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第6题图
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）逐题详解
【详解提供】广东佛山市南海区南海中学 钱耀周
参考公式:椎体的体积公式1
3
V Sh =,其中S 表示椎体的底面积,h 表示锥体的高.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{}2|20,S x x x x =+=∈R ,{}
2
|20,T x x x x =-=∈R ,则S T = ( )
A . {}0
B ．{}0,2
C ．{}2,0-
D ．{}2,0,2-
【解析】A ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以{}0S T = ,故选A ． 2．函数()()
lg 11
x f x x +=
-的定义域是( )
A . ()1,-+∞
B ．[)1,-+∞
C ．()()1,11,-+∞
D ．[)()1,11,-+∞
【解析】C ；依题意10
10
x x +>??
-≠?,解得1x >-且1x ≠,故选C ．
3．若()34i x yi i +=+,,x y ∈R ,则x yi +的模是( )
A . 2
B ．3
C ．4
D ．5
【解析】D ；依题意34y xi i -+=+,所以4,3x y ==-, 所以43x yi i +=-的模为5,故选D ． 4．已知51
sin 25πα??+=
???,那么cos α= ( ) A . 25- B ．15-
C ．15
D ．2
5
【解析】C ；由诱导公式可得51sin cos 25παα??
+==
???
,故选C ．
5．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出的s 的值是 ( )
A . 1
B ．2
C ．4
D ．7 【解析】C ；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；
第三次循环后:4,4s i ==；循环终止,故输出4,选C . 6．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 ( )
A .
16 B ．13
C ．
2
3
D ．1 【解析】B ；由三视图可知该三棱锥的底面积为1
2
,高为2,
所以111
2323
V =??=,故选B . 7．垂直于直线1y x =
+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )
A . 0x y +=
B ．10x y ++=
C ．10x y +-=
D ．0x y +=
【解析】A ；数形结合!画出直线和圆,不难得到切线方程为y x =-故选A ． 8．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A . 若//l α,//l β,则//αβ
B ．若l α⊥,l β⊥,则//αβ
C ．若l α⊥,//l β,则//αβ
D ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 【解析】B ；ACD 是典型错误命题,选B ．
9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ,离心率等于
1
2
,在椭圆C 的方程是 ( ) A . 22
134x y += B ．2214x += C ．22142x y += D ．22
143x y +=
【解析】D ；依题意1c =,1
2
e =,所以2a =,从而24a =,2223b a c =-=,故选D ．
10．设a 是已知的平面向量且0a ≠ ,关于向量a
的分解,有如下四个命题:
① 给定向量b ,总存在向量c ,使a b c =+
；
② 给定向量b 和c
,总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+ ；
③ 给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c
和实数λ,使a b c λμ=+ ；
④ 给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c
,使a b c λμ=+ . 上述命题中的向量b ,c 和a
在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )
A . 1
B ．2
C ．3
D ．4 【解析】C ；考查平面向量基本定理,成立的有①②③,故选B ．说明:对于④,比如给定a
和1λμ==,就
不一定存在单位向量b 和单位向量c ,使a b c =+
.
二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分 (一)必做题(11～13题)
11．设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234a a a a +++=________． 【解析】15；依题意2342,4,8a a a =-==-,所以1234124815a a a a +++=+++=. 12．若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴,则a =______. 【解析】
12；求导得12y ax x '=-,依题意210a -=,所以12
a =. 13. 已知变量,x y 满足约束条件30
111x y x y -+≥??
-≤≤??≥?
,则z x y =+的最大值是____.
【解析】5；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最大值时的点为()1,4A ,且最大值为5.
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,以极点为坐标原点,极轴为x
轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为_____________. 【解析】1cos sin x y θθ
=+??
=?(θ为参数)；曲线C 的普通方程为222x y x +=,即()22
11x y -+=,圆心为()1,0,
A E
D
C
B 第15题图
半径1r =,所以曲线C 的参数方程为1cos sin x y θ
θ=+??=?
(θ为参数).
15. (
几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD 中,AB =3BC =,
BE AC ⊥,
垂足为E ,则ED =_________.
；依题意AC =在Rt ABC ?中,由射影定理可得,
2AB AE AC =?,所以AE =
也可以由30ABC ∠=?得到),在ADE ?中,由余弦定理可得 2222cos30ED AD AE
AD AE =+-
??3219234224=
+-??=,所以2
ED =
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
16．（本小题满分12分）
已知函数()12f x x π?
?=- ???
,x ∈R .
(Ⅰ) 求3f π??
???的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ??
∈ ???
,求6f πθ?
?- ?
?
?．
【解析】(Ⅰ
)133124f ππππ????
=-==
? ?????
； (Ⅱ) 因为3cos 5θ=
,3,22πθπ??
∈ ???
,
所以4sin 5θ=-
, cos sin 66124f ππππθθθθθ?????
?-=--=-=+ ? ? ??????
?341555??=+-=- ???.
17．（本小题满分13分）
从一批苹果中,随机抽取50个,其质量(单位:克)的频数分布表如下:
(Ⅰ) 根据频率分布表计算苹果的重量在90,95的频率；
(Ⅱ) 用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个,其中重量在[)80,85的有几个?
