§2.1.1 合情推理（1）
1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；
2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
2830
在日常生活中我们常常遇到这样的现象：
（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；
（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.
以上例子可以得出推理是
的思维过程.
二、新课导学
※学习探究
探究任务：归纳推理
问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：
. 问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出
.
新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的
的推理，或者由
的推理.简言之，归纳推理是由
的推理.
※典型例题
例1 观察下列等式：1+3=4=22，
1+3+5=9=23，
1+3+5+7=16=24，
1+3+5+7+9=25=25，
……
你能猜想到一个怎样的结论？
变式：观察下列等式：1=1
1+8=9，
1+8+27=36，
1+8+27+64=100，
……
你能猜想到一个怎样的结论？
例2已知数列{}n a的第一项11
a=，且n
n
n a
a
a
+
=
+1
1
(1,2,3.
n=，试归纳出这个数列的通项公式.
变式：在数列{
n
a}中，
11
()
2
n n
n
a a
a
=+（2
n≥），试猜想这个数列的通项公式.
※动手试试
2
练1.
.
练2. 在数列{n a }中，11a =，122n
n n a a a +=+（*n N ∈）,
试猜想这个数列的通项公式.
三、总结提升 ※ 学习小结
1．归纳推理的定义.
2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 知识拓展
1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对0
20213F =+=，
121215F =+=，2222117F =+=，3
2321257F =+=，4
242165537F =+=的观察，
发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221
n
n F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5
252142949672976416700417F =+==?不是素数，推翻费马猜想.
2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作
.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）.
A.()f n 可以为偶数
B. ()f n 一定为奇数
C. ()f n 一定为质数
D. ()f n 必为合数
3.已知2()
(1),(1)1()2
f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想
(f x ）的表达式为（ ）.
A.4()22x f x =+
B.2
()1f x x =+
C.1()1f x x =+
D.2
()21f x x =+
4.111
()1()23f n n N n +=+++???+∈，经计算得
357
(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222
f f f f f =>>>>
猜测当2n ≥时，有__________________________. 5. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出
_____________ . 1. 对于任意正整数n ，猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.
2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，12
3
a =-，满足
12(2)n n n S a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n
S 的表达式.
§2.1.1 合情推理（2）
4
11
22
11
22
OM N OM N S OM ON S OM ON ??=
?
.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12
,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？
练2. 在ABC ?中，不等式
1119
A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式111116
2A B C D π
+++≥成立；
在五边形ABCDE 中，不等式1111125
3A B C D E π
++++≥
成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？
三、总结提升 ※ 学习小结
1．类比推理是由特殊到特殊的推理. 2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）. 3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法. ※ 知识拓展
试一试下列题目： 1. 南京∶江苏
A. 石家庄∶河北
B. 渤海∶中国
C. 泰州∶江苏
D. 秦岭∶淮河 2. 成功∶失败
A. 勤奋∶成功
B. 懒惰∶失败
C. 艰苦∶简陋
D. 简单∶复杂 3.面条∶食物
A. 苹果∶水果
B. 手指∶身体
C. 菜肴∶萝卜
D. 食品∶巧克力
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.下列说法中正确的是（ ）.
A.合情推理是正确的推理
B.合情推理就是归纳推理
C.归纳推理是从一般到特殊的推理
D.类比推理是从特殊到特殊的推理 2. 下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”
B.“若()a b c ac bc +=+”类推出 “()a b c ac bc ?=?”
C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b
c c c
+=+ （c≠0）”
D.“n n
a a
b =n
（b ）” 类推出“n
n
a a
b +=+n
（b ）
3. 设)()(,sin )('
010x f x f x x f ==，
'21()(),,f x f x = '1()()n n f x f x +=，n ∈
N ，则2007()f x = （ ）.
A.sin x
B.－sin x
C.cos x
D.－
cos x 4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆
若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆. 5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 .
1. 在等差数列{}n a 中，若100a =，则有 *121219(19,)
n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈ 成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在怎样的等式？
2. 在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n
S 满足???
? ??+=n n n a a S 121（1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S
§2.1.2 演绎推理
1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会
演绎推理的重要性；
2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行
一些简单的推理.
3942
复习1：归纳推理是由到的推理.
类比推理是由到的推理.
复习2：合情推理的结论.
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：演绎推理的概念
问题：观察下列例子有什么特点？
（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C
?，所以在一个标准大气压下把水加热到100C
?时，；（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以；
（5）三角函数都是周期函数，sinα是三角函数，所以；
（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么. 新知：演绎推理是从出发，推出
情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由
到的推理.
