十三章轴对称全章知识点
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第13章轴对称导学案
第十三章轴对称
13．1.1轴对称
课型：自主探究课
学习内容:课本P58---60
学习目标：1．初步认识轴对称图形；
2. 理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系，能用概念判断一个图形是否是轴对称图形；
3．通过动手实验，掌握关于某条直线成轴对称的两个图形是全等的。
重点：轴对称图形的性质
难点：两个图形成轴对称与轴对称图形两个概念的区别与联系。
一、自主学习
知识点一：1、观察课本P58的7副图片，你能找出它们的共同特征吗？
2、你能列举出一些现实生活中具有这种特征的物体和建筑物吗？
3、动手做一做：把一张纸对折，然后从折叠处随意剪出一个图形，展开后会是一个什么样的图形?它有什么特征？
4、如果一个平面图形沿一条_____折叠,_____两旁的部分能够互相_____，这个图形就叫做轴对称图形,这条____就是它的对称轴,这时,我们也说这个图形关于这条____(成轴) 对称.
试一试：1.下面的图形是轴对称图形吗？如果是，指出对称轴。
2.课本P60练习题。
知识点二：1.观察课本P59的三幅图形，并沿虚线折叠，每对图形有什么共同特征？
2、一个图形沿着某条直线折叠，如果他能够与________重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做_______,折叠后________叫做对称点.
3、成轴对称的两个图形全等吗?为什么?
4、全等的两个图形成轴对称吗？试举例说明。（可以画图说明）
二、合作探究：如图，△ABC和△A′B′C ′关于直线l(MN)对称,点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点,线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
1.（1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN
折叠后，点A与A′重合吗？(PA＝，∠MPA＝＝度)
（2）对于其他的对应点，如点B，B′；C，C′也有类似的情况吗？
（3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？
2、垂直平分线的定义：
经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 .
3、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连线段的。类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的。
三、交流展示
1.组内交流，并展示讨论的结果；
2.我们小组还有什么问题吗？请提出来！
四、当堂自测
1、你能举出三个是轴对称图形的汉字吗
2、观察规律并填空：
3、参照下图说明轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别与联系？
4、如图，若沿虚线对折，左边部分与右边部分重合，请找出图中A、B、C的对称点，并说出图中有哪些角相等?哪些线段相等?
5、如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。
（1）A、B、C、D的对称点分别是，线段AC、
AB的对应线段分别是，CD= ，∠CBA= ，
∠ADC= ．
（2）AE与BF平行吗？为什么？
（3）AE与BF平行，能说明轴对称图形对称
点的连线一定互相平行吗？
（4）延长线段BC、FG，交于点P，延长线段AB、
EF，交于点Q,,你有什么发现吗？
五、学后反思
13.1.2线段的垂直平分线的性质（1）
课型：自主探究课学生姓名：
学习内容:课本P61---62
学习目标：1．通过动手试验掌握线段垂直平分线的性质；
2. 运用线段垂直平分线性质解决问题。
3.探索并理解线段垂直平分线的判定
重点：线段垂直平分线的性质和判定Array难点：运用线段垂直平分线性质解决问题。
一、自主学习
1、作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线l，在l上取
P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…
2、作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…，你会
发现什么样的规律．
线段垂直平分线的性质：
3、你能利用判定两个三角形全等的方法证明这个性质吗？
⊥，垂足是C，AC=BC,点P在l上。
如图，直线l AB
=
求证：PA PB
二、合作探究
1、作线段AB,取其中点P,过P作l，在l上取点P1、P2，连结AP1、AP
2、BP1、BP2．会有哪
些可能?要使l与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？由此你得到什么结论？
与一条线段两个端点距离________的点，在这条线段的______________上。
2、你能证明吗？
3、下列说法错误的是（）
A. D、E是线段AB的垂直平分线上的两点，则 AD=BD，AE=BE
B．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线
C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
D.若PA=PB,则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
D
E
C
B A
O
三、交流展示
1.组内交流，并展示讨论的结果；
2.我们小组还有什么问题吗？请提出来！
四、当堂自测
1、点P 是△ABC 中边AB 的垂直平分线上的点，则一定有（ ） A ． PB=PC B.PA=PC C.PA=PB D.点P 到∠ABC 的两边距离相等
2.如图，在△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE ＝3cm ，△BCD 的周长为13cm ， 求△ABC 的周长。
3.如右图所示，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、BC 的垂直平分线，它们交于P 点，请问PA 和 PC 相等吗?为什么?
