专题22 导数的概念及其意义、导数的运算
一、单选题
1．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知(1)1f '=，0(13)(1)
lim x f x f x
?→+?-?等于（ ）
A ．1
B ．-1
C ．3
D ．13
【答案】C 【解析】 因为(1)1f '=， 所以0
0(13)(1)(13)(1)
lim 3lim 3(1)33x x f x f f x f f x x
?→?→+?-+?-'===??.
故选C
2．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））设函数()f x 在1x =处存在导数为2，则
0(1)(1)
lim
3x f x f x
?→+?-=?（ ）.
A ．23
B ．6
C ．
13
D ．
12
【答案】A 【解析】 根据导数定义，
00(1)(1)lim
31(1)(1)lim 3x x f x f x
f x f x ?→?→+?-?+?-=?
12233
=?= 所以选A
3．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））函数()ln x
f x e x =在1x =处的切线方程是( )
A ．()1y e x =-
B ．1y ex =-
C ．()21y e x =-
D ．e y x =-
【答案】A 【解析】
求曲线y ＝e x
lnx 导函数，可得f ′（x ）＝e x
lnx x
e x
+ ∴f ′（1）＝e ，
∵f （1）＝0，∴切点（1，0）．
∴函数f （x ）＝e x lnx 在点（1，f （1））处的切线方程是：y ﹣0＝e （x ﹣1）， 即y ＝e （x ﹣1） 故选：A ．
4．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.
A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1
【答案】C 【解析】 由1
x y xe
-=，得，故，故切线的斜率为，故选C.
5．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））若f ′(x 0)＝－3，则()()
000
3lim
h f x h f x h h
→+--等于( )
A ．－3
B ．－6
C ．－9
D ．－12
【答案】D 【解析】 分析： 由于f ′(x 0)＝()()
000
lim
x f x x f x x
?→+?-?＝－3，而()()
000
3lim
h f x h f x h h
→+--的形态与导数的定义形态不一
样，故需要对()()
000
3lim
h f x h f x h h
→+--转化成()()()()
00000
3lim
h f x h f x f x f x h h
→+-+--
利用()()()()
00000
3 lim
h f x h f x f x f x h h →+-+--＝
()()
()()
00000
3lim
3lim
3h h f x h f x f x h f x h
h
→→+---+?-
即可求解.
详解：
f′(x0)＝()() 0
lim
x
f x x f x
x
?→
+?-
?
＝－3，
()()
00
3
lim
h
f x h f x h
h
→
+--
＝
()()()()
0000
3
lim
h
f x h f x f x f x h
h
→
+-+--
＝
()()()()
0000
3
lim3
3
h
f x h f x f x h f x
h h
→
??
+---
+?
??
-
??
＝
()()()()
0000
00
3
lim3lim
3
h h
f x h f x f x h f x
h h
→→
+---
+?
-
＝f′(x0)＋3f′(x0)＝4f′(x0)＝－12.
答案：D
6．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））已知()
y f x
=的导函数为()
y f x
'
=，且在1
x=处的切线方程为3
y x
=-+，则()()
11
f f'
-=( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
根据题意，切线斜率即为()1
f'，故()1
f'1
=-；
又因为点()
()
1,1
f满足切线方程，即()1132
f=-+=；
故()()
11
f f
-'=()
213
--=.
故选：B.
7．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））函数()
f x的图象如图所示，()
f x
'为函数()
f x的导函数，下列数值排序正确是（）
A ．()()()()02332f f f f ''<<<-
B ．()()()()03322f f f f ''<<-<
C ．()()()()03232f f f f ''<<<-
D ．()()()()03223f f f f ''<-<< 【答案】B 【解析】
由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，
()()032f f ''∴<<，
()()()()
323232
f f f f --=
-，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象
可知()()()()3322f f f f ''<-<，
()()()()03322f f f f ''∴<<-<.
故选：B .
8．（2020·湖北省高二期中）若函数()cos f x a x =与()2
3g x x bx =++图象在交点()0,m 处有公切线，则
a b m ++=（ ）
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】A 【解析】
()()''sin ,2f x a x g x x b =-=+，()()0,033f a g a m ==?==.
由于函数()cos f x a x =与()2
3g x x bx =++图象在交点()0,m 处有公切线，
所以()()'
'00f
g =，即0b =.