探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？
新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：
大前提——；
小前提——；
结论——.
试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.
※典型例题
例1 在锐角三角形ABC中，,
AD BC BE AC
⊥⊥，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
新知：用集合知识说明“三段论”：
大前提：
小前提：
结论：
例2证明函数2
()2
f x x x
=-+在(]
,1
-∞-上是增函数.
小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.
例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？
所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形. （结论）
小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.
※动手试试
练1. 用三段论证明：通项公式为(0)
n
n
a cq cq
=≠的
数列{}
n
a是等比数列.
6
练2. 在ABC ?中，AC BC >，CD 是AB 边上的高，求证ACD BCD ∠>∠.
证明：在ABC ?中，,CD AB AC BC ⊥>， 所以AD BD >， 于是ACD BCD ∠>∠. 指出上面证明过程中的错误.
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 合情推理???归纳推理：由特殊到一般
类比推理：由特殊到特殊；结论不一
定正确.
2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.
※ 知识拓展
乒乓球教练组将从右手执拍的选手R 、S 、T 和左手执拍的选手L 、M 、N 、O 中选出四名队员去参加奥运会。要求至少有两名右手执拍的选手，而且选出的四名队员都可以互相配对进行双打。已知s 不能与L 配对.T 不能与N 配对，M 不能与L 或N 配对。若R 不被选入队中，那么有几种不同的选法?
C. 三种
D. 四种
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 因为指数函数x y a =是增函数，1
()2
x y =是指数
函数，则1
()2
x y =是增函数.这个结论是错误的，这
是因为
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误 2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”
结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ?/平面α，直线a ≠
?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线
a ”的结论显然是错误的，这是因为
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误 4.归纳推理是由 到 的推理； 类比推理是由 到 的推理； 演绎推理是由 到 的推理. 5.合情推理的结论 ；
演绎推理的结论
. 1. 用三段论证明：在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC ，则B C ∠=∠.
2. 用三段论证明：3()()f x x x x R =+∈为奇函数.
§2.1 合情推理与演绎推理(练习)
1. 能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;
2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;
3. 体会合情推理和演绎推理的区别与联系.
8
练2. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ,则
三角形的面积1
()2
S r a b c =++，根据类比思想，若
四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V = .
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 合情推理???归纳推理：由特殊到一般
类比推理：由特殊到特殊；结论不一
定正确.
2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.
※ 知识拓展
有金盒、银盒、铝盒各一个，只有一个盒子里有肖像，金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里，银盒子上写有命题q ：肖像不在这个盒子里，铝盒子上写有命题r ：肖像不在金盒里，这三个命题有且只有一个是真命题，问肖像在哪个盒子里？为什么？
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 由数列1,10,100,1000, ，猜想该数列的第n 项可能是（ ）.
A.10n
B.110n -
C.110n +
D.11n 2.下面四个在平面内成立的结论 ①平行于同一直线的两直线平行
②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交
③垂直于同一直线的两直线平行
④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交
在空间中也成立的为（ ）.
A.①②
B. ③④
C. ②④
D.①③
3.用演绎推理证明函数3y x =是增函数时的大前提是（ ）.
A.增函数的定义
B.函数3y x =满足增函数的定义
C.若12x x <，则12()()f x f x <
D.若12x x <, 则12()()f x f x > 4.在数列{}n a 中,已知112,31
n
n n a a a a +==
+*()n N ∈,
试归纳推理出n a = . 5. 设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f = ；当ｎ＞４时，()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）.
1. 证明函数2()4f x x x =-+在[2,)+∞上是减函数.
2. 数列{}n a 满足2n n S n a =-,先计算数列的前4项,再归纳猜想n a .
§2.2.1 综合法和分析法（1）
1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；
2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
4547
复习1：两类基本的证明方法: 和 . 复习2：直接证明的两中方法: 和 .
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：综合法的应用 问题：已知,0a b >,
求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥. 新知：一般地,利用
,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. 反思： 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ※ 典型例题
例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111
9a b c ++≥
变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：
111
(1)(1)(1)8a b c
---≥.
小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成
立的条件,这是一种由因索果的证明.
例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.
变式：设在四面体P ABC -中, 90,,ABC PA PB PC ∠=?==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ?所在的平面.