4.已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．
求证：（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OE 是CD 的垂直平分线．
五、学后反思
13.1.2
线段的垂直平分线的性质（2）
课型：自主探究课学生姓名：
学习内容:课本P62---63
学习目标：1．掌握“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”的性质
2. 熟练掌握作出轴对称图形的对称轴的方法，即线段中垂线的尺规作图。
重点：画轴对称图形的对称轴
难点：画轴对称图形的对称轴
一、自主学习
1、下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴。
2、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。
3、如图：不通过折叠的方法，你能验证出这两个四边形是
否关于直线MN对称吗？
4、设A、E两点关于直线MN对称，则_____垂直平分______．
5、轴对称图形的对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么
关系？
6、作轴对称图形的对称轴就是做作出一对对应点所连线段的___________
二、合作探究
1.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?
请同学们按照以下作法完成作图。
作法：（1）分别以点A、B为圆心，以大于
1
2
AB
的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；
（2）作直线CD．
直线CD即为所求的直线．
2
、思考：（1）在上述作法中，为什么要以“大于
1
2
AB 的长”为半径作弧？ （2）在上面作法的基础上，连接AB ， 直线CD 是线段AB 的垂直平分线吗？并说明理由．
3.在五角星上作出它的一条对称轴。
三、交流展示
1.组内交流，并展示讨论的结果；
2.我们小组还有什么问题吗？请提出来！
四．当堂自测
1、画出以下图形的对称轴
2.下面的虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是?
3、下面是我们学过的一些几何图形，说出下面图形是不是轴对称图形，并完成下表。
五、学后反思
图 形 长
方 形 正方 形 三角 形 等腰 三角 形 等边 三角 形 平行 四边 形 任意
梯形
等腰 梯形 圆
对称轴的条数
A
B
C l
13.2画轴对称图形（1）
课型：自主探究课学生姓名：
学习内容:课本P67---68
学习目标：1．进一步认识轴对称图形并了解它的基本性质；
2、能够按要求作出简单平面图形的轴对称图形;
重点：利用对称轴作轴对称图形
难点：利用对称轴作轴对称图形
一、自主学习
1、什么是轴对称图形?
2、如图：你能作出它关于虚线的对称图形吗？
（1）找到点A的对称点A′
(2) A A′与对称轴有什么关系？
（3）在图中另找一对对称点，连接对称点的
线段与对称轴还有上述关系吗？
2、连接任意一对对称点的线段被对称轴____________
二、合作探究
1、如图，已知点A和直线l，试画出点A关于直线l的对称点A′。请说说你的画法
l
A·
2.作△ABC关于直线l的对称的图形△A′B′C′
三、交流展示
1.组内交流，并展示讨论的结果；
2.我们小组还有什么问题吗？请提出来！ 四．当堂自测
1.已知△ABC ，及点A 的对称点A ′，请作出对称轴直线l ，并画出△ABC 关于直线l 的对称图形。
A . A ′
B
C
2．如图，请画出三角形关于直线l 对称的图形。
3.身高1.80米的人站在平面镜前2米处，它在镜子中的像高______米，人与像之间距离为_______米；如果他向前走0.2米，人与像之间距离为_________米．
4.要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．?泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
5．为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草.现将这块空地按下列要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形；⑵四块图形形状相同；⑶四块图形面积相等.现已有两种不同的分法：⑴分别作两条对角线（如图中的图1）；⑵过一条边的四等分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）．请你按照上述三个要求，分别在下面两个正方形中给出另外两种不同的分割方法．．．．．．．．．．．．．
（不写画法）
五、学后反思
图（1） 图（2）
图（3） 图（4）
图
图
B
A
B
C A
13.2
画轴对称图形（2）
课型：自主探究课 学生姓名： 学习内容:课本P 68---70
学习目标：1、掌握在平面直角坐标系中，关于x 轴和y 轴对称点的坐标特点。 2、能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x 轴和y 轴的对称图形。 3、能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。
重点：在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x 轴和y 轴的对称图形。 难点：能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。 一、自主学习
1、如图，在平面直角坐标系中， 1）分别写出点A 、B 、C 的坐标。
2)在坐标系中标出点A 、B 、C 关于x 轴的对称点 A 1 、 B 1、C 1、。
3）写出A 1 、 B 1、C 1、的坐标。
4）观察每对对称点的坐标，你发现了什么规律？
5）再找几个点，分别作出它们关于x 轴的对称点， 检验一下你发现的规律。
由此可以得到：
在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。 点（x ，y ）关于x 轴的对称点的坐标为__________. 2、如上图，在平面直角坐标系中，
1）在坐标系中标出点A 、B 、C 关于关于y 轴的对称点A 2、B 2、C 2。 2）写出A 2、B 2、C 2的坐标。
4）观察每对对称点的坐标，你发现了什么规律？
5）再找几个点，分别作出它们关于y 轴的对称点，检验一下你发现的规律。 由此可以得到：
在平面直角坐标系中，关于y 轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。 点（x ，y ）关于y 轴的对称点的坐标为__________. 3、完成下表.
