9-10讲--随机变
+离散型随机变量及
分布--教学设计-
飞
随机变量及其分布
9-10讲 随机变量、离散型随机变量及其分布
概率论与数理统计 课时 50+50分钟
李飞 专业与班级 金融工程B1601/B1602/B1603/B1604
新授课 课题 2.1 随机变量
离散型随机变量及其分布
48（24*2） 周课时 3（每两周2+4或4+2）
教学分析
随机变量和离散型随机变量及其分布的教学属于第二章的第1、2节，位于教材第35页至43页。 第一节随机变量是概率论发生质的飞跃的起点，应使学生充分理解随机试验中的样本点可与实数形成单值对应，随机事件也可以量化而与实数形成单值对应，从而形成随机变量下的函数，就可以利用高等数学或微积分的知识来研究、描述随机事件或随机现象，并可以进行更深入的研究。 第二节离散型随机变量及其分布一节，让学生了解其主要内容及其研究该内容所用的数学思想和方法，对学生明确学习目标和学习任务，提高他们的求知欲望，激发他们的学习兴趣非常重
本节课是概率论由事件的语言描述而转为实数对应的转换
点，对后续课程的影响较大。本节课的内容，学生在高中时也已
0-1分布、泊松分布、二项分布等常用的分
知识与技能 1.理解随机变量和离散型随机变量的描述性定义，以及随机变量与函数的关系， 2. 理解随机变量的概念，能够把一个随机试验的结果用随机变量表示，能够根据所关心的问题定义一个随机变量 3.理解离散型随机变量的定义，会写出简单离散型分布的分布律； 4. 理解并掌握几个常用的离散型分布，并会解决相关的应用问题。 过程与方法 1. 通过生活中可量化的样本点及随机事件，直观的将样本点或随机事件与实数联系起来； 2.通过具体事例的感知与分析，理解离散型、连续型随机变量的概念及它们与函数的关系
通过掷硬币、扔骰子、产品检验、城市发生火
1.感受随机事件的量化过程，在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，获得成功的体验。 2.在感受随机的过程中，培养学生的思辩能力及
根据随机变量的定义，深刻认识随机变量函数
教学内容 1.随机变量 2.离散型随机变量的定义及分布律 3.几个常用的离散型分布
教学重点 1.随机变量概念的形成过程； 2.离散型随机变量的分布律； 3.0-1分布、二项分布、泊松分布。 教学难点 1.二项分布的分布律及二项分布的应用；
泊松分布在生活中的应用以及泊松定理
1.用生活中身边的具体事例，让学生直接发现样本点与实数的对应关系，直观看到样本点或事件与实数之间形成随机概念下的函数。 2.为了
帮助学生理解二项分布，可将二项分布与一排有十个灯泡的测试检验联系起来，同时注意回顾中学学习的排列与组合概念、二项展开式
泊松分布的应用比较广泛，应举出大量生活中
1.随机变量 …………15分钟 2.离散型随机变量及其分布律 …………20分钟 3.0-1分布 …………15分钟 课间休息
二项分布 …………20分钟
泊松分布 …………27分钟
课堂小结 …………3分钟
多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写
教学内容 设计理念
15分
引言：我们知道，概率是描述随机事件发生可能性大小的度量。运动员的一次射击，就是一次随机试验，只要了解了随机试验可能出现的结果（即每一个结果就是一个随机事件），以
随机试验的结果有些本身就是数量.例
,掷骰子出现的点数、产品抽样中的次品数、
.
而有些随机试验表面上看其试验结果与数
.例如,掷硬币的结果“正
.
我们可以将其数量化,当出现正面时对应
,出现反面时对应数.这样随机试验的结果就
,把随机试验的结果数量化,
,使对随机现象
.