小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条
件明确表示出来. ※ 动手试试 练1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=
10
练2. ,A B 为锐角，
且tan tan tan A B A B ++=，
求证：60A B += . （提示：算tan()A B +）
三、总结提升 ※ 学习小结
综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ???，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
※ 知识拓展
综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 2. 如果821,,a a a ???为各项都大于零的等差数列，公
差0≠d ，则（ ）
A ．5481a a a a >
B ．5481a a a a <
C ．5481a a a a +>+
D ．5481a a a a =
3. 设23451111
log 11log 11log 11log 11
P =
+++，则（ ）
A ．01P <<
B ．12P <<
C ．23P <<
D ．34P << 4.若关于x 的不等式
22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1
(,)2
+∞，
则k 的范围是____ .
5. 已知b a ,是不相等的正数
，x y =
=，则,x y 的大小关系是
1. 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，
求证:3b c a a c b a b c a b c
+-+-+-++>
2. 在△ABC 中， 证明：2
2221
12cos 2cos b a b B a A -=-
§2.2.1 综合法和分析法(二)
1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
4850 复习1：综合法是由 导 ;
复习2：基本不等式:
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：分析法 问题：
如何证明基本不等式
(0,0)2
a b
a b +>>
新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
反思：框图表示
要点：逆推证法；执果索因
※
典型例题
例1
变式：求证<
小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.
例 2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线
,垂足为E
,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.
变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,
1
()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.
小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.
※ 动手试试
练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.
12
练2. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，
求证：2224c a b ab --+≥
三、总结提升 ※ 学习小结 分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ???，
直到所有的已知P 都成立. ※ 知识拓展 证明过程中分析法和综合法的区别: 在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.
分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.
要证明,其中最合理的是
A.综合法
B.分析法
C.反证法
D. 归纳法
2.不等式①233x x +>;②2b a
a b
+≥,其中恒成立的
是
A.①
B.②
C.①②
D.都不正确 3.已知0y x >>,且1x y +=,那么
A.22x y x y xy +<<<
B.22
x y xy x y +<<<
C.22x y x xy y +<<<
D.22
x y
x xy y +<<< 4.若,,a b c R ∈,则222a b c ++ ab bc ac ++.
5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水
(0)b a >>,则其浓度为 ;若再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .
1. 已知0a b >>, 求证
:22
()()828a b a b a b a b
-+-<.
2. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+
§2.2.1 综合法和分析法（3）
1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析
法的思考过程和特点;
2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;
3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质.
5051 复习1：综合法是由 导 ; 复习2：分析法是由 索 .
14
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 直接证明包括综合法和分析法.
2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径
.
※ 知识拓展
综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索
因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有
体现，成为高考的重点和热点之一.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,
y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（ ）.
A ．1个
B ．2个
C ．3 个
D ．4个 2. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题（ ）.
①//////αββγαγ???? ；②//m m αβ
βα⊥??⊥??
③//m m ααββ⊥??⊥?? ；④////m n
m n αα?????
其中为真命题的是 （ ）
A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④ 3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是
（ ）.
A ．a ，b 均为负数，则2a b
b a
+≥
B 22≥
C ．lg log 102x x +≥
D ．1
,(1)(1)4a R a a
+∈++≥
4. 设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β ②若α⊥r ，β⊥r ，则α∥β ③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β ④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n 其中真命题是 .
5. 已知:231,:(3)0p x q x x -<-<, 则p 是q 的 条件.
1. 已知,,a b c R +∈，,,a b c 互不相等且1abc =
.
求证：
111
a b c
++.
2. 已知,,,a b c d 都是实数，且22221,1a b c d +=+=，求证：||1ac bc +≤.
§2.2.2 反证法
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种
基本方法——反证法；
2. 了解反证法的思考过程、特点;
3. 会用反证法证明问题.
5254
复习1：直接证明的两种方法: 和 ; 复习2： 是间接证明的一种基本方法.
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务：反证法 问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎
样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗? 问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?
新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .
试试：
证明：5,3,2不可能成等差数列.
反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
※ 典型例题
例 1 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.
变式：证明在ABC ?中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.
小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60?.
小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. ※ 动手试试
练1. 如果1
2
x >,那么2210x x +-≠.
练 2. ABC ?的三边,,a b c 的倒数成等差数列,求证:90B
三、总结提升
※学习小结
1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.
2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
※知识拓展
空城计与反证法
空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.
诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是
.
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60?”时，反设正确的是（）.
A．假设三内角都不大于60?
B．假设三内角都大于60?
C．假设三内角至多有一个大于60?
D．假设三内角至多有两个大于60?
2. 实数,,
a b c不全为0等价于为（）. A．,,
a b c均不为0
B．,,
a b c中至多有一个为0
C．,,
a b c中至少有一个为0
D．,,
a b c中至少有一个不为0
3.设,,
a b c都是正数，则三个数
111
,,
a b c
b c a +++
（）.