已知点
(2,-3) (-1,2) (-6,-5) (0,-1.6) (4,0) 关于x 轴的对称点 关于y 轴的对称点
4、点（－１,３）与（－１,—3）关于___对称；点（2,—4）与（－2,—4）关于__对称；
二、合作探究
如图，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （－5，1），B （－2，1），C （－2，5），D （－5，4），分别作出四边形ABCD 关于y 轴和x 轴对称的图形。
三、交流展示
1.组内交流，并展示讨论的结果；
2.我们小组还有什么问题吗？请提出来！ 四．当堂自测 1、快速口答 点（３，６）、（－７，９）关于x 轴的对称点分别是什么？ 点（－３，－５）、（０，１０）关于y 轴的对称点分别是什么？ 2.已知点P(2a+b,-3a)与点P ’(8,b+2).
若点p 与点p ’关于x 轴对称，则a=_____ b=_______. 若点p 与点p ’关于y 轴对称，则a=_____ b=_______.
3.已知点（x ，4-y ）与点（1-y ，2x ）关于y 轴对称，则xy=_____
4.平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （0,4），B （2,4），C （3，－1）. （1）试在平面直角坐标系中，标出A 、B 、C 三点； （2）求△ABC 的面积.
（3）若111C B A 与△ABC 关于x 轴对称，写出1A 、1B 、1C 的坐标.
5、已知A （－1，－2）和B （1，3），将点A 向______平移________个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称．
五、学后反思
13.3.1等腰三角形（1）
课型：自主探究课学生姓名：
学习内容:课本P75---77
学习目标：1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质；
2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
重点：掌握等腰三角形的性质
难点：等腰三角形性质的熟练运用
一．自主学习
（一）温故知新
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（） A、圆 B、长方形 C、线段D、三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形？答：
3、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫
（二）操作、实践：取一等腰三角形纸片，照图折叠，找出其中重合的线段和角，填入下表： A A A
B C B（C） B D C
（1）（2）（3）
重合的线段重合的角
二、合作探究
【问题1】根据上表你能得出哪些结论？并将你的结论与同学交流。
性质1：等腰三角形的两个底角＿＿＿＿＿，简写成＿＿＿＿＿＿＿
性质2：等腰三角形的顶角平分线＿＿＿＿、＿＿＿＿＿相互重合。 【问题2】你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗？
三、交流展示
1.组内交流，并展示讨论的结果；
如图（1）所示，根据等腰三角形性质定理在△ABC 中，AB=AC 时，
①∵AD ⊥BC ，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. ② ∵AD 是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. ③ ∵AD 是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
（2）等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
（3）等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 2.我们小组还有什么问题吗？请提出来！ 四．当堂自测
1.如图（2）所示，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各角的度数．
2.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数。
36?
C
B A
120?
C
B
A
P
N M
O
3.在△MNP 中，MN = MO = OP,∠NMO =
260
.求∠N 和∠P
D
C
B
A
图（1）
五、学后反思
13.3.1等腰三角形（2）
课型：自主探究课 学生姓名： 学习内容:课本P 77---78
学习目标：1、掌握等腰三角形的判定方法；
2、利用等腰三角形的判定方法证明相关问题并辅助以尺规作图手段作等腰三角形 重点：掌握等腰三角形的判定方法 难点：尺规作图作等腰三角形
一．自主学习 （一）温故知新
1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为
2、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是
3、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是
（二）在一般的三角形中，如果有两个角相等，?那么它们所对的边有什么关系？
已知：在△ABO 中，∠A=∠B 求证：AO=AO
证明：
【归纳】等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 也相等（简写成 ） 二．合作探究
1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图， 是△ABC 的外角，∠1= ，AD ∥
求证：
分析：要证明AB=AC ，可先证明∠B= ，所以可设法找出
∠B 、∠C 与∠1、∠2的关系．
（2）、请同学们完整的写出解题过程
A B
21
E D C
A B
2.已知等腰三角形底边长为a,底边上的高为h,求作这个等腰三角形（尺规作图）
三、交流展示
1.组内交流，并展示讨论的结果；
2.我们小组还有什么问题吗？请提出来！ 四．当堂自测 1、把一张等腰三角形的纸片沿与底边平行的虚线裁剪后（如图（4） 所示），你得到的三角形还是等腰三角形吗？为什么？
2、如图（5），∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、 ∠2的度数，?并说明图中有哪些等腰三角形．
3、如图（6），把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
五、学后反思
E D C
B
A
图
图
21
D
C A
B 图
2
1
13.3.2等边三角形（1）
课型：自主探究课学生姓名：
学习内容:课本P79---80
学习目标：1、了解等边三角形的定义
2.掌握等边三角形的性质和判定
重点：掌握等边三角形的性质和判定
难点：掌握等边三角形的性质和判定
一．自主学习
1、在△ABC中，AB=AC，
（1）如果∠A＝70°，则∠C＝_________，∠B＝___________；
（2）如果∠A＝90°，则∠B＝_________，∠C＝___________；
（3）如果∠A＝60°，则∠B＝_________，∠C＝___________。
2、在△ABC中，如果AB=AC=BC，则∠A＝________，∠B＝________，∠C＝_________。
3、_______的三角形是等边三角形，等边三角形是一种特殊的________三角形。
二、合作探究
【问题】1、把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
2、一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
3、你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？如果是请说明理由。
三、交流展示
1.展示内容
一个三角形一边的中线和高线重合，那么这个三角形是＿＿
等腰三角形顶角的外角平分线与底边的位置关系是＿＿＿＿
一个等腰三角形有三条对称轴，那么它就是＿＿＿三角形。
在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝60°，则△ABC是＿＿＿三角形。
2.我们小组还有什么问题吗？请提出来！
四．当堂自测
1.选择：下列叙述正确的是（ ）
A 、等腰三角形是等边三角形
B 、所有的等边三角形形状都相同，所以全等
C 、三个角之比为1：2：3的三角形是等腰三角形
D 、等边三角形的三条中线是它的三条对称轴
2、选择：如图在等边△ABC 中，O 为三条高线的交点，连结OB 、OC 那么∠BOC=( ) A 、100° B 、90°C 、150° D 、120°
3、O 是等边三角形ABC 内一点，∠OCB ＝∠ABO ，求∠BOC 的度数
4、已知：如图（5），△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE=CD ．
求证：DB=DE ．
五、学后反思
13.3.2
等边三角形（2）
课型：自主探究课 学生姓名： 学习内容:课本P 80---81
学习目标：1、掌握含30°的直角三角形的对边与斜边的关系
2.能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。 重点：掌握含30°的直角三角形的对边与斜边的关系