(Ⅲ) 在(Ⅱ)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的概率. 【解析】(Ⅰ)依题意,苹果的重量在[)90,95的频率为
202
505
=； (Ⅱ) 抽样比为
415155=+,所以重量在[)80,85的有1
515
?=个. (Ⅲ) 设抽取的4个苹果中,重量在[)80,85的为a ,重量在[)95,100中的为,,b c d .从中任取2个,包
含的基本事件有:{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d ,共6个；满足重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的基本事件为{}{}{},,,,,a b a c a d ,共3个.所以所求概率为31
62
=. 18．（本小题满分13分）
F A
B
C F D
E
G 图1
图2
如图1,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图2所示的三棱锥A BCF -,
其中BC =
.
(Ⅰ) 证明://DE 平面BCF ； (Ⅱ) 证明:CF ⊥平面ABF ； (Ⅲ) 当2
3
AD =
时,求三棱锥F DEG -的体积V . 【解析】(Ⅰ)方法一:(面面平行)在图1中,因为AD AE =,AB AC =,所以
AD AE
AB AC
=,所以//DE BC ； 由翻折的不变性可知,在图2中,//DG BF ,因为DG ?平面BCF ,BF ?平面BCF
所以//DG 平面BCF ,同理可证//GE 平面BCF ,又DG GE G = ,所以平面//DGE 平面BCF 又DE ?平面DGE ,所以//DE 平面BCF .
方法二:在图2中,由翻折不变性可知AD AE =,AB AC =,所以AD AE
AB AC
=,所以//DE BC , 因为DE ?平面BCF ,BC ?平面BCF ,所以//DE 平面BCF .
(Ⅱ) 在图2中,因为12BF CF ==
,2
BC =,222BF CF BC +=,所以CF BF ⊥ 又CF AF ⊥,BF AF F = ,所以CF ⊥平面ABF .
(Ⅲ) 因为//GE CF ,由(Ⅱ)知CF ⊥平面ABF ,所以GE ⊥平面ABF ,所以GE ⊥平面DGF ,
依题意可得1123DG GE AD ===
,236
GF AF AG =-=-=,
所以1123636DGF S ?=
??=,所以三棱锥F DEG -
的体积113363324
V =?=. 20．（本小题满分14分）
设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2
1441n n S a n +=--,*n ∈N ,且2a 、5a 、14a 构成等比
数列.
（Ⅰ）证明
:2a （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ，有
122311111
2
n n a a a a a a ++++< . 【解析】（Ⅰ）在21441n n S a n +=--中令1n =,可得212441S a =--,而20a >,
所以2a =（Ⅱ）由21441n n S a n +=--可得()2
14411n n S a n -=---(
2n ≥).
两式相减,可得22144n n n a a a +=--,即()2
2
12n n a a +=+,因为0n a >,所以12n n a a +=+,
于是数列{}n a 把第1项去掉后,是公差为2的等差数列.
由2a 、5a 、14a 成等比数列可得25214a a a =,即()()2
222624a a a +=+,解得23a =,
由2a 11a =,于是212a a -=,
所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列,所以()12121n a n n =+-=-. （Ⅲ）因为()()111111212122121n n a a n n n n +??
==- ?-+-+??
, 所以
()1223111111111
111112335212122212n n a a a a a a n n n +????????+++=-+-++-=-< ? ? ???
-++????????
. 20．（本小题满分14分）
已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=
的距离为2
.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；
(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,
=
结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为2
4x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =
,求导得12
y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,
所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即2
11122
x x y x y =
-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=
因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ?=++=+++
联立方程0022204x x y y x y
--=??=?,消去x 整理得()222
00020y y x y y +-+=
由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()2
2
1212000121AF BF y y y y y x y ?=+++=+-+
又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,
所以2
2
2
2
0000001921225222y x y y y y ?
?+-+=++=++ ??
?
所以当012y =-时, AF BF ?取得最小值,且最小值为9
2
.
21．（本小题满分14分）
设函数()32f x x kx x =-+()k ∈R . (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ) 当0k <时,求函数()f x 在[],k k -上的最小值m 和最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()32f x x x x =-+,()2321f x x x '=-+
因为()2
24310?=--??<,所以()0f x '>在R 上恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞,无递减区间.
(Ⅱ) ()2
321f x x kx '=-+,判别式()()
2
2
243143k k ?=--??=-
当0?≤,
即0k <时,()0f x '≥ 在R 上恒成立,所以
f 所以()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==,最大值M = 当0?>,即k <,令()0f x '=得13k x =2x = 因为()2
321f x x kx '=-+的对称轴为2
k x =,且恒过()0,1,
画出大致图像如图所示,可知120k x x <<<,
当x 变化时,()f x ',()f x 的变化如下表:
由表可知,()(){}2min ,m f k f x =,()(){}1max ,M f k f x =-.
因为()()()()
322
22222210f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>,所以()m f k k ==. 因为()()()()
()()23
23211
1111210f x f k x kx x k k x k x k k ??--=-+---=+-++
, 所以()32M f k k k =-=--.
综上所述,当0k <时，函数()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==，最大值()32M f k k k =-=--.