A．都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2 4. 用反证法证明命题“自然数,,
a b c中恰有一个偶数”的反设为.
5. “4
x>”是“240
x x
->”的
条件.
1. 已知,0
x y>,且2
x y
+>.试证
:
11
,
x y
y x
++
中至少有一个小于2.
2. .
第二章推理与证明(复习
)
1. 了解合情推理和演绎推理的含义；
2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；
3. 能用综合法和分析法进行数学证明；
.
2855
复习1：归纳推理是由到的推理.
类比推理是由到的推理.
合情推理的结论.
演绎推理是由到的推理.
演绎推理的结论.
复习2：综合法是由导;
分析法是由索.
直接证明的两种方法: 和;
是间接证明的一种基本方法.
16
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：合情推理与演绎推理
问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？
探究任务一：直接证明和间接证明
问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？
※ 典型例题
例1 已知数列{}n a 的通项公式
21()(1)n a n N n +=∈+， 记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--???-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.
变式：已知数列()()1111
,,,,1335572121n n ???-+
⑴求出1234,,,S S S S ；⑵猜想前n 项和n S .
（理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？ 小结：归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种猜
想，推理的结论都有待进一步证明.
例2已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程
x 2+px +2=0的两实根. （1）求证：tan()p αβ+=； （2）求证：3sin()cos()0p αβαβ++-=.
变式：如右图所示，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：⑴SAB BC ⊥面；⑵AF SC ⊥.
小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性有较高的要求.
※ 动手试试 练1. 求证：当220x bx c ++=有两个不相等的非零
实数根时，0bc ≠.
练2. 数列{}n a 满足*2,n n S n a n N =-∈ （1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ；
（2）用数学归纳法证明（1）中的结论.（理科）
A B C
S F E
18
C 2H 6CH 4
H H H H H H C C H H H H C
三、总结提升 ※ 学习小结
※ 知识拓展
帽子颜色问题
“有3顶黑帽子，2顶白帽.成一排，些人的帽子颜色.（色，如果他回答说不知道，定会知道自己戴的是黑帽子.※ 自我评价
A. 很好
B. 较好
C. 一般 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：1.
写出后一种化合物的分子式．．．
是（ A ．C 4H 9 B ．C 4H 10 C ．C 42. 用反证法证明：“a b >”A.a b > B.a b < C.a b
= 3. 属于哪种推理（ ）. A.演绎推理 B.类比推理 C.合情推理
D.归纳推理
:
按图示的规律搭下去,角形的个数n 之间的关系式可以是 5. 由“以点()00,x y 为圆心，r 为半径的圆的方程为()()2
2
200x x y y r -+-=”可以类比推出球的类似属性是 . 1. 若sin cos 1αα+=,求证:66sin cos 1αα+=
2. 求证22y ax bx c =++,22y bx cx a =++, 22y cx ax b =++(,,a b c 是互不相等的实数),3条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点.
理：§2.3 数学归纳法(1)
1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指
导，理解数学归纳法的操作步骤;
2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并
能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3. 数学归纳法中递推思想的理解. 104106，找出疑惑之处）
复习1：在数列{}n a 中，
*111,,()1n n n a a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式.
复习2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：数学归纳法
问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?
新知：数学归纳法两大步： （1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立; （2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.
原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题
都成立.
试试：你能证明数列的通项公式1
n a n =这个猜想吗?
反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.
※ 典型例题
例1 用数学归纳法证明 2222*
(1)(21)
123,6
n n n n n N ++++++=∈
变式：用数学归纳法证明
2*1427310(31)(1),n n n n n N ?+?+?+++=+∈
小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.
例2 用数学归纳法证明: 首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前
n 项和的公式是1(1)
2
n n n S na d -=+.
变式：用数学归纳法证明:
首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是
11n n a a q -=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q -=
-.(1q ≠) 小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题. ※ 动手试试 练1. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,
2135(21)n n ++++-=
练2. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,
21122221n n -++++=-
20
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 数学归纳法的步骤
2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.