图
E
D
C A
B
难点：探究并证明这个关系
一．自主学习
（一）温故知新
1、等边三角形三边，三个角都等于，
2、等边三角形是轴对称图形,它有条对称轴，它的对称轴。（二）动手操作
1、如图（1），将两个含有30°角的三角形放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△
ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
2、你能用所学的知识验证以上结论吗？
方法1：如图(2)，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，∠BAD= °,BD= BC= AB。方法2:如图(3)，△ABC中,延长BC到D使BD=AB，连接AD，则△ABD是三角形,
BC=1
2
=
1
2
。
结论：直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半
二、合作探究
如图（5），要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°，∠A＝30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上
画出来. 三、交流展示
B
C A
图
A
C
B D
图
B
A
C D
图
B
A
D
C
图
1.组内交流，并展示讨论的结果；
2.我们小组还有什么问题吗？请提出来！
四．当堂自测
1、RT△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝＿＿＿，∠B=_____,AB=___BC
2、三角形的三个内角度数之比为1：2：3，最大边是8，则最小边为＿＿＿＿
3.已知等腰三角形周长为40，以一腰为边作等边三角形，其周长为45，那么等腰三角形底边边长是（）
A、5
B、10
C、15
D、20
4.等腰△ABC中，∠A＝400，则∠B＝（）
A、700
B、400
C、400或700
D、600
5.已知等腰三角形两边长为7和3，则它的周长为（）
A、17
B、16
C、17或13
D、13
6.△ABC为等边三角形，且DE⊥BC，垂足为D，EF⊥AC，垂足为E，FD⊥AB，垂足为F，则
△DEF是等边三角形吗？这什么？
五、学后反思
第十三章《轴对称》 一、知识点归纳 （一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 （二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 联系： 1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。 （三）线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． （证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． （四）用坐标表示轴对称 1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；
轴对称单元测试卷（知识梳理卷） 知识点梳理 知识点一：轴对称 1、如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，就称这个图形是轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。也可以说这个图形关于这条这条直线（成轴）对称。 2、一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点； 3、轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合； 4、轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 5、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 6、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 7、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 8、垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 9、垂直平分线的逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 10、由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 11、几何图形都可以看做由点组成。对于这些图形，只要画出图形中的一些特殊点的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 12、平面直角坐标系内对称点的坐标特征 （1）点（x , y）关于x轴对称的点的坐标为：（x , -y）; （2）点（x , y）关于y轴对称的点的坐标为：（-x , y）; （3）点（x , y）关于远点对称的点的坐标为：（-x , -y） 知识点二：等腰三角形 13、等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）；
一、选择题 1、点 P（ 2，﹣ 3）关于 x 轴的对称点是（） A．（﹣ 2， 3） B ．（ 2， 3） C ．（﹣ 2， 3） D ．（ 2，﹣ 3） 2、下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 3、在以下四个银行标志中，属于轴对称图形的是（） A. B. C. D. 4、甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D． 5、如图，△ ABC与△ A′ B′ C′关于直线l 对称，且∠ A=78°，∠ C′ =48°，则∠ B 的度数为（） A． 48°B． 54°C． 74°D．78° 6、下面有 4 个图案，其中有（）个是轴对称图形．A．一个B．二个 C ．三个 D ．四个 7、将△ ABC的三个顶点坐标的横坐标都乘以 ﹣1，纵坐标不变，则所得图形与原图的关系是（A．关于 x 轴对称B．关于 y 轴对称 C．关于原点对称D．将图形向下平移一个单位 8、若一个图形上所有点的纵坐标不变，横坐标乘以－1，则所得图形与原图形的关系为（ 、关于 x 轴成轴对称图形、关于 y 轴成轴对称图形 A B 、关于原点成中心对称图形、无法确定 C D 9、如图，一张长方形纸沿AB对折，以 AB中点 O为顶点将平角五等分，并 沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）．则于（） A108°B114°C126°D1 10、如图 , 先将正方形纸片对折, 折痕为 MN,再把 B 点折叠在折痕MN上, 折痕为 AE, 点 B 在 MN H, 沿 AH和 DH剪下 , 这样剪得的△ ADH中 () A： AH=DH≠ AD B ：AH=DH=AD C： AH=AD≠ DH D ： AH≠ DH≠ AD 11、已知A（ 2， 3），其关于x 轴的对称点是B， B关于 y 轴对称点是C，那么相当于 将 A 经过（）的平移到了。 C A、向左平移 4 个单位，再向上平移 6 个单位。 B、向左平移 4 个单位，再向下平移 6 个单位。 C、向右平移 4 个单位，再向上平移 6 个单位。 D、向下平移 6 个单位，再向右平移 4 个单位。
第十三章（精编）轴对称 《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个 2．图中，轴对称图形的个数是【】 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．正n边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴 线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 考点二、线段垂直平分线的性质 4．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。 BC 5．如图，△ABC中，AB＝AC，PB＝PC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分 6．如图,DE是?ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则?EBC 的周长为【】 A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米
第13章轴对称（知识归纳） 【学习目标】 1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用； 2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质； 3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法. 【知识网络】 【知识讲解】 知识点一：轴对称 1.轴对称图形和轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点二：作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
