第一部分 二次函数基础知识
? 相关概念及定义
二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,
,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,
可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.
⑵ a b c ,
,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. ? 二次函数各种形式之间的变换
二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2
的形式,其中
a
b a
c k a b h 4422
-=-=,.
二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2
h x a y -=;④()k h x a y +-=2
;⑤c bx ax y ++=2.
? 二次函数解析式的表示方法
一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);
顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);
两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数
都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. ? 二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,
确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称
的点()2h c ,
、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交
点. ? 二次函数2
ax y =的性质
? 二次函数
y ax c =+的性质
? 二次函数()2
y a x h =-的性质:
? 二次函数
y a x h k =-+的性质
? 抛物线
y ax bx c =++的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0 a 相等,抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴:平行于y 轴(或重合)的直线记作2b x a =- .特别地, y 轴记作直线0=x . 顶点坐标:),(a b a c a b 4422 -- 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物 线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. ? 抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,与函数图像的关系 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠. ⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大. 总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下, 当0b >时,02b a -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b a ->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02b a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b a - <,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置. 总结: 常数项c ⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之,只要a b c , ,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. ? 求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=,∴顶点是),(a b a c a b 4422 --,对称轴是直线a b x 2-=. 配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式,得 到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =. 运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. ? 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. 顶点式:()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. 交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式: ()()21x x x x a y --=. ? 直线与抛物线的交点 y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ). 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2 ). 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02 =++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交; ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0?抛物线与x 轴相离. 平行于x 轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵 坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像 G 的交点,由方程组 2 y kx n y ax bx c =+??=++?的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与G 没有交点. 抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故 a c x x a b x x = ?-=+2121,() () a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 ? 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表 达 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =---; 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =++; 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2 y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =-+-; 关于顶点对称 2 y a x b x c =++关于顶点对称后,得到的解析式是22 2b y ax bx c a =--+-; ()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =--+. 关于点()m n ,对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n , 对称后,得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 总结:根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变 化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便 运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. ? 二次函数图象的平移 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k , ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. ? 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 三点式。 1,已知抛物线y=ax 2 +bx+c 经过A (3,0),B (32,0),C (0,-3)三点,求抛物线的解析式。 2,已知抛物线y=a(x-1)2 +4 , 经过点A (2,3),求抛物线的解析式。 顶点式。 1,已知抛物线y=x 2-2ax+a 2 +b 顶点为A (2,1),求抛物线的解析式。 2,已知抛物线 y=4(x+a)2 -2a 的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。 交点式。 1,已知抛物线与 x 轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2,已知抛物线线与 x 轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线y=2 1 a(x-2a)(x-b)的解析式。 定点式。 1,在直角坐标系中,不论a 取何值,抛物线222 5212-+-+- =a x a x y 经过x 轴上一定点Q ,直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2,抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。 3,抛物线y=ax 2 +ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ,求抛物线的解析式。 平移式。 1, 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到抛物线 y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。 2, 抛物线32 -+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 距离式。 1,抛物线y=ax 2 +4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。 2,已知抛物线y=m x 2 +3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点,与 轴交于C 点,且AB=BC,求此抛物线的解析式。 对称轴式。 1、抛物线y=x 2-2x+(m 2 -4m+4)与x 轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍,求抛物线的解析式。 2、 已知抛物线y=-x 2 +ax+4, 交x 轴于A,B (点A 在点B 左边)两点,交 y 轴于点C,且 OB-OA= 4 3 OC ,求此抛物线的解析式。 对称式。 1, 平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上,且A (-10,0),AC=16,D (2,6)。AD 交y 轴于 E ,将三角形ABC 沿x 轴折叠,点B 到B 1的位置,求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2, 求与抛物线y=x 2 +4x+3关于y 轴(或x 轴)对称的抛物线的解析式。 切点式。 1,已知直线y=ax-a 2(a ≠0) 与抛物线y=mx 2 有唯一公共点,求抛物线的解析式。 2, 直线y=x+a 与抛物线y=ax 2 +k 的唯一公共点A (2,1),求抛物线的解析式。 判别式式。 1、已知关于X 的一元二次方程(m+1)x 2 +2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根,求抛物线 y=-x 2 +(m+1)x+3解析式。 2、 已知抛物线y=(a+2)x 2 -(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。 3、已知抛物线y=(m+1)x 2 +(m+2)x+1与x 轴有唯一公共点,求抛物线的解析式。 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 (一)二次函数知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数, 叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为 2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,. 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当 2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时, y 有最大值2 44ac b a -. 二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 x 时,求使y ≥2的x 的取值围. 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数, 0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k 总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 【二次函数的定义】 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x; ⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y =(4,x) ;⑧y=-5x。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4 秒时,该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。 4、若函数y=(m-2)x m -2+5x+1是关于x的二次函数,则m的值为。 6、已知函数y=(m-1)x m2 +1+5x-3是二次函数,求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 (技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k; 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c,则最值为4ac-b2 4a 1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。 2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c= . 3.抛物线y=x2+3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴 6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-1 4 的顶点的横坐标是2,则m的值是_ . 7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。 8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。 9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)x n+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________. 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:?? ? ??++22B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ; ∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2),与x轴交于A B两点,与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式; (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2;存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9,-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析:(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2,然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值,即可得解; (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标,再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标,从而得 到OA OC AD的长度,根据勾股定理列式求出AC的长度,然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值,再分① AD=QD时,过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;②AD=AQ时,过Q作QE2丄x轴于点E>,利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;③AQ=DQ时,过Q作QE3丄x轴于点已,根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度,然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度,从而得到点Q 的坐标. 试题解析:(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点二次函数知识点总结及中考题型总结
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