※ 知识拓展
意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 用数学归纳法证明：
221
11(1)1n n a a a a a a
++-++++=≠- ，在验证1
n =时，左端计算所得项为
A.1
B.21a a ++
C.1a +
D.231a a a +++ 2. 用数学归纳法证明
))(12(312)()3)(2)(1(*
N n n n n n n n n ∈-???=++++ 时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为
A. 12+k
B. )12(2+k
C. 112++k k
D. 13
2++k k
3. 设
*
111()()122f n n N n n n
=+++∈++ ，那么)()1(n f n f -+等于（ ） A. 121
+n B. 221+n C. 221121++
+n n D. 221121+-+n n
4. 已知数列}{n a 的前n 项和)2(2
≥=n a n S n n ，而11=a ，通过计算432,,a a a ，猜想=n a
5. 数列}{n x 满足122
1,3
x x ==
，且
11112n n n x x x -++=（2≥n ），则=n x .
1. 用数学归纳法证明: 1111133557(21)(21)21n n n n ++++=???-++
2. 用数学归纳法证明:
1
12(1)3(2)1(1)(2)
6
n n n n n n n ?+?-+?-+?=++
理：§2.3 数学归纳法(2)
1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;
2.数学归纳法中递推思想的理解.
107108，找出疑惑之处） 复习1：数学归纳法的基本步骤？
复习2：数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题. 二、新课导学
※ 学习探究 探究任务：数学归纳法的各类应用 问题：已知数列
1111
,,,,1447710(32)(31)
n n ??????-?+，猜想n S 的
表达式，并证明.
§2.1.1 合情推理（1） 学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义； 2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. ~ P30，找出疑惑之处） 28 在日常生活中我们常常遇到这样的现象： （1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是 的思维过程. 二、新课导学 学习探究 探究任务：归纳推理 问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： . 问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 . 新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的 的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理. 典型例题 例1 观察下列等式：1+3=4=， 1+3+5=9=， 1+3+5+7=16=， 1+3+5+7+9=25=， …… 你能猜想到一个怎样的结论？ 变式：观察下列等式：1=1 1+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100，
…… 你能猜想到一个怎样的结论？ 例2已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式. 变式：在数列{}中，（），试猜想这个数列的通项公式. 动手试试 练1. 应用归纳推理猜测的结果.
练2. 在数列{}中，，（）,试猜想这个数列的通项公式. 三、总结提升 学习小结 1．归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. 知识拓展 1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现不是素数，推翻费马猜想. 2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明. 学习评价 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2.若，下列说法中正确的是（）. A.可以为偶数 B.一定为奇数 C.一定为质数 D.必为合数 3.已知，猜想的表达式为（）. A. B. C. D. 4.，经计算得猜测当时，有__________________________. 5.从中得出的一般性结论是_____________ . 课后作业 1. 对于任意正整数n，猜想与的大小关系.
富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程
高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3
合情推理教案 一、教学目标： （1）结合已学过的数学事例实例和生活中的实例，了解合情推理的含义。 （2）能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 二、教学重点、难点 1.重点：归纳推理和类比推理的理解和应用. 2.难点：合情推理的应用，尤其是类比推理的应用，能根据已知类比出一些数学结论. 三、教学方法： 启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的课堂教学方法。 一、归纳推理 1. 导入新课：1.举一些日常生活中常常用到的推理：如走到家门口闻到菜香，猜想已经做好饭了等。 2.介绍数学史（预习） 简单介绍课本出现的歌德巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、歌尼斯堡七桥猜想， 2.分析特例：问题1：你了解哥德巴赫是怎么提出猜想的吗？ 歌德巴赫猜想的提出过程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， · ····· 改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3， 8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11, 18 =7+11, …，1000＝29+971， 1002=139+863, ······ 歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和” 即:偶数＝奇质数＋奇质数 3.得出结论： 归纳推理定义： 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的特点 1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理. 2.人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行。 3.归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段。 归纳推理的一般步骤⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理 ⑵ 在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想 (3）检验猜想 说明: 由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠,（如：费马猜想）但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识性能,对于提供科学的发现方法,确实是非常有用的 4.例题 例题1：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a += =+L ，试归纳出通项公式. 分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a =1n 。 5.反馈练习1 ?L *11135f(n)=1+ +++(n N )算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,23n 22