轴对称知识点 （一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。 （三）线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． （四）用坐标表示轴对称 1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）； 2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；
第13章轴对称 一、选择题（共9小题） 1．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴对称的点B的坐标为（） A．（﹣1，2）B．（1，2） C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2） 2．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（） A．（﹣4，6）B．（4，6） C．（﹣2，1）D．（6，2） 3．在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（） A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 4．点（3，2）关于x轴的对称点为（） A．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3） 5．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（） A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3）D．（3，﹣2） 6．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（） A．（3，2） B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3） 7．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）
A．（﹣2，5）B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 8．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（） A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2） D．（1，2） 9．已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 二、填空题（共16小题） 10．平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为______． 11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（______， ______）． 12．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是______． 13．已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab=______． 14．若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）2014=______． 15．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则a b的值为 ______． 16．点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是______． 17．点P（2，﹣1）关于x轴对称的点P′的坐标是______． 18．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标为______． 19．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为______． 20．点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标是______．
第13章 轴对称知识点总结 一、定义 1.轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的 部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。 2.轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能 够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。 3.轴对称图形与轴对称的区别和联系： 区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对 称关系”； 轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关 系”。 联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称； 把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4.轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与对应点连结的线段垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 二、.线段的垂直平分线 （1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 （2）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 （3）垂直平分线判定： ∵PA=PB ， 直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。 三、等腰三角形 1.定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 注意：等腰三角形底角只能是锐角。 2.等腰三角形性质： ①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。 ②等边对等角。 ③三线（垂线、中线、角平分线）合一。 3.等腰三角形判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 m C A B D'D C'B'A'K J I H 底边底角底角顶角腰腰C B A
轴对称与轴对称图形 一、知识点： 1．什么叫轴对称： 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 2．什么叫轴对称图形： 如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 3．轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别： ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿 某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。 联系： ①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形； 如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对 称。 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等 边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：Array 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 （也称线段的中垂线） 5．轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形全等。 ⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 6．怎样画轴对称图形： 画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。 二、举例： 例1：判断题： ①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（） ②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（） ③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（） ④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。（） 例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.