所以3036a b m ++=++=. 故选：A
二、多选题
9．（2020·江苏省高二期中）直线1
2
y x b =+能作为下列（ ）函数的图像的切线. A ．1()f x x
=
B ．4()f x x =
C ．()cos f x x =
D ．()ln f x x =
【答案】BCD 【解析】
函数1
2
y x b =
+，可得211()2f x x '=-=不成立；所以A 不正确；
4()f x x =，31
()42
f x x '==可以成立；所以B 正确；
()cos f x x =，1()sin 2
f x x '=-=，可以成立；所以C 正确；
()ln f x x =，11
()2
f x x =
=可成立．所以D 正确； 故直线1
2
y x b =
+能作为BCD 函数图象的切线， 故选：BCD ．
10．（2019·山东省高二期中）设点P 是曲线2
3
x
y e =+上的任意一点，P 点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含下列哪些（ ） A ．2,3ππ??
??
??
B ．5,26
ππ
????
??
C ．0,
2π??
????
D ．50,
,26πππ??
??
????????
【答案】CD 【解析】
因为2
3
x
y e =+
，故可得x y e =>'
设切线的倾斜角为α，则tan α> 故可得20,,23ππαπ????
∈??
??????
， 故选：CD.
11．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）已知点2(1
)A ，在函数()3f x ax =的图象上，则过点A 的曲线():C y f x =的切线方程是（ ）
A ．640x y --=
B ．470x y -+=
C ．470x y -+=
D ．3210x y -+=
【答案】AD 【解析】
因为点2(1
)A ，在函数()3f x ax =的图象上，所以2a =． 设切点()00,P x y ，则由()32f x x =得，()2
6f x x '=，即2
06k x =，
所以在点P 处的切线方程为：()3
2
00026y x x x x -=-，即2
3
0064y x x x =-．
而点2(1)A ，在切线上，∴2300264x x =-， 即()()
()
()2
22
000002111210x x x x x ---=-+=，
解得01x =或01
2
x =-，∴切线方程为：640x y --=和3210x y -+=． 故选：AD ．
12．（2020·江苏省高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线1
(0)y x x x
=+
>上，则点P 到直线3420x y --=的距离可以为（ ）
A ．
4
5
B ．1
C ．
65
D ．
75
【答案】CD 【解析】
设直线340x y C -+=与曲线1
y x x
=+相切于点()000,P x y ， 则0
201314x x y x ==-
='
，因为00x >解得02x =，即015222
y =+=， 故曲线1
y x x
=+
与直线3420x y --=的最短距离为
min 65
d =
=
所以可以为67
,55
故选：CD 三、填空题
13．（2020·江西省石城中学高二月考（文））曲线32
()44f x x x =-+在点(1,1)处的切线方程为__________．
【答案】560x y +-=
【解析】
()2'38x f x x =-,() 15f '=-,
∴切线方程为()y 151x -=--，即560x y +-= 故答案为：560x y +-=
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，
其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若
曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
14．（2020·横峰中学高二开学考试（文））曲线()1e x
y ax =+在点()01，
处的切线的斜率为2-，则a =________．
【答案】3- 【解析】
()y 1x x ae ax e =++'
则()f 012a =+=-' 所以3a =- 故答案为-3.
15．（2020·甘肃省高三二模（文））已知曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，则
tan()6
a π
π-=______．
【答案】2 【解析】
曲线4sin cos y a x x =-， 则4cos sin y a x x '=+，
曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-， 所以当0x =时，满足41y a '==， 解得14
a =
， 代入并由正切函数的差角公式可得
tan
tan
46tan 461tan tan 46
π
π
ππππ
-??-=
???+?
12-
=
=-
故答案为：2.
16．（2020·浙江省高三其他）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，
这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线y x b =+是函数()ln f x x =的切线，也是函数()x k
g x e +=的切
线，则实数b =____，k =_____． 【答案】-1 -2 【解析】
由题意可知1
(ln )1x x
'=
=，故1x =，则函数()f x 的切点为(1,0)，代入y x b =+，得1b =-；又()1x k x k
e e
'
++==，故x k =-，则函数()g x 的切点为(,1)k k ---，代入()x k g x e +=，得2k =-．
故答案为：－1；－2． 四、解答题
17．（2020·江苏省邗江中学高一期中）求下列函数的导数：
（1）()2cos f x x x =+ （2）2
(2)()1
x f x x -=
+ 【答案】（1）()'12sin f x x =-；（2）()
2
9
'()11f x x =-+
【解析】
（1）()2cos f x x x =+，则()'12sin f x x =-；
（2）2
(2)()1x f x x -=+，则()()()()()
2
22222(2)12289'()1111x x x x x f x x x x -+--+-===-+++.