1：
2：
（1）掷一枚骰子，出现向上的点数X是1，
，3，4，5，6中的某一个数；
（2）在一块地上种10棵树苗，成活的棵树
是0，1，2，3，…，10中的某个数。 激发学生的兴趣，让学生体会数学来源于生活，生活中处处有数学。 问题1设计意图：能够判定简单的随机试验，并能列举出所有可能的结果，为用“数”表示这些结果做好准备。 问题2设计意图：通过讨论引导学生发现任何一个随机试验的结果都可用数字进行表示，这样随机试验的结果与数字之间就构成了一个对应关系，这为引入随机变量的概念奠定基础。 问题3设计意图：引导学生通过分
下面两个随机试验的结果是否可以用数字表
（3）掷一枚硬币所有可能的结果；正面向
1；反面向上——0
（4）新生儿性别，抽查的所有可能的结
1；女——0
3：
4：
3）和（4）的两个随机试验中，其试验的
-1和1表示等。（表
5：在掷一枚硬币的随机试验中，其结果可
1和0表示，也可以用-1和1等其他数字
5次掷硬币的随机试验中，出
随机变量下定义。这种定义方式是描述性的，学生可以凭借自己的理解下定义，只要这种描述比较准确就可以，不一定按照课本的描述性定义。如一般地，如果一个随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量就叫做随机变量，等。 问题6设计意图：引导学生把随机变量和函数进行类比，使他们了解随机变量的概念实际上也可以看作是函数概念的推广：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试
验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在这两种映射之间，试验结果的范
6：
1 设随机变量的样本空间为e，
上的实值单值函数
)XXe为随机变量。
1）扔硬币：出现正面向上=1X
2）射击：5=5X射击次数不多于次
3）运算：aXbXbXa
…………………………15分钟 数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域。
20分
例题1.写出下列各随机变量可能的取值（或范围）: (1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张被取出的卡片的号数X． (2)一个袋中装有3个白球和5个黑球，从中任取5个，其中所含白球数Y． (3)抛掷两枚骰子，所得点数之和ξ． (4)接连不断地射击,首次命中目标需要的
某网页在24小时内被浏览的次数η.
某一自动装置无故障运转的时间T
7）电灯泡的寿命X。
离散型随机变量的定义
若随机变量的全部可能的取值至多有可列例题设计意图：训练写出随机变量的取值或范围，并在此基础上通过分类得到“离散型随机变量”的概念。 X
是离散型随机变量。
的可能取值为
2,,,,kxxxLL，事件
Xx的概率为
1,2,)
piL
X取值的规律：
x 2x … nx …
01
p(1,2,)iL，1ip。这个表格
X的分布律
)
iPXxp (1,2,)iL.
分布律的性质：
1）非负性 0,(1,2,3,)
piL
2）归一性
1iip
美国教材中的定义：
,())xfx的集合称为离散型随机
X的概率函数、概率质量函数或概率分
X的每个可能结果x，满足：
()0fx (2)()1
fx (3)()()PXxfx
（1）若给出含参数的离散型随机变量的
（2）任意有限个或者可列个实数
1,2,)
piL，只要满足01ip(1,2,)iL，
p，一定是某离散型随机变量的分布律。
（3）对离散型随机变量，
iaxbaXbXxU，故有：
()
iaxbPaXbPXx ①上述两条性质是分布律必须具有的性质.如果一个数列 具有以上两条性质,则它可以作为某离散型随机变量的分布律. ②利用上述性质,可以验证所计算的随机变量 的分布律的正
. XXXrP12npppLL
35分
分布
15分
定义2.4 若随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是 1{}(1),0,1(01)kkPXkppkp,
1
0
p 1p
X服从
-1)分布或两点分布.
50分注：0-1分布是离散型分布的典型和基础，在概率统计中占有很重要的地位。充分理解并联系实际应用才是最为主要的。 由于该部分内容中学学
习过，例题
可让学
间 休 息
22分
特别地,当1n时,二项分布即为(01)分布,故(01)分布可记为~(1,)Xbp.实际上,二项分布是n重伯努利试验的概率模型,是一种常用的离散分布.
…………………………20分钟
25分
平稳性：在任意时间区间内，事件发生k次
0k）的概率只依赖于区间长度而与区间端
无后效性：在不相重叠的时间段
内，事件的
普通性：如果时间区间充分小，事件出现两
注意： 泊松分布是自然界最常见的一种分布，具有很强的应用性和实用性。在每年的全国大学生数学建模竞赛中，都会涉及到泊松分布问题。
对泊松流，在任意时间间隔（0，t）内，事
的泊松分布，称为
分分析泊松分布的条件与特性，从而方便学生用这个条件去考量一个随机事件是否服从泊松分布？ 泊松定理为二项分布的计算问题带来了极大的方便，但要提醒学生，定理的使用是有条件
…………………………47分钟 的，也就是n要足够大。
3分钟） 1.随机变量
离散型随机变量及其分布律
分布、二项分布、泊松分布
…………………………50分钟
仔细阅读课本第36页至第43页；
预习阅读课本第43页至第59页；
浏览概率论与数理统计教学平台中相关内容；
完成书面作业：P69 9、10、12、13、14、15
明确告知学生作业要求。阅读的效果将通过下节课的课前提问进行检测评价。
通过一些具体实例研究了随机试验的结果可以用数字表示，引进了随机变量的概念，并对如何根据实际需要定义一个离散型随机变量，并判断它的所有可能取值进行了系统的研究。实际上随机变量的每一个取值，都表示一个随机事件，每一个随机事件发生的可能性大小的度量就是概念，如掷骰子试验中表示点数为1的概率为1/6，也就是如果我们能够知道每