E D C B A 36° 36° 72° 72° 3题 B C D 一、选择题 （每题3分，共30分。每题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填在下面的表格中） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1是( ) 2、桌面上有A 、B 两球，若要将B 球射向桌面任意一边，使一次反弹后击 中A 球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（ ）个. A 1 B 2 C 4 D 6 3、如图所示，共有等腰三角形（ ） A 、5个 B 、4个 C 、3个 D 、2个 4、若等腰三角形一边长为5,另一边长为6，则这个三角形的周长是（ ） A 18或15 B 18 C 15 D 16或17 5、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD=BD=BC ，则∠C=（ ） A ．72 ° B。60° C。75° D。45° 6、已知A （2，3），其关于x 轴的对称点是B ，B 关于y 轴对称点是C ，那么相当于 将A 经过（ ）的平移到了C 。 A 、向左平移4个单位，再向上平移6个单位。 B 、向左平移4个单位，再向下平移6个单位。 C 、向右平移4个单位，再向上平移6个单位。 D 、向下平移6个单位，再向右平移4个单位。 第十三章 轴对称 单元测试（B ） 答题时间:120 满分:150分 2题 5题
7、如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B 点折叠在折痕 MN 上,折痕为AE,点B 在MN 上的对应点为H,沿AH 和DH 剪下, 这样剪得的△ADH 中 ( ) A ：AH=DH ≠AD B ：AH=DH=AD C ：AH=A D ≠DH D ：AH ≠DH ≠AD 8、如图，一张长方形纸沿AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并 沿五等分的折线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）．则∠OCD 等于（ ） A 108° B 114° C 126° D 129° 9、若一个图形上所有点的纵坐标不变，横坐标乘以－1，则所得图形与原图形的关系为（ ） A 、关于x 轴成轴对称图形 B 、关于y 轴成轴对称图形 C 、关于原点成中心对称图形 D 、无法确定 10、下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④ 二、填空题（每题3分，共30） 11、等腰三角形有一个角等于70o ，则它的底角是 ( ) 12、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是( ) 13、请写出 3 个是轴对称图形的汉 字: . 14、身高1.80米的人站在平面镜前2米处，它在镜子中的像高______米，人与像之间距离为_______米；如果他向前走0.2米，人与像之间距离为_________米． 15、已知：如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ． A B C D M N H E P2 P 1P N M O B A
13.1 轴对称（1） 教学目标： 1．了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系． 2．探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用． 3．了解线段垂直平分线的概念． 教学重、难点： 轴对称的概念和性质 教学过程： 一、问题导入： 引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！ 二、课本精讲： 问题1 如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 如果一个平面图形沿一 条直线折叠，直线两旁的部分 能够互相重合，这个图形就叫 做轴对称图形，这条直线就是 它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 教师：你能举出一些轴对称图形的例子吗？ 问题2观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？ 共同特征：每一对图形沿着虚线折 叠，左边的图形都能与右边的图形重合． 把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 教师：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 教师：你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别与联系吗？ 两者的联系： 把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称． 两者的区别： 轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部 分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关 系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合． 问题3 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，
第十三章 轴对称知识点总结及常见题型 1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 （2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 5、线段的垂直平分线： （1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 如图2， ∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 （2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 如图3， ∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 （3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 如图3， ∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。 6、等腰三角形： （1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 说明：底角顶角?-=2180ο 顶角顶角底角2 1 -902180?=-?= 可见，底角只能是锐角。 （2）性质： ①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。 ②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。 如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C 。 ③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。 （3）判定方法： ①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 。 ②判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 如图5，在△ABC 中 ∵∠B=∠C ∴△ABC 是等腰三角形 。 7、等边三角形： （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。 说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （2）性质： ①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。 ②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。 ③等边三角形的三个内角都等于60°。 如图6，在△ABC 中 ∵AB=AC=BC ∴∠A=∠B=∠C=60°。 （3）判定方法： 图6 m C A B D'D C' B'A' K J I H 图1 图2 m C A B P 图3 底边 底角底角顶角 腰 腰 D C B A 图5 A B C 图4
数学试卷 第十三章 《轴对称》单元测试卷 (时间：60分钟 满分：100分) 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）． 1．下列各时刻是轴对称图形的为（ ）． A 、 B 、 C 、 D 、 2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ）． A 、21：10 B 、10：21 C 、10：51 D 、12：01 3．如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=16m ，则DE 的长为（ ）． A 、8 m B 、4 m C 、2 m D 、6 m 4．如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）． A 、90° B 、 75° C 、70° D 、 60° 5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（ ）． A 、直角三角形 B 、长方形 C 、等边三角形 D 、等腰三角形 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）． A ． 9 B ． 12 C ． 9或12 D ． 5 7．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）． A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 8.