必修一 模块综合测评(A)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果A ＝{x|x>－1}，那么( ) A ．0?A B ．{0}∈A C ．?∈A D ．{0}?A
答案 D
解析 ∵0∈A ，∴{0}?A.
2．若集合A ＝{y|y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A ?B B ．A
B
C ．A ＝B
D ．A ∩B ＝?
答案 A
解析 ∵x ∈R ，∴y ＝2x >0，即A ＝{y|y>0}．又B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }＝{y|y ≥0}，∴A ?B. 3．已知f(1
2x －1)＝2x ＋3，f(m)＝6，则m 等于( )
A ．－14
B.14
C.32 D ．－32
答案 A
解析 令1
2x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，所以f(t)＝2×(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.
令4m ＋7＝6，得m ＝－1
4
.
4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b ＝2，则m 等于( )
A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A
解析 由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1
b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.
∵1a ＋1
b
＝2，∴log m 10＝2，∴m 2＝10，m ＝10. 5．设函数f(x)满足：①y ＝f(x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)的大小关系是( )
A ．f(－1)>f(2)
B ．f(－1) C ．f(－1)＝f(2) D ．无法确定 答案 A 解析 由y ＝f(x ＋1)是偶函数，得到y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称；∴f(－1)＝f(3)．又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)． 6．已知a ＝0.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( ) A ．b>c>a B ．b>a>c C ．a>b>c D ．c>b>a 答案 A 解析 因为a ＝0.3＝0.30.5<0.30.2＝c<0.30＝1，而b ＝20.3>20＝1，所以b>c>a. 7．函数f(x)＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间( ) A ．(5，6) B ．(3，4) C ．(2，3) D ．(1，2) 答案 B 解析 f(3)＝log 33－8＋2×3＝－1<0，f(4)＝log 34－8＋2×4＝log 34>0. 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3，4)． 8．已知函数f(x)＝a x ＋log a x(a>0且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4 答案 C 解析 依题意，函数f(x)＝a x ＋log a x(a>0且a ≠1)在[1，2]上具有单调性，因此a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2. 9．函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是( ) 答案 A 解析 将y ＝lgx 的图象向左平移一个单位，然后把x 轴下方的部分关于x 轴对称到上方，就得到y ＝|lg(x ＋1)|的图象． 10．若函数f(x)＝lg(10x ＋1)＋ax 是偶函数，g(x)＝4x －b 2 x 是奇函数，则a ＋b 的值是( ) A.12 B ．1 C ．－12 D ．－1 答案 A 解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 即lg(10－x ＋1)－ax ＝lg 1＋10x 10x －ax ＝lg(10x ＋1)－(a ＋1)x ＝lg(10x ＋1)＋ax ， ∴a ＝－(a ＋1)，∴a ＝－1 2，又g(x)是奇函数， ∴g(－x)＝－g(x)， 即2－ x － b 2 －x ＝－2x ＋b 2x ，∴b ＝1，∴a ＋b ＝12. 11．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x ≥1时，f(x)＝lnx ，则有( ) A ．f(13) 2) B ．f(12) C ．f(12) 3) D ．f(2) ) 答案 C 解析 由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f(x)＝lnx ， 所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大， ∵|2－1|>????13－1>????12－1，∴f(12) 3) 8] B ．[18，14] C ．[14，12] D ．[1 2，1] 答案 C 解析 ∵f(x)在其定义域(0，＋∞)上是单调递增函数，而在四个选项中，只有f(14)·f(1 2)<0， ∴函数f(x)的零点所在区间为[14，1 2 ]，故选C. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上) 13．已知f(x 5)＝lgx ，则f(2)＝________． 答案 15 lg2 解析 令x 5＝t ，则x ＝t 15 .∴f(t)＝15lgt ，∴f(2)＝1 5 lg2. 14．函数y ＝f(x)是定义域为R 的奇函数，当x<0时，f(x)＝x 3＋2x －1，则x>0时函数的解析式f(x)＝________． 答案 x 3－2－ x ＋1 解析 ∵f(x)是R 上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋2－ x －1]＝x 3－2－x ＋1. 