第三讲 推理与证明 （推荐时间：50分钟） 一、选择题 1．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项 公式为 ( ) A ．a n ＝3 n －1 B ．a n ＝3n C ．a n ＝3n －2n D ．a n ＝3n －1＋2n －3 2．已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2 －2－4 ＝2，依照以上各 式的规律，得到一般性的等式为 ( ) A.n n －4＋8－n 8－n －4 ＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2 C.n n －4＋n ＋4n ＋1－4 ＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4 ＝2 3． “因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝ ??? ?13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝ ??? ?13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于 ( ) A ．大前提错误导致结论错 B ．小前提错误导致结论错 C ．推理形式错误导致结论错 D ．大前提和小前提错误导致结论错 4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f x g x ＝a x ，且f ′(x )g (x ) 《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件 2.1合情推理与演绎推理导学案 一、教学目标：通过几个练习题的思考和讨论，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力； 二、教学过程展示： 展示题组一： 1．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添加的条件为．你得到的一对全等三角形是△≌△． 2．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，下面有四个条件，请你从其中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并证明．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF． 课后练习：如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个结论：①AD=CB；②AE=CF；③∠B=∠D；④AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并写出解答过程． 考查内容：1．从复杂图形中分解出基本的图形，能否利用合情推理能力获得合理的数学猜想。2、从图形中观察猜想，通过合情推理组成命题，然后用演绎推理验证命题的正确 性，从而正确解决问题。3．考查内容同2，课后练习巩固此类题的解决方法，进一步培养其推理能力。 展示题组二： 1、如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME ＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G． （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； （2）连结FG，如果α＝45°，AB＝4√2，AF＝3，求FG的长． 2、图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上. （1）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形.（画一个即可）（3分） （2）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.（画一个即可） 第3讲 合情推理与演绎推理 一、选择题 1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2 ＋b 2 ＝3，a 3 ＋b 3 ＝4，a 4 ＋b 4 ＝7，a 5 ＋b 5 ＝11，…，则a 10 ＋b 10 ＝( ) A ．121 B ．123 C ．231 D ．211 解析：选B ．法一：令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋ a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123． 法二：由a ＋b ＝1，a 2 ＋b 2 ＝3，得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10 ＋b 10 ＝(a 5 ＋b 5)2 －2a 5b 5 ＝123． 2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( ) A ．21 B ．34 C ．52 D ．55 解析：选D ．因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55． 3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7，5) B ．(5，7) C ．(2，10) D ．(10，2) 解析：选B ．依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有 n （n ＋1） 2 个“整 数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组(每 个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)． 4．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++ 高二数学必修二推理与证明知识点导学案 1、归纳推理：把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤： ?通过观察个别情况发现某些相同的性质； ?从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）； ?证明（视题目要求，可有可无）. 2、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤： ?找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ?用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ?检验猜想。 3、合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论”，包括：⑴大前提-----已知的一般原理； ⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果. ⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 要点：逆推证法；执果索因. ⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： 绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误 3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A ．各正三角形内一点 B ．各正三角形的某高线上的点 C ．各正三角形的中心 D ．各正三角形外的某点 4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->- 5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（） A ．分析法 B ．综合法 C ．间接证明法 D ．反证法 6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，47 4131211222<+++，…，可归纳出式子为（） A ．121 1 3121 1222-< + +++ n n B ．121 1 3121 12 22 +< ++++n n C ．