如图,∠BAC=110°若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC,则∠PAQ 的度数是( ) ． A 、20° B 、 40° C 、50° D 、 60° 9．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样剪得的三角形中（ ）． A 、AD DH AH ≠= B 、AD DH AH == C 、DH A D AH ≠= D 、AD DH AH ≠≠ 10．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）． A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④ 二、填空题（本大题共有8小题，每空2分，共16分）． 11．等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是_______________________________． 12.已知点A （x ， －4）与点B （3，y ）关于x 轴对称，那么x ＋y 的值为____________. 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为 __ ． 14.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为12cm 2 ，则图中阴影部分的面积是 ___ cm 2 . 15 ．如图,在△ABC 中, AB=AC, D 为BC 上一点,且,AB=BD,AD=DC,则∠C= ____ 度.. 16．如图，在等边ABC △中，D E ，分别是AB AC ，上的点，且AD CE =，则B C D C B E ∠+∠= 度． 17．如图：在△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为 ； 18．在直角坐标系内，已知A 、B 两点的坐标分别为A （－1，1）、B （3，3），若M 为x 轴上一点，且MA ＋MB 最小，则M 的坐标是___________. 校名 班级 姓名 学号 密 封 线 装 订 线 内 不 要 答 题 第2题图 第3题图 第4题图 F E D C B A B M N P 1A P 2 O P 第7题图 第8题图 第9题图 M A N C Q P B N M D C H E B A D C 第14题图 第15题图 第16题图 第17题图 B C E D A B F E D C A
第十三章《轴对称》单元测试卷 (时间：60分钟满分：100分) 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）． 1．下列各时刻是轴对称图形的为（）． A、B、C、D、 2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（）． A、21：10 B、10：21 C、10：51 D、12：01 3．如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=16m，则DE的长为（）． A、8 m B、4 m C、2 m D、6 m 4．如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（）． A、90° B、 75° C、70° D、 60° 5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（）． A、直角三角形 B、长方形 C、等边三角形 D、等腰三角形 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（）． A．9 B．12 C．9或12 D．5 7．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB 的对称点、 ，连接交OA于 M，交OB于N ，若＝6，则△PMN的周长为（）． A、4 B、5 C、6 D、7 8.如图,∠BAC=110°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是( )． A、20° B、 40° C、50° D、 60° 9．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（）． A 、 B 、 C 、 D 、 10．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）． A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④ 二、填空题（本大题共有8小题，每空2分，共16分）． 11．等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是_______________________________． 12.已知点A（x，－4）与点B（3，y）关于x轴对称，那么x＋y的值为____________. 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为 __ ． 14.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2， 则图中阴影部分的面积是 ___ cm2. 15 ．如图,在△ABC中, AB=AC, D为BC上一点,且,AB=BD,AD=DC,则∠C= ____ 度.. 16．如图，在等边中，分别是上的点，且，则 度． 17．如图：在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥ AB交AE的延长线于点F，则DF的长为； 18．在直角坐标系内，已知A、B两点的坐标分别为A（－1，1）、B（3，3），若M为x轴上一点， 且MA＋MB最小，则M的坐标是___________. 校 名 班 级 姓 名 学 号 密 封 线 装 订 线 内 不 要 答 题 第2题图第3题图第4题图 F E D C B A B M N P1 A P2 O P 第7题图第8题图第9题图 M A N C Q P B N M D C H E B A D C 第14题图第15题图第16题图第17题图 B C E D A B F E D C A
第十三章《轴对称》 （一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合, 那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关 键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 （二）轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个 图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。
线段的垂直平分线 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． （四）用坐标表示轴对称 1、点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（-x，y） 2、点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，-y）； (五）关于坐标轴夹角平分线对称 点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 y＝x 对称的点的坐标是（y，x） 点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 y＝－x 对称的点的坐标是（－y，－x） (六）关于平行于坐标轴的直线对称 点P（x，y）关于直线 x＝m 对称的点的坐标是（2m－x，y）； 点P（x，y）关于直线 y＝n 对称的点的坐标是（x，2n－y）；（七）等腰三角形 等腰三角形性质： 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两
轴对称章节知识点总结复习 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． 轴对称变换的性质 （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点． （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 关于坐标轴对称 点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y） 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y） 关于原点对称
第十三章轴对称 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本概念： ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形 就叫做轴对称图形. ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那 么就说这两个图形关于这条直线对称. (4)线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直 平分线. (5)等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边 叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. (6)等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 2.基本性质： ⑴对称的性质： ①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连 线段的垂直平分线. ②对称的图形都全等. ③如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 ④两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对 称轴上。 ⑵线段垂直平分线的性质： ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x, -y）.