18．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）求下列函数的导数：
（1）2
(ln sin )y x x x =+； （2）2
cos x x
y x -=；
（3）y x =
.
【答案】（1）22ln 2sin cos x x x x x x x +++；（2）
3
2cos sin x x x x
x
--；（3. 【解析】
（1）2
12(ln sin )cos y x x x x x x '
??
=+++
???
22ln 2sin cos x x x x x x x =+++；
（2）24
(sin 1)(cos )2x x x x x
y x
'
----?= 3
2cos sin x x x x
x --=
；
（3）11ln
2y x x '
?==
? 19．（2020·阳江市第三中学高二月考）已知函数()2
ln f x x x x =+ （Ⅰ）求这个函数的导数()f x '； （Ⅱ）求这个函数在1x =处的切线方程.
【答案】（Ⅰ）()21f x x lnx =++'；（Ⅱ）320x y --=. 【解析】
（Ⅰ）因为()2
ln f x x x x =+，所以()21f x x lnx =++'；
（Ⅱ）由题意可知，切点的横坐标为1， 所以切线的斜率是()1213k f ==+='，
又()11f =，所以切线方程为()131y x -=-，整理得320x y --=.
20．（2020·定远县育才学校高二月考（理））已知函数32
()f x x bx cx d =+++的图象过点(0,2)P ，且在点
(1;(1))M f --处的切线方程为670x y -+=.
（I ）求(1)f -和(1)f 的值. （II ）求函数()f x 的解析式.
【答案】（1）()()11,16f f '-=-=；（2）()3
2
332f x x x x =--+
【解析】
（1）∵f （x ）在点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y+7=0． 故点（﹣1，f （﹣1））在切线6x ﹣y+7=0上，且切线斜率为6． 得f （﹣1）=1且f′（﹣1）=6． （2）∵f （x ）过点P （0，2） ∴d=2
∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ∴f′（x ）=3x 2+2bx+c 由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6 又由f （﹣1）=1，得﹣1+b ﹣c+d=1 联立方程
得
故f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2
21．（2020·江苏省高二期中）设()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，()2
()()
f x h x
g x +=.
（1）求()5h 及()5h '； （2）求曲线()sin 6
y h x π
=+在5x =处的切线方程.
【答案】（1）7(5)=4h ，(5)16
=5h '；（2）5x -16y +11=0 【解析】
（1）当x =5时，(5)27
(5)=(5)4
f h
g +=
，
函数()2()()f x h x g x +=
的导数()()()()()
2()2f x g x f x g g x h x x ??'??+'=-'，
函数()h x 在x =5处的切线斜率：
()()()()()()2
5552165341525(5)=1=56
f g h g f g '-+'???+???-=
'； （2）1
()sin
((2
2)=
6
)f y h x x g x π
=+++，
所以()()()()
()
2
2f x g x f x g x g
y x '-+'????=
'，
x =5处的切线斜率：()()()()
()
5
2555255
=
516
x f g f g y g =??'-+'??'
=
， y =711=9(=25)44
2h +
+， 所以切点坐标为95,4?? ???
， 则切线方程为：()5
15=46
9y x -
-， 化简得5x -16y +11=0． 故切线方程为：5x -16y +11=0．
22．（2020·攀枝花市第十五中学校高二期中（文））设函数()b
f x ax x
-=，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
【答案】（1）2()f x x x
=-；（2）证明见解析，4. 【解析】
（1）将点()()
22f ,的坐标代入直线3240x y --=的方程得()21f =，
()b f x ax x =-，则()2b f x a x '=+，直线3240x y --=的斜率为3
2
，
于是()()3242221
2b f a b f a ?=+=???=-'
?=??
，解得12a b =??=?，故()2f x x x =-；
（2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点，由（1）知()2f x x x
=-
， ()2
21f x x '∴=+
，又()000
2f x x x =-， 所以，曲线()y f x =在点P 的切线方程为()00200221y x x x x x ????
--
=+- ? ?????
， 即20024
1y x x x ??=+
- ???
， 令0x =，得04y x =-
，从而得出切线与y 轴的交点坐标为040,x ??
- ??
?， 联立200241y x
y x x x =??
???=+- ?????
，解得02y x x ==， 从而切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x .
所以，曲线()y f x =在点P 处的切线与直线0x =、y x =所围成的三角形的面积为00
14
242S x x =
?-?= 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值且此定值为4.