n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D ．1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?，由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2?B ．πb 2?C ．πab ? D ．π()ab 2 8．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0 C ．（a －b ）（a －c ）＞0 D ．（a －b ）（a －c ）＜0 9．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为 3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.133 高中数学 第3章《推理与证明》导学案 北师大版选修1-2 学习目标 1. 了解合情推理和演绎推理的含义； 2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式； 3. 能用综合法和分析法进行数学证明； 4. 能用反证法进行数学证明. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 28~ P 55，找出疑惑之处） 复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理. 合情推理的结论 . 演绎推理是由 到 的推理. 演绎推理的结论 . 复习2：综合法是由 导 ; 分析法是由 索 . 直接证明的两种方法: 和 ; 是间接证明的一种基本方法. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：合情推理与演绎推理 问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？ 探究任务一：直接证明和间接证明 问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？ ※ 典型例题 例1 已知数列{}n a 的通项公式 2 1()(1)n a n N n +=∈+， 记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--???-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值. 变式：已知数列()()1111 ,,,,1335572121n n ???- + ⑴求出1234,,,S S S S ；⑵猜想前n 项和n S . （理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？ 变式：如右图所示，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：⑴SAB BC ⊥面；⑵AF SC ⊥. A B C S F E 合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23 宁陕中学导学案（数学） 高二级 班 姓名 年 月 日 《推理与证明》复习 学习目标： 1、能对推理与证明的各种方法进行梳理，建立知识网络，把握整体结构。 2、能比较数学证明的几种基本方法的思维过程和特点，灵活运用各种方法进行一些 数学证明。 3、了解合情推理和演绎推理之间的联系、差异和各自所起的作用。 本章知识结构图： 一、基础训练 1 ．已知，，且，则（ ） A ． B ． C ． D ． 2．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．①和② 3．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2 012个圆中共有●的个数是（ ） A ．61 B ．62 C ．63 D ．64 4．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个 图案中有白色地面砖的块数是 ( ) A.42 n + B.42n - C.24n + D.33n + 5.观察下列格式：20117655,781255,156255,31255则 ===的末四位数字为（ ） A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 6.半径为r 的圆的面积2)(r r S π=，周长r r C π2)(=,若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ππ2)(2='，类比上述命题可得到若球的半径为r ，则 。 7.在平面上，若两个正三角形的边长之比为1:2，则它们的面积之比为1:4，类似的在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1:2，则它们的体积之比为 。 6-63-333a =21n n n a a a ++=-26a =13a = §2.1.1合情推理（第一课时）导学案 学习目标：1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义。 2.能利用归纳和类比等实行简单的推理，体会并理解合情推理在数学发现中的作 用。 学习重点：对归纳推理和类比推理含义的理解。 学习难点： 学习过程 一、预习提问 问题二：归纳推理和类比推理的特征是什么？由它们推理出的结论是否一定准确？ 二、合作探究 探究1.哥德巴赫无意中观察到：6=3+3,8=3+5,10=5+5，12=5+7，14=7+7,16=5+11.。。。其中反应出一些规律：偶数=奇质数+奇质数，由此猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。这是准确的吗？多少年来，这个猜想吸引了无数的科学家去证明。观察下列等式：9=3+3+3；11=3+3+5；13=3+3+7；15=3+5+7；17=3+7+7.。。。你能够猜想到什么？ 探究2.在平面几何里有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则222 +=”，拓展到空间，类比研究三棱锥A BCD AB AC BC -的侧面面积与底面面积间的关系可得出的结论是：“设三棱锥的三个侧面ABC、ACD、ADB、两两垂直，则______________________________________。” 随堂锦句：在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。-----拉普拉斯（法）三、自主学习 四、知识应用 例1观察右边图1，能够发现： 1 2 3 4 5 6 7 2 2 2 22 11134213593 135716413579255=+==++==+++==++++== ………………………… 由以上具体事实能得出什么结论？ 例2.已知数列{}n a 的第一项11a =且1(123 (1) n n a a n a += =+、、，试归纳出这个数列的通项公式。 每日格言：人生在勤，不索何获？----张衡（东汉） 例3.写出科学家类比地球做出火星上可能有生命这个猜想的推理过程 2 、知识清单 1、合情推理包括 归纳推理是由 类比推理是由 比数列之间，其结论 2、演绎推理是由 情况下是 3、直接证明是从 推理与证明复习学案 高二、二部赵业峰 例2、做下面实验：假设若干杯甜度相同的糖水，经过下面的操作后，糖水的甜度是否改变? (1) 将所有糖水倒在一起； (2) 将一杯糖水中再加入一小勺糖，糖全部融化 . 类比这一实验，你能得到数学上怎样的关系式？ 的推理，常用于数列中，其结论 的推理，常用于立体与平面几何、向量与实数运算、等差与等 的推理，遵循严格的逻辑推理规律， 因此其结论在 .推理的一般模式“三段论”包括 例3、类比平面内直角三角形的勾股定理，是给出空间四面体性质的猜想并证明 出发，根据已知的 直接推证结 论的真实性.直接证明中的两种方法是: 4、综合法：禾U 用 等，经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立的一种推理方法 5、分析法：从 出发，逐步寻求使它成立的 ，直到最后，把要 证明的结论归结为 的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的一种 推理方法. 6、反证法：一般地，假设 不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设 错误，从而证明原命题成立的一种推理方法 例4、设a, b 是两个正实数，且 a H b ，试用三种方法证明： a 3 + b 3》a 2b + ab 2 二、典型例题 X + —x 例"、设 f (八 L^,g (x) x —x a -a (1) 5=3+2，请你推测g(5)能否用f (2), f (3), g (2), g (3)来表示; (2)如果(1)中获得了一个结论，请你将其推广并给与证 明 §2.1合情推理与演绎推理 2．