②点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y）. ③点（x, y）关于原点对称的点的坐标为（-x,- y） ⑷等腰三角形的性质： ①等腰三角形两腰相等. ②等腰三角形两底角相等（等边对等角）. ③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合. ④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）. ⑸等边三角形的性质： ①等边三角形三边都相等. ②等边三角形三个内角都相等，都等于60° ③等边三角形每条边上都存在三线合一. ④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）. (6)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 3.基本判定： ⑴等腰三角形的判定： ①有两条边相等的三角形是等腰三角形. ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对 等边）. ⑵等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形. ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 4.基本方法： ⑴做已知直线的垂线： ⑵做已知线段的垂直平分线： ⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形： ⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短. 常考例题精选 1.(2015·三明中考)下列图形中，不是轴对称图形的是( ) 2.(2015·日照中考)下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是( )
13．1 轴对称 13．1.1 轴对称 1．在生活实例中认识轴对称图形．(重点) 2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．(重点) 3．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．(难点) 一、情境导入 请同学们认真观看动画片，听故事，思考最后的问题． (配合动画讲故事)故事：在小河边的花丛中，有一只美丽的蝴蝶正在采花蜜．忽然，来了一只蜻蜓在它面前飞来飞去，蝴蝶生气地说：“谁在跟我捣乱？”蜻蜓笑嘻嘻地说：“你怎么连一家人都不认识了，我是来找你玩的．”这时蝴蝶更生气了，说道：“你是蜻蜓，我是蝴蝶，我们怎么可能是一家呢？”于是，蜻蜓就落在了旁边的一片叶子上，说：“这你就不知道了吧，不仅蜻蜓、蝴蝶是一家，有些树叶，还有我们身边的很多物体都和我们是一家呢．”(播放动画 ) 思考问题：为什么蜻蜓、蝴蝶、树叶是一家？ 二、合作探究 探究点一：轴对称图形 【类型一】 轴对称图形的识别 下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 解析：根据轴对称图形的概念可得(1)(2)(4)都不是轴对称图形，只有(3)是轴对称图形．故选B. 方法总结：要确定一个图形是否是轴对称图形要根据定义进行判断，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【类型二】 判断对称轴的条数 下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是( )
A ．正方形 B ．等腰三角形 C ．长方形 D ．圆 解析：A.正方形有四条对称轴；B.等腰三角形有一条对称轴；C.长方形有两条对称轴； D.圆有无数条对称轴．故选C. 方法总结：判断对称轴的条数，仍然是根据定义进行判断，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，注意不要遗漏． 探究点二：轴对称及轴对称图形的性质 【类型一】 应用轴对称的性质求角度 如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD ，其中∠BAD ＝150°，∠B ＝40°，则∠BCD 的度数是( ) A ．130° B ．150° C ．40° D ．65° 解析：∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD ，其中∠BAD ＝150°，∠B ＝40°，∴∠D ＝40°，∴∠BCD ＝360°－150°－40°－40°＝130°.故选A. 方法总结：轴对称其实就是一种全等变换，所以轴对称往往和三角形的内角和、外角的性质综合考查． 【类型二】 利用轴对称的性质求阴影部分的面积 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为( ) A ．4cm 2 B ．8cm 2 C ．12cm 2 D ．16cm 2 解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD 面积的一半，∵ 正方形ABCD 的边长为4cm ，∴S 阴影＝12 ×42＝8(cm)2.故选B. 方法总结：正方形是轴对称图形，根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形面积的一半是解题的关键． 【类型三】 用轴对称的性质证明线段之间的关系 如图，O 为△ABC 内部一点，OB ＝72 ，P 、R 为O 分别以直线AB 、BC 为对称轴的对称点． (1)请指出当∠ABC 是什么角度时，会使得PR 的长度等于7？并完整说明PR 的长度为何在此时等于7的理由． (2)承(1)小题，请判断当∠ABC 不是你指出的角度时，PR 的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由． 解析：(1)连接PB 、RB ，根据轴对称的性质可得PB ＝OB ，RB ＝OB ，然后判断出点P 、B 、