三810人,为了了解学生对数学的建议,拟抽取一个容量为300的样本; ③某剧场有28排,每排有32个座位,在一次报告中恰好坐满了听众,报告结束后,为了了解听众意见,需要请28名听众进行座谈.
A . ①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B . ①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 C . ①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D . ①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 6. 有四个游戏盒,将它们水平放稳后,在上面仍一粒玻璃珠,若玻璃珠落在阴影部分,则可中奖,则中奖机会大的游戏盘是() A . B . C . D . 7. 以点(5,4)为圆心且与x轴相切的圆的方程是() A . (x﹣5)2+(y﹣4)2=16 B . (x+5)2+(y﹣4)2=16 C . (x﹣5)2+(y﹣4)2=25 D . (x+5)2+(y﹣4)2=25 8. 直线l1:(a+3)x+y﹣4=0与直线l2:x+(a﹣1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是() A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 9. 公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近于圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的(四舍五入精确到小数点后两位)的值为()(参考数据:sin15°=0.2588,sin75°=0.1305)