15．若幂函数f(x)的图象过点(3，4 27)，则f(x)的解析式是________． 答案 f(x)＝x 34 解析 设 f(x)＝x n ，则有 3n ＝ 427，即 3n ＝33 4，∴n ＝ 3 4 ，即f(x)＝x 3 4. 16．已知关于x 的函数y ＝log a (2－ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (1，2) 解析 依题意，a>0且a ≠1，∴2－ax 在[0，1]上是减函数， 即当x ＝1时，2－ax 的值最小，又∵2－ax 为真数，∴? ????a>1， 2－a>0，解得1 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(1)计算：(279)1 2＋(lg5)0＋(2764)－1 3 ； (2)解方程：log 3(6x －9)＝3. 解析 (1)原式＝(259)12＋(lg5)0＋[(34)3]－13＝53＋1＋4 3＝4. (2)由方程log 3(6x －9)＝3得6x －9＝33＝27，∴6x ＝36＝62， ∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解． 18．(12分)已知函数f(x)＝ log 12 （x －1）的定义域为集合A ，函数g(x)＝3m －2x －x 2－1 的值域为集合B ，且A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围． 解析 由题意得A ＝{x|1 ＋m ]． 由A ∪B ＝B ，得A ?B ，即－1＋31＋m ≥2，即31 ＋m ≥3， 所以m ≥0. 19．(12分)已知函数f(x)＝－3x 2＋2x －m ＋1. (1)当m 为何值时，函数有两个零点，一个零点，无零点； (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值． 解析 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个根，易知Δ>0，即Δ＝4＋12(1－m)>0， 可解得m<43；Δ＝0，可解得m ＝43；Δ<0，可解得m>4 3 . 故m<43时，函数有两个零点；m ＝43时，函数有一个零点；m>4 3时，函数无零点． (2)因为0是对应方程的根，有1－m ＝0，可解得m ＝1. 20．(12分)A ，B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处的D 地建一核电站给A 、B 两城供电．为保证城市安全，核电站与城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.设A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月． (1)求x 的范围； (2)把月供电总费用y 表示成x 的函数； (3)核电站建在距A 城多远的地方，才能使供电费用最小？ 解析 (1)x 的取值范围为[10，90]． (2)y ＝0.25×20x 2＋0.25×10(100－x)2 ＝5x 2＋5 2 (100－x)2(10≤x ≤90)． (3)y ＝5x 2＋52(100－x)2＝15 2x 2－500x ＋25 000 ＝152(x －1003)2＋50 000 3. 当x ＝100 3 时，y 最小． 故当核电站距A 城100 3 km 时，才能使供电费用最小． 21．(12分)设函数f(x)＝ax －1 x ＋1 ，其中a ∈R . (1)若a ＝1，f(x)的定义域为区间[0，3]，求f(x)的最大值和最小值； (2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数． 解析 f(x)＝ax －1x ＋1＝a （x ＋1）－a －1x ＋1＝a －a ＋1 x ＋1， 设x 1，x 2∈R ，则f(x 1)－f(x 2)＝ a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝（a ＋1）（x 1－x 2） （x 1＋1）（x 2＋1） . (1)当a ＝1时，f(x)＝1－2 x ＋1 ，设0≤x 1 则f(x 1)－f(x 2)＝2（x 1－x 2） （x 1＋1）（x 2＋1）， 又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，∴f(x 1)－f(x 2)<0， ∴f(x 1) ∴f(x)在[0，3]上是增函数， ∴f(x)max ＝f(3)＝1－24＝1 2， f(x)min ＝f(0)＝1－2 1 ＝－1. (2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x 1)－f(x 2)<0， 而f(x 1)－f(x 2)＝（a ＋1）（x 1－x 2） （x 1＋1）（x 2＋1），∴当a ＋1<0， 即a<－1时，有f(x 1)－f(x 2)<0， ∴f(x 1) 22．(12分)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝a x －1.其中a>0且a ≠1. (1)求f(2)＋f(－2)的值； (2)求f(x)的解析式； (3)解关于x 的不等式－1 x －1. 由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)， ∵f(－x)＝a － x －1，∴f(x)＝－a － x ＋1(x<0)． ∴所求的解析式为f(x)＝? ????a x －1 （x ≥0）， －a －x ＋1 （x<0）. (3)不等式等价于 ?????x －1<0，－1<－a －x ＋1＋1<4或?????x －1≥0， －1 ??? ?x －1≥0，01时，有? ????x<1，x>1－log a 2，或?????x ≥1，x<1＋log a 5. 注意此时log a 2>0，log a 5>0， 可得此时不等式的解集为(1－log a 2，1＋log a 5)． 同理可得，当0 综上所述，当a>1时，不等式的解集为(1－log a 2，1＋log a 5)；当0 R. 由Ruize收集整理。 感谢您的支持！
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