1.1合情推理 学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 2.了解合情推理在数学发现中的作用． 知识点一归纳推理 思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电． (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体． 以上属于什么推理？ [答案]属于归纳推理． 梳理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． (2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理． 知识点二类比推理 思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、 绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？ [答案]类比推理． 梳理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理． (2)特征：由特殊到特殊的推理． 知识点三合情推理 思考归纳推理与类比推理有何区别与联系？ [答案]区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理． 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假． 梳理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理． (2)推理的过程 从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想 1．类比推理得到的结论可作为定理应用．(×) 2．由个别到一般的推理为归纳推理．(√) 3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×) 简单已测：1994次正确率：87.2 % 1.下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推 理；②归纳推理是由?般到?般的推理；③演绎推理是由?般到特殊的推理；④类?推理是由特殊到?般的推理；⑤类?推理是由特殊到特殊的推理．A.①②③ B.②③④C.①③⑤ D.②④⑤ 考点：归纳推理的常??法、类?推理的常??法知识点：归纳推理、类?推理答案：C 解析：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出?般性结论的推理． 故①对②错； ?所谓演绎推理是由?般到特殊的推理．故③对； 类?推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从?推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选：． ?般已测：2488次正确率：82.5 % 2.图是“推理与证明”的知识结构图,如果要加?“归纳”,则应该放在（ ） A.“合情推理”的下位 B.“演绎推理”的下位 C.“直接证明”的下位 D.“间接证明”的下位 考点：归纳推理的常??法、类?推理的常??法知识点：归纳推理、类?推理答案：A 解析：合情推理包括归纳推理与类?推理，因此答案为. C A 简单已测：1990次正确率：95.2 % 3.给出下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推证法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有( )A.个B.个C.个D. 个 考点：分析法的思考过程、特点及应?、综合法的思考过程、特点及应?知识点：综合法、分析法答案：C 解析：结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确． ?般 已测：3748次 正确率：87.4 % 4.观察下列各式：，则的末四位数字为（ ） A.B.C.D. 考点：有理数指数幂的运算性质、归纳推理的常??法知识点：有理数指数幂的运算法则、归纳推理答案：D 解析：， 可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的， ， 的末四位数字与的后四位数相同，是， 故选D ?般已测：1886次正确率：81.9 % 5.观察下列各式：，， ，，， ，则=（ ） A.B.C. 23455=3125,5=15625,5=78125,?5 6 7520113125562506258125 ∵5=3125,5=15625,5=781255 675=390625,5=1953125,5=9765625,5=48828125? 89101144∵2011÷4=502?3∴52011578125a +b =1a +b =322a +b =433a +b =744a +b =1155…a +b 10102876123 第四十一中学高二数学选修2-2《推理与证明测试题》 试卷满分100分，考试时间105分钟 一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绛推理是由一 般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A. ①②③；B.②③④；C.②④⑤；D.①③⑤. 2、 下面使用类比推理正确的是 （ ）? A. “若a ?3 = b ?3,则a 二b”类推出“若a ?0 = b ?0,则。=/?” B. “若（a + b ）c = ac + bc "类推出 “（a ? b）c = ac ? be ” C. “若（d + b ）c = ac + bc” 类推出“（ ^- = - + - （cHO ）” c c c D. “（b ） n = a n b n v 类推出 n =a n +b ,lff 3、 有--段演绎推理是这样的：“直线平行于平而，则平行于平而内所有直线；已知直线 b 尘平而&,立线a 〒平面a,直线b 〃平面Q ,则直线b//n 线a”的结论显然是错误 的，这是因为 （'） A ?人前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不人于60度”时，反设正确的是（）o （A ）假设三内角都不大于60度； （B ）假设三内角都大于60度； （O 假设三内角至多有一个大于60度； （D ）假设三内角至多有两个大于60度。 5、 在I ?进制中2004 = 4x10°+0x10'+0X 101 2+2X 103,那么在5进制中数码2004折合 成十进制为 （ ） A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004 8、用数学归纳法证明 “5 + 1)07 + 2)…(兀 + 〃)= 2“ -1-2?(2n -1) " ( n G )时, 9、已知料为止偶数，用数学归纳法证明 1 一严2 6、 利用数学归纳法证明a l+a+a 2+- + a n41= -------------------- , （aHl, nGN ）”时，在验证n=l \-a 成立吋，左边应该是 （ ） （A ）l （B ）l+a （C ）l+a+a 2 （D ）l+a+a 2+a 3 7、 某个命题与正整数料有关，如果当n = k 伙wN+）时命题成立，那么可推得当n = k + \ 时命题也成立.现（2知当n = l 时该命题不成立，那么可推得 A.当n=6时该命题不成立 B. 当n=6时该命题成立 C. 当时该命题不成立 D. 当n=8时该命题成立 从“ /1 = ￡到n = k + \^时，左边应增添的式子是 A. 2k +1 B. 2(2￡ + 1) 2k + l ( ) D. 222选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)
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